Seminar. Algorithmische Geometrie

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1 Seminar Algorithmische Geometrie WS 2000/2001 Thema: Konvexe Hülle Mirko Dennler 21439

2 Inhaltsverzeichnis Konvexe Hülle 1. Problemstellung 3 2. GRAHAMS SCAN JARVIS' MARCH QUICK HULL MERGE HULL 7-8 2

3 Konvexe Hülle 1. Problemstellung Definition: Eine Menge P R 2 heißt konvex, wenn x, y P die Verbindungsstrecke zwischen x und y ganz in P enthalten ist. Die konvexe Hülle von P ist der Durchschnitt aller konvexen Mengen P' P. Im Rahmen der algorithmischen Geometrie versteht man unter P stets eine endliche Menge von n Punkten. Ich möchte mich bei meinen Ausführungen auf den R 2 beschränken, da Betrachtungen der konvexen Hülle im R 3 wesentlich schwieriger sind. Anwendung der folgenden Berechnungen findet man bei der Mustererkennung (Ähnlichkeiten), dem Image-Processing (Bilderstellung) und der algorithmische Geometrie selbst, aber auch in völlig von der Informatik unabhängigen Gebieten wie der Lagerhaltung, der Güterverteilung und der Statistik. Das wesentliche Problem hier ist folgendes: Sei P = {p 1..p n } R 2 eine endliche Menge von Punkten. Gesucht ist die konvexe Hülle H, d.h. die Menge der Eckpunkte von P. Ein Punkt p i ist Eckpunkt der konvexen Hülle von P, wenn es keine 3 von p i verschiedenen Punkte in P gibt, so dass p i im Dreieck D liegt, welches diese 3 Punkte aufspannen. Sei p 4 ein Punkt, der auf Eckpunkteigenschaft untersucht werden soll und seien p 1, p 2 und p 3 die Punkte des Dreiecks D. Man ermittelt einen inneren Punkt f des Dreiecks D, z.b. den Schwerpunkt. Die Koordinaten der Punkte rechnet man in Polarkoordinaten um und ordnet diese bzgl. der Polarwinkel zu dem ermittelten inneren Punkt f. Danach überprüft man, ob die Strecke f-p 4 die Strecke p j -p k, j k; j, k {1,2,3} schneidet. Wenn das für ein Paar (j, k) der Fall ist, so liegt p 4 nicht im Inneren des Dreiecks D und gehört somit zur konvexen Hülle. Diese Überprüfung hat eine Laufzeit von O(n 3 ). Zur Bestimmung der konvexen Hülle H prüft man alle Punkte aus P, woraus sich eine Laufzeit von O(n 3 ) * n, also O(n 4 ) ergibt. Das Beispiel zeigt eine mögliche Konstellation der Punkte. Beispiel: Die Laufzeit O(n 4 ) scheint allerdings kein besonders anstrebenswerter Aufwand zu sein, woraus sich die Notwendigkeit zur Suche nach effizienteren Algorithmen ergibt. 3

4 2. GRAHAMS SCAN (1972) Dieser Algorithmus stellt genau betrachtet eine Optimierung der eben vorgestellten Dreiecksuntersuchung dar. Als Datenstruktur zur Speicherung der Koordinaten verwendet man eine doppelt verkettete lineare Liste. Der Algorithmus läßt sich im einzelnen wie folgt beschreiben: Eingabe ist P = {p 1..p n } R 2, Ausgabe ist die konvexe Hülle von P. 1.) Bestimme einen inneren Punkt q von P, z.b. den Schwerpunkt dreier Punkte aus P in konstanter Zeit Zeit O(1). 2.) Berechne die Polarkoordinaten aller Punkte aus P bzgl. q. Zeit O(n). 3.) Sortiere alle Punkte aus P bzgl. ihrer Polarwinkel Zeit O(n log n). 4.) Bestimme einen Eckpunkt der konvexen Hülle von P, z.b. den Punkt mit der größten x-koordinate Zeit O(n). 5.) Scan -Vorgang v:= p 0 while R(v) p 0 a) if [v, R(v), R(R(v))] left turn then v:= R(v) b) else delete R(v), v:=l(v) L(v) ist hierbei der Vorgänger von v in P, R(v) der Nachfolger von v in P gemäß der Sortierung ihrer Polarwinkel. Man umläuft q, d.h. man durchläuft die nach aufsteigenden Polarwinkeln sortierte Liste. Anschließend ist zu prüfen, ob 3 aufeinanderfolgende Punkte einen right turn oder einen left turn bilden. Von einem left turn spricht man, wenn die 3 aufeinanderfolgenden Punkte in einem Winkel von mehr als 180 zueinander liegen, ansonsten bilden diese Punkte einen right turn. Wenn 3 Punkte einen right turn bilden, gehört der mittlere Punkt nicht zur konvexen Hülle und wird aus der Liste entfernt. Anschließend bewegt man sich um einen Punkt zum Anfang der Punktliste zurück und überprüft das neue Tripel. Dieser Vorgang ist solange zu wiederholen, bis der nächste left turn auftritt. Am Ende der While-Schleife existieren nur noch left turns. Die Liste der verbleibenden Punkte stellt damit die Folge der Punkte der konvexen Hülle dar. Beispiel: 4

5 Die Punkte p 0 bis p 6 liegen nun geordnet nach ihren Polarwinkeln bzgl. q vor. Das Tripel (p 0, p 1, p 2 ) bildet einen left turn, man überprüft das nächste Tripel (p 1, p 2, p 3 ), auch dieses bildet einen left turn. Das Tripel (p 2, p 3, p 4 ) bildet als erstes einen right turn und p 3 wird aus der Punktliste gelöscht. Das Tripel (p 1, p 2, p 4 ) wird überprüft und es bildet wieder einen left turn. Alle weiteren Tripel bilden wieder left turn's und der Startpunkt ist wieder erreicht. Damit ist der Algorithmus beendet und die konvexe Hülle von P besteht aus den Punkten p 0, p 1, p 2, p 4, p 5, p 6. In welcher Laufzeit kann man nun Schritt 5 ausführen? Zeile a) kann maximal n-1 mal ausgeführt werden, da danach das Ende der Liste erreicht ist. Zeile b) kann maximal n-2 mal ausgeführt werden, da die konvexe Hülle sonst weniger als 2 Punkte enthält. Daraus resultiert für Schritt 5 eine Laufzeit von O(n). Es ergibt sich damit für GRAHAMS SCAN eine Gesamtlaufzeit von O(n log n). Es wird deutlich, dass das Sortieren (Schritt 3) am aufwändigsten ist und somit die Gesamtlaufzeit entscheidend beeinflusst. Nachteile von GRAHAMS SCAN: 1.) Einsatz von Polarkoordinaten (Winkelberechnung notwendig). 2.) Laufzeit unabhängig von der Eckpunktzahl der konvexen Hülle, da Schritt 3 allein Zeit O(n log n) benötigt. 3.) Keine Verallgemeinerung auf Dimension d 3. 4.) Keine Onlineverarbeitung, da es sich um einen statischen Algorithmus handelt. Damit komme ich zum zweiten wesentlichen Algorithmus. 3. JARVIS' MARCH (1973) Der Algorithmus JARVIS' MARCH kann wie folgt beschrieben werden: Eingabe ist P = {p 1..p n } R 2, Ausgabe ist die konvexe Hülle H von P. 1.) Suche zwei Punkte p' und p'' von P mit kleinster bzw. größter y-koordinate p' und p'' sind Eckpunkte der konvexen Hülle Zeit O(n). 2.) Verbinde p' mit allen anderen Punkten. Der Endpunkt der Strecke mit dem kleinsten Winkel (berechnet über Steigungen) zur Abszisse ist Eckpunkt und wird in die Liste der Eckpunkte aufgenommen (gehört also zu H). Anschließend wird dieser Punkt mit allen verbleibenden Punkten aus P verbunden und wiederum der Endpunkt der Strecke mit dem kleinsten Winkel zur x-achse ermittelt. Dieser Vorgang wird solange wiederholt, bis p' erneut erreicht wird. Danach hat der Algorithmus alle Punkte der konvexen Hülle von P gefunden. Beispiel: 5

6 p 1 =(1,1); p 2 =(2,3); p 3 =(3,1); p 4 =(3,5); p 5 =(4,2); p 6 =(5,2); p 7 =(5,3); p 8 =(5,5); p 9 =(6,2) Sei h die Anzahl der Eckpunkte der konvexen Hülle und n die Gesamtanzahl der Punkte aus P. Dann beträgt die Laufzeit O(h*n), da man für alle Eckpunkte die Steigungen aller Punkte aus P untersuchen muss. Im worst-case bedeutet das eine Laufzeit von O(n 2 ), falls h = n ist. Daran zeigt sich, dass JARVIS' MARCH ein effizienter Algorithmus für eine hinreichend kleine Anzahl von Eckpunkten ist. Einige statistische Aussagen ohne Beweis: 1.) Werden n Punkte zufällig aus einem konvexen Polygon mit r Ecken, r = konst., ausgewählt, so beträgt die average-case-laufzeit O(n log n). 2.) Werden n Punkte zufällig aus einer kreisförmigen Punktmenge ausgewählt, so beträgt die average-case-laufzeit O(n 4/3 ). 4. QUICK HULL (1976) Dies ist ein rekursiver Algorithmus, welcher an das Verfahren QUICK SORT angelehnt ist. Man ermittelt 2 Eckpunkte l und r mit der kleinsten und größten x-koordinate. Anschließend konstruiert man eine Gerade g durch l und r. Man teilt die zu untersuchende Menge P in 2 Mengen P 1 und P 2 ein. Alle Punkte, die oberhalb von g liegen, gehören zu P 1, alle anderen zu P 2. Die Punkte l und r gehören zu beiden Mengen. Ich möchte die Vorgehensweise nur für P 1 und alle auf g liegenden Punkte zeigen, da P 2 analog zu P 1 behandelt wird. Man ermittelt einen Zerlegungspunkt h P 1 mit größtem Abstand zu g. Falls es mehrere Punkte mit gleichem Abstand gibt, wählt man den Punkt mit der kleinsten x-koordinate. Der Algorithmus QUICK HULL lässt sich nun wie folgt beschreiben: Eingabe ist P = {p 1..p n } R 2, Ausgabe ist die konvexe Hülle H von P. QUICK HULL (P, l, r): 1.) if P = {l, r} then output list = (l, r) 2.) else h = FURTHEST(P, l, r) oben beschriebene Prozedur, welche h liefert 3.) P 1 := {x P x {l, h} oder x links von Gerade lh} 4.) P 2 := {x P x {h, r} oder x rechts von Gerade hr} 5.) OUTPUT: verkette die Liste QUICK HULL(P 1, l, h) mit QUICK HULL(P 1, h, r) \ {h} Beispiel: h l r g 6

7 h ist aufgrund des größten Abstandes zu g Eckpunkt der konvexen Hülle. Alle Punkte, die im Dreieck D(l, r, h) liegen, können aus der weiteren Betrachtung entfallen. Damit ergeben sich 2 analoge Probleme: die Punkte in P 1 bzgl. der Geraden (l, h) anstelle der Geraden g die Punkte in P 2 bzgl. der Geraden (h, r) anstelle der Geraden g. Der Algorithmus wird rekursiv mit QUICK HULL(P 1, l, h) und QUICK HULL(P 1, h, r) erneut aufgerufen, bis der Trivialfall (Zeile 1) eintritt. Für QUICK HULL ergibt sich analog zum Sortieralgorithmus QUICK SORT eine Worst- Case-Laufzeit von O(n 2 ). Bemerkung: Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass die Menge (P 1 \ {l, h}) höchstens i Punkte enthält, mindestens (i+1) / n beträgt, so ist die durchschnittliche Laufzeit des Verfahrens O(n log n). Oft hat QUICK HULL eine gute Laufzeit, da häufig viele Punkte im Dreieck D (l, r, h) liegen und somit wegfallen. Eine genaue Analyse von QUICK HULL ist jedoch schwer, da unklar ist, wieviele Punkte jeweils im Dreieck D (l, r, h) liegen. 5. MERGE HULL Dieser Algorithmus ist von dem bekannten Sortierverfahren MERGE SORT abgeleitet. Der Algorithmus MERGE HULL lässt sich wie folgt beschreiben: Eingabe ist P = {p 1..p n } R 2, Ausgabe ist die konvexe Hülle H von P. MERGE HULL (P): 1.) Wähle eine Konstante k N, k 3. 2.) Falls #P k, so konstruiere die konvexe Hülle "frei", d.h. ohne diesen Algorithmus. 3.) Ansonsten zerlege P in 2 Mengen S 1 und S 2 mit #S i #P/2 mit i = 1, 2. 4.) P 1 := MERGE HULL(S 1 ) 5.) P 2 := MERGE HULL(S 2 ) 6.) MERGE(P 1, P 2 ) Das Ziel ist es, eine Laufzeit von O(n log n) zu erreichen. Das bedeutet, dass der Merge-Vorgang in Zeit O(n) stattfinden muss. Wir wissen, dass die Schritte 4 und 5 von Grahams Scan in Zeit O(n) ausführbar sind. Die Eckpunkte von P 1 und P 2 müssen geordnet nach den Polarwinkeln ihrer Koordinaten bzgl. einem innerem Punkt (wie bei Grahams Scan) vorliegen. Die Arbeit mit Steigungen statt Polarwinkeln kann dabei zeitaufwändige Operationen ersparen (wie bei JARVIS MARCH). Man berechnet also einen inneren Punkt p von P 1 in Zeit O(1) (wie bei GRAHAMS SCAN) und entscheidet anschließend in Zeit O(n), ob p auch innerer Punkt von P 2 ist. Dabei gibt es 2 Möglichkeiten: p ist innerer Punkt von P 2 : Listen der Eckpunkte von P 1 und P 2 liegen sortiert nach ihren Polarwinkeln vor und können in Zeit O(n) gemischt werden. Dabei beginnt man jeweils mit dem kleinsten Element der beiden Listen, vergleicht die Elemente, entfernt das kleinere aus der Liste, ordnet es in eine neue Liste ein und vergleicht wiederum die kleinsten Elemente beider Listen. Ist eine Liste 7

8 p ist nicht innerer Punkt von P 2 : abgearbeitet und die andere Liste nicht leer, so kann diese Liste einfach an die neu erstellte Liste angehängt werden, da die Elemente bereits sortiert vorliegen. Betrachte p als Ursprung und berechne in Zeit O(n) die Steigungen der Verbindungsstrecken von p zu allen anderen Eckpunkten von P 2. Seien u und v Punkte mit den extremsten Steigungen. Punkte aus P 2 auf der gleichen Seite der Geraden g (die die Punkte u und v verbindet) wie p gehören nicht zur konvexen Hülle von P 1 P 2 (diese Punkte können z.b. durch Koordinaten- vergleich herausgefunden werden). Alle anderen Eckpunkte liegen sortiert nach ihren Polarwinkeln vor. Die Liste der verbleibenden Punkte von P 2 und die Liste von P 1 können nun in Zeit O(n) gemischt werden (wie vorher beschrieben). Es hat sich also gezeigt, dass der MERGE-Schritt in Zeit O(n) durchgeführt werden kann und MERGE HULL damit eine Gesamtlaufzeit von O(n log n) hat. Damit ergibt sich für MERGE HULL der gleiche Aufwand wie für GRAHAMS SCAN, jedoch gibt es bei MERGE HULL den Vorteile, dass nur einfache Operationen aufgrund der Arbeit mit Steigungen statt Polarwinkeln durchgeführt werden müssen. Bei den beiden bereits erwähnten Testbeispielen von Jarvis March (n zufällig gewählte Punkte aus einem Polygon bzw. Kreis) hat MERGE HULL nur eine durchschnittliche Laufzeit von O(n), was bedeutet, dass dieser Algorithmus praktische Bedeutung hat. 8