Konvexe Hülle. Abbildung: [Wikipedia]: Nicht-konvexe Menge (links), konvexe Menge (rechts) KIT Institut für Theoretische Informatik 510

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1 Konvexe Hülle Definition konvexe Menge: Für je zwei beliebige Punkte, die zur Menge gehören, liegt auch stets deren Verbindungsstrecke ganz in der Menge. Abbildung: [Wikipedia]: Nicht-konvexe Menge (links), konvexe Menge (rechts) KIT Institut für Theoretische Informatik 510

2 Konvexe Hülle Definition konvexe Menge: Für je zwei beliebige Punkte, die zur Menge gehören, liegt auch stets deren Verbindungsstrecke ganz in der Menge. Abbildung: [Wikipedia]: Nicht-konvexe Menge (links), konvexe Menge (rechts) Definition konvexe Hülle CH(S): Kleinste konvexe Menge, die S enthält. KIT Institut für Theoretische Informatik 510

3 Obere konvexe Hülle Entwurfsprinzip: Teile und herrsche (divide and conquer) I Gegeben: Punktmenge S = {p 1,...,p n } R 2 I Gesucht: Konvexe Hülle von S CH(S) =Bereich, der von blauen Kanten umschlossen ist KIT Institut für Theoretische Informatik 511

4 Obere konvexe Hülle Annahmen Annahmen obda: I Sortieren geht mit EREW-PRAM in T (n)=o(log n) und W (n)=o(n log n) I Vereinfachung: n = 2 k für k 2 N, Koordinatensindeindeutig KIT Institut für Theoretische Informatik 512

5 Obere konvexe Hülle Algorithmische Idee I Punkte p und q mit minimaler/maximaler x-koordinate sind Teil der CH I p und q partitionieren CH in UCH und LCH (lower convex hull) I OBdA: Betrachten Upper Convex Hull (UCH) KIT Institut für Theoretische Informatik 513

6 Obere konvexe Hülle Algorithmische Idee I Punkte p und q mit minimaler/maximaler x-koordinate sind Teil der CH I p und q partitionieren CH in UCH und LCH (lower convex hull) I OBdA: Betrachten Upper Convex Hull (UCH) Vorgehen: Teile und herrsche (divide and conquer) I Sortiere Punkte aufsteigend nach x-koordinate I Seien S 1 = {p 1,...,p n/2 } und S 2 = {p n/2+1,...,p n } KIT Institut für Theoretische Informatik 513

7 Obere konvexe Hülle Algorithmische Idee I Punkte p und q mit minimaler/maximaler x-koordinate sind Teil der CH I p und q partitionieren CH in UCH und LCH (lower convex hull) I OBdA: Betrachten Upper Convex Hull (UCH) Vorgehen: Teile und herrsche (divide and conquer) I Sortiere Punkte aufsteigend nach x-koordinate I Seien S 1 = {p 1,...,p n/2 } und S 2 = {p n/2+1,...,p n } I Angenommen, UCH(S 1 ) und UCH(S 2 ) sind bekannt I Dann: Brauchen obere gemeinsame Tangente (Stützgerade) von UCH(S 1 ) und UCH(S 2 ) KIT Institut für Theoretische Informatik 513

8 Obere konvexe Hülle Veranschaulichung der oberen gemeinsamen Tangente Upper common tangent S1 S KIT Institut für Theoretische Informatik 514

9 Obere gemeinsame Tangente I Bestimmung geht sequentiell in O(log n) Zeit I Verfahren: Binäre Suche auf beiden Seiten, jeweils 9 Fälle testen KIT Institut für Theoretische Informatik 515

10 Obere gemeinsame Tangente I Bestimmung geht sequentiell in O(log n) Zeit I Verfahren: Binäre Suche auf beiden Seiten, jeweils 9 Fälle testen Schraffiert: Für binäre Suche uninteressant KIT Institut für Theoretische Informatik 515

11 Algorithmus UCH Pseudocode Eingabe: Menge S von n Punkten in der Ebene (mit obigen Annahmen) Ausgabe: Obere konvexe Hülle von S assert x(p 1 ) < x(p 2 ) < < x(p n ) if n apple 4 then 1) Brute Force zur Bestimmung von u, der oberen konvexen Hülle von S else 2a) Teile S in S 1 =(p 1,...,p n/2 ) und S 2 =(p n/2,...,p n ) 2b) Parallel: u 1 := UCH(S 1 ) und u 2 := UCH(S 2 ) 3a) Berechne sequentiell uct (obere gemeinsame Tangente) von u 1 und u 2 3b) Bestimme u, die obere konvexe Hülle von S, mit Hilfe von uct return u KIT Institut für Theoretische Informatik 516

12 Algorithmus UCH Beispiel Siehe Animation! KIT Institut für Theoretische Informatik 517

13 Algorithmus UCH PRAM-Analyse Rekurrenz für T (n): 1. T (n)=o(1), W (n)=o(1) 2. T (n)=t (n/2)+c, W (n)=2w (n/2) 3. Sequentiell O(log n) Zeit für Bestimmung der oberen Tangente, dazu T (n)=o(1) und W (n)=o(n) fürs Kombinieren der beiden oberen Hüllen KIT Institut für Theoretische Informatik 518

14 Algorithmus UCH PRAM-Analyse Rekurrenz für T (n): 1. T (n)=o(1), W (n)=o(1) 2. T (n)=t (n/2)+c, W (n)=2w (n/2) 3. Sequentiell O(log n) Zeit für Bestimmung der oberen Tangente, dazu T (n)=o(1) und W (n)=o(n) fürs Kombinieren der beiden oberen Hüllen Also (für Konstanten a,b,c): T (n) apple T (n/2)+alog n + c 2 O(log 2 n) W (n) apple 2W (n/2)+bn 2 O(n log n) KIT Institut für Theoretische Informatik 518

15 Algorithmus UCH PRAM-Analyse Rekurrenz für T (n): 1. T (n)=o(1), W (n)=o(1) 2. T (n)=t (n/2)+c, W (n)=2w (n/2) 3. Sequentiell O(log n) Zeit für Bestimmung der oberen Tangente, dazu T (n)=o(1) und W (n)=o(n) fürs Kombinieren der beiden oberen Hüllen Also (für Konstanten a,b,c): T (n) apple T (n/2)+alog n + c 2 O(log 2 n) W (n) apple 2W (n/2)+bn 2 O(n log n) Achtung: T (n) ist hier nicht optimal, W (n) schon! KIT Institut für Theoretische Informatik 518

16 Algorithmus UCH PRAM-Analyse Rekurrenz für T (n): 1. T (n)=o(1), W (n)=o(1) 2. T (n)=t (n/2)+c, W (n)=2w (n/2) 3. Sequentiell O(log n) Zeit für Bestimmung der oberen Tangente, dazu T (n)=o(1) und W (n)=o(n) fürs Kombinieren der beiden oberen Hüllen Also (für Konstanten a,b,c): T (n) apple T (n/2)+alog n + c 2 O(log 2 n) W (n) apple 2W (n/2)+bn 2 O(n log n) Achtung: T (n) ist hier nicht optimal, W (n) schon! Brauchen für optimales T (n) schnelleres Conquer! KIT Institut für Theoretische Informatik 518

17 Zusammenfassung I Parallele Algorithmen sind nützlich I PRAM: Abstraktes Shared-Memory-Modell I Work-Time-Prinzip KIT Institut für Theoretische Informatik 519

18 Zusammenfassung I Parallele Algorithmen sind nützlich I PRAM: Abstraktes Shared-Memory-Modell I Work-Time-Prinzip I Parallele Entwurfskonzepte: I Baumparadigma I Teile und herrsche I... (! Vorlesung Parallele Algorithmen von Prof. Sanders) KIT Institut für Theoretische Informatik 519

19 Kap. 14: Zusammenfassung I Datenstrukturen I Algorithmen I Entwurfstechniken I Analysetechniken KIT Institut für Theoretische Informatik 520

20 Zusammenfassung Datenstrukturen I (doppelt) verkettete Listen, unbeschränkte (zyklische) Felder, Stapel, FIFOs, deques I (beschränktes) Hashing: verketten (universell) / lin. Suche I sortiertes Feld I Prioritätslisten (binärer Heap) (addressierbar) I Implizite Repräsentation vollständiger Bäume I Suchbäume: binär, (a, b)-baum I Graphen: Adjazenzfeld /Listen/Matrix I Union-Find KIT Institut für Theoretische Informatik 521

21 Zusammenfassung Algorithmen I Langzahlmultiplikation I Insertion-, Merge-, Quick-, Heap-, Bucket-, Radix-sort, Selektion I BFS, DFS, topologisches Sortieren I Kürzeste Wege: Dijkstra, Bellman-Ford I MST: Jarník-Prim, Kruskal I Parallele Summe I Konvexe Hülle auf der PRAM KIT Institut für Theoretische Informatik 522

22 Zusammenfassung Entwurfstechniken I I Iteration/Induktion/Schleifen, Teile-und-Herrsche I Schleifen- und Datenstruktur-Invarianten I Randomisierung (universelles Hashing, Quicksort,... ) I Graphenmodelle I Trennung Mathe $ Funktionalität $ Repräsentation $ Algorithmus $ Implementierung I Sonderfälle vermeiden I Zeigerdatenstrukturen I Datenstrukturen augmentieren (z.b. Teilbaumgrößen) I Datenstrukturen unbeschränkt machen I Implizite Datenstrukturen (z.b. Intervallgraphen) KIT Institut für Theoretische Informatik 523

23 Zusammenfassung Entwurfstechniken II I Algebra (Karatsuba, univ. Hashfkt., Matrixmultiplikation für Graphen) I Algorithmenschemata (z.b. DFS, lokale Suche) I Verwendung abstrakter Problemeigenschaften (z.b. Schnitt/Kreis-Eigenschaft bei MST) I Black-Box-Löser (z.b. lineare Programmierung) I Greedy I Dynamische Programmierung I Systematische Suche I Metaheuristiken (z.b. Lokale Suche) I Parallelität KIT Institut für Theoretische Informatik 524

24 Zusammenfassung Analysetechniken I Summen, Rekurrenzen, Induktion, Master-Theorem, Abschätzung I Asymptotik (O( ),...,w( )), einfache Modelle I Analyse im Mittel I Amortisierung (z.b. unbeschränkte Felder) I Linearität des Erwartungswertes, Indikatorzufallsvariablen I Kombinatorik ( Zählen): univ. Hashfunktionen, untere Sortierschranken (Informationsmenge) I Integrale als Summenabschätzung I Schleifen/Datenstruktur-(In)varianten (z.b. (a, b)-baum, Union-by-rank) KIT Institut für Theoretische Informatik 525

25 Zusammenfassung weitere Techniken I Algorithm Engineering I Parameter-Tuning (z.b. Basisfallgröße) I High-Level-Pseudocode I Dummys und Sentinels (Listen, insertion sort,... ) I Speicherverwaltung KIT Institut für Theoretische Informatik 526

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