Algorithmische Geometrie Thema: Konvexe Hüllen

Transkript

1 Algorithmische Geometrie Thema: Konvexe Hüllen Christoph Hermes 17. Juni 2003

2 Ausblick auf den Vortrag 1/32 1 Was sind konvexe Hüllen? Wozu braucht man sie? Wie kann man sie berechnen gibt es Algorithmen? naiver Algorithmus: Einwickeln Graham Scan Quickhull Wie kann man die Laufzeit verbessern? innere Elimination Fazit/ Demonstration

3 Was sind konvexe Hüllen? 2/32 2 mathematisch: definiert als das kleinste Polygon, dass alle Punkte enthält

4 Was sind konvexe Hüllen? 2/32 2 mathematisch: definiert als das kleinste Polygon, dass alle Punkte enthält analog: kürzester Pfad, der alle Punkte umschließt

5 Was sind konvexe Hüllen? 2/32 2 mathematisch: definiert als das kleinste Polygon, dass alle Punkte enthält analog: kürzester Pfad, der alle Punkte umschließt oder auch: Jede Linie, die zwei Punkte dieser Punktmenge verbindet, muss innerhalb des Polygons liegen

6 Wozu braucht man sie? 3/32 3 Datamining

7 Wozu braucht man sie? 3/32 3 Datamining Computergraphik - Näherung für Objektgeometrie

8 Wozu braucht man sie? 3/32 3 Datamining Computergraphik - Näherung für Objektgeometrie Pathfinding

9 Einwickeln - graphisch 4/32 4 gegeben: Punktmenge P

10 Einwickeln - graphisch 5/32 5 gegeben: Punktmenge P Suche den Punkt mit y = min

11 Einwickeln - graphisch 5/32 5 gegeben: Punktmenge P Suche den Punkt mit y = min Finde den kleinsten Winkel von der Horizontalen ausgehend

12 Einwickeln - graphisch 6/32 6 gegeben: Punktmenge P Suche den Punkt mit y = min Finde den kleinsten Winkel von der Horizontalen ausgehend Suche den kleinsten Winkel zum nächsten Punkt

13 Einwickeln - graphisch 7/32 7 gegeben: Punktmenge P Suche den Punkt mit y = min Finde den kleinsten Winkel von der Horizontalen ausgehend Suche den kleinsten Winkel zum nächsten Punkt Fahre so lange fort, bis der Anfangspunkt wieder erreicht ist

14 Einwickeln - Bewertung 8/32 8 Vorteil: Algorithmus lässt sich auch auf höhere Dimensionen erweitern

15 Einwickeln - Bewertung 8/32 8 Vorteil: Algorithmus lässt sich auch auf höhere Dimensionen erweitern Nachteil: Effizienz leidet erheblich Laufzeit: N 1 (N i) = N 2 N i=1 2 Θ(N 2 ) Das ist auch gleichzeitig Worst Case: O(N 2 )

16 Einwickeln - Bewertung 8/32 8 Vorteil: Algorithmus lässt sich auch auf höhere Dimensionen erweitern Nachteil: Effizienz leidet erheblich Laufzeit: N 1 (N i) = N 2 N i=1 2 Θ(N 2 ) Das ist auch gleichzeitig Worst Case: O(N 2 ) Es geht auch besser: Graham Scan (von R.L. Graham, 1972)

17 GrahamScan - graphisch 9/32 9 wieder gegeben: Punktmenge P mit A als Minimum und Pivot (A.y = min A.x = max)

18 GrahamScan - graphisch 10/32 10 wieder gegeben: Punktmenge P mit A als Minimum und Pivot (A.y = min A.x = max) erzeuge ein einfaches Polygon

19 GrahamScan - graphisch 10/32 10 wieder gegeben: Punktmenge P mit A als Minimum und Pivot (A.y = min A.x = max) erzeuge ein einfaches Polygon A und B stehen schon als Teil der konvexen Hülle fest Beginne daher, ein Polygon ABC zu konstruieren

20 GrahamScan - graphisch 11/32 11 erzeuge eine neues Teilpolygon mit dem nächsten Punkt hier D

21 GrahamScan - graphisch 12/32 12 erzeuge eine neues Teilpolygon mit dem nächsten Punkt hier D backtracking: Eliminiere Punkte, bei denen die Hülle einen Knick nach rechts macht

22 GrahamScan - graphisch 12/32 12 erzeuge eine neues Teilpolygon mit dem nächsten Punkt hier D backtracking: Eliminiere Punkte, bei denen die Hülle einen Knick nach rechts macht wiederhole nun die letzten beiden Schritte so lange, bis das einfache Polygon abgearbeitet ist. Hier im Schnelldurchlauf.

23 GrahamScan - graphisch 13/32 13 erzeuge eine neues Teilpolygon mit dem nächsten Punkt hier D backtracking: Eliminiere Punkte, bei denen die Hülle einen Knick nach rechts macht wiederhole nun die letzten beiden Schritte so lange, bis das einfache Polygon abgearbeitet ist. Hier im Schnelldurchlauf.

24 GrahamScan - graphisch 14/32 14 erzeuge eine neues Teilpolygon mit dem nächsten Punkt hier D backtracking: Eliminiere Punkte, bei denen die Hülle einen Knick nach rechts macht wiederhole nun die letzten beiden Schritte so lange, bis das einfache Polygon abgearbeitet ist. Hier im Schnelldurchlauf.

25 GrahamScan - graphisch 15/32 15 erzeuge eine neues Teilpolygon mit dem nächsten Punkt hier D backtracking: Eliminiere Punkte, bei denen die Hülle einen Knick nach rechts macht wiederhole nun die letzten beiden Schritte so lange, bis das einfache Polygon abgearbeitet ist. Hier im Schnelldurchlauf.

26 GrahamScan - graphisch 16/32 16 erzeuge eine neues Teilpolygon mit dem nächsten Punkt hier D backtracking: Eliminiere Punkte, bei denen die Hülle einen Knick nach rechts macht wiederhole nun die letzten beiden Schritte so lange, bis das einfache Polygon abgearbeitet ist. Hier im Schnelldurchlauf.

27 GrahamScan - graphisch 17/32 17 erzeuge eine neues Teilpolygon mit dem nächsten Punkt hier D backtracking: Eliminiere Punkte, bei denen die Hülle einen Knick nach rechts macht wiederhole nun die letzten beiden Schritte so lange, bis das einfache Polygon abgearbeitet ist. Hier im Schnelldurchlauf.

28 GrahamScan - Pseudocode 18/32 18 PointList GrahamScan(PointList ptlst) { ptlst = createsimplepolygon(ptlst); // Erstelle ein einfaches Polygon

29 GrahamScan - Pseudocode 18/32 18 PointList GrahamScan(PointList ptlst) { ptlst = createsimplepolygon(ptlst); Point cur; for (int i=2; i<ptlst.len; i++) { cur = ptlst[i-1]; while(turnright(cur.prev,cur,cur.next)) { cur = cur.prev; cur.next.delete(); } } } // Erstelle ein einfaches Polygon // Durchlaufe Polygon mit Backtracking

30 GrahamScan - Bewertung 19/32 19 eigentlicher Algorithmus läuft in linearer Zeit ab Θ(N)

31 GrahamScan - Bewertung 19/32 19 eigentlicher Algorithmus läuft in linearer Zeit ab Θ(N) aber: das Sortieren erfordert Θ(N log N) darum gesamt Θ(N log N)

32 GrahamScan - Bewertung 19/32 19 eigentlicher Algorithmus läuft in linearer Zeit ab Θ(N) aber: das Sortieren erfordert Θ(N log N) darum gesamt Θ(N log N) ein anderes Verfahren in der gleichen Effizienzklasse: Quickhull (analog zu Quicksort)

33 Quickhull - graphisch 20/32 20 Gegeben: Punktmenge P

34 Quickhull - graphisch 21/32 21 Gegeben: Punktmenge P Suche zwei Punkte, die garantiert auf der konvexen Hülle liegen und teile die Punkte dementsprechend in zwei Hälften

35 Quickhull - graphisch 22/32 22 Gegeben: Punktmenge P Suche zwei Punkte, die garantiert auf der konvexen Hülle liegen und teile die Punkte dementsprechend in zwei Hälften Finde den Punkt mit dem größten Abstand von der Teilungslinie und elimiere Punkte innerhalb des neuen Polygons

36 Quickhull - graphisch 23/32 23 Gegeben: Punktmenge P Suche zwei Punkte, die garantiert auf der konvexen Hülle liegen und teile die Punkte dementsprechend in zwei Hälften Finde den Punkt mit dem größten Abstand von der Teilungslinie und elimiere Punkte innerhalb des neuen Polygons Verfahre genauso mit den neuen Grenzen bis keine neuen Punkte mehr zu finden sind

37 Quickhull - graphisch 24/32 24 Gegeben: Punktmenge P Suche zwei Punkte, die garantiert auf der konvexen Hülle liegen und teile die Punkte dementsprechend in zwei Hälften Finde den Punkt mit dem größten Abstand von der Teilungslinie und elimiere Punkte innerhalb des neuen Polygons Verfahre genauso mit den neuen Grenzen bis keine neuen Punkte mehr zu finden sind

38 Quickhull - graphisch 25/32 25 Gegeben: Punktmenge P Suche zwei Punkte, die garantiert auf der konvexen Hülle liegen und teile die Punkte dementsprechend in zwei Hälften Finde den Punkt mit dem größten Abstand von der Teilungslinie und elimiere Punkte innerhalb des neuen Polygons Verfahre genauso mit den neuen Grenzen bis keine neuen Punkte mehr zu finden sind

39 Quickhull - graphisch 26/32 26 Gegeben: Punktmenge P Suche zwei Punkte, die garantiert auf der konvexen Hülle liegen und teile die Punkte dementsprechend in zwei Hälften Finde den Punkt mit dem größten Abstand von der Teilungslinie und elimiere Punkte innerhalb des neuen Polygons Verfahre genauso mit den neuen Grenzen bis keine neuen Punkte mehr zu finden sind

40 Quickhull - graphisch 27/32 27 Gegeben: Punktmenge P Suche zwei Punkte, die garantiert auf der konvexen Hülle liegen und teile die Punkte dementsprechend in zwei Hälften Finde den Punkt mit dem größten Abstand von der Teilungslinie und elimiere Punkte innerhalb des neuen Polygons Verfahre genauso mit den neuen Grenzen bis keine neuen Punkte mehr zu finden sind und verbinde den Rest zu einem Polygon

41 Quickhull - Bewertung 28/32 28 Effizienz wie bei Quicksort: Θ(N log N)

42 Quickhull - Bewertung 28/32 28 Effizienz wie bei Quicksort: Θ(N log N) aber mit Worst Case: O(N 2 ) (wenn alle Punkte auf der konvexen Hülle liegen)

43 Quickhull - Bewertung 28/32 28 Effizienz wie bei Quicksort: Θ(N log N) aber mit Worst Case: O(N 2 ) (wenn alle Punkte auf der konvexen Hülle liegen) Im direkten Vergleich zum GrahamScan und Wrap- Algorithmus das schnellste Verfahren in der praktischen Anwendung

44 Quickhull - Bewertung 28/32 28 Effizienz wie bei Quicksort: Θ(N log N) aber mit Worst Case: O(N 2 ) (wenn alle Punkte auf der konvexen Hülle liegen) Im direkten Vergleich zum GrahamScan und Wrap- Algorithmus das schnellste Verfahren in der praktischen Anwendung lässt sich auch auf die dritte Dimension anwenden

45 innere Elimination 29/32 29 Verbesserung des GrahamScan s und der naiven Hülle? Sicherlich kann man an den Konstanten ein wenig rütteln, aber was ist mit der Anzahl der Punkte an sich?

46 innere Elimination 29/32 29 Verbesserung des GrahamScan s und der naiven Hülle? Sicherlich kann man an den Konstanten ein wenig rütteln, aber was ist mit der Anzahl der Punkte an sich? Lösung: Vorberechung mit der inneren Elimination

47 innere Elimination - Verfahren 30/32 30 gegeben: Punktmenge P

48 innere Elimination - Verfahren 30/32 30 gegeben: Punktmenge P Suche vier Extrempunkte und bilde daraus ein rechteckähnliches Polygon

49 innere Elimination - Verfahren 30/32 30 gegeben: Punktmenge P Suche vier Extrempunkte und bilde daraus ein rechteckähnliches Polygon Bilde in dem Polygon ein Rechteck und eliminiere die darin enthaltene Punkte

50 innere Elimination - Bewertung 31/32 31 Effizienz: Θ(N)

51 innere Elimination - Bewertung 31/32 31 Effizienz: Θ(N) Es bleiben N Punkte im Schnitt übrig (lt. stochastischer Geometrie)

52 innere Elimination - Bewertung 31/32 31 Effizienz: Θ(N) Es bleiben N Punkte im Schnitt übrig (lt. stochastischer Geometrie) Eliminationsverfahren schon in Quickhull enthalten

53 Fazit 32/32 32 Welchen der bisher dargestellten Algorithmen sollte man nun bevorzugen?

54 Fazit 32/32 32 Welchen der bisher dargestellten Algorithmen sollte man nun bevorzugen? Ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass Punkte schon auf einer konvexen Hülle liegen: innere Elimination + GrahamScan

55 Fazit 32/32 32 Welchen der bisher dargestellten Algorithmen sollte man nun bevorzugen? Ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass Punkte schon auf einer konvexen Hülle liegen: innere Elimination + GrahamScan sonst: Quickhull

56 Fazit 32/32 32 Welchen der bisher dargestellten Algorithmen sollte man nun bevorzugen? Ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass Punkte schon auf einer konvexen Hülle liegen: innere Elimination + GrahamScan sonst: Quickhull Und das Beste zum Schluss: Die Demonstration

57 Literatur zum Nachschlagen R. Sedgewick: Algorithmen in C, Kap. 24/25 Java-Applets: ah/ alg anim/version1/grahamscan.html lehre/compgeometry/gosper/convex hull/ applet/convex hull applet.html Ansonsten hilft meistens googlen :)