Kapitel 1: Motivation / Grundlagen Gliederung

Transkript

1 Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortier- und Selektionsverfahren 3. Paradigmen des Algorithmenentwurfs 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Algorithmische Geometrie 6. Umgang mit algorithmisch schwierigen Problemen Laufzeit von Algorithmen / Programmen 1/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

2 Begriffe... der Begriff Binärbaum sollte klar sein... Bäume, in denen jeder Knoten keinen oder zwei Söhne hat... Knoten mit zwei Söhnen nennt man innere Knoten... alle anderen Knoten nennt man Blätter 1/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

3 Interessierende Kennzahlen eines Binärbaums die Anzahl der Knoten im Binärbaum die Anzahl der inneren Knoten im Binärbaum die Anzahl der Blätter im Binärbaum die Tiefe des Binärbaums (d.h. die Anzahl der inneren Knoten auf einem maximalen Pfad von der Wurzel zu einem Blatt)... und die Zusammenhänge zwischen diesen Kennzahlen 1/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

4 Anzahl der Knoten, inneren Knoten und Blätter... dieser Binärbaum hat 7 Knoten... davon sind 3 innere Knoten und 4 Blätter 1/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

5 Allgemeiner Zusammenhang Jeder Binärbaum B hat n innere Knoten und n+1 Blätter.... das beweist man am besten induktiv für diesen Binärbaum B ist alles klar B: der Teilbaum B 1 habe n 1 innere Knoten und n 1 +1 Blätter und der Teilbaum B 2 habe n 2 innere Knoten und n 2 +1 Blätter B 1 B2 also hat der Binärbaum B dann (n 1 +n 2 +1) innere Knoten und (n 1 +n 2 +2) Blätter 1/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

6 Anzahl der Knoten / Blätter und maximale Pfadlänge... dieser Binärbaum hat 7 Knoten und 4 Blätter... dieser Binärbaum hat die Tiefe 2 bzw. die maximale Pfadlänge 2 1/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

7 Allgemeiner Zusammenhang Jeder Binärbaum B mit mindestens 2 k Blättern hat eine Tiefe größer gleich k.... das beweist man wieder induktiv für diesen Binärbaum ist alles klar B: wenn der Binärbaum B mindestens 2 k+1 Blätter hat, so hat einer der beiden Teilbäume B 1 und B 2 mindestens 2 k (= 2 k+1 /2) Blätter B 1 B2 also hat dieser Teilbäume einen Pfad, der mindestens k innere Knoten enthält und damit gibt es im Binärbaum B einen Pfad mit k+1 inneren Knoten 1/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

8 Eine hilfreiche Beobachtung (Beispiel)... dieser Binärbaum hat nur Pfade der Länge 2... dieser Binärbaum hat 4 Blätter 1/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

9 Eine hilfreiche Beobachtung Jeder Binärbaum B, in dem alle Pfade die Länge k haben, hat 2 k Blätter.... das beweist man auch induktiv für diesen Baum ist alles klar B: der Binärbaum B 1 hat nur Pfade der Länge k und damit 2 k Blätter B 1 Blattebene im Binärbaum B wird jedes Blatt von B 1 durch einen inneren Knoten mit zwei Söhnen ersetzt und damit muss B genau 2 k+1 Blätter haben 1/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

10 Ein wichtiger Zusammenhang Jeder Binärbaum B mit n Blättern hat eine Tiefe größer gleich log(n). falls n = 2 k gilt, ist alles klar (es gilt log(n) = k) sonst sei k so gewählt, dass 2 k < n < 2 k+1 gilt (also ist log(n) = k+1) Annahme: im Binärbaum B gibt es keinen Pfad der Länge k+1 dann kann es in B nur Pfade geben, die maximal k inneren Knoten haben, und deshalb hat B maximal 2 k Blätter 1/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik

11 Eine einfache Folgerung Jeder Binärbaum B mit n Knoten hat eine Tiefe größer gleich log(n) überlegen Sie sich selbst, wie man das beweist 1/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Algorithmik