Kapitel 4: Netzplantechnik Gliederung der Vorlesung

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1 Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege 4. Netzplantechnik 5. Minimal spannende Bäume 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse in Netzwerken und Anwendungen 8. Bipartite Graphen 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

2 Gliederung des Kapitels a) Einordnung / Motivation b) Modellierung mit Vorgangspfeil-Netzplänen c) d) Beziehungen zur linearen Programmierung 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

3 ! Konzeptionelle Idee den Vorgängen werden Knoten zugeordnet die Kanten dienen dazu die inhaltlichen (/* und später auch andere zeitliche */) Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Vorgängen abzubilden 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

4 ! Beispiel... zunächst wird für jeden Vorgang ein Knoten und für jede inhaltliche Abhängigkeit eine Kante eingefügt Vorgang Name Dauer Beginn... a Erschließen 5 - b Ausschachten 10 - c Anschlüsse 8 b d Fundament 2 b e Rohbau 5 d f Fenster/Türen 5 e g Dach 4 e h Installation 8 c,e i Innenausbau 8 e a c h b d e f g i 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

5 ! Beispiel... dann werden ein Startknoten s, ein Zielknoten t und die zugehörigen Kanten eingefügt Vorgang Name Dauer Beginn... a Erschließen 5 - b Ausschachten 10 - c Anschlüsse 8 b d Fundament 2 b e Rohbau 5 d f Fenster/Türen 5 e g Dach 4 e h Installation 8 c,e i Innenausbau 8 e a c h s b f s d e g i 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

6 Vorgang Name Dauer Beginn...! Beispiel... zum Abschluss erhalten die Kanten Gewichte, die der Dauer des Vorgangs an der Startecke entsprechen 5 a Erschließen 5 - b Ausschachten 10 - c Anschlüsse 8 b d Fundament 2 b e Rohbau 5 d f Fenster/Türen 5 e g Dach 4 e h Installation 8 c,e i Innenausbau 8 e a 10 c 8 h s b 10 d 2 e f g i s 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

7 ! Anmerkung die Kanten des Vorgangsknoten-Netzplans in der angegebenen Art mit Gewichten zu versehen ist adäquat... man kann die inhaltlichen Abhängigkeiten (/* etwa: mit Vorgang y darf erst begonnen werden, nachdem Vorgang x beendet wurde */) auch als zeitliche Abhängigkeiten interpretieren zwischen dem Beginn von Vorgang y und dem Beginn von Vorgang x müssen mindestens so viele Zeiteinheiten vergangen sein, wie der Vorgang x dauert 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

8 ! Die relevanten Fragen a) Ist das Projekt überhaupt durchführbar? b) Wie viel Zeit muss man mindestens einplanen? c) Wann kann mit den Vorgängen frühestens begonnen werden? d) Wann muss man mit den einzelnen Vorgängen spätestens beginnen, damit das Projekt in der kürzest möglichen Zeit durchgeführt werden kann?... diese Fragen lassen sich auf dieselbe Art beantworten, wie wir es für die Modellierung mit Hilfe von Vorgangspfeil-Netzplänen gesehen haben (/* man berechnet die Mindest-Projektdauer, die frühesten Zeitpunkte sowie die bzw. spätesten Zeitpunkte völlig analog */)... da jedem Knoten u mit u s und u t ein Vorgang u zugeordnet ist, entsprechen die bestimmten Zeitpunkte den frühesten bzw. spätesten Startzeitpunkten für den Vorgang u 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

9 ! Zeitliche Abhängigkeiten bisher haben wir und darauf beschränkt, inhaltliche Abhängigkeiten in die Projektplanung einzubeziehen... solche Abhängigkeiten lassen sich auch zeitlich interpretieren (/* zwischen den Startzeitpunkten von zwei Vorgängen muss mindestens eine bestimmte Zeit vergangen sein*/) wir unterscheiden zwei Arten von zeitlichen Abhängigkeiten Minimalzeit-Bedingung (/* zwischen den Startzeitpunkten muss mindestens eine bestimmt Zeit vergangen sein */) Maximalzeit-Bedingung (/* zwischen den Startzeitpunkten darf höchstens eine bestimmt Zeit vergangen sein */) 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

10 ! Begriff: Minimalzeit-Bedingung es seien zwei Vorgänge x und y gegeben es seien ST(x) und ST(y) mögliche Startzeitpunkte für die beiden Vorgänge es sei z irgendeine Konstante die Forderung, dass ST(y) - ST(x) z gelten soll, nennen wir Minimalzeit-Bedingung zwischen den Vorgängen y und x... anschaulich: der Vorgang y soll frühestens z Zeiteinheiten, nach dem der Vorgang x begonnen wurde, begonnen werden... falls z genau die Dauer des Vorgangs x ist, kann man so eine inhaltliche Abhängigkeit ausdrücken 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

11 ! Modellierung von Minimalzeit-Bedingungen es sei ST(y) - ST(x) z eine Minimalzeit-Bedingungen zwischen den Vorgängen y und x... diese Minimalzeit-Bedingung zwischen den Vorgängen y und x wird im Vorgangsknoten-Netzplan durch eine Kante vom Knoten x zum Knoten y modelliert, die das Gewicht z hat x z y 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

12 ! Begriff: Maximalzeit-Bedingung es seien zwei Vorgänge x und y gegeben es seien ST(x) und ST(y) mögliche Startzeitpunkte für die beiden Vorgänge es sei z irgendeine Konstante die Forderung, dass ST(y) - ST(x) z gelten soll, nennen wir Maximalzeit-Bedingung zwischen den Vorgängen y und x... anschaulich: der Vorgang y soll spätestens z Zeiteinheiten, nach dem der Vorgang x begonnen wurde, begonnen werden 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

13 ! Modellierung von Maximalzeit-Bedingungen es sei ST(y) - ST(x) z eine Maximalzeit-Bedingungen zwischen den Vorgängen y und x offenbar sind die Bedingungen ST(y) - ST(x) z und ST(x) - ST(y) -z äquivalent... diese Maximalzeit-Bedingung zwischen den Vorgängen y und x entspricht einer Minimalzeit-Bedingung zwischen den Vorgängen x und y... diese Maximalzeit-Bedingung zwischen den Vorgängen y und x wird im Vorgangsknoten-Netzplan durch eine Kante vom Knoten y zum Knoten x modelliert, die das Gewicht -z hat x -z y 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

14 ! Anmerkungen der betrachtete Ansatz, Vorgangsknoten-Netzpläne anstelle von Vorgangspfeil-Netzplänen für die Modellierung zu verwenden, erlaubt es komplexere Zusammenhänge zu beschreiben die entstehende gerichteten, kantengewichteten Graphen sind nicht länger kreisfrei (/* zwischen dem Vorgang y und dem Vorgang x kann sowohl eine Minimalzeit- als auch eine Maximalzeit-Bedingung gelten */) und können Kanten mit negativen Gewichten enthalten (/* zwischen dem Vorgang y und dem Vorgang x kann eine Maximalzeit- Bedingung gelten */) 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

15 ! Konsequenzen die Antworten auf die uns interessierenden Fragen, müssen ein wenig anders abgeleitet werden... a) Ist das Projekt überhaupt durchführbar? b) Wie viel Zeit muss man mindestens einplanen? c) Wann kann mit den Vorgängen frühestens begonnen werden? d) Wann muss man mit den einzelnen Vorgängen spätestens beginnen, damit das Projekt in der kürzest möglichen Zeit durchgeführt werden kann? 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

16 ! Beispiel (/* problematische Modellierung */) drei Vorgänge a, b und c mit den Vorgangsdauern D[a] = 8, D[b] = 4 und D[c] = 3 den Minimalzeit-Bedingungen ST(b) - ST(a) 2 sowie ST(c) - ST(a) 3 der Maximal-Zeitbedingung ST(b) - ST(a) 3-3 s a 2 b 4 t 3 c 3 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

17 ! Beispiel (/* problematische Modellierung */) -3 s a 2 b 4 t 3 c 3... für a,b und c entsprechen die frühesten Startzeitpunkte wie üblich dem maximalen Gewicht eines Pfades von s zum jeweiligen Knoten (/* d.h. F[a] = 0, F[b] = 2 und F[c] = 3 */)... der früheste Startzeitpunkt von t entspricht nicht mehr dem maximalen Gewicht eines Pfades von s zum Knoten t (/* die Dauer des Vorgangs a kommt in der Modellierung gar nicht vor */) 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

18 ! Beispiel (/* korrekte Modellierung */) drei Vorgänge a, b und c mit den Vorgangsdauern D[a] = 8, D[b] = 4 und D[c] = 3 den Minimalzeit-Bedingungen ST(b) - ST(a) 2 sowie ST(c) - ST(a) 3 der Maximal-Zeitbedingung ST(b) - ST(a) s a 2 b 4 t 3 c 3 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

19 ! Anmerkung der Vorgangsknoten-Netzplan wird wie folgt erzeugt: je Vorgang einen Vorgangsknoten je zeitlicher Abhängigkeit eine entsprechende Kante zwischen zwei Vorgangsknoten mit dem entsprechenden Gewicht ein Startknoten s, der zu jedem Vorgangsknoten, welcher nicht Startecke einer Kante mit positivem Gewicht ist, eine Kante mit dem Gewicht 0 hat ein Zielknoten t, wobei von jedem Vorgangsknoten eine Kante zum Zielknoten t geht, die die Dauer des Vorgangs als Gewicht hat 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

20 ! Die Antworten auf die Fragen a) und b) die Mindestprojektdauer T entspricht dem maximalen Gewicht eines Pfades vom Startknoten s zum Zielknoten t falls es Kreise mit positivem Gewicht gibt, gibt es keinen Pfad mit maximalem Gewicht und das Projekt ist nicht durchführbar (/* die zeitlichen Abhängigkeiten sind in sich widersprüchlich */) 8-3 s a 2 b 4 t 3 c 1 3 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

21 ! Die Antworten auf die Fragen c) und d) der früheste Startzeitpunkt F[x], zu dem mit einem Vorgang x begonnen werden kann, entspricht wieder dem maximalen Gewicht eines Pfades vom Startknoten s zum Knoten x der späteste Startzeitpunkt S[x], zu dem mit einem Vorgang x begonnen werden kann, so dass die Mindestprojektdauer T eingehalten wird, entspricht dem Wert T minus dem maximalen Gewicht eines Pfades vom Knoten x zum Zielknoten t... also alles wie gehabt (/* zur Berechnung der maximalen Gewichte der entsprechenden Pfade benötigt man einen Algorithmus, der mit Graphen umgehen kann, die möglicherweise nicht kreisfrei sind und Kanten mit negativen Gewichten haben */) 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

22 ! Zurück zum Beispiel 8-3 s a 2 b 4 t 3 c 3... offenbar gilt,wie gewünscht: T = 8 F[a] = 0, F[b] = 2 und F[c] = 3 S[a] = 8, S[b] = 3 und S[c] = 5 (... S[b] 4, weil im inversen Graphen der längste Pfad von t nach b die Länge 5 hat 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

23 ! Zugehörige algorithmische Fragestellung gegeben: gesucht: ein gerichteter Graph G = (V,E) eine Gewichtsfunktion w(.) für G ein Startknoten s das maximale Gewicht eines Pfades von s zu jedem anderen Knoten in G (/* falls ein solcher existiert */)... der Graph G habe genau n Knoten (/* der Einfachheit halber sei V = { 1,...,n } */) und m Kanten 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

24 ! Hintergrund der Algorithmus von Bellman und Ford nutzt die folgenden Zusammenhänge aus jeder Pfad vom Startknoten s zu einem anderen Knoten v mit einem maximalen Gewicht hat höchstens n - 1 Kanten in einem solchen Pfad P = (s,..,u,v) ist das Anfangsstück P = (s,..,u) ein Pfad mit maximalem Gewicht vom Startknoten s zum Knoten u, der eine Kante weniger benutzt... bestimme sukzessive die Gewichte aller Pfade vom Startknoten s zu jedem anderen Knoten v (/* geordnet nach der Anzahl der Kanten die diese Pfade benutzen*/)... das Gewicht des Pfades zum Knoten v, der unter allen bisher untersuchten am größten ist, wird sich als Schätzwert gemerkt 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

25 ! Zugrunde liegende Datenstrukturen ein Array L[1..m] mit den Informationen zu allen Kanten von G (/* de facto die Verkettung der einzelnen Listen der Adjazenzliste A[1..n] von G */) ein Array D[1..n] (/* in dem sich die aktuellen Schätzwerte gemerkt werden */) ein Array D [1..n] (/* in dem sich die neuen Schätzwerte zwischenzeitlich gemerkt werden */) ein Array P[1..n] (/* in dem sich für jeden Knoten der aktuelle Vorgänger gemerkt wird */) 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

26 ! Realisierung setze D[j] = - und P[j] = 0 für alle j = 1,...,n setze D[s] = 0 for j = 1,..., n - 1 do setze D [j] = D[j] for i = 1,...,m do bestimme die Kante (u,v) in L[i] bestimme H = D[u] + w((u,v)) if D [v] < H then setze D [v] = H und P[v] = u for j = 1,...,m do setze D[j] = D [j] 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

27 ! Anmerkung man sieht unmittelbar, dass der Algorithmus von Bellman und Ford insgesamt O(n*m) viele Rechenschritte benötigt es sollte klar sein, dass der Algorithmus das Gewünschte leistet (/* falls der gegebene Graph keine Zyklen mit positivem Gewicht hat */)... um herauszubekommen, ob es im Graphen einen Zyklus mit positivem Gewicht gibt, wird der folgende Test durchgeführt 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

28 ! Zugehöriger Test... nach Beendigung der eigentlichen Berechnung wird folgender Test eingefügt setze flag = true for i = 1,...,m do bestimme die Kante (u,v) in L[i] if D[v] < D[u] + w((u,v)) then setze flag = false if flag == false then gib G enthält einen relevanten Zyklus mit negativem Gewicht aus... offenbar benötigt der zusätzliche Test O(m) viele Rechenschritte 4/3, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

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