1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

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Bernd Hochberg
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1 Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 2/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

2 Sortieren ohne Vergleichen u Randbedingungen die überhaupt auftretenden Schlüssel sind bekannt; Schlüsselmenge S es gibt weniger Schlüssel als Elemente der zu sortierenden Folge zugrunde liegende Idee: direkte Adressierung 2/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

3 Sortierverfahren BucketSort u Illustration (/* kleines Beispiel */) Schlüsselmenge S = { 1,2,3 } zu sortierende Folge a[1],...,a[9] mit a[1] = 1, a[2] = 3, a[3] = 2, a[4] = 3, a[5] = 2, a[6] = 3, a[7] = 3, a[8] = 2, a[9] = 1 Phase 1: Indizes sammeln Phase 2: Schlüssel auslesen b[1] = b[2] = 1 b[3] = b[4] = b[5] = 2 b[6] = b[7] = b[8] = b[9] = 3... realistische Implementierung mit verketteten Listen statt einer Tabelle 2/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

4 Sortierverfahren BucketSort u Realisierung Schlüsselmenge S = { 1,...,s } zu sortierende Folge a[1],...,a[n] z[1] = 0;... ; z[s] = 0; for ( i = 1; i <= n; ++i ) { x = a[i]; ++z[x]; y = z[x]; t[x][y] = i } i = 1; for ( x = 1; x <= s; ++x ) for ( y = 1; y <= z[x]; ++y ) { h = t[x][y]; b[i] = a[h]; ++i; }... initial ist t[x][y] = 0 für alle x,y mit 1 x m und 1 y n 2/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

5 Sortierverfahren BucketSort u Analyse Schlüsselmenge S = { 1,...,s } zu sortierende Folge a[1],...,a[n] Phase 1: geht in Zeit O(n) Phase 2: geht in Zeit O(n) aber, O(n*s) zusätzlicher Speicherplatz 2/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

6 Sortierverfahren BucketSort u Eine zentrale Eigenschaft des Sortierverfahrens (/* Stabilität */) Schlüsselmenge S = { 1,...,s } zu sortierende Folge a[1],...,a[n] Es seien i und j Indizes desselben Schlüssels in der Folge a[1],...,a[n], d.h. a[i] = a[j]. Es seien f(i) und f(j) die Indizes der Elemente a[i] und a[j] in der aufsteigend sortierten Folge b[1],...,b[n]. Dann gilt: Wenn i < j, so ist f(i) < f(j). a[1],...,a[n] f(3) = 3 f(5) = 4 f(8) = 5 b[1],...,b[n] /2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

7 u Aufgabenstellung alphabetisches Sortieren von Wörtern (/* Schlüssel, die aus den Buchstaben a,...,z gebildet werden*/) Sortieren von Binärzahlen (/* Schlüssel, die aus den Buchstaben 0,1 gebildet werden */) u Hintergrund da jeder Buchstabe in einem Wort bzw. in einer Binärzahl eine feste Position hat, genügt es S = { a,...,z } bzw. S = { 0,1 } zu setzen 2/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

8 u Illustration Schlüsselmenge S = { 0,1 } zu sortierende Folge a[1],...,a[6] mit a[1] = 10, a[2] = 100, a[3] = 111, a[4] = 11, a[5] = 101, a[6] = damit alle Elemente der Folge dieselbe Länge haben (/* wichtig */), wird a[1] = 010 und a[4] = 011 gesetzt... es wird dreimal (/* Länge der zu sortierenden Elemente */) das Sortierverfahren BucketSort angewendet (/* in Runde 1 mit Blick auf das letzte Bit von links, in Runde 2 mit Blick auf das vorletzte Bit von links, in Runde 3 mit Blick auf das erste Bit von links */) 2/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

9 u Illustration (/* Runde 1 */) a[1] = 010, a[2] = 100, a[3] = 111, a[4] = 011, a[5] = 101, a[6] = b[1] = 010, b[2] = 100, b[3] = 110, b[4] = 111, b[5] = 011, b[6] = 101 2/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

10 u Illustration (/* Runde 2 */) a[1] = 010, a[2] = 100, a[3] = 110, a[4] = 111, a[5] = 011, a[6] = b[1] = 100, b[2] = 101, b[3] = 010, b[4] = 110, b[5] = 111, b[6] = 011 2/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

11 u Illustration (/* Runde 3 */) a[1] = 100, a[2] = 101, a[3] = 010, a[4] = 110, a[5] = 111, a[6] = b[1] = 010, b[2] = 011, b[3] = 100, b[4] = 101, b[5] = 110, b[6] = 111 2/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

12 u Realisierung Schlüsselmenge S = { 1,...,s } zu sortierende Folge a[1],...,a[n] mit a[1] = a(1,k)...a(1,1),..., a[n] = a(n,k)...a(n,1) for( z = 1; z k; ++z ) { (/* sortiere a[1],...,a[n] bezüglich der Teilschlüssel a(1,z),...,a(n,z) mit BucketSort; schreibe das Ergebnis zurück in das Array a[1],...,a[n]*/) } geht in Zeit O(n*k) aber, O(n*s) zusätzlicher Speicherplatz 2/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

13 u Korrektheit (/* am Beispiel */) es seien a[i] < a[j] mit a[i] = a(i,3)a(i,2)a(i,1) und a[j] = a(j,3)a(j,2)a(j,1) Fall 1: a(i,3) < a(j,3) dann steht a[i] links von a[j] nach Runde z = 3 (/* BucketSort sortiert */) Fall 2: a(i,3) = a(j,3) und a(i,2) < a(j,2) dann steht a[i] links von a[j] nach Runde z = 2 (/* BucketSort sortiert */) dann steht a[i] links von a[j] nach Runde z = 3 (/* BucketSort ist stabil */) Fall 3: a(i,3) = a(j,3) und a(i,2) = a(j,2) und a(i,1) < a(j,1) dann steht a[i] links von a[j] nach Runde z = 1 (/* BucketSort sortiert */) dann steht a[i] links von a[j] nach Runde z = 2 (/* BucketSort ist stabil */) dann steht a[i] links von a[j] nach Runde z = 3 (/* BucketSort ist stabil */) 2/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Datenstrukturen

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