Kombinatorik. Additions- und Multiplikationsgesetz

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1 Kombinatorik Die Kombinatorik beschäftigt sich mit der Berechnung der Anzahl Möglichkeiten, eine Anzahl von Objekten aus einer Grundmenge auszuwählen. Z.B. beim Schweizer Zahlenlotto 6 aus 45. Dabei wird unterschieden, ob es auf die Reihenfolge der Auswahl ankommt und ob ein gewähltes Objekt in die Grundmenge zurückgelegt wird oder nicht, also es in der Auswahl mehrmals vorkommen darf. Mathematisch lässt sich die Kombinatorik zurückführen auf das Zählen der Anzahl Elemente einer Menge. Was wie wir sehen werden nicht immer einfach ist. Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block Additions- und Multiplikationsgesetz Lesen Sie die Aufgaben 1-2 p. 117 Solche einfache Probleme aus der Kombinatorik lassen sich mit Hilfe zweier Zählgesetze lösen: Additionsgesetz: Wenn A und B zwei diskunkte (sich gegenseitig ausschliessende) Ereignisse sind mit n 1 möglichen Ausgängen für A und n 2 für B dann ist die Anzahl möglicher Ausgänge für das Ereignis (A oder B) = n 1 + n 2. In Aufgabe 1 haben wir 3 Ereignisse Vanille-, Schokolade- und Obstkuchen mit den möglichen Ausgängen 4, 2 und 3. Also gibt es 9 verschiedene Möglichkeiten Multiplikationsgesetz: Wenn wir eine Folge von k Ereignissen untersuchen mit möglichen Ausgängen n 1, n 2,., n k dann ist die Anzahl möglicher Ausgänge der Folge = n 1 n 2 n k In Aufgabe 2 haben wir zwei Ereignisse: zuerst die Wahl einer Spielerin und dann die Wahl eines Spielers mit den möglichen Ausgängen 6 und 9, also total 54 Möglichkeiten Das Additionsgesetz ist ein Spezialfall des Inklusion-Exklusionsgesetzes von Kaptel 3: Anzahl Elemente: A B = A + B - A B mit A B = Die Aufgabe 3 ist eine Kombination des Additions- und Multiplikationsgesetzes. Lesen Sie die Aufgabe 3 p. 118 Lesen Sie die Beispiele 6.1 und 6.2 p. 119 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block

2 6.2 Zählformeln Lesen Sie das Beispiel p. 119 unten mit den Bonbons Bei Problemen aus der Kombinatorik geht es häufig darum, k Objekte aus einer Grundmenge von n Objekten auszuwählen, z.b. 2 Bonbons aus drei Sorten A, B, C Dabei werden vier Fälle unterschieden: 1. Wiederholungen sind erlaubt und es kommt auf die Reihenfolge an. Z.B. AA ist erlaubt und AB BA Jede solche Auswahl heisst k-stichprobe Hier lässt sich das Multiplikationsgesetz anwenden: es gibt n Möglichkeiten für das 1. Element, n für das 2. usw. Es gibt also S(n,k) = n k Möglichkeiten, eine k-stichprobe aus n Elementen zu nehmen Lesen Sie das Beispiel 6.3 p Wiederholungen sind nicht erlaubt und es kommt auf die Reihenfolge an. z.b. AB und AB sind verschieden und AA ist nicht erlaubt Jede solche Auswahl heisst k-permutation Auch hier lässt sich das Multiplikationsgesetz anwenden: Es gibt n Möglichkeiten für das 1. Element, n-1 für das 2. usw. Es gibt P(n,k) = n(n-1) (n-k+1) = n!/(n-k)! Möglichkeiten, eine k-permutation aus n Elementen zu nehmen n! (gelesen n-fakultät) ist das Produkt der Zahlen von 1 bis n: N! = 1 2 n Lesen Sie das Beispiel 6.4 p. 121 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block Zählformeln 2 3. Wiederholungen sind nicht erlaubt und es kommt nicht auf die Reihenfolge an. z.b. AB und AB sind gleich und AA ist nicht erlaubt Jede solche Auswahl heisst k-kombination C(n,k) Nach dem Multiplikationsgesetz gilt: P(n,k)= C(n,k) P(k,k) Weil sich eine Auswahl wo es auf die Reihenfolge ankommt zusammensetzen lässt aus einer Wahl ohne Reihenfolge und anschliessender Anordnung der k gewählten Elemente. Also gibt es C(n,k) = P(n,k)/k! = n!/(n-k)!k! Möglichkeiten, eine k-kombination aus n Elementen zu nehmen Lesen Sie das Beispiel 6.5 p Wiederholungen sind erlaubt und es kommt nicht auf die Reihenfolge an. z.b. AB und AB sind gleich und AA ist erlaubt Jede solche Auswahl heisst k-auswahl A(n,k) Beispiel p. 122 mitte: Wahl von 5 Buchstaben aus der Menge {a,b,c} Da es nicht auf die Reihenfolge ankommt, können wir die Auswahl alphabetisch sortieren, z.b. aa b cc oder a cccc Das entspricht einer Auswahl von 2 Grenzen auf den 7 möglichen Plätzen 1-7, wenn die Grenzen auch einen Platz belegen. Im Beispiel gilt also: A(5,3) = C(7,2) und allgemein: Es gibt A(n,k) = C(n+k-1,n-1) = (n+k-1)!/k!(n-1)! Möglichkeiten, eine Auswahl aus n Elementen zu nehmen Lesen Sie das Beispiel 6.6 p. 122 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block

3 Zählformeln: Zusammenfassung Bei der Auswahl von k Objekten aus einer Grundmenge von n Objekten gilt für die Anzahl verschiedener Möglichkeiten: Wiederholungen sind erlaubt Wiederholungen sind nicht erlaubt Reihenfolge spielt eine Rolle k-stichprobe: S(n,k) = n k k-permutation: P(n,k) = n!/(n-k)! Reihenfolge spielt keine Rolle k-auswahl: A(n,k) = (n+k-1)!/k!(n-1)! k-kombination: C(n,k) = n!/(n-k)!k! Lesen Sie das Beispiel p. 123: wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, im deutschen Zahlenlotto eine 6 zu haben und wie gross die Wahrscheinlichkeit einer 3? Lesen Sie das Beispiel 6.7 p. 124 Lösen Sie die Aufgaben p Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block Die Binomialentwicklung Lesen Sie das Beispiel p. 125: (a+b) 3 Nach der Regel für das Ausmultiplizieren wird jeder Summand einer Klammer mit jedem Summand der andern Klammern multipliziert: (a+b)(a+b)(a+b) Die Multiplikation entspricht einer Auswahl von 3 Objekten aus der Menge {a,b} mit Wiederholung, wobei es auf die Reihenfolge ankommt. Das Resultat besteht also aus 2 3 = 8 Summanden. Summanden mit der gleichen Anzahl a und b werden addiert, z.b. 3a 2 b Es gibt C(3,2) Summanden mit zwei a und einem b. Das entspricht der Anzahl Möglichkeiten, sich bei den a aus drei Klammern zwei auszuwählen. Allgemein gilt: (a+b) n = C(n,0)a n + C(n,1)a n-1 b + C(n,2)a n-2 b C(n,n)b n Diese Formel heisst Binomialentwicklung und der Koeffizient C(n,k) hier Binomialkoeffizient Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block

4 Pascalsches Dreieck und Umordnungen Die Binomialkoeffizienten lassen sich auch in einem Pascalschen Dreieck anordnen (vergl. p. 126 oben) Dies weil C(n,k)a n-k b k bei (a+b) n = (a+b) n-1 (a+b) auf zwei Arten entstehen kann: 1. Multiplikation des Summanden a n-k-1 b k aus (a+b) n-1 mit a 2. Multiplikation des Summanden a n-k b k-1 aus (a+b) n-1 mit b 3. Also insgesamt: C(n,k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1) Was auf Seite 126 unten auch rechnerisch bewiesen ist. Eine Zahl im Pascalschen Dreieck entsteht also aus der Summe der zwei darüber liegenden Zahlen. Lesen Sie das Beispiel p. 127 oben: auf wie viele Arten kann mit den Buchstaben GESELLEN ein Wort gebildet werden? Es gäbe P(8,8) = 8! Möglichkeiten, die 8 Buchstaben anzuordnen, wenn es 8 verschieden wären. Dabei sind die P(3,3) = 3! Möglichkeiten, drei E anzuordnen alle gleich und die 2! Möglichkeiten der zwei L ebenfalls. Nach dem Multiplikationsgesetz bleiben also 8!/3!2! Möglichkeiten Oder allgemein: n! falls n 1, n 2,, n k Buchstaben gleich sind. n! n!...! 1 1 Diese Formel nennt sich Umordnungssatz. Lesen Sie die Beispiele 6.8 und 6.9 p Lösen Sie die Aufgaben p n r Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block Anwendung: Effizienz von Algorithmen Ein wichtiges Ziel der Informatik ist die Entwicklung effizienter Algorithmen, d.h. solche die möglichst wenig Zeit und wenig Speicherplatz benötigen. Ein Mass für die Zeit ist die Anzahl Elementaroperationen, welche durchlaufen werden, in Abhängigkeit des Umfangs der abzuarbeitenden Daten. Lesen Sie das Beispiel p. 133 oben mit den Wörterbuch SEARCH(s,W) ist ein Suchalgorithmus, welcher entscheidet, ob der String s im Wörterbuch W ist Bei einer sequentiellen Suche vergleicht der Algorithmus den String s mit jedem Wort des Wörterbuchs W. Das benötigt im schlechtesten Fall n Elementaroperationen, wenn n die Grösse des Wörterbuchs ist (im Durchschnitt n/2) Ist das Wörterbuch hingegen in Form eines binären Baums gespeichert, so benötigt der Suchalgorithmus im schlechtesten Fall 1 + log 2 n Schritte. Schauen Sie in Tabelle 6.2 p. 133 wie viel schneller der 2. Algorithmus für grosse n ist. Lesen Sie die Aufgabe 1 p. 133 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block

5 Die Ordnung eines Algorithmus Wie Aufgabe 1 zeigt, kommt ein Algorithmus mit einem exponentiellen Zeitaufwand ab einer bestimmten Grösse von n innert nützlicher Frist nicht mehr zum Ziel. Sei f(n) die Zeitkomplexität eines Algorithmus in Abhängigkeit der Datengrösse n, z.b. f(n) = 1+log 2 n. Als Ordnung O des Algorithmus bezeichnet man eine Funktion aus einer Menge von Standardfunktionen g(n) {1, log n, n, n 2, n k,, 2 n }, so dass f(n) C g(n) für alle n ausser ein paar wenigen. Lesen Sie die Aufgabe 2 Die Ordnung eines Algorithmus mit f(n) = 2n 2 +4n ist O(n 2 ) Die Ordnungen der Standardfunktionen 1, log n, n, n2, n k,, 2 n sind hierarchisch, d.h. eine nachfolgende hat nicht dieselbe Ordnung wie die vorhergehende, sondern eine echt höhere. Lesen Sie die Aufgabe 3 und 4 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block Aufgaben bis zur nächsten Präsenz Lesen Sie das Skript nochmals durch. Lösen Sie die darin angegebenen Übungen aus dem Buch fertig. Markieren Sie im Taschenbuch der Mathematik die behandelten Formeln mit Leuchtstift: p und Leider heissen die Stichproben, Permutationen, Kombinationen nicht gleich wie in Haggarty. Lesen Sie Haggarty Kap. 6 Bei Problemen Mail an m2@kmu-dir.ch oder epeter@fernfachhochschule.ch Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block

6 Ziele Die Studierenden kennen die Definition der Kombinatorik als Anzahl Auswahlmöglichkeiten von Elementen aus einer Grundmenge Sie kennen das Additionsgesetz von 2 disjunkten (sich ausschliessenden) Ereignissen und das Multiplikationsgesetz als Folge von unabhängigen Ereignissen Sie kennen die 4 Fälle der Kombinatorik je nachdem ob mit oder ohne Wiederholung der Elemente oder ob die Reihenfolge einen Unterschied macht oder nicht: k-stichprobe, k-permutation, k-kombination, k-auswahl und können sie anwenden. Sie kennen die Binomialentwicklung und können sie auf die Berechnung der Potenz einer Summe anwenden Sie kennen den Umordnungssatz und können ihn anwenden Sie kennen die Zeitkomplexität von Algorithmen als Anwendungsbeispiel sowie dessen Ordnung Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block