Mathematik 2 für Naturwissenschaften

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Gisela Kraus
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1 Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 205 Binomialverteilung

2 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung ii Inhalt Die Qual der Wahl: Binomialkoeffizienten.... Ordnung muss sein....2 Auswählen und Anordnen Muss Ordnung sein? Darstellung in Tabelle Die Binomische Formel Pascalsches Zahlendreieck Bernoulli-Ketten Bernoulli-Experiment Definition Bernoulli-Kette Beispiel: Augenzahl fünf Analyse des Beispiels Übergang zur Binomialverteilung Würfelwurf. Erfolg = Augenzahl Binomialverteilung Grundformel Beispiel Summative Binomialverteilung Beispiele Münzenwurf Würfel Glücksrad mit Problem Erwartungswert und Varianz Beispiele: Münzenwurf Zusammenfassung Kombinatorik Bernoulli-Ketten Binomialverteilung Summative Binomialverteilung Erwartungswert und Varianz... 4 Modul 205 für die Lehrveranstaltung Mathematik 2 für Naturwissenschaften Sommer 2006 Probeausgabe. MathType Sommer 2007 Kleine Erweiterung Frühjahr 2008 Geändertes Layout Frühjahr 20 Fehlerkorrekturen Frühjahr 204 Überarbeitung last modified: 0. November 203 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 2, 405 Basel

3 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung Die Qual der Wahl: Binomialkoeffizienten Etwas Kombinatorik mit Fragen des Auswählens und Anordnens. Ordnung muss sein Auf wie viele Arten können die drei Buchstaben A, M, O in eine standardisierte Reihenfolge (zum Beispiel von links nach rechts) gebracht werden? AM. AMO A.. Der Möglichkeiten sind viele Es gibt 3 2 = 3!= 6 Möglichkeiten. Allgemein: n Elemente können auf n! Arten in eine Reihenfolge gebracht werden. Jede Reihenfolge heißt eine Permutation der n Elemente. Es gibt, einschließlich der Startreihenfolge, also n! Permutationen von n Elementen.

4 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung 2 n n! n n! Auswählen und Anordnen Wir haben die fünf Buchstaben {A, M, O, R, E}. Wie viele Wörter mit genau drei verschiedenen Buchstaben können damit geschrieben werden? Wir haben also ein Auswählen und Anordnen. 5 Immer weniger Möglichkeiten Es gibt = 60 Möglichkeiten. Das kann komplizierter einfacher geschrieben werden: Allgemein: = = 5! ( )! = 20 2 = 60 2! = 5! 5 3 k Plätze n n n k+ Immer weniger Möglichkeiten Es gibt n( n ) n k + ( ) = n! ( n k)! Möglichkeiten, aus n Elementen deren k auszuwählen und anzuordnen.

5 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung 3.3 Muss Ordnung sein? Wenn wir aus der Menge der fünf Buchstaben {A, M, O, R, E} deren drei auswählen möchten, die Reihenfolge aber Wurst ist, gibt es weniger Möglichkeiten. Wir müssen durch die Anzahl Anordnungsmöglichkeiten, also 3! = 6, dividieren. Damit haben wir noch Möglichkeiten. Allgemein: = = 5! 3! 2! = 5! 3! 5 3 ( )! = = 0 Schreibweise: k n Es gibt n( n ) n k+ 2 k ( ) = n! k! ( n k)! Möglichkeiten, aus n Elementen deren k auszuwählen. ( ) = n! ( n k)! k! = n! k! ( n k)! ( n k ) = n! n k Sprechweise: n tief k Die Ausdrücke ( )! k! = n! werden auch als Binomialkoeffizienten bezeichnet, sie erscheinen im PASCALschen Zahlendreieck. Ausführliche Tabelle im An- k! ( n k)! hang..3. Darstellung in Tabelle n \ k

6 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung Die Binomische Formel ( a + b) 0 = ( a + b) = a + b ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ( a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 ( a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 0a 3 b 2 + 0a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 ( a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 5a 4 b a 3 b 3 + 5a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6 ( a + b) n n = ( n k )a n k b k k=0.3.3 Pascalsches Zahlendreieck Blaise Pascal, Pascalsches Zahlendreieck 2 Bernoulli-Ketten 2. Bernoulli-Experiment Definition: Ein Experiment mit genau zwei möglichen Ausgängen heißt Bernoulli-Experiment. Die beiden Ausgänge können oft mit Erfolg beziehungsweise Misserfolg interpretiert werden. Beispiel: Bei einem Würfelwurf interessiert nur, ob die Augenzahl fünf geworfen wird ( ) = 6. oder nicht. Dann ist P Erfolg Sehr oft werden der Erfolg mit und der Misserfolg mit 0 codiert.

7 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung 5 Jacob Bernoulli, Bernoulli Nicolaus Jacob I Nicolaus Johann I Nicolaus I Nicolaus II Daniel Johann II Johann III Familie Bernoulli, ohne Frauen Jacob II Definition Bernoulli-Kette Eine Bernoulli-Kette ist eine Folge von gleichen Bernoulli-Experimenten Beispiel: Augenzahl fünf Wir werfen einen Würfel vier Mal hintereinander. Erfolg ist jeweils die Augenzahl ( ) = 6 fünf. Bei einem einzelnen Wurf haben wir also p = P Erfolg. Wir können die Situation in einer Baumstruktur darstellen.

8 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung 6 Start Analyse des Beispiels Ω = ( wxyz) w, x, y,z 0, { { }} Baumstruktur einer BERNOULLI-Kette Der Ergebnisraum besteht aus Quadrupeln, die sich aus Nullen (Misserfolge, also Augenzahl ungleich fünf) und Einsen (Erfolge, also Augenzahl fünf) zusammensetzen. Es gibt daher 6 = 2 4 Ergebnisse. Werden die 0,-Codierungen als Dualzahlen gedeutet, erhalten wir die Zahlen von (im Dezimalsystem) 0 bis 5.

9 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung Übergang zur Binomialverteilung Wenn wir nur an der Anzahl der Erfolge, nicht aber an ihrer Position im Quadrupel, interessiert sind, können wir wie folgt zusammenfassen: k = Anzahl Erfolge Anzahl Fälle P 4 ( k) Wir stellen fest, dass in der mittleren Spalte die Binomialkoeffizienten ( k 4 ) erscheinen. Warum ist das so? Es gilt die Formel: 4 P 4 ( k) = ( k )( 6 ) k 5 ( 6 ) 4 k

10 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung 8 Verwendung der Tabelle: p / n k Die Wahrscheinlichkeiten P 4 ( k) von genau k Erfolgen auf 4 Versuche lassen sich graphisch in einem Histogramm darstellen: 2.3 Würfelwurf. Erfolg = Augenzahl 5 n = 4, p = 6 Wahrscheinlichkeit P 4 (k) k = # Fünfer Histogramm

Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung 9 Anteile: Null Fünfer: 0.4967 Ein Fünfer: 0.37400 Zwei Fünfer: 0.467 Drei Fünfer: 0.0883 Vier Fünfer: 0.

11 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung 9 Anteile: Null Fünfer: Ein Fünfer: Zwei Fünfer: Drei Fünfer: Vier Fünfer: Simulation mit 6000 Vierfachwürfen 3 Binomialverteilung 3. Grundformel Situation: Wir haben n gleiche Bernoulli-Experimente, also eine Bernoulli-Kette der Länge n. Es sei p die Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch. Ferner sei q = p die Misserfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch. P n ( k) sei die Wahrscheinlichkeit, auf n Versuche genau k Erfolge zu haben. Dann gilt: n P n ( k) = ( k ) p k q n k

12 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung Beispiel Münzenwurf. Erfolg = Kopf. n = 4. p = q = 2 p / n k Wir erhalten folgendes Histogramm: Wahrscheinlichkeit 0.4 P 4 (k) k = # Köpfe Histogramm Wegen p = q = ist das Histogramm symmetrisch Summative Binomialverteilung Die Fragestellung ist nun: Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben wir höchstens x Erfolge auf n Versuche. P n ( k x) = P n ( 0) + P n ( ) + + P n ( x) = P n ( k) x k=0

13 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung 3.4 Beispiele 3.4. Münzenwurf Eine Münze wird 8-mal geworfen. n = 8, p = q = 2 P( 5 Mal Kopf) = P 8 ( 5) = P( höchstens 5 Mal Kopf) = P 8 ( k 5) = P( mindestens 5 Mal Kopf) = P 8 ( k 5) = P 8 ( 3 k 5) = Würfel Ein Würfel wird 5-mal geworfen. Erfolg ist das Werfen der Augenzahl 5. n = 5, p = 6 P( 4 Mal Augenzahl fünf) = P 5 ( 4) = P( mindestens 3 Mal Augenzahl fünf) = P 5 ( 3 k) = P 5 ( 2 k 5) =

14 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung Glücksrad mit Problem p ( :-) ) = 3 4 Das Problem ist, dass p = 3 4 in der Tabelle nicht vorkommt. Wie lösen wir dieses Problem?

15 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung Erwartungswert und Varianz Mit welcher Anzahl von Erfolgen können wir beim i-ten Versuch in unserer Bernoulli- Kette rechnen? Wie groß ist die Varianz? X i = Anzahl Erfolge beim i-ten Versuch E( X i ) = 0 q + p = p Für die Varianz erhalten wir: Var( X i ) = q ( 0 p) 2 + p ( p x 0 w i ( x) q p ( x p) 2 ( 0 p) 2 ( p) 2 w i ( x) q p Nun sei X die Anzahl Erfolge bei n Versuchen: )2 = p 2 q + pq 2 = pq p + q = pq =q E( X) = np Var( X) = npq σ ( X) = npq ( ) = 3.5. Beispiele: Münzenwurf Eine Münze wird n-mal geworfen. p = q = 2 n = 0 µ = σ = n = 00 µ = σ = n = 0000 µ = σ = Die Streuung wird relativ immer kleiner.

16 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung 4 4 Zusammenfassung 4. Kombinatorik n Elemente können auf n! Arten in eine Reihenfolge gebracht werden. Es gibt n( n ) n k + Möglichkeiten, aus n Elementen deren k auszuwählen und anzuordnen. Es gibt n n Möglichkeiten, aus n Elementen deren k auszuwählen. Schreibweise: ( ) n k+ 2 k ( ) = n! ( ) = n! k! ( n k)! ( n k ) = n! n k ( n k ) = n! n k ( n k)! ( )! k! = n! k! ( n k)! Sprechweise: n tief k Die Ausdrücke ( )! k! = n! werden auch als Binomialkoeffizienten bezeichnet, sie erscheinen im PASCALschen k! ( n k)! Zahlendreieck. 4.2 Bernoulli-Ketten Situation: n gleiche Bernoulli-Experimente, also eine Bernoulli-Kette der Länge n p = Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch. q = p = Misserfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch 4.2. Binomialverteilung P n k ( ) = Wahrscheinlichkeit, auf n Versuche genau k Erfolge zu haben Dann gilt: n P n ( k) = k ( ) p k q n k Summative Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit von höchstens x Erfolgen auf n Versuche: P n ( k x) = P n ( 0) + P n ( ) + + P n ( x) = P n ( k) Erwartungswert und Varianz E X x k=0 ( ) = np Var( X) = npq σ ( X) = npq

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