7. Lineare Gleichungssysteme

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1 7. Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme A~x = ~ b mit A 2 R m;n ; ~x 2 R n ~x ist gesucht, r = Rg(A); a x + a 2 x 2 + : : : + a n x n = b a m x + a m2 x 2 + : : : + a mn x n = b m. Struktur der Lösung: ~x = ~x 0 + t ~w + : : : + t n r ~w n r Parameter t ; : : : ; t n r 2 R frei wählbar, ~x 0 eine Lösung Falls m = n = r =) ~x = ~x 0 = A ~ b Fall m = n: Lösung von linearen Gleichungssystemen mit Hilfe des QR-Verfahrens nach Householder A = QR wobei Q 2 R n;n eine orthogonale Matrix (Q = Q T ) und R 2 R n;n eine obere Dreiecksmatrix A~x = ~ b; ~z = R~x =) Q~z = ~ b; ~z = Q T ~ b Ablauf: () Zerlegung A = QR bestimmen, (2) ~z berechnen nach ~z = Q T ~ b, (3) Rückrechnung ~z = R~x rückwärts au ösen nach ~x z n = r nn x n =) x n = z n r nn z n = r n ;n x n + r n ;n x n =) x n = z n r n ;n x n r n ;n : : : 8. Lösung nichtlinearer Gleichungen und Gleichungssysteme Gesucht ist also die Nullstelle x N einer stetigen Funktion f, d.h. eine Lösung x N der Gleichung f(x N ) = 0:

2 B Das Newton-Verfahren Voraussetzung für Konvergenz: Algorithmus: Eingabe Startwert x 0. Iterationsregel: x n+ = x n f(x n ) f 0 (x n ) f(x) f 00 (x) (f 0 (x)) 2 K < 8x 2 (a; b) x := x Schleife x alt := x; x := x f(x) f 0 (x) Abbruch falls jx alt xj < " x ist Näherung für Nullstelle B Sekantenverfahren - regula falsi Iterationsregel: a n+ = x n f(x n ) f(x n ) f(y n ) : Neues Intervall wird so gewählt, dass an den Intervallgrenzen die Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, konkret: x n y n f(x n ) und f(a n+ ) haben gleiches Vorzeichen =) x n+ : = a n+ ; y n+ := y n f(x n ) und f(a n+ ) haben verschiedenes Vorzeichen =) x n+ : = a n+ ; y n+ := x n Die Nullstelle liegt zwischen x n+ und y n+. Algorithmus: Eingabe Startintervall [x 0 ; y 0 ] so, dass f(x 0 )f(y 0 ) < 0. x := x 0 ; y := y Schleife x alt := x; x := x f(x) x f(x) y f(y) Wenn f(x alt )f(x) < 0 dann y := x alt Abbruch falls jx alt xj < " x ist Näherung für Nullstelle 2

3 B Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen f (x ; x 2 ; : : : ; x n ) = 0 f 2 (x ; x 2 ; : : : ; x n ) = 0 f n (x ; x 2 ; : : : ; x n ) = 0 ~f(~x) = ~o f j (~x) f j (~x 0 ) + grad(f j (~x 0 )) T (~x ~x 0 ) 0 x f x 2 f x n f Jacobi-Matrix: J(~x) = x f 2 x 2 f 2 x n f B C.. A x f n : : : x f n x n f n Iterationsregel: ~x k+ = ~x k J (~x k ) ~ f(~x k ) 9. Berechnung in Netzen mit physikalischen Methoden Wieviel ießt durch die einzelnen Leitungen eines Systems? verschiedene Leitungssysteme: - Wasserleitungen, Gasleitungen, Rohrleitungen für chemische Produkte - Heizleitungen - elektrische Stromnetze Rohrleitungssysteme () Knotenregel für Knoten v: Q i = i: in v hinein ießend i: aus v heraus ießend Q i Volumenstrom [m 3 s ] in Leitung (Kante) i (2) Maschenregel für Masche mit Elementen aus Kantenmenge E: p i = 0 =) a i Q i jq i j = 0 i2e i2e Q i 3

4 (Vorzeichen entsprechend dem Durchlauf der Masche) mit a i = i (Q i ; d i ) L i ; = 0 6 m 2 s ; k = 0:00005m d 5 i p i = 2 log 0 2:5 Re p i + k 3:7d i d i Rohrinnendurchmesser [m], L i Rohrlänge [m] der Kante i ; Re = 4jQ ij d i 9.. Mathematische Analyse des Problems Modellierung die Lage der Rohrleitungen als gerichteten Graphen mit Bewertungen. In Leitungssystemen gelten die Kirchho schen Gesetze: () Knotenregel für Knoten v: Q i = i: in v hinein ießend i: aus v heraus ießend Q Volumenstrom [m 3 s ] Summe der zu- und ab ießenden Ströme ist 0. Vorzeichen beachten bzw. vorher im Plan festlegen. n Anzahl der Ströme am jeweiligen Knoten (2) Maschenregel für Masche mit Elementen aus Kantenmenge E: p i = 0 i2 E Die Summe aller Druckverluste (Spannungsabfall) einer Masche verschwindet. Q i 0. Das Problem der kürzesten Wege und Anwendungen Gegeben ist gerichteter Graph G = (V; E) V endliche Menge der Ecken (Orte, Punkte) E Menge von gerichteten Kanten (Straßen), die eine Bewertung (Gewicht) erhalten: Fahrtzeit, Länge B Abspeicherung des Graphen 4

5 () Adjazenzmatrix mit Bewertungen (2) Adjazenzliste C = 0 B c(; ) c(; 2) : : : c(2; ) c(2; 2). von jedem Knoten geht eine Liste der Nachfolger aus: Paare (Nachfolgerknoten, Bewertung des Pfeils)... C A! (2,3)! (3,7)! (5,4) 2! (4,0)! (5,) 3! (,3) 4 Der Dijkstra-Algorithmus 5! (3,6)! (5,2) alle Orte werden durchnummeriert, s ist der Startknoten, z Zielknoten d(v) aktuelle Distanz vom Startknoten zu v c(v ; v 2 ) Bewertung der Kante von v nach v 2, gibt es keine Kante, dann setzen, statt auf dem Rechner eine sehr große Zahl. Zu jedem v ist die Menge der unmittelbaren Nachfolger N(v) verfügbar. f(v) Vorgänger im Baum der kürzesten Wege S aktuelle Menge der abgearbeiteten Punkte; für diese Punkte tritt keine Veränderung bei d und f ein. Dijkstra-Algorithmus Eingabe: Graph (V; E), Startknoten s, Zielknoten z Ausgabe: kürzester Weg d(z) von s nach z 2 V Belegen der c(v ; v 2 ) für v ; v 2 2 V S := fsg d(s) := 0 For v 2 V nfsg do Belegung d; f d(v) := c(s; v) f(v) := s While z =2 S do Variante a): While S 6= V do Finde w mit d(w) = minfd(v) : v 2 V nsg Suche nach kleinstem d aus V ns S := S [ fwg w ist Minimalknoten For all v 2 (V ns) \ N(w) do Menge auf Nachfolger einschränken 5

6 If d(w) + c(w; v) < d(v) then d(v) := d(w) + c(w; v) Falls der Weg über w nach v kürzer ist, dann diesen Weg nehmen f(v) := w Endwhile A -Algorithmus Eingabe: Graph (V; E); S Startmenge Ausgabe: kürzester Weg von s 2 S nach einem z 2 T, bei dem Weg nach T am kürzesten Belegen der c(v ; v 2 ) für v ; v 2 2 V For s 2 S do Belegung d; f P (s) :=? d(s) := 0 Q := S R :=? While Q 6=? do Solange noch Ecken expandiert werden können Finde w mit d(w) = minfd(v) + h(v) : v 2 Qg Suche nach kürzestem d aus Q Q := Qnfwg R := R [ fwg If w 2 T then Return(P (w)) Ziel erreicht else Expansion von w For v 2 N(w) do if v =2 Q und v =2 R then neue Ecke gefunden Q := Q [ fvg P (v) := P (w) v Füge Knoten v an den Weg an d(v) := d(w) + c(w; v) else bereits bekannte Ecke v 2 Q [ R If d(w) + c(w; v) < d(v) then d(v) := d(w) + c(w; v) Falls der Weg über w nach v kürzer ist, dann diesen Weg nehmen P (v) := P (w) v Füge Knoten v an den Weg an if v 2 R then Q := Q [ fvg R := Rnfvg Wiederbelebung von v 6

7 Endwhile Return("kein Weg gefunden") 7