Kürzeste Wege in Graphen. Orte mit Straßenverbindungen. Coma I Rolf Möhring

Transkript

1 Kürzeste Wege in Graphen Orte mit Straßenverbindungen

2 Orte als Knoten eines Graphen

3 Straßenverbindungen als Kanten eines Graphen

4 Ungerichteter Graph G = (V,E) Kanten Knoten Knotenmenge V = {,,n} oder {,,n } Kantenmenge E jede Kante hat Endpunkte (Knoten aus V)

5 Wege in Graphen Ein Weg in einem ungerichteten Graphen = Folge von Kanten + Richtung pro Kante, so dass: Endpunkt einer Kante = Anfangspukt der nächsten Kante der Folge

6 Wege in Graphen Wiederholung von Knoten und Kanten ist zugelassen

7 Kantenbewertungen = pro Kante eine Zahl ( Entfernung ) Länge eines Weges = Summe der Bewertungen der Kanten in der Folge Kürzester Weg von Knoten i zu Knoten j = Weg mit kürzester Länge unter allen Wegen von i nach j 5 5 Länge 9

8 Gerichtete Graphen (Digraphen) Knotenmenge V Kantenmenge E (gerichtete) Kanten oder Bögen Anfangsknoten Endknoten 5 Gerichtete Kanten haben eine Richtung Durchlauf nur in ihrer Richtung möglich Einbahnstraßen, Abbiegespuren, Endsprechender Kürzeste-Wege Begriff

9 Stadt-Straßennetz als Digraph

10 Ungerichtete Graphen sind spezielle gerichtete Graphen w w w symmetrische gerichtete Graphen Theorie kürzester Wege für gerichtete Graphen entwickeln

11 Kürzeste-Wege Probleme Kürzeste Distanz + kürzester Weg zwischen zwei Knoten Kürzeste Distanzen + kürzeste Wege von einem Knoten zu allen Knoten Kürzeste Distanzen + kürzeste Wege von jedem Knoten zu jedem Knoten hier

12 Devisentausch als kürzeste-wege-problem Frankfurt,7,87, London,,,7,76,8,58 Yen Tokio,5,9,7 $ New York Preis der Zielwährung

13 Weg = Tauschfolge Bewertung des Weges = Produkt der Kantenbewertungen Frankfurt,7,87, London,,,7,76,8,58 Yen Tokio,5,9,7 $ New York Preis:, *,5 *,7 =,87 <,8 bei Direkttausch

14 Transformation Kantenbewertung w log w (Basis ) Wegbewertung a " b""" z # log(a " b """ z) = loga + logb log z Frankfurt,7,87, London,76, Yen Tokio,,5,9,7,8,7,58 $ New York Kürzeste-Wege Problem Kürzester Weg bzgl. log w entspricht bester Tauschfolge,66 negative Kantenbewertungen

15 Bei negativen Kantenbewertungen brauchen keine kürzesten Wege zu existieren! Zykel = gerichteter Weg mit gleichem Anfangs- und Endknoten Enthält ein Weg zwischen i und j einen Zykel negativer Länge, (negativer Zykel) so existiert kein kürzester Weg von i nach j ein negativer Zykel Es gibt keinen kürzesten Weg von nach

16 Es gibt keinen kürzesten Weg von nach Kürzeste Wege Algorithmen finden entweder kürzeste Wege oder einen negativen Zykel

17 Zykel negativer Länge haben besondere Bedeutung Frankfurt,7,87, London,,,7,76,8,58 Yen Tokio,5,9,7 $ New York, *,5 *, =,997 <

18 Mathematische Definition von Digraphen Ein (endlicher) Digraph G besteht aus einer (endlichen) Knotenmenge V einer Kantenmenge E! V " V #{(v,v) v $V} Schreibweise: G = (V,E ) (u,v)!e darstellen als u v Kantenbewertung: Funktion w : E! IR V = {,,,, } E = { (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) } w((,)) =

19 Datenstrukturen für Digraphen Adjazenzlisten Für jeden Knoten i eine Liste Adj(i) der Knoten j die Endpunkt einer Kante (i,j) sind Array von Listen

20 Datenstrukturen für Digraphen Adjazenzmatrix Eine Matrix A = (a ij ) mit a ij =! falls (i, j) eine Kante ist " # sonst

21 Datenstrukturen für bewertete Digraphen Adjazenzlisten: zusätzlich Wert der Kante in Listenelement Adjazenzmatrix: Kantenbewertungen als Matrixeinträge " Kantenbewertung, falls (i, j) Kante $ Entfernungsmatrix A mit a ij = #, falls i = j $ %!, sonst

22 Die Bellman Gleichungen u (m) ij := # % $ % & Länge eines kürzesten Weges von i nach j mit höchstens m Kanten, falls einer existiert " sonst wohldefiniert, falls ein Weg von i nach j existiert Speichern in Matrix U (m) = (u ij (m ) ) u () = u () = u () = u () = u (5) =

23 Lemma: Für festes i und j und m gilt () u ij () u ij (m) (m+)... u ij u ij... (m) u ij Satz: Die erfüllen die Rekursionsgleichungen (Bellman Gleichungen): u ij () = a ij u ij (m+) = min [u (m) ik + a kj ] k=,...,n

24 Motivation für u (m+) ij = min [u (m) ik + a kj ] k=,...,n Länge eines kürzesten Weges von i nach j mit m+ Kanten Länge eines kürzesten Weges von i nach k mit m Kanten + Länge Kante von k nach j Minimum über alle Knoten k Jeder Weg von i nach j mit m+ Kanten zerfällt in Weg mit m Kanten von i zu Vorgänger k von Knoten j Kante von k nach j i m Kanten k j