Durchschnitt von Matroiden

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1 Durchschnitt von Matroiden Satz von Edmonds Dany Sattler 18. Januar 2007/ Seminar zur ganzzahligen Optimierung / Wallenfels

2 Definition: Unabhängigkeitssystem Definition: Ein Mengensystem (S, J ) nennt man Unabhängigkeitssystem, falls folgende Axiome erfüllt sind: (M1) : J (M2) : I 1 I 2, I 2 J I 1 J

3 Definition: Unabhängigkeitssystem Definition: Ein Mengensystem (S, J ) nennt man Unabhängigkeitssystem, falls folgende Axiome erfüllt sind: (M1) : J (M2) : I 1 I 2, I 2 J I 1 J

4 Definition: Unabhängigkeitssystem Definition: Ein Mengensystem (S, J ) nennt man Unabhängigkeitssystem, falls folgende Axiome erfüllt sind: (M1) : J (M2) : I 1 I 2, I 2 J I 1 J

5 Definition: Unabhängigkeitssystem Die Elemente von J werden unabhängig genannt, die Elemente von 2 S \J abhängig. Minimale abhängige Mengen heißen Kreise, maximale unabhängige Mengen heißen Basen

6 Definition: Unabhängigkeitssystem Die Elemente von J werden unabhängig genannt, die Elemente von 2 S \J abhängig. Minimale abhängige Mengen heißen Kreise, maximale unabhängige Mengen heißen Basen

7 Definition: Matroid Definition: Ein Unabhängigkeitssystem (S, J ) heißt Matroid, falls gilt: (M3) : I 1, I 2 J und I 1 > I 2 dann gibt es ein x I 1 \I 2 mit I 2 {x} J

8 Definition: Matroid Definition: Ein Unabhängigkeitssystem (S, J ) heißt Matroid, falls gilt: (M3) : I 1, I 2 J und I 1 > I 2 dann gibt es ein x I 1 \I 2 mit I 2 {x} J

9 Definition: Rang eines Matroiden Definition: Sei (S, J ) ein Matroid. Dann ist für U S der Rang von U definiert durch: r (U) := max { I : I U, I J }

10 Beispiel: Matrixmatroid Matrixmatroid Sei A eine Matrix mit A = Die Spalten der Matrix A, also {(1)... (7)}, bilden die Menge S. Diejenigen Spalten von A, die zusammen linear unabhängig sind, bilden das System aus Teilmengen J von S.

11 Beispiel: Matrixmatroid Dann enthält J alle diejenigen Teilmengen von S \ {(7}) mit höchstens 3 Elementen, außer: {(1), (2), (4)}, {(2), (3), (5)}, {(2), (3), (6)} und außer allen Teilmengen, die {(5), (6)} gemeinsam enthalten. S stellt somit die Grundmenge des Matroiden dar und J das Unabhängigkeitssystem das Paar (S, J ) ist ein Matroid.

12 Beispiel: Matrixmatroid Dann enthält J alle diejenigen Teilmengen von S \ {(7}) mit höchstens 3 Elementen, außer: {(1), (2), (4)}, {(2), (3), (5)}, {(2), (3), (6)} und außer allen Teilmengen, die {(5), (6)} gemeinsam enthalten. S stellt somit die Grundmenge des Matroiden dar und J das Unabhängigkeitssystem das Paar (S, J ) ist ein Matroid.

13 Beispiel: Matrixmatroid Dann enthält J alle diejenigen Teilmengen von S \ {(7}) mit höchstens 3 Elementen, außer: {(1), (2), (4)}, {(2), (3), (5)}, {(2), (3), (6)} und außer allen Teilmengen, die {(5), (6)} gemeinsam enthalten. S stellt somit die Grundmenge des Matroiden dar und J das Unabhängigkeitssystem das Paar (S, J ) ist ein Matroid.

14 Beispiel: Graphenmatroid Graphenmatroid Wir haben den Graphen G = (V, E) mit 4 Ecken {a, b, c, d} und mit 7 Kanten {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Sei S die Menge der Kanten, also S = E und J sei das System der Teilmengen von S, die kreisfrei sind. Die Kreise von G haben die Kantenmenge: {(7), (5, 6), (1, 2, 4), (2, 3, 5), (2, 3, 6), (1, 3, 4, 5), (1, 3, 4, 6)} (S, J ) ist somit ein Matroid, genauer ein Graphen-Matroid,der mitm (G) bezeichnet wird.

15 Beispiel: Graphenmatroid Graphenmatroid Wir haben den Graphen G = (V, E) mit 4 Ecken {a, b, c, d} und mit 7 Kanten {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Sei S die Menge der Kanten, also S = E und J sei das System der Teilmengen von S, die kreisfrei sind. Die Kreise von G haben die Kantenmenge: {(7), (5, 6), (1, 2, 4), (2, 3, 5), (2, 3, 6), (1, 3, 4, 5), (1, 3, 4, 6)} (S, J ) ist somit ein Matroid, genauer ein Graphen-Matroid,der mitm (G) bezeichnet wird.

16 Beispiel: Graphenmatroid Graphenmatroid Wir haben den Graphen G = (V, E) mit 4 Ecken {a, b, c, d} und mit 7 Kanten {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Sei S die Menge der Kanten, also S = E und J sei das System der Teilmengen von S, die kreisfrei sind. Die Kreise von G haben die Kantenmenge: {(7), (5, 6), (1, 2, 4), (2, 3, 5), (2, 3, 6), (1, 3, 4, 5), (1, 3, 4, 6)} (S, J ) ist somit ein Matroid, genauer ein Graphen-Matroid,der mitm (G) bezeichnet wird.

17 Beispiel: Graphenmatroid Graphenmatroid Wir haben den Graphen G = (V, E) mit 4 Ecken {a, b, c, d} und mit 7 Kanten {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Sei S die Menge der Kanten, also S = E und J sei das System der Teilmengen von S, die kreisfrei sind. Die Kreise von G haben die Kantenmenge: {(7), (5, 6), (1, 2, 4), (2, 3, 5), (2, 3, 6), (1, 3, 4, 5), (1, 3, 4, 6)} (S, J ) ist somit ein Matroid, genauer ein Graphen-Matroid,der mitm (G) bezeichnet wird.

18 Beispiel: Graphenmatroid Dieser Matroid kann auch in eine Matrix umgeformt werden über Ecken-Kanten-Indizes Dabei: Falls Verbindung besteht: = 1; sonst: = 0; wobei hier gilt: Spalte i = Kante i mit i = 1,...,7 und Zeile j = Ecke j mit j = a,b,c,d

19 Beispiel: Graphenmatroid Dieser Matroid kann auch in eine Matrix umgeformt werden über Ecken-Kanten-Indizes Dabei: Falls Verbindung besteht: = 1; sonst: = 0; wobei hier gilt: Spalte i = Kante i mit i = 1,...,7 und Zeile j = Ecke j mit j = a,b,c,d

20 Wiederholung: Bipartiter Graph und Matching 1 Bipartiter Graph ein Graph G = (V, E) heißt bipartit, falls sich seine Knoten V in zwei disjunkte Teilmengen V 1, V 2 aufteilen lassen, s.d. zwischen den Knoten innerhalb beider Teilmengen keine Kanten verlaufen. 2 Matching Ein Matching ist eine Teilmenge der Kanten eines Graphen G, in der keine zwei Kanten einen gemeinsamen Knoten besitzen.

21 Wiederholung: Bipartiter Graph und Matching 1 Bipartiter Graph ein Graph G = (V, E) heißt bipartit, falls sich seine Knoten V in zwei disjunkte Teilmengen V 1, V 2 aufteilen lassen, s.d. zwischen den Knoten innerhalb beider Teilmengen keine Kanten verlaufen. 2 Matching Ein Matching ist eine Teilmenge der Kanten eines Graphen G, in der keine zwei Kanten einen gemeinsamen Knoten besitzen.

22 Motivation 1 Matching in bipartiten Graphen M stellt die Menge aller Matchings in einem bipartiten Graphen G = {V 1 V 2, E = (V 1 V 2 )} dar. M 2 E, 2 Proposition (E, M) ist kein Matroid.

23 Motivation 1 Matching in bipartiten Graphen M stellt die Menge aller Matchings in einem bipartiten Graphen G = {V 1 V 2, E = (V 1 V 2 )} dar. M 2 E, 2 Proposition (E, M) ist kein Matroid.

24 Motivation Beobachtung Sei (E, M) = (E, J 1 J 2 ) mit (E, J 1 ), (E, J 2 ) Matroide, mit: J 1 := {F E : (v 1, w 1 ) F, (v 2, w 2 ) F v 1 v 2 } J 2 := {F E : (v 1, w 1 ) F, (v 2, w 2 ) F w 1 w 2 } Dann ist J 1 ein Matroid.

25 Charakterisierung anhand von Kreisen (S, J ) ein Matroid und C ein System von Teilmengen. Dann heißt C die Menge der Kreise von (S, J ), wenn gilt: (C1): Die leere Menge liegt nicht in C: / C (C2): Kein Element von C ist eine echte Teilmenge eines weiteren Elements von C (C3): C 1, C 2 sind zwei Elemente von C und e C 1 C 2, dann enthält (C 1 C 2 ) \ {e} ein Element von C. (S, J ) ist ein Matroid, wenn C den Axiomen (C1), (C2), (C3) genügt und J aus denjenigen Teilmengen von S besteht, die kein Element von C enthalten

26 Charakterisierung anhand von Kreisen (S, J ) ein Matroid und C ein System von Teilmengen. Dann heißt C die Menge der Kreise von (S, J ), wenn gilt: (C1): Die leere Menge liegt nicht in C: / C (C2): Kein Element von C ist eine echte Teilmenge eines weiteren Elements von C (C3): C 1, C 2 sind zwei Elemente von C und e C 1 C 2, dann enthält (C 1 C 2 ) \ {e} ein Element von C. (S, J ) ist ein Matroid, wenn C den Axiomen (C1), (C2), (C3) genügt und J aus denjenigen Teilmengen von S besteht, die kein Element von C enthalten

27 Charakterisierung anhand von Kreisen (S, J ) ein Matroid und C ein System von Teilmengen. Dann heißt C die Menge der Kreise von (S, J ), wenn gilt: (C1): Die leere Menge liegt nicht in C: / C (C2): Kein Element von C ist eine echte Teilmenge eines weiteren Elements von C (C3): C 1, C 2 sind zwei Elemente von C und e C 1 C 2, dann enthält (C 1 C 2 ) \ {e} ein Element von C. (S, J ) ist ein Matroid, wenn C den Axiomen (C1), (C2), (C3) genügt und J aus denjenigen Teilmengen von S besteht, die kein Element von C enthalten

28 Charakterisierung anhand von Kreisen (S, J ) ein Matroid und C ein System von Teilmengen. Dann heißt C die Menge der Kreise von (S, J ), wenn gilt: (C1): Die leere Menge liegt nicht in C: / C (C2): Kein Element von C ist eine echte Teilmenge eines weiteren Elements von C (C3): C 1, C 2 sind zwei Elemente von C und e C 1 C 2, dann enthält (C 1 C 2 ) \ {e} ein Element von C. (S, J ) ist ein Matroid, wenn C den Axiomen (C1), (C2), (C3) genügt und J aus denjenigen Teilmengen von S besteht, die kein Element von C enthalten

29 Charakterisierung anhand von Kreisen (S, J ) ein Matroid und C ein System von Teilmengen. Dann heißt C die Menge der Kreise von (S, J ), wenn gilt: (C1): Die leere Menge liegt nicht in C: / C (C2): Kein Element von C ist eine echte Teilmenge eines weiteren Elements von C (C3): C 1, C 2 sind zwei Elemente von C und e C 1 C 2, dann enthält (C 1 C 2 ) \ {e} ein Element von C. (S, J ) ist ein Matroid, wenn C den Axiomen (C1), (C2), (C3) genügt und J aus denjenigen Teilmengen von S besteht, die kein Element von C enthalten

30 Charakterisierung anhand einer Basis Sei B ein System von Teilmengen einer endlichen Menge S. Dann ist B die Menge der Basen des Matroiden (S, J ) B erfüllt folgende Axiome: (B1) : B ist nicht leer (B2) : (B 1, B 2 ) B und x B 1 \B 2, dann y B 1 \B 2 so, dass (B 1 \ {x}) {y} B

31 Charakterisierung anhand einer Basis Sei B ein System von Teilmengen einer endlichen Menge S. Dann ist B die Menge der Basen des Matroiden (S, J ) B erfüllt folgende Axiome: (B1) : B ist nicht leer (B2) : (B 1, B 2 ) B und x B 1 \B 2, dann y B 1 \B 2 so, dass (B 1 \ {x}) {y} B

32 Charakterisierung anhand einer Rangfunktion Sei S eine endliche Menge und r definiert durch r : 2 S Z + Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1 r ist die Rangfunktion des Matroiden (S, J ) und J = {I S : r (I) = I } 2 X, Y S gilt: (R1) : r (X) X (R2) : Falls X Y, gilt r (X) r (Y ) (R3) : r (X Y ) + r (X Y ) r (X) + r (Y )

33 Charakterisierung anhand einer Rangfunktion Sei S eine endliche Menge und r definiert durch r : 2 S Z + Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1 r ist die Rangfunktion des Matroiden (S, J ) und J = {I S : r (I) = I } 2 X, Y S gilt: (R1) : r (X) X (R2) : Falls X Y, gilt r (X) r (Y ) (R3) : r (X Y ) + r (X Y ) r (X) + r (Y )

34 Charakterisierung anhand einer Rangfunktion Sei S eine endliche Menge und r definiert durch r : 2 S Z + Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1 r ist die Rangfunktion des Matroiden (S, J ) und J = {I S : r (I) = I } 2 X, Y S gilt: (R1) : r (X) X (R2) : Falls X Y, gilt r (X) r (Y ) (R3) : r (X Y ) + r (X Y ) r (X) + r (Y )

35 Charakterisierung anhand einer Rangfunktion Sei S eine endliche Menge und r definiert durch r : 2 S Z + Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1 r ist die Rangfunktion des Matroiden (S, J ) und J = {I S : r (I) = I } 2 X, Y S gilt: (R1) : r (X) X (R2) : Falls X Y, gilt r (X) r (Y ) (R3) : r (X Y ) + r (X Y ) r (X) + r (Y )

36 Charakterisierung anhand einer Rangfunktion Sei S eine endliche Menge und r definiert durch r : 2 S Z + Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1 r ist die Rangfunktion des Matroiden (S, J ) und J = {I S : r (I) = I } 2 X, Y S gilt: (R1) : r (X) X (R2) : Falls X Y, gilt r (X) r (Y ) (R3) : r (X Y ) + r (X Y ) r (X) + r (Y )

37 Optimierungsproblem: maximale unabhängige Menge Gegeben:(S, J ) ein Unabhängigkeitssystem und c : S R + eine positive Gewichtsfunktion auf den Elementen von S. Gesucht:ein maximales Element I J, dessen Gesamtgewicht c (I) = s I c (s) maximal ist.

38 Unabhängigkeitsorakel Problem: kompakte Darstellung von J. Ein Orakel allgemein, in diesem Fall ein Unabhängigkeitsorakel, ist ein Algorithmus, der mit dem Input einer Menge J S entscheidet, ob I J unabhängig ist oder nicht. Vorteil: Orakelaufrufe werden in der Komplexitätsanalyse nur einmal gezählt und sie sind polynomial.

39 Unabhängigkeitsorakel Problem: kompakte Darstellung von J. Ein Orakel allgemein, in diesem Fall ein Unabhängigkeitsorakel, ist ein Algorithmus, der mit dem Input einer Menge J S entscheidet, ob I J unabhängig ist oder nicht. Vorteil: Orakelaufrufe werden in der Komplexitätsanalyse nur einmal gezählt und sie sind polynomial.

40 Greedy-Algorithmus MAX-INDEPENDENT-SET Input: Ein Unabhängigkeitssystem (S, J ) gegeben durch ein Unabhängigkeitsorakel und eine Gewichtsfunktion c. Output: Eine Menge I J 1 Ordne die Elemente in S = {s 1,..., s n } absteigend nach ihrem Gewicht, d.h. c (s 1 )... c (s n ) 2 Setze I = 3 Wiederhole für k = 1,..., n: FallsI {s k } J füge {s k } zu I hinzu 4 Gib die Menge I aus.

41 Greedy-Algorithmus MAX-INDEPENDENT-SET Input: Ein Unabhängigkeitssystem (S, J ) gegeben durch ein Unabhängigkeitsorakel und eine Gewichtsfunktion c. Output: Eine Menge I J 1 Ordne die Elemente in S = {s 1,..., s n } absteigend nach ihrem Gewicht, d.h. c (s 1 )... c (s n ) 2 Setze I = 3 Wiederhole für k = 1,..., n: FallsI {s k } J füge {s k } zu I hinzu 4 Gib die Menge I aus.

42 Greedy-Algorithmus MAX-INDEPENDENT-SET Input: Ein Unabhängigkeitssystem (S, J ) gegeben durch ein Unabhängigkeitsorakel und eine Gewichtsfunktion c. Output: Eine Menge I J 1 Ordne die Elemente in S = {s 1,..., s n } absteigend nach ihrem Gewicht, d.h. c (s 1 )... c (s n ) 2 Setze I = 3 Wiederhole für k = 1,..., n: FallsI {s k } J füge {s k } zu I hinzu 4 Gib die Menge I aus.

43 Greedy-Algorithmus MAX-INDEPENDENT-SET Input: Ein Unabhängigkeitssystem (S, J ) gegeben durch ein Unabhängigkeitsorakel und eine Gewichtsfunktion c. Output: Eine Menge I J 1 Ordne die Elemente in S = {s 1,..., s n } absteigend nach ihrem Gewicht, d.h. c (s 1 )... c (s n ) 2 Setze I = 3 Wiederhole für k = 1,..., n: FallsI {s k } J füge {s k } zu I hinzu 4 Gib die Menge I aus.

44 Greedy-Algorithmus: max aufspannender Wald WH: Ein aufspannender Wald in einem Graphen G ist ein Wald der alle Knoten des des Graphen enthält. Wald bedeutet: der Graph enthält keine Kreise. Greedy-Max-Algorithmus: aufspannender Wald Input: Graph G = (V, E) mit Kantengewichten c e Output: Ein Wald W E mit maximalem Gewicht. Schritt 1, 2, 4 sind wie oben. Schritt 3: Für k = 1,..., n führe durch: Falls W {e k } keinen Kreis enthält, setze W := W {e k }

45 Greedy-Algorithmus: max aufspannender Wald WH: Ein aufspannender Wald in einem Graphen G ist ein Wald der alle Knoten des des Graphen enthält. Wald bedeutet: der Graph enthält keine Kreise. Greedy-Max-Algorithmus: aufspannender Wald Input: Graph G = (V, E) mit Kantengewichten c e Output: Ein Wald W E mit maximalem Gewicht. Schritt 1, 2, 4 sind wie oben. Schritt 3: Für k = 1,..., n führe durch: Falls W {e k } keinen Kreis enthält, setze W := W {e k }

46 Anwendung und Probleme 1 Anwendung Vorallem beim Design von Transport-, Kommunikations,- Energie- und Computernetzwerken. 2 Problem Der Greedy-Algorithmus findet optimale Lösungen, wenn er auf Matroiden angewendet wird. Auf Mengensystemen die das Axiom (M3) nicht erfüllen sind die Lösungen nicht optimal. Zum Beispiel bei bipartitem Matching

47 Anwendung und Probleme 1 Anwendung Vorallem beim Design von Transport-, Kommunikations,- Energie- und Computernetzwerken. 2 Problem Der Greedy-Algorithmus findet optimale Lösungen, wenn er auf Matroiden angewendet wird. Auf Mengensystemen die das Axiom (M3) nicht erfüllen sind die Lösungen nicht optimal. Zum Beispiel bei bipartitem Matching

48 Satz von Edmonds 1 Satz Seien (S, J 1 ) und (S, J 2 ) zwei Matroide und r 1, r 2 die zugehörigen Rangfunktionen. Dann gilt: max { I : I J 1 J 2 } = min U S (r 1 (U) + r 2 (S\U)) 2 Anwendung: Matching in bipartiten Graphen Satz von König.

49 Satz von Edmonds 1 Satz Seien (S, J 1 ) und (S, J 2 ) zwei Matroide und r 1, r 2 die zugehörigen Rangfunktionen. Dann gilt: max { I : I J 1 J 2 } = min U S (r 1 (U) + r 2 (S\U)) 2 Anwendung: Matching in bipartiten Graphen Satz von König.

50 Satz von Edmonds Algorithmus von Edmonds Edmonds entwickelte einen Algorithmus für den Schnitt von zwei Matroiden, der die Unabhängigkeitsmengen durch ein Orakel bestimmt und ein Element I J 1 J 2 ausgibt, das von maximaler Mächtigkeit ist. Er arbeitet über kürzeste Wege in bipartiten Hilfsgraphen und kann im Vgl. mit Greedy-Alg. Knoten hinzufügen und entfernen. Er löst das MATROID-INTERSECTION-PROBLEM in polynomialer Zeit.

1 Matroide. 1.1 Definitionen und Beispiele. Seminar zur ganzzahligen Optimierung Thema: Durchschnitt von Matroiden - Satz von Edmonds von Dany Sattler

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