Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 3: Minimal aufspannende Bäume und Matroide

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 3: Minimal aufspannende Bäume und Matroide"

Transkript

1 Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 3: Minimal aufspannende Bäume und Matroide Dipl-Math. Wolfgang Kinzner

2 Kapitel 3: Minimal aufspannende Bäume und Matroide Minimal aufspannende Bäume und MST-Problem Prim-Algorithmus Kruskal-Algorithmus Unabhängigkeitssysteme und Matroide Maximierungsproblem und Greedy-Algorithmus Rangquotient eines Unabhängigkeitssystems

3 Definition Minimal aufspannender Baum und MST-Problemstellung Sei G = (V, E, l) ein (ungerichteter) zusammenhängender Graph mit l : E R 0. Ein minimal aufspannender Baum (MST) von G ist ein Baum T = (V, F) G mit der Eigenschaft l(t) = min{l(t ) : T = (V, F ) G ist Baum}. MST-Problem: Input: Gewichteter zusammenhängender Graph G = (V, E, l). Output: MST in G.

4 Algorithmus von Prim Input: Graph G = (V, E), Längenfunktion l : E R 0 Output: Baum T = (V, F) Prim(G, l) (1) Wähle beliebigen Knoten s V (2) W := {s}, F :=, σ[s] := 0 (3) forall v N(s) do vor[v] := s, σ[v] := l(s, v) (4) forall v V \(N(s) {s}) do vor[v] :=NIL, σ[v] := (5) while W V (6) y := Knoten mit minimalem σ[.]-wert in V \ W (7) W := W {y}, F := F {vor[y], y} (8) forall z N(y) (V \ W) mit σ[z] > l(y, z) (9) σ(z) := l(y, z) (10) vor[z] := y

5 Funktionsweise des Prim-Algorithmus Beginnt mit beliebigem Knoten und baut sukzessive MST durch Hinzunahme der nächst größeren angrenzenden Kante zusammen. Laufzeit: O(n 2 ) (mit Fibonacci-Heaps: O(n log n+m))

6 Beispiel zum Prim-Algorithmus Folie 6

7 Algorithmus von Kruskal Input: Graph G = (V, E), Längenfunktion l : E R + Output: Baum T = (V, F) Kruskal(G, l) (1) Sortiere alle Kanten in E so, daß l(e 1 ) l(e m ) (2) F := (3) for i = 1 to m (4) if (V, F {e i }) kreisfrei then F := F {e i }

8 Funktionsweise des Kruskal-Algorithmus Sortiert zunächst die Kanten der Größe nach. Beginnt danach mit der kleinsten Kante und nimmt dann immer die nächst größere Kante hinzu, die keinen Kreis erzeugt. Laufzeit: O((m+n) log n)

9 Beispiel zum Kruskal-Algorithmus Folie 7

10 Übung 10 (MST-Algorithmen) (a) G und l können so gewählt sein, dass G einen Spannbaum T enthält, der vom Kruskal-Algorithmus nicht konstruiert werden kann, egal wie dieser eingestellt wird. (b) G und l können so gewählt sein, dass G einen Spannbaum T enthält, der bei entsprechdem Startknoten vom Prim-Algorithmus nicht konstruiert werden kann, egal wie dieser eingestellt wird. (c) Ist l injektiv, so liefern der Prim-Algorithmus und der Kruskal-Algorithmus dasselbe Ergebnis. (d) Ist l injektiv, dann wird der minimale Spannbaum auch immer vom (modifizierten) Dijkstra-Algorithmus korrekt erzeugt.

11 Übung 11 (Reverse Kruskal) Betrachten Sie den folgenden Algorithmus: Input: Zusammenhängender Graph G = (V, E, l), Längenfunktion l : E R 0 Output: Baum T = (V, F) ReverseKruskal(G, l) (1) Sortiere alle Kanten in E so, daß l(e 1 )... l(e m ) (2) for i = m to 1 do (3) if G e i zusammenhängend then G := G e i Zeigen Sie: (a) Reverse Kruskal erzeugt einen aufspannenden Baum von G. (b) Ist l injektiv, T R der von Reverse Kruskal erzeugte Baum und T der durch den klassischen Algorithmus von Kruskal erzeugte Baum dann gilt für die Kante e m mit dem größten Gewicht in E: e m ist Kante in T R e m ist Kante in T.

12 Beispiel zum Reverse-Kruskal-Algorithmus Folie 8

13 Definition Unabhängigkeitssystem, Matroid Ein Unabhängigkeitssystem ist ein Paar (E, I), wobei E eine endliche Menge ist und I (E) und die Bedingung erfüllt ist. B I, A B A I (1) E heißt Grundmenge, die Mengen A E mit A I heißen unabhängig, und die Mengen B E mit B I heißen abhängig. Wenn außerdem noch gilt, dass A, B I mit A < B : e B \ A mit (A {e}) I, (2) dann nennen wir (E, I) ein Matroid.

14 Basis, Kreis und Rang Sei U = (E, I) ein Unabhängigkeitssystem. Jede inklusionsmaximale unabhängige Menge von I heißt Basis. Jede inklusionsminimale abhängige Menge von I heißt Kreis. Oberen Rang von U := r + (U) := max{ B : B Basis von U}, Unteren Rang von U := r (U) := min{ B : B Basis von U}. Wenn r + (U) = r (U) =: r(u), dann heißt r(u) Rang von U. Es gilt: U ist genau dann ein Matroid, wenn F E und U F := (F, I F ) gilt, dass r + (U F ) = r (U F ).

15 Beispiele von Matroiden (1) Vektorraummatroid: Sei V ein Vektorraum, E eine Menge von Vektoren in V und I P(V) mit I := {F E : F ist linear unabhängige Familie von Vektoren in V } Dann ist (E, I) ein Matroid. Basen: Basen von I Rang: Dimension von I

16 Beispiele von Matroiden (2) Graphischer Matroid: Sei G = (V, E) ein Graph und sei I := {F E : (V, F) ist kreisfreier Graph }. Dann ist (E, I) ein Matroid. Unabhängige Mengen: Wälder Basen: Spannbäume Kreise: Kreise r(u) = V 1

17 Beispiel zum graphischen Matroid Folie 9

18 Übung 12 (Minimal aufspannende Bäume) Sei G = (V, E, l) ein gewichteter und zusammenhängender Graph. Beweisen Sie: Jeder MST ist ein spannender Baum mit kleinster größter Kante.

19 Übung 13 (Matroide) Sei G = (V, A, l) ein gerichteter, gewichteter Graph mit Gewichtsfunktion l : A R >0 und sei s V. Wir defnieren und P := {P : P ist gerichteter Weg in G mit Startknoten s} I := {A P : ( P 1, P 2 A mit P 1 P 2 : P 1 und P 2 haben verschiedene Endknoten g)} das Mengensystem, das eine Menge A von Wegen aus P genau dann als Element enthält, wenn alle Wege aus A verschiedene Endknoten haben. Zeigen Sie, dass M = (P, I) ein Matroid ist.

20 Maximierungsproblem und Greedy-Algorithmus Ein Maximierungsproblem über einem Unabhängigkeitssystem (E, I) ist gegeben durch eine Gewichtsfunktion l : E R 0. Für Mengen A I setze l(a) := e A l(e). Gesucht ist eine Menge A I mit l(a ) = max A I l(a). Greedy-Algorithmus: Input: Unabhängigkeitssystem (E, I), Gewichtsfunktion l : E R + Output: A g I Greedy-Max(E, I, l) (1) Sortiere E = {e 1,..., e m } so, daß l(e 1 ) l(e m ) (2) A g := (3) for i = 1 to m (4) if A g {e i } I then A g := A g {e i }

21 Rangquotient Sei U = (E, I) ein Unabhängigkeitssystem. Für F E setze wieder U F := (F, I F ) und 1 falls r + (U F ) = 0, κ(f) := r (U F ) r +(U F ) falls r (U F ) > 0. Dann heißt ρ(u) := min{κ(f) : F E} der Rangquotient von U. Es gilt: ρ(u) 1. U Matroid ρ(u) = 1.

22 Wichtige Resultate Hauptsatz: Sei (E, I, l) eine Maximierungsaufgabe über dem Unabhängigkeitssystem U = (E, I) mit Greedy-Lösung A g E und optimaler Lösung A E. Dann gilt 1 l(ag ) l(a ) ρ(u), und es gibt eine Gewichtsfunktion l : E R 0, für die die zweite Ungleichung mit Gleichheit gilt. Korollar von Edmonds-Rado: Sei U = (E, I) ein Unabhängigkeitssystem. Dann gilt: U ist genau dann Matroid, wenn der Greedy-Algorithmus für jede Funktion l : E R 0 eine optimale Lösung der Maximierungsaufgabe (E, I, l) findet.

23 Übung 14 (Unabhängigkeitssystem und Rangquotient) Sei G = (V, E) ein Graph mit E. Eine Teilmenge M E heißt Matching, falls für alle e, e M mit e e gilt, dass e e =. Wir definieren I := {M E : M Matching}. (a) Zeigen Sie, dass U := (E, I) ein Unabhängigkeitssystem, aber i.a. kein Matroid ist. (b) Zeigen Sie, dass ein inklusionsmaximales Matching M stets der folgenden Beziehung genügt: (c) Beweisen Sie ρ(u) 1 2. M 1 2 max M I M.

Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph.

Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. a) Es seien W 1 = (V, E 1 ), W 2 = (V, E 2 ) Untergraphen von G, die beide Wälder sind. Weiter gelte E 1 > E 2.

Mehr

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 Teil 5 Prof. Peter F. Stadler & Dr. Christian Höner zu Siederdissen Bioinformatik/IZBI Institut für Informatik & Interdisziplinäres Zentrum für Bioinformatik Universität

Mehr

Durchschnitt von Matroiden

Durchschnitt von Matroiden Durchschnitt von Matroiden Satz von Edmonds Dany Sattler 18. Januar 2007/ Seminar zur ganzzahligen Optimierung / Wallenfels Definition: Unabhängigkeitssystem Definition: Ein Mengensystem (S, J ) nennt

Mehr

KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN

KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN F. VALLENTIN, A. GUNDERT 1. Definitionen Notation 1.1. Ähnlich wie im vorangegangenen Kapitel zunächst etwas Notation. Wir beschäftigen uns jetzt mit ungerichteten

Mehr

Minimal spannende Bäume

Minimal spannende Bäume http://www.uni-magdeburg.de/harbich/ Minimal spannende Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke-Universität 2 Inhalt Definition Wege Untergraphen Kantengewichtete Graphen Minimal spannende Algorithmen

Mehr

Algo&Komp. - Wichtige Begriffe Mattia Bergomi Woche 6 7

Algo&Komp. - Wichtige Begriffe Mattia Bergomi Woche 6 7 1 Kürzeste Pfade Woche 6 7 Hier arbeiten wir mit gewichteten Graphen, d.h. Graphen, deren Kanten mit einer Zahl gewichtet werden. Wir bezeichnen die Gewichtsfunktion mit l : E R. Wir wollen einen kürzesten

Mehr

Definition Gerichteter Pfad. gerichteter Pfad, wenn. Ein gerichteter Pfad heißt einfach, falls alle u i paarweise verschieden sind.

Definition Gerichteter Pfad. gerichteter Pfad, wenn. Ein gerichteter Pfad heißt einfach, falls alle u i paarweise verschieden sind. 3.5 Gerichteter Pfad Definition 291 Eine Folge (u 0, u 1,..., u n ) mit u i V für i = 0,..., n heißt gerichteter Pfad, wenn ( i {0,..., n 1} ) [ (u i, u i+1 ) A]. Ein gerichteter Pfad heißt einfach, falls

Mehr

3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel

3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel EADS 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen 16/36

Mehr

Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem

Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Dipl-Math. Wolfgang Kinzner 4.4.2012 Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Matching und Matchingproblem Flussalgorithmus

Mehr

Algorithmen & Komplexität

Algorithmen & Komplexität Algorithmen & Komplexität Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik steger@inf.ethz.ch Kürzeste Pfade Problem Gegeben Netzwerk: Graph G = (V, E), Gewichtsfunktion w: E N Zwei Knoten: s, t Kantenzug/Weg

Mehr

S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J

S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J Greedy-Strategie Definition Paradigma Greedy Der Greedy-Ansatz verwendet die Strategie 1 Top-down Auswahl: Bestimme in jedem Schritt eine lokal optimale Lösung, so dass man eine global optimale Lösung

Mehr

\ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E.

\ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E. Das Komplement Ḡ = (V, ( V ) \ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E. Ein Graph H = (V, E )

Mehr

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen)

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen werden oft für die exakte oder approximative Lösung von Optimierungsproblemen verwendet. Typischerweise konstruiert ein Greedy-Algorithmus eine

Mehr

1. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2009/2010

1. Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2009/2010 . Klausur zur Vorlesung Algorithmentechnik Wintersemester 2009/200 Lösung! Beachten Sie: Bringen Sie den Aufkleber mit Ihrem Namen und Matrikelnummer auf diesem Deckblatt an und beschriften Sie jedes Aufgabenblatt

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales

Mehr

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 9: Minimale Spannbäume

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 9: Minimale Spannbäume Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I Kapitel 9: Minimale Spannbäume Christian Scheideler WS 008 19.0.009 Kapitel 9 1 Minimaler Spannbaum Zentrale Frage: Welche Kanten muss ich nehmen, um mit minimalen

Mehr

Kapitel 4: Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 4: Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Kapitel : Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen 2. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Wege. Traveling

Mehr

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Sommersemester 00

Mehr

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3.1 Das MIN- -TSP Wir kehren nochmal zurück zum Handlungsreisendenproblem für Inputs (w {i,j} ) 1 i

Mehr

Kapitel 4: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 4: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Kapitel : Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken

Mehr

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V.

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V. Kapitel 4 Graphenalgorithmen 4.1 Definitionen Definition 4.1.1. Der Graph G = (V, E) ist über die beiden Mengen V und E definiert, wobei V die Menge der Knoten und E die Menge der Kanten in dem Graph ist.

Mehr

Minimal spannende Bäume

Minimal spannende Bäume Minimal spannende Bäume Ronny Harbich 4. Mai 006 (geändert 19. August 006) Vorwort Ich danke Patrick Bahr und meinem Bruder Steffen Harbich für die Unterstützung bei dieser Arbeit. Sie haben sowohl zu

Mehr

Das Heiratsproblem. Definition Matching

Das Heiratsproblem. Definition Matching Das Heiratsproblem Szenario: Gegeben: n Frauen und m > n Männer. Bekanntschaftsbeziehungen zwischen allen Männern und Frauen. Fragestellung: Wann gibt es für jede der Frauen einen Heiratspartner? Modellierung

Mehr

Minimal spannender Baum

Minimal spannender Baum Minimal spannender Baum 16 1 2 21 5 11 19 6 6 3 14 33 10 5 4 18 Die Kreise zeigen die vorgesehenen Standorte neu zu errichtender Filialen einer Bank. Entlang der bestehenden Straßen sollen Telefonleitungen

Mehr

f h c 7 a 1 b 1 g 2 2 d

f h c 7 a 1 b 1 g 2 2 d ) Man bestimme mit Hilfe des Dijkstra-Algorithmus einen kürzesten Weg von a nach h: c 7 a b f 5 h 3 4 5 i e 6 g 2 2 d Beim Dijkstra-Algorithmus wird in jedem Schritt von den noch unmarkierten Knoten jener

Mehr

8 Diskrete Optimierung

8 Diskrete Optimierung 8 Diskrete Optimierung Definition 8.1. Ein Graph G ist ein Paar (V (G), E(G)) besteh aus einer lichen Menge V (G) von Knoten (oder Ecken) und einer Menge E(G) ( ) V (G) 2 von Kanten. Die Ordnung n(g) von

Mehr

Anmerkungen zur Übergangsprüfung

Anmerkungen zur Übergangsprüfung DM11 Slide 1 Anmerkungen zur Übergangsprüfung Aufgabeneingrenzung Aufgaben des folgenden Typs werden wegen ihres Schwierigkeitsgrads oder wegen eines ungeeigneten fachlichen Schwerpunkts in der Übergangsprüfung

Mehr

3. Musterlösung. Problem 1: Boruvka MST

3. Musterlösung. Problem 1: Boruvka MST Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 06/07 ITI Wagner. Musterlösung Problem : Boruvka MST pt (a) Beweis durch Widerspruch. Sei T MST von G, e die lokal minimale Kante eines

Mehr

KAPITEL 4 FLÜSSE IN NETZWERKEN

KAPITEL 4 FLÜSSE IN NETZWERKEN KAPITEL 4 FLÜSSE IN NETZWERKEN F. VALLENTIN, A. GUNDERT 1. Das Max-Flow-Min-Cut Theorem Es sei D = (V, A) ein gerichteter Graph, s, t V zwei Knoten. Wir nennen s Quelle und t Senke. Definition 1.1. Eine

Mehr

Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen

Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Ein Graph G = (V, E) wird durch die Knotenmenge V und die Kantenmenge E repräsentiert. G ist ungerichtet, wenn wir keinen Start- und Zielpunkt der Kanten auszeichnen.

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 5. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Wdhlg.: Dijkstra-Algorithmus I Bestimmung der

Mehr

Bäume und Wälder. Definition 1

Bäume und Wälder. Definition 1 Bäume und Wälder Definition 1 Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph. Ein Wald ist ein Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind. Ein Knoten v eines Baums mit Grad deg(v) = 1 heißt

Mehr

4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen

4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen 4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen Abstände in Graphen Definition 4.4. Es sei G = (V,E) ein Graph. Der Abstand d(v,w) zweier Knoten v,w V ist die minimale Länge eines Weges von v nach w. Falls

Mehr

Kapitel 4: Netzplantechnik Gliederung der Vorlesung

Kapitel 4: Netzplantechnik Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege 4. Netzplantechnik 5. Minimal spannende Bäume 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse in Netzwerken

Mehr

Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren.

Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren. . Quicksort Wie bei vielen anderen Sortierverfahren (Bubblesort, Mergesort, usw.) ist auch bei Quicksort die Aufgabe, die Elemente eines Array a[..n] zu sortieren. Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren.

Mehr

11. Übungsblatt zu Algorithmen I im SS 2010

11. Übungsblatt zu Algorithmen I im SS 2010 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Sanders G.V. Batz, C. Schulz, J. Speck 11. Übungsblatt zu Algorithmen I im SS 2010 http://algo2.iti.kit.edu/algorithmeni.php

Mehr

Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein

Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein Vortrag von Michael Daumen am 13.12.2000 Thema : Minimum Spanning Tree und 2-Approximation der TSP-Tour Inhalt des Vortrags : 1. genaue Vorstellung des

Mehr

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. äume / Graphen. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/6, Folie 1 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI

Mehr

5. Musterlösung. Problem 1: Vitale Kanten * ω(f) > ω(f ). (a) Untersuchen Sie, ob es in jedem Netzwerk vitale Kanten gibt.

5. Musterlösung. Problem 1: Vitale Kanten * ω(f) > ω(f ). (a) Untersuchen Sie, ob es in jedem Netzwerk vitale Kanten gibt. Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 05/06 ITI Wagner 5. Musterlösung Problem : Vitale Kanten * In einem Netzwerk (D = (V, E); s, t; c) mit Maximalfluß f heißen Kanten e

Mehr

3. Musterlösung. Problem 1: Heapsort

3. Musterlösung. Problem 1: Heapsort Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 05/06 ITI Wagner 3. Musterlösung Problem : Heapsort ** 2 3 4 5 Algorithmus : Heapsort (A) Eingabe : Array A der Länge n Ausgabe : Aufsteigend

Mehr

2. Optimierungsprobleme 6

2. Optimierungsprobleme 6 6 2. Beispiele... 7... 8 2.3 Konvexe Mengen und Funktionen... 9 2.4 Konvexe Optimierungsprobleme... 0 2. Beispiele 7- Ein (NP-)Optimierungsproblem P 0 ist wie folgt definiert Jede Instanz I P 0 hat einen

Mehr

6. Übung zur Linearen Optimierung SS08

6. Übung zur Linearen Optimierung SS08 6 Übung zur Linearen Optimierung SS08 1 Sei G = (V, E) ein schlichter ungerichteter Graph mit n Ecken und m Kanten Für eine Ecke v V heißt die Zahl der Kanten (u, v) E Grad der Ecke (a) Ist die Anzahl

Mehr

Übungsblatt 2 - Lösung

Übungsblatt 2 - Lösung Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 2 - Lösung Vorlesung Algorithmentechnik im WS 08/09 Ausgabe 04. November 2008 Abgabe 8. November, 5:0 Uhr (im Kasten vor Zimmer

Mehr

Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf

Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005 Paradigmen im Algorithmenentwurf Problemlösen Problem definieren Algorithmus entwerfen

Mehr

KAPITEL 6 GANZZAHLIGE OPTIMIERUNG UND VOLLSTÄNDIG UNIMODULARE MATRIZEN

KAPITEL 6 GANZZAHLIGE OPTIMIERUNG UND VOLLSTÄNDIG UNIMODULARE MATRIZEN KPITEL 6 GNZZHLIGE OPTIMIERUNG UND VOLLSTÄNDIG UNIMODULRE MTRIZEN F. VLLENTIN,. GUNDERT. Ganzzahlige lineare Programme Viele Optimierungsprobleme des Operations Research lassen sich als ganzzahlige lineare

Mehr

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 ADS: Algorithmen und Datenstrukturen Der Tragödie IV. Theyl Peter F. Stadler & Konstantin Klemm Bioinformatics Group, Dept. of Computer Science & Interdisciplinary Center for Bioinformatics, University

Mehr

C++, LEDA und STL Visualisierung minimal/maximal aufspannender Bäume

C++, LEDA und STL Visualisierung minimal/maximal aufspannender Bäume Fachbereich IV, Informatik Softwarepraktikum C++, LEDA und STL Visualisierung minimal/maximal aufspannender Bäume Wintersemester 2004/2005 Dokumentation Algorithmen zur Lösung von MST - Problemen Nicolas

Mehr

Graph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten

Graph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten Graphentheorie Graph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten gerichteter Graph (DiGraph (directed graph) E: Teilmenge E

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10

Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10 Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10 Flüsse Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6. Januar 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/8 Flüsse Graphen Grundlagen Definition

Mehr

Der Greedy-Algorithmus und unendliche Matroide

Der Greedy-Algorithmus und unendliche Matroide FernUniversität in Hagen Fakultät für Mathematik und Informatik Bachelorarbeit Der Greedy-Algorithmus und unendliche Matroide Christoph Horst Paderborn, 25. September 2012 Betreuer: Prof. Dr. Winfried

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am

Algorithmen II Vorlesung am Algorithmen II Vorlesung am 0..0 Minimale Schnitte in Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum

Mehr

Das Steinerbaumproblem

Das Steinerbaumproblem Das Steinerbaumproblem Natalie Richert Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik, Universität Paderborn 4. Februar 008 / 3 Überblick Problembeschreibung Vorstellung von zwei Approimationsalgorithmen

Mehr

3.2 Unabhängigkeitsstrukturen

3.2 Unabhängigkeitsstrukturen 80 3.2 Unabhängigkeitsstrukturen Unser Ziel ist der Nachweis, daß in Vektorräumen, also in Moduln über Körpern, Basen existieren und zwei endliche Basen gegebenenfalls von derselben Ordnung sind. (Basen

Mehr

Gliederung. Definition Wichtige Aussagen und Sätze Algorithmen zum Finden von Starken Zusammenhangskomponenten

Gliederung. Definition Wichtige Aussagen und Sätze Algorithmen zum Finden von Starken Zusammenhangskomponenten Gliederung Zusammenhang von Graphen Stark Zusammenhängend K-fach Zusammenhängend Brücken Definition Algorithmus zum Finden von Brücken Anwendung Zusammenhangskomponente Definition Wichtige Aussagen und

Mehr

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete 4.4 Binäre Suche Aufgabenstellung: Rate eine Zahl zwischen 100 und 114! Algorithmus 4.1 INPUT: OUTPUT:

Mehr

5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c)

5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) 5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) mit V = {1,...,n} und E {(v, w) 1 apple v, w apple n, v 6= w}. c : E!

Mehr

Effiziente Algorithmen I

Effiziente Algorithmen I H 10. Präsenzaufgabenblatt, Wintersemester 2015/16 Übungstunde am 18.01.2015 Aufgabe Q Ein Reiseveranstalter besitzt ein Flugzeug, das maximal p Personen aufnehmen kann. Der Veranstalter bietet einen Flug

Mehr

Grundlagen Datenstrukturen Transitive Hülle Traversierung Kürzeste Wege Spannender Baum Max. Fluss Zuordnungen. 6. Graphen

Grundlagen Datenstrukturen Transitive Hülle Traversierung Kürzeste Wege Spannender Baum Max. Fluss Zuordnungen. 6. Graphen . Graphen viele praktische (Optimierungs-)Probleme sind als graphentheoretische Probleme formulierbar z.b. in Produktionsplanung, Personaleinsatzplanung,.... Grundlagen gerichteter, ungerichteter und gewichteter

Mehr

Bild, Faser, Kern. Stefan Ruzika. 23. Mai Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz

Bild, Faser, Kern. Stefan Ruzika. 23. Mai Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 23. Mai 2016 Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai 2016 1 / 11 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume 4 Basis

Mehr

Wie findet man den optimalen Weg zum Ziel? Klassische Probleme der Kombinatorischen Optimierung

Wie findet man den optimalen Weg zum Ziel? Klassische Probleme der Kombinatorischen Optimierung Wie findet man den optimalen Weg zum Ziel? Klassische Probleme der Kombinatorischen Optimierung Teilnehmer/innen: Markus Dahinten, Graf Münster Gymnasium Bayreuth Robert Fay, Herder Gymnasium Berlin Falko

Mehr

Minimum Spanning Tree

Minimum Spanning Tree 1.5 1.5 1.0 0.75.0 0.75 Gegeben ein Graph G = (V, E). Die Knotenmenge V repräsentiere eine Menge von Spezies. Jede Kante e = (v,u) ist beschriftet mit der evolutionäre Distanz w(v,u) (Kantengewicht) des

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen SS07

Datenstrukturen und Algorithmen SS07 Datenstrukturen und Algorithmen SS07 Datum: 27.6.2007 Michael Belfrage mbe@student.ethz.ch belfrage.net/eth Programm von Heute Online Algorithmen Update von Listen Move to Front (MTF) Transpose Approximationen

Mehr

Universität Karlsruhe (TH) Algorithmen für Rechnerbündel III

Universität Karlsruhe (TH) Algorithmen für Rechnerbündel III Universität Karlsruhe (TH) Forschungsuniversität gegründet 1825 Algorithmen für Rechnerbündel III Prof. Dr. Walter F. Tichy Thomas Moschny Ali Jannesari Minimaler Spannbaum (1) Auch: minimales Gerüst Sei

Mehr

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen 186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 Übungsblatt 4 für die Übung

Mehr

Skalarprodukt, Norm & Metrik

Skalarprodukt, Norm & Metrik Skalarprodukt, Norm & Metrik Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 11. Mai 2016 Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai 2016 1 / 13 Gliederung 1

Mehr

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 6: Graphentheorie

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 6: Graphentheorie Referenzen zum Nacharbeiten: Diskrete Mathematik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 6: Graphentheorie Lang 6 Beutelspacher 8.1-8.5 Meinel 11 zur Vertiefung: Aigner 6, 7 (7.4: Algorithmus von Dijkstra) Matousek

Mehr

Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem

Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem Andreas Moser Dietmar Ebner Christian Schauer Markus Bauer 9. Dezember 2003 1 Einführung Der in der Vorlesung gezeigte Algorithmus für das Steiner

Mehr

15. Elementare Graphalgorithmen

15. Elementare Graphalgorithmen Graphen sind eine der wichtigste Modellierungskonzepte der Informatik Graphalgorithmen bilden die Grundlage vieler Algorithmen in der Praxis Zunächst kurze Wiederholung von Graphen. Dann Darstellungen

Mehr

Algorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse

Algorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse Algorithmentheorie 3 - Maximale Flüsse Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann . Maximale Flüsse in Netzwerken 5 3 4 7 s 0 5 9 5 9 4 3 4 5 0 3 5 5 t 8 8 Netzwerke und Flüsse N = (V,E,c) gerichtetes Netzwerk

Mehr

Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE

Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE 34 Kürzeste Wege im Graphen Motivation! Heute:! Kürzeste Wege von einem Knoten (SSSP)! Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren (APSP)! Viele Anwendungen:! Navigationssysteme!

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 11. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Das Rucksack-Problem Ein Dieb, der einen Safe

Mehr

12.4 Traveling Salesman Problem

12.4 Traveling Salesman Problem 96 KOMBINATORISCHE SUCHE.4 Traveling Salesman Problem Definition.3(TSP, Problem des Handlungsreisenden): Wir betrachten einen gerichteten, gewichteten Graphen G = (V,E) mit K : V R. K({u,v}) sind die Kosten

Mehr

Wiederholung zu Flüssen

Wiederholung zu Flüssen Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:

Mehr

Graphentheorie. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Rainer Schrader. 14. November Gliederung.

Graphentheorie. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Rainer Schrader. 14. November Gliederung. Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 14. November 2007 1 / 22 2 / 22 Gliederung eulersche und semi-eulersche Graphen Charakterisierung eulerscher Graphen Berechnung eines

Mehr

Studientag zur Algorithmischen Mathematik

Studientag zur Algorithmischen Mathematik Studientag zur Algorithmischen Mathematik Eulertouren, 2-Zusammenhang, Bäume und Baumisomorphismen Winfried Hochstättler Diskrete Mathematik und Optimierung FernUniversität in Hagen 22. Mai 2011 Outline

Mehr

9. Übung Algorithmen I

9. Übung Algorithmen I Timo Bingmann, Christian Schulz INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS 1 KIT Timo Universität Bingmann, des LandesChristian Baden-Württemberg Schulz und nationales Forschungszentrum in der

Mehr

Bäume und Wälder. Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann

Bäume und Wälder. Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann Bäume und Wälder Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann Ida Feldmann 2-Fach Bachelor Mathematik und Biologie 6. Fachsemester Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1. Bäume

Mehr

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Pfade. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken

Mehr

1. Einleitung wichtige Begriffe

1. Einleitung wichtige Begriffe 1. Einleitung wichtige Begriffe Da sich meine besondere Lernleistung mit dem graziösen Färben (bzw. Nummerieren) von Graphen (speziell von Bäumen), einem Teilgebiet der Graphentheorie, beschäftigt, und

Mehr

2. Woche Eindeutige Entschlüsselbarleit, Sätze von Kraft und McMillan, Huffmancodierung

2. Woche Eindeutige Entschlüsselbarleit, Sätze von Kraft und McMillan, Huffmancodierung 2 Woche Eindeutige Entschlüsselbarleit, Sätze von Kraft und McMillan, Huffmancodierung 2 Woche: Eindeutige Entschlüsselbarleit, Sätze von Kraft und McMillan, Huffmancodierung 24/ 44 Zwei Beispiele a 0

Mehr

Steinerbäume. Seminarausarbeitung Hochschule Aalen Fakultät für Elektronik und Informatik Studiengang Informatik Schwerpunkt Software Engineering

Steinerbäume. Seminarausarbeitung Hochschule Aalen Fakultät für Elektronik und Informatik Studiengang Informatik Schwerpunkt Software Engineering Steinerbäume Seminarausarbeitung Hochschule Aalen Fakultät für Elektronik und Informatik Studiengang Informatik Schwerpunkt Software Engineering Verfasser Flamur Kastrati Betreuer Prof. Dr. habil. Thomas

Mehr

Felix Brandt, Jan Johannsen. Vorlesung im Wintersemester 2008/09

Felix Brandt, Jan Johannsen. Vorlesung im Wintersemester 2008/09 Felix Brandt, Jan Johannsen Vorlesung im Wintersemester 2008/09 Übersicht Übersicht Definition Ein Matching in G = (V, E) ist eine Menge M E mit e 1 e 2 = für e 1, e 2 M, e 1 e 2 Ein Matching M ist perfekt,

Mehr

Toleranzbasierte Algorithmen für das Travelling Salesman Problem. Gerold Jäger

Toleranzbasierte Algorithmen für das Travelling Salesman Problem. Gerold Jäger Toleranzbasierte Algorithmen für das Travelling Salesman Problem Gerold Jäger (Zusammenarbeit mit Jop Sibeyn, Boris Goldengorin) Institut für Informatik Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg gerold.jaeger@informatik.uni-halle.de

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 3. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Algorithmen für Graphen Fragestellungen: Suche

Mehr

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann)

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann) Lösungen zum 14. und letzten Aufgabenblatt zur Vorlesung MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann) 1. Ungerichtete Graphen (a) Beschreiben Sie einen Algorithmus, der algorithmisch feststellt, ob

Mehr

Ausarbeitung zum Modulabschluss. Graphentheorie. spannende Bäume, bewertete Graphen, optimale Bäume, Verbindungsprobleme

Ausarbeitung zum Modulabschluss. Graphentheorie. spannende Bäume, bewertete Graphen, optimale Bäume, Verbindungsprobleme Universität Hamburg Fachbereich Mathematik Seminar: Proseminar Graphentheorie Dozentin: Haibo Ruan Sommersemester 2011 Ausarbeitung zum Modulabschluss Graphentheorie spannende Bäume, bewertete Graphen,

Mehr

κ(k) k K S Algorithmus zur Bestimmung eines spannenden Baumes mit minimalen Kosten (Kruskal, 1965).

κ(k) k K S Algorithmus zur Bestimmung eines spannenden Baumes mit minimalen Kosten (Kruskal, 1965). 5. Graphenprobleme Im folgenden bezeichnen G = (E, K) einen endlichen Graphen mit der Eckenmenge E und der Kantenmenge K. G kann ungerichtet, gerichtet, schlicht oder nicht schlicht sein. 5.1 Spannende

Mehr

Uberblick 1. Kurzeste Wege 2. Sichtbarkeitsgraphen 3. Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 4. Kurzeste Wege fur polygonale Roboter 1

Uberblick 1. Kurzeste Wege 2. Sichtbarkeitsgraphen 3. Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 4. Kurzeste Wege fur polygonale Roboter 1 Vorlesung Geometrische Algorithmen Sichtbarkeitsgraphen und kurzeste Wege Sven Schuierer Uberblick 1. Kurzeste Wege 2. Sichtbarkeitsgraphen 3. Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 4. Kurzeste Wege fur polygonale

Mehr

Mit kombinatorischer Optimierung zur Nadel im Heuhaufen

Mit kombinatorischer Optimierung zur Nadel im Heuhaufen Mit kombinatorischer Optimierung zur Nadel im Heuhaufen Rico Zenklusen ETH Zurich Was ist kombinatorische Optimierung? Finde beste/gute Lösung in einer riesigen Menge endlich vieler Möglichkeiten. / 0

Mehr

Aufgabe 1: Berechnen Sie für den in Abbildung 1 gegebenen Graphen den. Abbildung 1: Graph für Flussproblem in Übungsaufgabe 1

Aufgabe 1: Berechnen Sie für den in Abbildung 1 gegebenen Graphen den. Abbildung 1: Graph für Flussproblem in Übungsaufgabe 1 Lösungen zu den Übungsaufgaben im Kapitel 4 des Lehrbuches Operations Research Deterministische Modelle und Methoden von Stephan Dempe und Heiner Schreier Aufgabe 1: Berechnen Sie für den in Abbildung

Mehr

Lineare Algebra I. - 9.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Korrektur: 2. Klausurtermin:

Lineare Algebra I. - 9.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Korrektur: 2. Klausurtermin: Lineare Algebra I - 9.Vorlesung - rof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß Korrektur: 2. Klausurtermin: 09.02.2017 Linearkombination von Vektoren lineare Hülle Erzeugendensystem S lineare Unabhängigkeit

Mehr

Zugeordneter bipartiter Graph

Zugeordneter bipartiter Graph Zugeordneter bipartiter Graph Für ein Transportproblem sei A = {A 1,...,A m } die Menge der Fabriken und B = {B 1,...,B n } sei die Menge der Warenhäuser. Wir ordnen nun einem Transportproblem einen bipartiten

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 4. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Traversierung Durchlaufen eines Graphen, bei

Mehr

Very simple methods for all pairs network flow analysis

Very simple methods for all pairs network flow analysis Very simple methods for all pairs network flow analysis Tobias Ludes 02.07.07 Inhalt Einführung Algorithmen Modifikation der Gomory-Hu Methode Einführung Nach Gomory-Hu nur n-1 Netzwerk-Fluss- Berechnungen

Mehr

Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14) Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 05.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 14 Linearkombinationen Definition Es sei V ein reeller Vektorraum. Es sei (v i ) i

Mehr

1 2. Körpererweiterungen

1 2. Körpererweiterungen 1 2. Körpererweiterungen 1 2. 1. Definition: Sind K, L Körper und i: K L ein Ringhomomorphismus, so ist i injektiv, wir fassen K vermöge i als Unterkörper von L auf, schreiben dafür L K und nennen L eine

Mehr

8. A & D - Heapsort. Werden sehen, wie wir durch geschicktes Organsieren von Daten effiziente Algorithmen entwerfen können.

8. A & D - Heapsort. Werden sehen, wie wir durch geschicktes Organsieren von Daten effiziente Algorithmen entwerfen können. 8. A & D - Heapsort Werden sehen, wie wir durch geschicktes Organsieren von Daten effiziente Algorithmen entwerfen können. Genauer werden wir immer wieder benötigte Operationen durch Datenstrukturen unterstützen.

Mehr