Berechnung minimaler Spannbäume. Beispiel

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1 Minimale Spannbäume Definition Sei G pv, Eq ein ungerichteter Graph und sei w : E Ñ R eine Funktion, die jeder Kante ein Gewicht zuordnet. Ein Teilgraph T pv 1, E 1 q von G heißt Spannbaum von G genau dann wenn V 1 V und T ein Baum ist. Ein minimaler Spannbaum (MST) von G ist ein Spannbaum von G, der minimales Kantengewicht hat. Beispiel C. Komusiewicz 9.3 Graphalgorithmen: Spannbäume 169 Berechnung minimaler Spannbäume Eingabe: Ein ungerichteter Graph G pv, Eq mit Kantengewichten w : E Ñ R Ausgabe: Ein Spannbaum von T mit minimalem Gewicht. Anwendungen: Design von Telekommunikations-, Transport- und Elektrizätsnetzwerken, Bildsegmentierung, Clustern von Datenpunkten Algorithmischer Ansatz: Bestimme die Kanten der Lösung iterativ. Verwalte dazu eine Kantenmenge A, sodass A jederzeit Teilmenge der Kantenmenge eines MST T ist. Berechne in jeder Iteration eine Kante tu, vu, so dass A Y tu, vu auch Teilmenge der Kantenmenge eines MST T ist. Eine solche Kante heißt sicher. C. Komusiewicz 9.3 Graphalgorithmen: Spannbäume 170

2 Generischer Algorithmus: Pseudocode Generic-MSTpG pv, Eq, wq 1 A : H 2 while pv, Aq ist kein Spannbaum do 3 Bestimme Kante tu, vu P EzA die sicher für A ist 4 A : A Y tu, vu 5 return pv, Aq Klar: A ist immer Teil eines minimalen Spannbaums Algorithmus ist korrekt Es existiert immer eine sichere Kante Wie findet man sichere Kanten? Verschiedene Strategien verschiedene Algorithmen... C. Komusiewicz 9.3 Graphalgorithmen: Spannbäume 171 Schnitte und leichte Kanten Definition Sei G pv, Eq ein zusammenhängender ungerichteter Graph und w : E Ñ R eine Gewichtsfunktion 1. Ein Schnitt ps, V zsq von G ist eine Zerlegung von V. 2. Eine Kante e kreuzt den Schnitt ps, V zsq genau dann wenn e X S e X pv zsq Eine Menge A respektiert den Schnitt ps, V zsq genau denn wenn keine Kante aus A den Schnitt kreuzt. 4. Eine Kante e ist eine leichte Kante des Schnitts ps, V zsq gdw. wpeq mintwpe 1 q : e 1 kreuzt ps, V zsqu und e kreuzt ps, V zsq. Beispiel C. Komusiewicz 9.3 Graphalgorithmen: Spannbäume 172

3 Charakterisierung sicherer Kanten Satz 9.5 Sei G pv, Eq ein zusammenhängender ungerichteter Graph mit Gewichtsfunktion w : E Ñ R. Sei A Ď E eine Teilmenge der Kantenmenge eines MST von G. Sei ps, V zsq ein Schnitt, der von A respektiert wird und sei e eine leichte Kante des Schnitts. Dann ist e eine sichere Kante für A. Beweis Ñ Tafel C. Komusiewicz 9.3 Graphalgorithmen: Spannbäume 173 Algorithmus von Kruskal Der Algorithmus von Kruskal basiert auf Generic-MST. Regel zur Bestimmung sicherer Kanten in Zeile 3: Wähle die Kante e mit minimalem Gewicht, die zwei Bäume in pv, Aq verbindet. Fakt 9.2 Eine so gewählte Kante ist eine sichere Kante für A. C. Komusiewicz 9.3 Graphalgorithmen: Spannbäume 174

4 Algorithmus von Kruskal: Umsetzung Die Menge A wird von einer Union-Find-Datenstruktur verwaltet. Jede Menge der Datenstruktur enthält Knoten eines Baumes des aktuellen Waldes. Kruskal-MSTpG pv, Eq, wq 1 A : H 2 foreach v P V do 3 Make-Setpv q 4 sortiere die Kanten E aufsteigend nach Gewicht, so dass wptu 1, v 1 uq ď wptu 2, v 2 uq ď... ď wptu m, v m uq 5 for i : 1 to m do 6 if Find-Setpu i q Find-Setpv i q then 7 A : A Y tu i, v i u 8 Unionpu i, v i q 9 return pv, Aq C. Komusiewicz 9.3 Graphalgorithmen: Spannbäume 175 Algorithmus von Kruskal: Laufzeit Satz 9.6 Der Algorithmus von Kruskal kann so implementiert werden, dass er Laufzeit Op E logp V qq hat. C. Komusiewicz 9.3 Graphalgorithmen: Spannbäume 176

5 Algorithmus von Prim: Ansatz Der Algorithmus von Prim beruht ebenfalls auf Generic-MST. Die Kanten der Menge A bilden jeweils einen Baum. In jedem Schritt wird eine leichte Kante für den Schnitt pa, V zaq hinzugefügt. Die Kante ist sicher nach Satz 9.5. Der Baum von A wird um einen Knoten erweitert. C. Komusiewicz 9.3 Graphalgorithmen: Spannbäume 177 Algorithmus von Prim: Umsetzung Bestimmung der leichten Kante: Speichere Knoten in Priority Queue, die Priorität von v ist das Gewicht zwischen v und A. Prim-MSTpG pv, Eq, w, rq 1 A : H 2 foreach v P V do 3 keyrvs : 8 4 πrus : NIL 5 keyrrs : 0 6 Q : V ztru 7 while Q H do 8 u : Extract-MinpQq 9 foreach v P ALrus do 10 if v P Q und wpu, vq ă keyrvs then 11 πrvs : u 12 keyrvs : wptu, vuq 13 return pv, Aq C. Komusiewicz 9.3 Graphalgorithmen: Spannbäume 178

6 Algorithmus von Prim: Laufzeit Satz 9.7 Der Algorithmus von Prim kann so implementiert werden, dass er Laufzeit Op E ` V log V q hat. Bemerkung: C. Komusiewicz 9.3 Graphalgorithmen: Spannbäume 179