Zweizusammenhang und starker Zusammenhang

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1 .. Zeizusammenhang und starker Zusammenhang Carsten Gutenger Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen WS /. Januar Zeizusammenhang Betrachte ein Netzerk (Graph) Z.B. Computernetzerk, Flug- oder Schienennetzerk Einfacher Zusammenhang: Es existiert eine Verbindung zischen je zei Punkten Was geschieht, enn eine Verbindung oder ein Knoten im Netzerk ausfällt? Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang Beispiel: Brücke, Artikulation Brücke, Artikulation Artikulationspunkt Brücke Sei G=(V,E) ein zusammenhängender Graph. Definition: Eine Kante e E heißt Brücke gd. G-e nicht zusammenhängend ist. Definition: Ein Knoten V heißt Artikulation (Schnittknoten, cut ertex) gd. G- nicht zusammenhängend ist. Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang Kanten-zusammenhängend Beispiel: Brücken-ZKen Sei G=(V,E) ein zusammenhängender Graph Definition: Enthält G keine Brücke, dann heißt G kanten-zusammenhängend (edge-connected), sonst kanten-separierbar (edge-separable). Löschen aller Brücken in G Brückenzusammenhangskomponenten (bridgeconnected components) Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang

2 .. Beispiel: Brücken-ZKen -zusammenhängend Sei G=(V,E) ein zusammenhängender Graph mit V Definition: Enthält G keine Artikulation, dann heißt G -zusammenhängend (biconnected). Äquialent: Jedes Paar on Knoten ist durch unabhängige Pfade erbunden. Definition: Die Zeizusammenhangskomponenten (biconnected components) on G sind seine (Kanten-) maximalen -zusammenhängenden Teilgraphen. Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang Beispiel: -Zusammenhangskomponenten Test auf Brücken Idee: Verende DFS-Baum Baumkanten Rückärtskanten können keine Brücken sein! Block-Cutertex-Tree Eigenschaft: Eine Baumkante ist eine Brücke gd. es keine Rückärtskante gibt, die einen Nachfolger on mit einem Vorgänger on erbindet. Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang lo-werte Sei num[] die DFS-Nummer on Knoten lo[] = min { num[] } { num[x] * x } oder mehr Baumkanten und eine Rückärtskante Kann leicht bei DFS-Traersierung berechnet erden: Initialisierung mit num[] beim ersten Besuch on Update für Rückärtskanten (,), falls num[] < lo[] Update bei Rückkehr on der Rekursion für Kind, falls lo[] < lo[] Brücken können mit DFS in Linearzeit gefunden erden! Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang Test auf -Zusammenhang () Eigenschaft: Ein Knoten ist Artikulation, gd. ist Wurzel und hat mindestens Kinder; oder ist nicht Wurzel und lo[] num[] für ein Kind on Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang

3 .. Test auf -Zusammenhang () Test auf -Zusammenhang () Gegeben: Graph G=(V,E) num[] := - für alle V lo[] ncount := (Vergabe on DFS-Nummern) Aufruf: cutertex = dfsbicon(g.firstnode(),) Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang function DfsBicon(, parent) : node firstchild := forall e=(,) E do if num[] = - then // Baumkante if firstchild = then firstchild := cutvertex := dfsbicon(,) if cutvertex then return cutvertex Test auf Artikulation if lo[] num[] and ( firstchild or parent ) then return lo[] := min(lo[], lo[]) Update on lo-wert else if parent then // Rückärtskante return Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang -Zusammenhangskomponenten () -Zusammenhangskomponenten () Bestimme für jede Kante e ihre -ZK comp[e] (ncomp := ) Legen Knoten bei erstem Besuch auf Stack S Beim Identifizieren einer -ZK erden Knoten on S genommen p function DfsBicon(, parent) : node firstchild := forall e=(,) E do if num[] = - then // Baumkante if firstchild = then firstchild := cutvertex := dfsbicon(,) if cutvertex then return cutvertex if lo[] num[] and ( firstchild or parent ) then return lo[] := min(lo[], lo[]) else if then // Rückärtskante return Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang -Zusammenhangskomponenten () function DfsBCC(, parent) S.push() forall e=(,) E do if num[] = - then // Baumkante dfsbcc(,) lo[] := min(lo[], lo[]) else // Rückärtskante if parent and lo[] num[parent] then do = S.pop() comp[e] = ncomp für alle e=(,x) mit num[] > num[x] hile ncomp++ Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang Zusammenfassung Theorem: Mit Hilfe on DFS können in Linearzeit die Brücken eines Graphen gefunden erden. kann in Linearzeit getestet erden, ob ein Graph -zusammenhängend ist. können in Linearzeit die -Zusammenhangskomponten eines Graphen bestimmt erden. Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang

4 .. Starke Zusammenhangskomponenten Beispiel: SZK in ungerichteten Graphen: Ex. Weg on s nach t ex. Weg on t nach s in gerichteten Graphen: Ex. Weg on s nach t und t nach s s und t stark zusammenhängend Betrachte im folgenden gerichteten Graphen G=(V,A) Definition: Eine maximale Knotenmenge S V mit x und y stark zusammenhängend für alle x,y S heißt starke Zusammenhangskomponente on G. Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang starke Zusammenhangskomponenten:,,,,,,,,, Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang Algorithmus on Kosaraju Beispiel: Kosaraju () Definition: Der reerse Graph G R =(V,A R ) on G=(V,A) ist gegeben durch A R ={ (,) (,) A }. Algorithmus: Führe DFS auf G R aus Seien,, n die Knoten in Postorder-Reihenfolge (d.h. gemäß completion number) Führe DFS so auf G aus, dass die Knoten in der Reihenfolge n,, betrachtet erden. Dann definieren die Bäume im berechneten DFS-Wald die SZKen on G G R Postorder:,,,,,,,,,,,, Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang Beispiel: Kosaraju () Beispiel: Ergebnis G Postorder:,,,,,,,,,,,, Graph G mit SZKen Struktur der SZKen Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang

5 .. Korrektheit () Korrektheit () Zu Zeigen: s und t stark zusammenhängend im selben DFS-Baum s und t s und t stark zusammenhängend: Wenn der erste besucht ird, gibt es einen Pfad zum zeiten beide im selben Baum s und t im selben DFS-Baum: Sei r Wurzel dieses Baums r * s in G s * r in G R und postorder(r) > postorder(s) Beh.: Es gilt auch r * s in G R Falls nicht: postorder(s) > postorder(r) Widerspruch! analog: r * t in G R insgesamt: s * r * t in G s und t stark zusammenhängend Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang Zusammenfassung Theorem: Der Algorithmus on Kosaraju findet die starken Zusammenhangskomponenten eines gerichteten Graphen (mit Hilfe on DFS) in Linearzeit. Algorithmen und Datenstrukturen -Zusammenhang und starker Zusammenhang