Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II"

Transkript

1 Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II Jonathan Hacker Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

2 Gliederung Einführung Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

3 Gliederung Einführung Maximales Matching Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

4 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

5 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

6 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

7 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

8 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

9 Einführung Definition bipartiter Graph G=(V,E), wobei gilt: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

10 Einführung Definition bipartiter Graph G=(V,E), wobei gilt: V = L R, ( : disjunkte Vereinigung) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

11 Einführung Definition bipartiter Graph G=(V,E), wobei gilt: V = L R, ( : disjunkte Vereinigung) e = {u, v} E : (u L v R) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

12 Einführung Definition bipartiter Graph G=(V,E), wobei gilt: V = L R, ( : disjunkte Vereinigung) e = {u, v} E : (u L v R) Graph, der sich in zwei Mengen aufteilen lässt Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

13 Bipartit?? Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

14 Bipartit? Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

15 Bipartit? Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

16 Anwendungen Aufgabenverteilung Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

17 Anwendungen Aufgabenverteilung Paarbildung Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

18 Anwendungen Aufgabenverteilung Paarbildung Petri-Netze Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

19 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

20 Definitionen Matching Ein Matching M E ist eine Menge von Kanten, wobei kein Knoten an zwei Kanten aus M liegt. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

21 Definitionen Matching Ein Matching M E ist eine Menge von Kanten, wobei kein Knoten an zwei Kanten aus M liegt. Maximal Ein Matching ist maximal, wenn es kein Matching mit mehr Kanten gibt. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

22 Definitionen Matching Ein Matching M E ist eine Menge von Kanten, wobei kein Knoten an zwei Kanten aus M liegt. Maximal Ein Matching ist maximal, wenn es kein Matching mit mehr Kanten gibt. Perfekt Ein Matching ist perfekt, wenn jeder Knoten an einer Kante in M liegt. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

23 Beispiel Wie findet man ein maximales Matching in Bipartitem Graph? Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

24 Beispiel Wie findet man ein maximales Matching in Bipartitem Graph? Lösung: Zurückführen auf maximalen Fluss Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

25 Beispiel Wie findet man ein maximales Matching in Bipartitem Graph? Lösung: Zurückführen auf maximalen Fluss Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

26 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

27 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

28 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

29 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

30 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

31 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

32 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

33 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

34 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

35 Laufzeit Ford-Fulkerson: O( E f ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

36 Laufzeit Ford-Fulkerson: O( E f ) f : maximaler Fluss Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

37 Laufzeit Ford-Fulkerson: O( E f ) f : maximaler Fluss in Bipartitem Graph: f = V Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

38 Laufzeit Ford-Fulkerson: O( E f ) f : maximaler Fluss in Bipartitem Graph: f = V Maximales Matching in O( V E ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

39 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

40 Minimales Vertex Cover Vertex Cover Ein Vertex Cover U V ist eine Menge von Knoten, wobei jede Kante an einem Knoten aus U liegt. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

41 Minimales Vertex Cover Vertex Cover Ein Vertex Cover U V ist eine Menge von Knoten, wobei jede Kante an einem Knoten aus U liegt. Minimal Ein Vertex Cover ist minimal, wenn es kein Vertex Cover mit weniger Knoten gibt. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

42 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

43 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

44 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

45 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Gehe auf Kanten / M nach rechts Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

46 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Gehe auf Kanten / M nach rechts Gehe auf Kanten M nach links Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

47 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Gehe auf Kanten / M nach rechts Gehe auf Kanten M nach links Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

48 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Gehe auf Kanten / M nach rechts Gehe auf Kanten M nach links Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Minimales Vertex Cover U Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

49 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Gehe auf Kanten / M nach rechts Gehe auf Kanten M nach links Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Minimales Vertex Cover U = (L \ T ) (R T ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

50 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Gehe auf Kanten / M nach rechts Gehe auf Kanten M nach links Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Minimales Vertex Cover U = (L \ T ) (R T ) Alle nicht markierten Knoten aus L und alle markierten Knoten aus R Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

51 Beispiel Gesucht: minimales Vertex Cover Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

52 Beispiel 1. Berechne maximales Matching Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

53 Beispiel 1. Berechne maximales Matching Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

54 Beispiel 2. Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

55 Beispiel 2. Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

56 Beispiel 3.1 Gehe auf Kanten / Matching nach rechts Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

57 Beispiel 3.1 Gehe auf Kanten / Matching nach rechts Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

58 Beispiel 3.3 Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

59 Beispiel 3.3 Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

60 Beispiel 3.2 Gehe auf Kanten Matching nach links Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

61 Beispiel 3.2 Gehe auf Kanten Matching nach links Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

62 Beispiel 3.3 Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

63 Beispiel 3.3 Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

64 Beispiel 3.1 Gehe auf Kanten / Matching nach rechts Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

65 Beispiel 3.1 Gehe auf Kanten / Matching nach rechts Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

66 Beispiel 3.3 Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

67 Beispiel T hat sich nicht vergrößert Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

68 Beispiel T hat sich nicht vergrößert Minimales Vertex Cover: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

69 Beispiel T hat sich nicht vergrößert Minimales Vertex Cover: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

70 Zusammenhang VC-Matching Satz von König In einem bipartiten Graphcn ist die Anzahl an Knoten in einem minimalem Vertex Cover gleich der Anzahl an Kanten in einem maximalen Matching. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

71 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

72 Assignment-Problem Arbeiter L und Aufträge R Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

73 Assignment-Problem Arbeiter L und Aufträge R Jeder Arbeiter kann jeden Auftrag bearbeiten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

74 Assignment-Problem Arbeiter L und Aufträge R Jeder Arbeiter kann jeden Auftrag bearbeiten Aber die jeweiligen Kosten variieren Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

75 Assignment-Problem Arbeiter L und Aufträge R Jeder Arbeiter kann jeden Auftrag bearbeiten Aber die jeweiligen Kosten variieren Gesamtkosten so gering wie möglich halten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

76 Ungarische Methode Löst das Assignment-Problem Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

77 Ungarische Methode Löst das Assignment-Problem Minimiert Gesamtkosten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

78 Ungarische Methode Löst das Assignment-Problem Minimiert Gesamtkosten Benutzt maximales Matching und minimales Vertex Cover Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

79 Ungarische Methode Löst das Assignment-Problem Minimiert Gesamtkosten Benutzt maximales Matching und minimales Vertex Cover Läuft in O(n 4 ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

80 Ungarische Methode Löst das Assignment-Problem Minimiert Gesamtkosten Benutzt maximales Matching und minimales Vertex Cover Läuft in O(n 4 ) Voraussetzung: nichtnegative Kantengewichte Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

81 Vorarbeiten Beispiel: WG-Putzplan Alfred Bertram Chris Dieter Esszimmer Fegen Geschirrspüler Hausmüll Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

82 Vorarbeiten Beispiel: WG-Putzplan Maximiere Prioritäten Alfred Bertram Chris Dieter Esszimmer Fegen Geschirrspüler Hausmüll Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

83 Vorarbeiten Beispiel: WG-Putzplan Maximiere Prioritäten Esszimmer Fegen Geschirrspüler Hausmüll Alfred Bertram Chris Dieter Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

84 Vorarbeiten Beispiel: WG-Putzplan Maximiere Prioritäten E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

85 Vorarbeiten 0.1 Addiere Betrag des kleinsten Wertes auf alle Werte E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

86 Vorarbeiten 0.1 Addiere Betrag des kleinsten Wertes auf alle Werte E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

87 Vorarbeiten 0.1 Addiere Betrag des kleinsten Wertes auf alle Werte E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

88 Vorarbeiten 0.2 Ziehe jede Zelle vom Maximum ab E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

89 Vorarbeiten 0.2 Ziehe jede Zelle vom Maximum ab E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

90 Vorarbeiten 0.2 Ziehe jede Zelle vom Maximum ab E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

91 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

92 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

93 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

94 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

95 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

96 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales Vertex Cover des Matchings Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

97 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales Vertex Cover des Matchings Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

98 Ungarische Methode 1. Zeilen-/Spaltenminimierung E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

99 Ungarische Methode 1. Zeilen-/Spaltenminimierung E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

100 Ungarische Methode 1. Zeilen-/Spaltenminimierung E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

101 Ungarische Methode 1. Zeilen-/Spaltenminimierung E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

102 Ungarische Methode 1. Zeilen-/Spaltenminimierung E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

103 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

104 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

105 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Perfekt? Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

106 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Perfekt? Nein. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

107 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Perfekt? Nein. Schritt 3 Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

108 Ungarische Methode 3. Finde minimales Vertex Cover E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

109 Ungarische Methode 3. Finde minimales Vertex Cover E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

110 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

111 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten Suche Minimum in nicht überdeckten Zellen E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

112 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten Suche Minimum in nicht überdeckten Zellen E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

113 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten Subtrahiere Minimum in nicht überdeckten Zellen und addiere Minimum in doppelt überdeckten Zellen E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

114 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten Subtrahiere Minimum in nicht überdeckten Zellen und addiere Minimum in doppelt überdeckten Zellen E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

115 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten Subtrahiere Minimum in nicht überdeckten Zellen und addiere Minimum in doppelt überdeckten Zellen E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

116 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten Subtrahiere Minimum in nicht überdeckten Zellen und addiere Minimum in doppelt überdeckten Zellen E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

117 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

118 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

119 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Perfektes Matching gefunden Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

120 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Perfektes Matching gefunden Algorithmus terminiert Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

121 Ungarische Methode WG-Putzplan Esszimmer Fegen Geschirrspüler Hausmüll Alfred Bertram Chris Dieter Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

122 Ungarische Methode WG-Putzplan Esszimmer Fegen Geschirrspüler Hausmüll Alfred Bertram Chris Dieter Gesamtspaß wurde auf -5 maximiert Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

123 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

124 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

125 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: O(n 2 ) Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

126 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: O(n 2 ) Finde maximales Matching O( V E ) Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

127 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: O(n 2 ) Finde maximales Matching O(n 3 ) Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

128 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: O(n 2 ) Finde maximales Matching O(n 3 ) Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings O(n 2 ) Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

129 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: O(n 2 ) Finde maximales Matching O(n 3 ) Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings O(n 2 ) Minimiere Kanten O(n 2 ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

130 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: O(n 2 ) Finde maximales Matching O(n 3 ) Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings O(n 2 ) Minimiere Kanten O(n 2 ) Gesamtlaufzeit O(n 5 ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

131 Optimierungen Verwenden des letzten Matchings verringert Laufzeit von Schritt 2 auf O(n 2 ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

132 Optimierungen Verwenden des letzten Matchings verringert Laufzeit von Schritt 2 auf O(n 2 ) Gesamt: O(n 4 ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

133 Optimierungen Verwenden des letzten Matchings verringert Laufzeit von Schritt 2 auf O(n 2 ) Gesamt: O(n 4 ) Komplexe Implementierung in O(n 3 ) existiert Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

134 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

135 Stabiles Heiraten Zwei zu verheiratende Gruppen: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

136 Stabiles Heiraten Zwei zu verheiratende Gruppen: Alfred Bertram Chris Dieter Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

137 Stabiles Heiraten Zwei zu verheiratende Gruppen: Alfred Bertram Chris Dieter Elke Frauke Gertrud Hannah Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

138 Stabiles Heiraten Prioritätslisten von jeder Person: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

139 Stabiles Heiraten Prioritätslisten von jeder Person: Alfred Bertram Chris Dieter Elfriede Hannah Elfriede Elfriede Gertrud Gertrud Hannah Hannah Frauke Elfriede Gertrud Gertrud Hannah Frauke Frauke Frauke Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

140 Stabiles Heiraten Prioritätslisten von jeder Person: Alfred Bertram Chris Dieter Elfriede Hannah Elfriede Elfriede Gertrud Gertrud Hannah Hannah Frauke Elfriede Gertrud Gertrud Hannah Frauke Frauke Frauke Elfriede Frauke Gertrud Hannah Chris Chris Bertram Dieter Bertram Bertram Chris Chris Dieter Dieter Alfred Bertram Alfred Alfred Dieter Alfred Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

141 Stabiles Heiraten Instabil Es gibt eine Person A, die eine andere Person B mehr mag als ihren Partner und Person B mag Person A mehr als ihren Partner Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

142 Stabiles Heiraten Instabil Es gibt eine Person A, die eine andere Person B mehr mag als ihren Partner und Person B mag Person A mehr als ihren Partner Ziel: Paare so bilden, dass sie zusammenbleiben (nicht instabil sind). Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

143 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

144 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

145 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

146 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

147 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Frauen suchen ihre höchsten Prioritäten aus. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

148 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Frauen suchen ihre höchsten Prioritäten aus. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

149 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Frauen suchen ihre höchsten Prioritäten aus. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

150 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Frauen suchen ihre höchsten Prioritäten aus. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

151 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

152 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

153 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

154 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

155 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

156 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

157 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

158 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

159 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

160 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

161 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

162 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

163 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

164 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

165 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

166 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

167 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

168 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

169 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

170 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

171 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

172 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

173 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

174 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

175 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

176 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

177 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

178 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

179 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

180 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

181 Analyse Terminierung: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

182 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

183 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Laufzeit: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

184 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Laufzeit: O(n 2 ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

185 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Laufzeit: O(n 2 ) Stabilität: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

186 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Laufzeit: O(n 2 ) Stabilität: Jeder Mann bekommt die schlechtmöglichste Frau Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

187 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Laufzeit: O(n 2 ) Stabilität: Jeder Mann bekommt die schlechtmöglichste Frau Jede Frau bekommt den bestmöglichen Mann Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

188 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Laufzeit: O(n 2 ) Stabilität: Jeder Mann bekommt die schlechtmöglichste Frau Jede Frau bekommt den bestmöglichen Mann Eine Gruppe wird benachteiligt: Antragsteller Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

189 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

190 Quellen Cormen/Leiserson/Rivest: Introduction to Algorithms Kolman/Beck: Elementary Linear Programming with Applications Numberphile: Stable Marriage Problem Topcoder: Assignment Problem and Hungarian Algorithm Vergangene Hallo Welt Vorträge: Jana Martschinke: Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen I Lukas Dresel: Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen II Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

191 Das wars! Fragen? Fragen! Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42

Formale Grundlagen der Informatik

Formale Grundlagen der Informatik Formale Grundlagen der Informatik / 2015 1 Die Elemente einer (endlichen) Menge sollen den Elementen einer zweiten, gleichmächtigen Menge zugeordnet werden Problemstellung Bipartite Graphen Zuordnungsprobleme

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 4 Programm des

Mehr

WS 2013/14. Diskrete Strukturen

WS 2013/14. Diskrete Strukturen WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314

Mehr

Durchschnitt von Matroiden

Durchschnitt von Matroiden Durchschnitt von Matroiden Satz von Edmonds Dany Sattler 18. Januar 2007/ Seminar zur ganzzahligen Optimierung / Wallenfels Definition: Unabhängigkeitssystem Definition: Ein Mengensystem (S, J ) nennt

Mehr

Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen

Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen Vlad Popa 08.06.2010 Inhaltsverzeihnis 1. Flussnetzwerke und Flüsse 1.1 Ford- Fulkerson 1.2 Edmond Karp 1.3 Dinic 2. Schnitte 3. Maximaler Fluss bei minimalen Kosten

Mehr

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Pfade. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken

Mehr

Maximaler Fluß und minimaler Schnitt. Von Sebastian Thurm sebastian.thurm@student.uni-magedburg.de

Maximaler Fluß und minimaler Schnitt. Von Sebastian Thurm sebastian.thurm@student.uni-magedburg.de Maximaler Fluß und minimaler Schnitt Von Sebastian Thurm sebastian.thurm@student.uni-magedburg.de Maximaler Fluß und minimaler Schnitt Wasist das? Maximaler Fluss Minimaler Schnitt Warumtut man das? Logistische

Mehr

Algorithmen für schwierige Probleme

Algorithmen für schwierige Probleme Algorithmen für schwierige Probleme Britta Dorn Wintersemester 2011/12 30. November 2011 Wiederholung Baumzerlegung G = (V, E) Eine Baumzerlegung von G ist ein Paar {X i i V T }, T, wobei T Baum mit Knotenmenge

Mehr

KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN

KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN F. VALLENTIN, A. GUNDERT 1. Definitionen Notation 1.1. Ähnlich wie im vorangegangenen Kapitel zunächst etwas Notation. Wir beschäftigen uns jetzt mit ungerichteten

Mehr

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS) Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,

Mehr

Anwendungen von Netzwerkfluss. Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin

Anwendungen von Netzwerkfluss. Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin Anwendungen von Netzwerkfluss Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin 13. 01. 2009 Gliederung Einführung Netzwerk, Fluss und Schnitt Max-Flow-Min-Cut Theorem Algorithmen zum Bestimmen vom

Mehr

Effiziente Algorithmen I

Effiziente Algorithmen I H 10. Präsenzaufgabenblatt, Wintersemester 2015/16 Übungstunde am 18.01.2015 Aufgabe Q Ein Reiseveranstalter besitzt ein Flugzeug, das maximal p Personen aufnehmen kann. Der Veranstalter bietet einen Flug

Mehr

Felix Brandt, Jan Johannsen. Vorlesung im Wintersemester 2008/09

Felix Brandt, Jan Johannsen. Vorlesung im Wintersemester 2008/09 Felix Brandt, Jan Johannsen Vorlesung im Wintersemester 2008/09 Übersicht Übersicht Definition Ein Matching in G = (V, E) ist eine Menge M E mit e 1 e 2 = für e 1, e 2 M, e 1 e 2 Ein Matching M ist perfekt,

Mehr

Wiederholung zu Flüssen

Wiederholung zu Flüssen Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:

Mehr

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 ADS: Algorithmen und Datenstrukturen Der Tragödie IV. Theyl Peter F. Stadler & Konstantin Klemm Bioinformatics Group, Dept. of Computer Science & Interdisciplinary Center for Bioinformatics, University

Mehr

Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen. Martin Oettinger

Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen. Martin Oettinger Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen Martin Oettinger Übersicht Einführung Algorithmen für maximalen Fluss Preflow-Push Ford-Fulkerson Spezialfall: Maximaler Fluss bei minimalen Kosten Reduktionen Bipartites

Mehr

Bäume und Wälder. Definition 1

Bäume und Wälder. Definition 1 Bäume und Wälder Definition 1 Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph. Ein Wald ist ein Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind. Ein Knoten v eines Baums mit Grad deg(v) = 1 heißt

Mehr

Algorithmen zum Lösen von Vertex und Set Cover Instanzen zur Planung von Angriffen auf Netzwerke

Algorithmen zum Lösen von Vertex und Set Cover Instanzen zur Planung von Angriffen auf Netzwerke Algorithmen zum Lösen von Vertex und Set Cover Instanzen zur Planung von Angriffen auf Netzwerke Steve Göring 13.07.2012 1/18 Gliederung Einleitung Grundlagen Vertex-Cover-Problem Set-Cover-Problem Lösungsalgorithmen

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 1 Programm des

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen SS07

Datenstrukturen und Algorithmen SS07 Datenstrukturen und Algorithmen SS07 Datum: 27.6.2007 Michael Belfrage mbe@student.ethz.ch belfrage.net/eth Programm von Heute Online Algorithmen Update von Listen Move to Front (MTF) Transpose Approximationen

Mehr

Flüsse in Netzwerken. Seminar über Algorithmen SoSe 2005. Mike Rohland & Julia Schenk

Flüsse in Netzwerken. Seminar über Algorithmen SoSe 2005. Mike Rohland & Julia Schenk Flüsse in Netzwerken Seminar über Algorithmen SoSe 2005 Mike Rohland & Julia Schenk Inhalt Einführung Definition Maximale Flüsse Schnitte Restgraphen Zunehmende Wege Max-Fluss Min-Schnitt Theorem Ford-Fulkerson

Mehr

Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem

Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Dipl-Math. Wolfgang Kinzner 4.4.2012 Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Matching und Matchingproblem Flussalgorithmus

Mehr

Bipartite Graphen. Beispiele

Bipartite Graphen. Beispiele Bipartite Graphen Ein Graph G = (V, E) heiÿt bipartit (oder paar), wenn die Knotenmenge in zwei disjunkte Teilmengen zerfällt (V = S T mit S T = ), sodass jede Kante einen Knoten aus S mit einem Knoten

Mehr

Algorithmische Graphentheorie

Algorithmische Graphentheorie Algorithmische Graphentheorie Sommersemester 204 4. Vorlesung Matchings / Paarungen Kombinatorische Anwendungen des Max-Flow-Min-Cut-Theorems Prof. Dr. Alexander Wolff 2 Paarungen (Matchings) Def. Sei

Mehr

Das Heiratsproblem. Definition Matching

Das Heiratsproblem. Definition Matching Das Heiratsproblem Szenario: Gegeben: n Frauen und m > n Männer. Bekanntschaftsbeziehungen zwischen allen Männern und Frauen. Fragestellung: Wann gibt es für jede der Frauen einen Heiratspartner? Modellierung

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am

Algorithmen II Vorlesung am Algorithmen II Vorlesung am 0..0 Minimale Schnitte in Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum

Mehr

7. Transitive Hülle. Kante des Graphen. Zusatz-Kante der transitiven Hülle

7. Transitive Hülle. Kante des Graphen. Zusatz-Kante der transitiven Hülle In Anwendungen ist es oft interessant zu wissen, ob man überhaupt von einem Knoten v zu einem Knoten w gelangen kann, ganz gleich wie lang der Weg auch ist. Gegeben sei dabei ein gerichteter Graph G =

Mehr

Minimal spannende Bäume

Minimal spannende Bäume http://www.uni-magdeburg.de/harbich/ Minimal spannende Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke-Universität 2 Inhalt Definition Wege Untergraphen Kantengewichtete Graphen Minimal spannende Algorithmen

Mehr

Ausarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König

Ausarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König Ausarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König Myriam Ezzedine, 0326943 Anton Ksernofontov, 0327064 Jürgen Platzer, 0025360 Nataliya Sokolovska, 0326991 1. Beweis des Satzes von Menger Bevor

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10

Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10 Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10 Flüsse Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6. Januar 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/8 Flüsse Graphen Grundlagen Definition

Mehr

6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse. dann berechnet der Markierungsalgorithmus für beliebige Kapazitätsfunktionen

6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse. dann berechnet der Markierungsalgorithmus für beliebige Kapazitätsfunktionen 6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse Satz 6.4. Ersetzt man in Algorithmus 6.1 den Schritt 2 durch 2a. Wähle den Knoten, der zuerst in eingefügt wurde. Setze. dann berechnet der arkierungsalgorithmus

Mehr

Matchings (Paarungen) in Graphen. PS Algorithmen auf Graphen SS `06 Steven Birr

Matchings (Paarungen) in Graphen. PS Algorithmen auf Graphen SS `06 Steven Birr Matchings (Paarungen) in Graphen PS Algorithmen auf Graphen SS `06 Steven Birr 1 Gliederung 1) Definitionen und Beispiele 2) Algorithmus des maximalen Matchings 3) Das Personal-Zuteilungsproblem Ungarischer

Mehr

WS 2008/09. Diskrete Strukturen

WS 2008/09. Diskrete Strukturen WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809

Mehr

16. All Pairs Shortest Path (ASPS)

16. All Pairs Shortest Path (ASPS) . All Pairs Shortest Path (ASPS) All Pairs Shortest Path (APSP): Eingabe: Gewichteter Graph G=(V,E) Ausgabe: Für jedes Paar von Knoten u,v V die Distanz von u nach v sowie einen kürzesten Weg a b c d e

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 5. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Wdhlg.: Dijkstra-Algorithmus I Bestimmung der

Mehr

Klausur Informatik-Propädeutikum (Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Wintersemester 2012/13)

Klausur Informatik-Propädeutikum (Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Wintersemester 2012/13) Berlin, 21. Februar 2013 Name:... Matr.-Nr.:... Klausur Informatik-Propädeutikum (Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Wintersemester 2012/13) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σ Bearbeitungszeit: 90 min. max. Punktezahl:

Mehr

Algorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen

Algorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen Algorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen WS 08/09 Friedhelm Meyer auf der Heide Vorlesung 8, 4.11.08 Friedhelm Meyer auf der Heide 1 Organisatorisches Am Dienstag, 11.11., fällt die

Mehr

Wie komme ich von hier zum Hauptbahnhof?

Wie komme ich von hier zum Hauptbahnhof? NP-Vollständigkeit Wie komme ich von hier zum Hauptbahnhof? P Wie komme ich von hier zum Hauptbahnhof? kann ich verwende für reduzieren auf Finde jemand, der den Weg kennt! Alternativ: Finde eine Stadtkarte!

Mehr

Grundlagen Datenstrukturen Transitive Hülle Traversierung Kürzeste Wege Spannender Baum Max. Fluss Zuordnungen. 6. Graphen

Grundlagen Datenstrukturen Transitive Hülle Traversierung Kürzeste Wege Spannender Baum Max. Fluss Zuordnungen. 6. Graphen . Graphen viele praktische (Optimierungs-)Probleme sind als graphentheoretische Probleme formulierbar z.b. in Produktionsplanung, Personaleinsatzplanung,.... Grundlagen gerichteter, ungerichteter und gewichteter

Mehr

Überblick. TSP Vergleich der Lösungen. Das Travelling Salesman Problem. Nearest-Neighbor Heuristik für TSP

Überblick. TSP Vergleich der Lösungen. Das Travelling Salesman Problem. Nearest-Neighbor Heuristik für TSP Kap..1 Heuristiken Kap.. Approximative Algorithmen und Gütegarantien Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 3. VO DAP SS 008 14. Juli 009 Überblick

Mehr

Kap. 7.1 Heuristiken Kap. 7.2 Approximative Algorithmen und Gütegarantien

Kap. 7.1 Heuristiken Kap. 7.2 Approximative Algorithmen und Gütegarantien Kap. 7.1 Heuristiken Kap. 7.2 Approximative Algorithmen und Gütegarantien Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 23. VO DAP2 SS 2008 14. Juli 2009

Mehr

Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É.

Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Scheduling und Lineare ProgrammierungNach J. K. Lenstra, D. B. Shmoys und É. Tardos Janick Martinez Esturo jmartine@techfak.uni-bielefeld.de xx.08.2007 Sommerakademie Görlitz Arbeitsgruppe 5 Gliederung

Mehr

Teil III. Komplexitätstheorie

Teil III. Komplexitätstheorie Teil III Komplexitätstheorie 125 / 160 Übersicht Die Klassen P und NP Die Klasse P Die Klassen NP NP-Vollständigkeit NP-Vollständige Probleme Weitere NP-vollständige Probleme 127 / 160 Die Klasse P Ein

Mehr

Übungsblatt 6. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17

Übungsblatt 6. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17 Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 6 Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17 Ausgabe 22. Dezember 2016 Abgabe 17. Januar 2017, 11:00 Uhr

Mehr

Matching markets Seminar maschinelles Lernen WS 10/11

Matching markets Seminar maschinelles Lernen WS 10/11 Matching markets Seminar maschinelles Lernen WS 10/11 08.12.2010 Matching markets Rebekka Gohla 1 Einführung Matching markets ist das erste Kapitel des Themenkomplexes Märkte und strategische Interaktionen

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen. Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität

Datenstrukturen und Algorithmen. Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität Datenstrukturen und Algorithmen Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität 1 Clustering: Partitioniere Objektmenge in Gruppen(Cluster), so dass sich Objekte in einer Gruppe ähnlich sind und Objekte

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Transportnetze

Vorlesung Diskrete Strukturen Transportnetze Vorlesung Diskrete Strukturen Transportnetze Bernhard Ganter WS 2013/14 1 Transportnetze Gerichtete Graphen Ein schlingenloser gerichteter Graph ist ein Paar (V, A), wobei V eine beliebige Menge ist, deren

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

maximaler Fluss & minimaler Schnitt

maximaler Fluss & minimaler Schnitt maximaler Fluss & minimaler Schnitt Referat in angewandte Logistik Marcus Pottendorfer HTBLuVA Sankt Pölten Inhalt Maximaler Fluss minimaler Schnitt... 2 Grundbegriffe... 2 Erklärung... 2 Minimaler Schnitt...

Mehr

6. Übung zur Linearen Optimierung SS08

6. Übung zur Linearen Optimierung SS08 6 Übung zur Linearen Optimierung SS08 1 Sei G = (V, E) ein schlichter ungerichteter Graph mit n Ecken und m Kanten Für eine Ecke v V heißt die Zahl der Kanten (u, v) E Grad der Ecke (a) Ist die Anzahl

Mehr

Algorithmen zur Berechnung von Matchings

Algorithmen zur Berechnung von Matchings Algorithmen zur Berechnung von Matchings Berthold Vöcking 1 Einleitung Matchingprobleme sind Zuordnungsprobleme. Es geht darum z.b. Studierenden Plätze in Seminaren zuzuordnen, Bewerber auf freie Stellen

Mehr

Algorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse

Algorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse Algorithmentheorie 3 - Maximale Flüsse Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann . Maximale Flüsse in Netzwerken 5 3 4 7 s 0 5 9 5 9 4 3 4 5 0 3 5 5 t 8 8 Netzwerke und Flüsse N = (V,E,c) gerichtetes Netzwerk

Mehr

Zeichnen von Graphen. graph drawing

Zeichnen von Graphen. graph drawing Zeichnen von Graphen graph drawing WS 2006 / 2007 Gruppe: D_rot_Ala0607 Christian Becker 11042315 Eugen Plischke 11042351 Vadim Filippov 11042026 Gegeben sei ein Graph G = (V; E) Problemstellung V E =

Mehr

11. Übung zu Algorithmen I 6. Juli 2016

11. Übung zu Algorithmen I 6. Juli 2016 11. Übung zu Algorithmen I 6. Juli 2016 Lisa Kohl lisa.kohl@kit.edu mit Folien von Lukas Barth Roadmap Ausblick: Was sind schwierige Probleme? Travelling Salesman Problem - Reprise ein ILP ein Algorithmus

Mehr

Kapitel 4. Optimierungsalgorithmen. Technische Universität Wien. Gunnar Klau Technische Universität Wien. Institut für Computergraphik und Algorithmen

Kapitel 4. Optimierungsalgorithmen. Technische Universität Wien. Gunnar Klau Technische Universität Wien. Institut für Computergraphik und Algorithmen Kapitel 4 Optimierungsalgorithmen Gunnar Klau Institut für Computergraphik und Algorithmen 1 Gliederung Kombinatorische vs. Ganzzahlige Optimierung Exakte Verfahren Branch-and-Bound Schnittebenenverfahren

Mehr

Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt;

Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt; Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt Referent Matthias Rost 1 Einleitung Definitionen Maximaler Dynamischer Fluss Algorithmus von Ford-Fulkerson Techniken zur

Mehr

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V.

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V. Kapitel 4 Graphenalgorithmen 4.1 Definitionen Definition 4.1.1. Der Graph G = (V, E) ist über die beiden Mengen V und E definiert, wobei V die Menge der Knoten und E die Menge der Kanten in dem Graph ist.

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesungen 5 und 6 Programm

Mehr

KAPITEL 4 FLÜSSE IN NETZWERKEN

KAPITEL 4 FLÜSSE IN NETZWERKEN KAPITEL 4 FLÜSSE IN NETZWERKEN F. VALLENTIN, A. GUNDERT 1. Das Max-Flow-Min-Cut Theorem Es sei D = (V, A) ein gerichteter Graph, s, t V zwei Knoten. Wir nennen s Quelle und t Senke. Definition 1.1. Eine

Mehr

Undirected Single-Source Shortest Paths with Positive Integer Weights in Linear Time

Undirected Single-Source Shortest Paths with Positive Integer Weights in Linear Time Universität Konstanz Mathematisch-naturwissenschaftliche Sektion Fachbereich Mathematik und Statistik Wintersemester 2001/02 Mikkel Thorup: Undirected Single-Source Shortest Paths with Positive Integer

Mehr

Graphentheorie. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Rainer Schrader. 14. November Gliederung.

Graphentheorie. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Rainer Schrader. 14. November Gliederung. Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 14. November 2007 1 / 22 2 / 22 Gliederung eulersche und semi-eulersche Graphen Charakterisierung eulerscher Graphen Berechnung eines

Mehr

Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein

Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein Vortrag von Michael Daumen am 13.12.2000 Thema : Minimum Spanning Tree und 2-Approximation der TSP-Tour Inhalt des Vortrags : 1. genaue Vorstellung des

Mehr

Graphalgorithmen 2. Oleksiy Rybakov. 3. Juni Betreuer: Tobias Werth, Daniel Brinkers

Graphalgorithmen 2. Oleksiy Rybakov. 3. Juni Betreuer: Tobias Werth, Daniel Brinkers Graphalgorithmen 2 Oleksiy Rybakov 3. Juni 2015 Betreuer: Tobias Werth, Daniel Brinkers 1 / 40 Inhaltsverzeichnis 1 Minimale Spannbäume und Datenstrukturen 2 Kürzeste Wege 3 Spezielle Graphen 2 / 40 Minimale

Mehr

Kapitel 4: Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 4: Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Kapitel : Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen 2. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Wege. Traveling

Mehr

Approximationsalgorithmen: Klassiker I. Kombinatorische Optimierung Absolute Gütegarantie Graph-Coloring Clique Relative Gütegarantie Scheduling

Approximationsalgorithmen: Klassiker I. Kombinatorische Optimierung Absolute Gütegarantie Graph-Coloring Clique Relative Gütegarantie Scheduling Approximationsalgorithmen: Klassiker I Kombinatorische Optimierung Absolute Gütegarantie Graph-Coloring Clique Relative Gütegarantie Scheduling VO Approximationsalgorithmen WiSe 2011/12 Markus Chimani

Mehr

Prüfungsklausur Operations Research,

Prüfungsklausur Operations Research, HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Operations Research, 10.7.2008 A Name, Vorname Matr. Nr. Aufgabe 1 : In drei Porzellanwerken W 1, W 2 und W 3 werden Speiseservice hergestellt,

Mehr

Kapitel 4: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 4: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Kapitel : Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman

Mehr

Ein Graph ist ein Paar (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten (v,w) mit v,w in V ist.

Ein Graph ist ein Paar (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten (v,w) mit v,w in V ist. Graphen Definition: Ein Graph ist ein Paar (V,E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Menge von Kanten (v,w) mit v,w in V ist. Begriffe: Gerichteter Graph: Alle Kanten haben eine Richtung vom Anfangsknoten

Mehr

Optimierungsprobleme. B. Langfeld, M. Ritter, B. Wilhelm Diskrete Optimierung: Fallstudien aus der Praxis

Optimierungsprobleme. B. Langfeld, M. Ritter, B. Wilhelm Diskrete Optimierung: Fallstudien aus der Praxis Optimierungsprobleme Instanz eines Optimierungsproblems zulässiger Bereich (meist implizit definiert) Zielfunktion Optimierungsrichtung opt {max, min} Optimierungsproblem Menge von Instanzen meist implizit

Mehr

Gemischt-ganzzahlige und Kombinatorische Optimierung

Gemischt-ganzzahlige und Kombinatorische Optimierung 5. Präsenzaufgabenblatt, Sommersemester 2015 Übungstunde am 15.06.2015 Aufgabe J Betrachten Sie die LP-Relaxierung max c T x a T x b 0 x i 1 des 0/1-Knapsack-Problems mit n Gegenständen, c 0 und a > 0.

Mehr

Diskrete Mathematik für Informatiker

Diskrete Mathematik für Informatiker Universität Siegen Lehrstuhl Theoretische Informatik Carl Philipp Reh Daniel König Diskrete Mathematik für Informatiker WS 016/017 Übung 7 1. Gegeben sei folgender Graph und das Matching M = {{h, f}, {c,

Mehr

Geradenarrangements und Dualität von Punkten und Geraden

Geradenarrangements und Dualität von Punkten und Geraden Vorlesung Algorithmische Geometrie von Punkten und Geraden INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 12.06.2012 Dualitätsabbildung Bisher haben wir Dualität für planare

Mehr

Die Komplexitätsklassen P und NP

Die Komplexitätsklassen P und NP Die Komplexitätsklassen P und NP Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 3. Dezember 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und

Mehr

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen 186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 Übungsblatt 4 für die Übung

Mehr

Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE

Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE 34 Kürzeste Wege im Graphen Motivation! Heute:! Kürzeste Wege von einem Knoten (SSSP)! Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren (APSP)! Viele Anwendungen:! Navigationssysteme!

Mehr

Optimierung I. Dr. Ulf Lorenz F2.413

Optimierung I. Dr. Ulf Lorenz F2.413 Optimierung I Dr. Ulf Lorenz F2.413 flulo@upb.de Organisation Dozent: Dr. Ulf Lorenz F2.413 Fürstenallee 11 email: flulo@upb.de WWW: http://www.upb.de/cs/flulo (hier auch aktuelle Infos + Ü-Zettel) Vorlesungen:

Mehr

Systems of Distinct Representatives

Systems of Distinct Representatives Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen Lehr- und Forschungsgebiet Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Rossmanith Systems of Distinct Representatives Seminar: Extremal Combinatorics SS

Mehr

6. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2011/2012

6. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2011/2012 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik rof. Dr. eter Sanders Moritz Kobitzsch, Dennis Schieferdecker 6. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 011/01 Aufgabe 1 http://algo.iti.kit.edu/algorithmenii.php

Mehr

Algorithmische Mathematik

Algorithmische Mathematik Algorithmische Mathematik Wintersemester 2013 Prof. Dr. Marc Alexander Schweitzer und Dr. Einar Smith Patrick Diehl und Daniel Wissel Übungsblatt 6. Abgabe am 02.12.2013. Aufgabe 1. (Netzwerke und Definitionen)

Mehr

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete 4.4 Binäre Suche Aufgabenstellung: Rate eine Zahl zwischen 100 und 114! Algorithmus 4.1 INPUT: OUTPUT:

Mehr

2. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2016/2017

2. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2016/2017 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Sanders Dr. Christian Schulz, Dr. Simon Gog Michael Axtmann. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 016/017 Aufgabe

Mehr

5. Musterlösung. Problem 1: Vitale Kanten * ω(f) > ω(f ). (a) Untersuchen Sie, ob es in jedem Netzwerk vitale Kanten gibt.

5. Musterlösung. Problem 1: Vitale Kanten * ω(f) > ω(f ). (a) Untersuchen Sie, ob es in jedem Netzwerk vitale Kanten gibt. Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 05/06 ITI Wagner 5. Musterlösung Problem : Vitale Kanten * In einem Netzwerk (D = (V, E); s, t; c) mit Maximalfluß f heißen Kanten e

Mehr

Graphenalgorithmen. Kurz-Vorstellung. Forschungsinteressen. Algorithm Engineering. Themen der VO: Probleme

Graphenalgorithmen. Kurz-Vorstellung. Forschungsinteressen. Algorithm Engineering. Themen der VO: Probleme Graphenalgorithmen Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering / Experimentelle Algorithmen, LS11 WS 2006/06 Kurz-Vorstellung Studium an Univ. Augsburg (WiMa/Math) 1983--1990 Wiss. Mitarb.

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Dynamische Programmierung. Problemlösungsstrategie der Informatik

Dynamische Programmierung. Problemlösungsstrategie der Informatik als Problemlösungsstrategie der Informatik und ihre Anwedung in der Diskreten Mathematik und Graphentheorie Fabian Cordt Enisa Metovic Wissenschaftliche Arbeiten und Präsentationen, WS 2010/2011 Gliederung

Mehr

Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen

Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Ein Graph G = (V, E) wird durch die Knotenmenge V und die Kantenmenge E repräsentiert. G ist ungerichtet, wenn wir keinen Start- und Zielpunkt der Kanten auszeichnen.

Mehr

Lineare Programmierung

Lineare Programmierung Lineare Programmierung WS 2003/04 Rolle der Linearen Programmierung für das TSP 1954: Dantzig, Fulkerson & Johnson lösen das TSP für 49 US-Städte (ca. 6.2 10 60 mögliche Touren) 1998: 13.509 Städte in

Mehr

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3.1 Das MIN- -TSP Wir kehren nochmal zurück zum Handlungsreisendenproblem für Inputs (w {i,j} ) 1 i

Mehr

4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss

4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss 4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss Wir kennen bereits den Algorithmus von Ford Fulkerson zur Suche nach einem maximalen Fluss in einem Graphen. Wir lernen nun einen Algorithmus für maximalen

Mehr

Graphentheorie. Maximale Flüsse. Maximale Flüsse. Maximale Flüsse. Rainer Schrader. 31. Oktober Gliederung. sei G = (V, A) ein gerichteter Graph

Graphentheorie. Maximale Flüsse. Maximale Flüsse. Maximale Flüsse. Rainer Schrader. 31. Oktober Gliederung. sei G = (V, A) ein gerichteter Graph Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum ür Angewandte Inormatik Köln 31. Oktober 2007 1 / 30 2 / 30 Gliederung maximale Flüsse Schnitte Edmonds-Karp-Variante sei G = (V, A) ein gerichteter Graph sei c eine

Mehr

Algorithmen & Komplexität

Algorithmen & Komplexität Algorithmen & Komplexität Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik steger@inf.ethz.ch Kürzeste Pfade Problem Gegeben Netzwerk: Graph G = (V, E), Gewichtsfunktion w: E N Zwei Knoten: s, t Kantenzug/Weg

Mehr

Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken

Mehr

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Sommersemester 00

Mehr

3. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2011/2012

3. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2011/2012 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Sanders Moritz Kobitzsch, Dennis Schieferdecker 3. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 20/202 http://algo2.iti.kit.edu/algorithmenii.php

Mehr

Wie findet das Navi den Weg?

Wie findet das Navi den Weg? 0.05.0 Verwandte Fragestellungen Problemstellungen aus der Praxis Prof. Dr. Paul Rawiel Gliederung des Vortrags Speicherung von Kartendaten zur Navigation Kriterien für die Navigation Finden des kürzesten

Mehr

Diskrete Optimierung (Einführung zur Vorlesung)

Diskrete Optimierung (Einführung zur Vorlesung) Diskrete Optimierung (Einführung zur Vorlesung) Christoph Helmberg : [,] Inhaltsübersicht Diskrete Optimierung. Das Heiratsproblem (ungerichtete Graphen).2 Ganzzahligkeit von Polyedern ( und gerichtete

Mehr

Netzwerk-Simplex. MinCostFlow als Lineares Programm. 1 of 12 Netzwerksimplex

Netzwerk-Simplex. MinCostFlow als Lineares Programm. 1 of 12 Netzwerksimplex Netzwerk-Simplex MinCostFlow als Lineares Programm of 2 Netzwerksimplex MinCostFlow geg: gerichteter Graph G, Kapazitäten u R R 0 { }, Bedarfe b V R, Pfeilkosten c R R ges: zulässiger b-fluss f mit minimalen

Mehr

Eulerweg, Eulerkreis. Das Königsberger Brückenproblem. Definition 3.1. Ein Weg, der jede Kante von G genau einmal

Eulerweg, Eulerkreis. Das Königsberger Brückenproblem. Definition 3.1. Ein Weg, der jede Kante von G genau einmal 3. Kreis- und Wegeprobleme Kapitelübersicht 3. Kreis- und Wegeprobleme Eulerweg, Eulerkreis Charakterisierung von eulerschen Graphen Bestimmung von eulerschen Wegen und Kreisen Hamiltonsche Graphen Definition

Mehr

Statistik und Graphentheorie

Statistik und Graphentheorie Statistik und Graphentheorie Sommersemester 2012 3. Juli 2012 Teil Graphentheorie Name: Matrikelnummer: 1 (12) 2 (12) 3 (12) 4 (12) 5 (12) (60) Aufgabe 1 (12 Punkte) Gegeben sei das folgende Netzwerk:

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales

Mehr