Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II
|
|
- Wilhelm Böhmer
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II Jonathan Hacker Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
2 Gliederung Einführung Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
3 Gliederung Einführung Maximales Matching Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
4 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
5 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
6 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
7 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
8 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
9 Einführung Definition bipartiter Graph G=(V,E), wobei gilt: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
10 Einführung Definition bipartiter Graph G=(V,E), wobei gilt: V = L R, ( : disjunkte Vereinigung) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
11 Einführung Definition bipartiter Graph G=(V,E), wobei gilt: V = L R, ( : disjunkte Vereinigung) e = {u, v} E : (u L v R) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
12 Einführung Definition bipartiter Graph G=(V,E), wobei gilt: V = L R, ( : disjunkte Vereinigung) e = {u, v} E : (u L v R) Graph, der sich in zwei Mengen aufteilen lässt Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
13 Bipartit?? Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
14 Bipartit? Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
15 Bipartit? Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
16 Anwendungen Aufgabenverteilung Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
17 Anwendungen Aufgabenverteilung Paarbildung Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
18 Anwendungen Aufgabenverteilung Paarbildung Petri-Netze Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
19 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
20 Definitionen Matching Ein Matching M E ist eine Menge von Kanten, wobei kein Knoten an zwei Kanten aus M liegt. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
21 Definitionen Matching Ein Matching M E ist eine Menge von Kanten, wobei kein Knoten an zwei Kanten aus M liegt. Maximal Ein Matching ist maximal, wenn es kein Matching mit mehr Kanten gibt. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
22 Definitionen Matching Ein Matching M E ist eine Menge von Kanten, wobei kein Knoten an zwei Kanten aus M liegt. Maximal Ein Matching ist maximal, wenn es kein Matching mit mehr Kanten gibt. Perfekt Ein Matching ist perfekt, wenn jeder Knoten an einer Kante in M liegt. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
23 Beispiel Wie findet man ein maximales Matching in Bipartitem Graph? Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
24 Beispiel Wie findet man ein maximales Matching in Bipartitem Graph? Lösung: Zurückführen auf maximalen Fluss Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
25 Beispiel Wie findet man ein maximales Matching in Bipartitem Graph? Lösung: Zurückführen auf maximalen Fluss Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
26 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
27 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
28 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
29 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
30 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
31 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
32 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
33 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
34 Maximales Matching Flussgraph Residualgraph Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
35 Laufzeit Ford-Fulkerson: O( E f ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
36 Laufzeit Ford-Fulkerson: O( E f ) f : maximaler Fluss Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
37 Laufzeit Ford-Fulkerson: O( E f ) f : maximaler Fluss in Bipartitem Graph: f = V Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
38 Laufzeit Ford-Fulkerson: O( E f ) f : maximaler Fluss in Bipartitem Graph: f = V Maximales Matching in O( V E ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
39 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
40 Minimales Vertex Cover Vertex Cover Ein Vertex Cover U V ist eine Menge von Knoten, wobei jede Kante an einem Knoten aus U liegt. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
41 Minimales Vertex Cover Vertex Cover Ein Vertex Cover U V ist eine Menge von Knoten, wobei jede Kante an einem Knoten aus U liegt. Minimal Ein Vertex Cover ist minimal, wenn es kein Vertex Cover mit weniger Knoten gibt. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
42 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
43 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
44 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
45 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Gehe auf Kanten / M nach rechts Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
46 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Gehe auf Kanten / M nach rechts Gehe auf Kanten M nach links Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
47 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Gehe auf Kanten / M nach rechts Gehe auf Kanten M nach links Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
48 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Gehe auf Kanten / M nach rechts Gehe auf Kanten M nach links Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Minimales Vertex Cover U Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
49 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Gehe auf Kanten / M nach rechts Gehe auf Kanten M nach links Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Minimales Vertex Cover U = (L \ T ) (R T ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
50 Bestimmen des minimalen VC Berechne maximales Matching M Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Solange sich T vergrößert: Gehe auf Kanten / M nach rechts Gehe auf Kanten M nach links Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Minimales Vertex Cover U = (L \ T ) (R T ) Alle nicht markierten Knoten aus L und alle markierten Knoten aus R Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
51 Beispiel Gesucht: minimales Vertex Cover Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
52 Beispiel 1. Berechne maximales Matching Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
53 Beispiel 1. Berechne maximales Matching Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
54 Beispiel 2. Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
55 Beispiel 2. Füge alle nicht am Matching beteiligten Knoten aus L zu Menge T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
56 Beispiel 3.1 Gehe auf Kanten / Matching nach rechts Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
57 Beispiel 3.1 Gehe auf Kanten / Matching nach rechts Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
58 Beispiel 3.3 Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
59 Beispiel 3.3 Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
60 Beispiel 3.2 Gehe auf Kanten Matching nach links Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
61 Beispiel 3.2 Gehe auf Kanten Matching nach links Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
62 Beispiel 3.3 Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
63 Beispiel 3.3 Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
64 Beispiel 3.1 Gehe auf Kanten / Matching nach rechts Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
65 Beispiel 3.1 Gehe auf Kanten / Matching nach rechts Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
66 Beispiel 3.3 Füge alle erreichten Knoten zu T hinzu Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
67 Beispiel T hat sich nicht vergrößert Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
68 Beispiel T hat sich nicht vergrößert Minimales Vertex Cover: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
69 Beispiel T hat sich nicht vergrößert Minimales Vertex Cover: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
70 Zusammenhang VC-Matching Satz von König In einem bipartiten Graphcn ist die Anzahl an Knoten in einem minimalem Vertex Cover gleich der Anzahl an Kanten in einem maximalen Matching. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
71 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
72 Assignment-Problem Arbeiter L und Aufträge R Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
73 Assignment-Problem Arbeiter L und Aufträge R Jeder Arbeiter kann jeden Auftrag bearbeiten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
74 Assignment-Problem Arbeiter L und Aufträge R Jeder Arbeiter kann jeden Auftrag bearbeiten Aber die jeweiligen Kosten variieren Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
75 Assignment-Problem Arbeiter L und Aufträge R Jeder Arbeiter kann jeden Auftrag bearbeiten Aber die jeweiligen Kosten variieren Gesamtkosten so gering wie möglich halten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
76 Ungarische Methode Löst das Assignment-Problem Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
77 Ungarische Methode Löst das Assignment-Problem Minimiert Gesamtkosten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
78 Ungarische Methode Löst das Assignment-Problem Minimiert Gesamtkosten Benutzt maximales Matching und minimales Vertex Cover Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
79 Ungarische Methode Löst das Assignment-Problem Minimiert Gesamtkosten Benutzt maximales Matching und minimales Vertex Cover Läuft in O(n 4 ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
80 Ungarische Methode Löst das Assignment-Problem Minimiert Gesamtkosten Benutzt maximales Matching und minimales Vertex Cover Läuft in O(n 4 ) Voraussetzung: nichtnegative Kantengewichte Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
81 Vorarbeiten Beispiel: WG-Putzplan Alfred Bertram Chris Dieter Esszimmer Fegen Geschirrspüler Hausmüll Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
82 Vorarbeiten Beispiel: WG-Putzplan Maximiere Prioritäten Alfred Bertram Chris Dieter Esszimmer Fegen Geschirrspüler Hausmüll Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
83 Vorarbeiten Beispiel: WG-Putzplan Maximiere Prioritäten Esszimmer Fegen Geschirrspüler Hausmüll Alfred Bertram Chris Dieter Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
84 Vorarbeiten Beispiel: WG-Putzplan Maximiere Prioritäten E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
85 Vorarbeiten 0.1 Addiere Betrag des kleinsten Wertes auf alle Werte E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
86 Vorarbeiten 0.1 Addiere Betrag des kleinsten Wertes auf alle Werte E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
87 Vorarbeiten 0.1 Addiere Betrag des kleinsten Wertes auf alle Werte E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
88 Vorarbeiten 0.2 Ziehe jede Zelle vom Maximum ab E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
89 Vorarbeiten 0.2 Ziehe jede Zelle vom Maximum ab E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
90 Vorarbeiten 0.2 Ziehe jede Zelle vom Maximum ab E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
91 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
92 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
93 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
94 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
95 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
96 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales Vertex Cover des Matchings Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
97 Algorithmus Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales Vertex Cover des Matchings Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
98 Ungarische Methode 1. Zeilen-/Spaltenminimierung E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
99 Ungarische Methode 1. Zeilen-/Spaltenminimierung E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
100 Ungarische Methode 1. Zeilen-/Spaltenminimierung E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
101 Ungarische Methode 1. Zeilen-/Spaltenminimierung E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
102 Ungarische Methode 1. Zeilen-/Spaltenminimierung E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
103 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
104 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
105 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Perfekt? Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
106 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Perfekt? Nein. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
107 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Perfekt? Nein. Schritt 3 Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
108 Ungarische Methode 3. Finde minimales Vertex Cover E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
109 Ungarische Methode 3. Finde minimales Vertex Cover E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
110 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
111 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten Suche Minimum in nicht überdeckten Zellen E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
112 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten Suche Minimum in nicht überdeckten Zellen E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
113 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten Subtrahiere Minimum in nicht überdeckten Zellen und addiere Minimum in doppelt überdeckten Zellen E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
114 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten Subtrahiere Minimum in nicht überdeckten Zellen und addiere Minimum in doppelt überdeckten Zellen E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
115 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten Subtrahiere Minimum in nicht überdeckten Zellen und addiere Minimum in doppelt überdeckten Zellen E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
116 Ungarische Methode 4. Minimiere Kanten Subtrahiere Minimum in nicht überdeckten Zellen und addiere Minimum in doppelt überdeckten Zellen E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
117 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
118 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
119 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Perfektes Matching gefunden Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
120 Ungarische Methode 2. Finde maximales Matching E F G H A B C D Perfektes Matching gefunden Algorithmus terminiert Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
121 Ungarische Methode WG-Putzplan Esszimmer Fegen Geschirrspüler Hausmüll Alfred Bertram Chris Dieter Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
122 Ungarische Methode WG-Putzplan Esszimmer Fegen Geschirrspüler Hausmüll Alfred Bertram Chris Dieter Gesamtspaß wurde auf -5 maximiert Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
123 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
124 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
125 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: O(n 2 ) Finde maximales Matching Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
126 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: O(n 2 ) Finde maximales Matching O( V E ) Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
127 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: O(n 2 ) Finde maximales Matching O(n 3 ) Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
128 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: O(n 2 ) Finde maximales Matching O(n 3 ) Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings O(n 2 ) Minimiere Kanten Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
129 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: O(n 2 ) Finde maximales Matching O(n 3 ) Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings O(n 2 ) Minimiere Kanten O(n 2 ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
130 Laufzeit Zeilen-/Spaltenminimierung O(n 2 ) Solange kein perfektes Matching gefunden wurde: O(n 2 ) Finde maximales Matching O(n 3 ) Bei perfektem Matching: Optimale Lösung gefunden Finde minimales VC des Matchings O(n 2 ) Minimiere Kanten O(n 2 ) Gesamtlaufzeit O(n 5 ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
131 Optimierungen Verwenden des letzten Matchings verringert Laufzeit von Schritt 2 auf O(n 2 ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
132 Optimierungen Verwenden des letzten Matchings verringert Laufzeit von Schritt 2 auf O(n 2 ) Gesamt: O(n 4 ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
133 Optimierungen Verwenden des letzten Matchings verringert Laufzeit von Schritt 2 auf O(n 2 ) Gesamt: O(n 4 ) Komplexe Implementierung in O(n 3 ) existiert Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
134 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
135 Stabiles Heiraten Zwei zu verheiratende Gruppen: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
136 Stabiles Heiraten Zwei zu verheiratende Gruppen: Alfred Bertram Chris Dieter Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
137 Stabiles Heiraten Zwei zu verheiratende Gruppen: Alfred Bertram Chris Dieter Elke Frauke Gertrud Hannah Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
138 Stabiles Heiraten Prioritätslisten von jeder Person: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
139 Stabiles Heiraten Prioritätslisten von jeder Person: Alfred Bertram Chris Dieter Elfriede Hannah Elfriede Elfriede Gertrud Gertrud Hannah Hannah Frauke Elfriede Gertrud Gertrud Hannah Frauke Frauke Frauke Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
140 Stabiles Heiraten Prioritätslisten von jeder Person: Alfred Bertram Chris Dieter Elfriede Hannah Elfriede Elfriede Gertrud Gertrud Hannah Hannah Frauke Elfriede Gertrud Gertrud Hannah Frauke Frauke Frauke Elfriede Frauke Gertrud Hannah Chris Chris Bertram Dieter Bertram Bertram Chris Chris Dieter Dieter Alfred Bertram Alfred Alfred Dieter Alfred Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
141 Stabiles Heiraten Instabil Es gibt eine Person A, die eine andere Person B mehr mag als ihren Partner und Person B mag Person A mehr als ihren Partner Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
142 Stabiles Heiraten Instabil Es gibt eine Person A, die eine andere Person B mehr mag als ihren Partner und Person B mag Person A mehr als ihren Partner Ziel: Paare so bilden, dass sie zusammenbleiben (nicht instabil sind). Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
143 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
144 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
145 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
146 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
147 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Frauen suchen ihre höchsten Prioritäten aus. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
148 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Frauen suchen ihre höchsten Prioritäten aus. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
149 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Frauen suchen ihre höchsten Prioritäten aus. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
150 1. Tag Männer machen ihren ersten Prioritäten einen Antrag. Frauen suchen ihre höchsten Prioritäten aus. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
151 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
152 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
153 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
154 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
155 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
156 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
157 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
158 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
159 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
160 2. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
161 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
162 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
163 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
164 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
165 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
166 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
167 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
168 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
169 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
170 3. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
171 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
172 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
173 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
174 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
175 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
176 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
177 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
178 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
179 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
180 4. Tag Noch freie Männer machen ihren nächsten Prioritäten einen Antrag. Frauen wechseln bei besseren Aussichten Mann. Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
181 Analyse Terminierung: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
182 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
183 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Laufzeit: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
184 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Laufzeit: O(n 2 ) Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
185 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Laufzeit: O(n 2 ) Stabilität: Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
186 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Laufzeit: O(n 2 ) Stabilität: Jeder Mann bekommt die schlechtmöglichste Frau Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
187 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Laufzeit: O(n 2 ) Stabilität: Jeder Mann bekommt die schlechtmöglichste Frau Jede Frau bekommt den bestmöglichen Mann Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
188 Analyse Terminierung: Spätestens wenn jeder Mann alle Anträge gemacht hat Laufzeit: O(n 2 ) Stabilität: Jeder Mann bekommt die schlechtmöglichste Frau Jede Frau bekommt den bestmöglichen Mann Eine Gruppe wird benachteiligt: Antragsteller Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
189 Gliederung Einführung Maximales Matching Minimales Vertex Cover Ungarische Methode Stabiles Heiraten Quellen Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
190 Quellen Cormen/Leiserson/Rivest: Introduction to Algorithms Kolman/Beck: Elementary Linear Programming with Applications Numberphile: Stable Marriage Problem Topcoder: Assignment Problem and Hungarian Algorithm Vergangene Hallo Welt Vorträge: Jana Martschinke: Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen I Lukas Dresel: Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen II Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
191 Das wars! Fragen? Fragen! Jonathan Hacker Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen II / 42
Satz 324 Sei M wie oben. Dann gibt es für ein geeignetes k Konstanten c i > 0 und Permutationsmatrizen P i, i = 1,...
Satz 324 Sei M wie oben. Dann gibt es für ein geeignetes k Konstanten c i > 0 und Permutationsmatrizen P i, i = 1,..., k, so dass gilt M = k c i P i i=1 k c i = r. i=1 Diskrete Strukturen 7.1 Matchings
MehrFlüsse, Schnitte, Bipartite Graphen
Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen Sebastian Hahn 4. Juni 2013 Sebastian Hahn Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen 4. Juni 2013 1 / 48 Überblick Flussnetzwerke Ford-Fulkerson-Methode Edmonds-Karp-Strategie
MehrOptimierung. Optimierung. Vorlesung 9 Lineare Programmierung & Kombinatorische Optimierung Fabian Kuhn
Optimierung Vorlesung 9 Lineare Programmierung & Kombinatorische Optimierung 1 Assignment Problem (Zuordnungsproblem) Gewichtetes Perfektes Bipartites Matching agents Costs tasks Weise jedem Agenten genau
MehrFLÜSSE, SCHNITTE UND - TEIL 2 - BIPARTITE GRAPHEN. Vortrag im Seminar Hallo Welt Für Fortgeschrittene Dozenten: Werth, T. & Brinkers, D.
FLÜSSE, SCHNITTE UND BIPARTITE GRAPHEN - TEIL 2 - Vortrag im Seminar Hallo Welt Für Fortgeschrittene Dozenten: Werth, T. & Brinkers, D. Lukas Dresel 17. Juni 215 Inhalt Problemstellung Lösungsmethode 1
MehrFortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester
MehrKapitel 8: Bipartite Graphen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege 4. Minimale spannende Bäume 5. Färbungen und Cliquen 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse in Netzwerken
MehrFlüsse, Schnitte, bipartite Graphen
Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen Thomas Fersch mail@t-fersch.de 11.06.2010 Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 1 Übersicht Maximale Flüsse in Netzwerken Worum geht s? Lösung nach Ford-Fulkerson
MehrFormale Grundlagen der Informatik
Formale Grundlagen der Informatik / 2015 1 Die Elemente einer (endlichen) Menge sollen den Elementen einer zweiten, gleichmächtigen Menge zugeordnet werden Problemstellung Bipartite Graphen Zuordnungsprobleme
MehrFlüsse und Schnitte von Graphen
Flüsse und Schnitte von Graphen Christian Koch Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg 2. Juni 27 Christian Koch Flüsse und Schnitte 2. Juni 27 / 29 Gliederung Flüsse Allgemeines Maximaler Fluss
MehrName:... Vorname:... Matr.-Nr.:... Studiengang:...
Technische Universität Braunschweig Sommersemester 2013 IBR - Abteilung Algorithmik Prof. Dr. Sándor P. Fekete Dr. Christiane Schmidt Stephan Friedrichs Klausur Netzwerkalgorithmen 16.07.2013 Name:.....................................
MehrKombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 4 Programm des
MehrAlgorithmen für schwierige Probleme
Algorithmen für schwierige Probleme Britta Dorn Wintersemester 2011/12 30. November 2011 Wiederholung Baumzerlegung G = (V, E) Eine Baumzerlegung von G ist ein Paar {X i i V T }, T, wobei T Baum mit Knotenmenge
MehrKapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Pfade. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken
Mehr1 Matroide. 1.1 Definitionen und Beispiele. Seminar zur ganzzahligen Optimierung Thema: Durchschnitt von Matroiden - Satz von Edmonds von Dany Sattler
Seminar zur ganzzahligen Optimierung Thema: Durchschnitt von Matroiden - Satz von Edmonds von Dany Sattler 1 Matroide 1.1 Definitionen und Beispiele 1. Definition (Unabhängigkeitssystem): Ein Mengensystem
MehrKAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN
KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN F. VALLENTIN, A. GUNDERT 1. Definitionen Notation 1.1. Ähnlich wie im vorangegangenen Kapitel zunächst etwas Notation. Wir beschäftigen uns jetzt mit ungerichteten
MehrKlausur zum Modul Einführung in die Diskrete Mathematik
Klausur zum Modul Einführung in die Diskrete Mathematik 11.2.2014 Aufgabe 1 [10 Punkte] Sei G ein ungerichteter Graph, k N und x, y, z V (G). Zeigen Sie: Gibt es k paarweise kantendisjunkte x-y-wege und
MehrDurchschnitt von Matroiden
Durchschnitt von Matroiden Satz von Edmonds Dany Sattler 18. Januar 2007/ Seminar zur ganzzahligen Optimierung / Wallenfels Definition: Unabhängigkeitssystem Definition: Ein Mengensystem (S, J ) nennt
MehrDie Ungarische Methode für das Assignment Problem von H. W. Kuhn (1955)
Die Ungarische Methode für das Assignment Problem von H. W. Kuhn (1955) Seminar Kombinatorische Optimierung SS08: Christof Schulz 11.07.2008 1 Harold William Kuhn 2 Das Assignmentproblem Einfaches Assignmentproblem
MehrFlüsse, Schnitte, bipartite Graphen
Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen Vlad Popa 08.06.2010 Inhaltsverzeihnis 1. Flussnetzwerke und Flüsse 1.1 Ford- Fulkerson 1.2 Edmond Karp 1.3 Dinic 2. Schnitte 3. Maximaler Fluss bei minimalen Kosten
MehrBetriebliche Optimierung
Betriebliche Optimierung Joachim Schauer Institut für Statistik und OR Uni Graz Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 1 / 21 1 Approximationsalgorithmen auf
MehrEffiziente Algorithmen I
H 10. Präsenzaufgabenblatt, Wintersemester 2015/16 Übungstunde am 18.01.2015 Aufgabe Q Ein Reiseveranstalter besitzt ein Flugzeug, das maximal p Personen aufnehmen kann. Der Veranstalter bietet einen Flug
MehrÜberblick. Kap. 1.4: Minimum Weight Perfect Matching. 1.3 Blüten-Schrumpf Algorithmus für Maximum Matching
Kap. 1.4: Minimum Weight Professor Dr. Petra Mutzel Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 4. VO 6. November 2006 Überblick kurze Wiederholung: 1.2 Blüten-Schrumpf-Algorithmus für Perfektes Matching
MehrWS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphen (Matchings)
WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphen (Matchings) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_15
MehrBetriebswirtschaftliche Optimierung
Institut für Statistik und OR Uni Graz 1 Approximationsalgorithmen auf metrischen Instanzen Minimum Spanning Tree Definition (Spannbaum) Ein Spannbaum in einem Graphen G = (V,E) ist ein kreisfreier Teilgraph
MehrAnwendungen von Netzwerkfluss. Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin
Anwendungen von Netzwerkfluss Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin 13. 01. 2009 Gliederung Einführung Netzwerk, Fluss und Schnitt Max-Flow-Min-Cut Theorem Algorithmen zum Bestimmen vom
MehrApproximationsalgorithmen. 19. Dezember / 28
Approximationsalgorithmen 19. Dezember 2017 1 / 28 Optimierungsprobleme Das Ziel: Bearbeite schwierige Optimierungsprobleme der Form opt y f (x, y) so dass L(x, y). Die Zielfunktion f (x, y) ist zu minimieren
MehrMaximaler Fluß und minimaler Schnitt. Von Sebastian Thurm sebastian.thurm@student.uni-magedburg.de
Maximaler Fluß und minimaler Schnitt Von Sebastian Thurm sebastian.thurm@student.uni-magedburg.de Maximaler Fluß und minimaler Schnitt Wasist das? Maximaler Fluss Minimaler Schnitt Warumtut man das? Logistische
Mehr3. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2016/2017
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Sanders Dr. Christian Schulz, Dr. Simon Gog Michael Axtmann 3. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2016/2017 Aufgabe
MehrFelix Brandt, Jan Johannsen. Vorlesung im Wintersemester 2008/09
Felix Brandt, Jan Johannsen Vorlesung im Wintersemester 2008/09 Übersicht Übersicht Definition Ein Matching in G = (V, E) ist eine Menge M E mit e 1 e 2 = für e 1, e 2 M, e 1 e 2 Ein Matching M ist perfekt,
MehrWiederholung zu Flüssen
Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:
MehrKapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege 4. Minimale spannende Bäume 5. Färbungen und Cliquen 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse in Netzwerken
MehrTheoretische Informatik 1
Theoretische Informatik 1 Search - Beweis der Korrektheit David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung TU Graz SS 2013 Algemeine Anmerkungen zur Übung 9 Aufgabenblätter, 3 Abgabetermine
MehrEinführung in die Mathematik des Operations Research
Universität zu Köln Mathematisches Institut Prof. Dr. F. Vallentin Einführung in die Mathematik des Operations Research Sommersemester 3 en zur Klausur (7. Oktober 3) Aufgabe ( + 3 + 5 = Punkte). Es sei
MehrFlüsse und Zuordnungen. Kapitel 6. Peter Becker (H-BRS) Graphentheorie Wintersemester 2018/ / 296
Kapitel 6 Peter Becker (H-BRS) Graphentheorie Wintersemester 2018/19 227 / 296 Inhalt Inhalt 6 Flussnetzwerke Berechnung maximaler Flüsse Max-Flow-Min-Cut Matchings Peter Becker (H-BRS) Graphentheorie
MehrBemerkung: Es gibt Algorithmen für minimale Spannbäume der Komplexität O(m + n log n) und, für dünnbesetzte Graphen, der Komplexität O(m log n), wobei
Bemerkung: Es gibt Algorithmen für minimale Spannbäume der Komplexität O(m + n log n) und, für dünnbesetzte Graphen, der Komplexität O(m log n), wobei { log x = min n N n: log (log ( log(x) )) } {{ } n
Mehr1.Aufgabe: Minimal aufspannender Baum
1.Aufgabe: Minimal aufspannender Baum 11+4+8 Punkte v 1 v 2 1 3 4 9 v 3 v 4 v 5 v 7 7 4 3 5 8 1 4 v 7 v 8 v 9 3 2 7 v 10 Abbildung 1: Der Graph G mit Kantengewichten (a) Bestimme mit Hilfe des Algorithmus
MehrStudientag zur Algorithmischen Mathematik
Studientag zur Algorithmischen Mathematik Minimale aufspannende Bäume und Matchings Winfried Hochstättler Diskrete Mathematik und Optimierung FernUniversität in Hagen 22. Mai 2011 Outline Minimale aufspannende
MehrMatching. Organisatorisches. VL-18: Matching. (Datenstrukturen und Algorithmen, SS 2017) Gerhard Woeginger. Tanzabend
Organisatorisches VL-18: Matching (Datenstrukturen und Algorithmen, SS 2017) Gerhard Woeginger Vorlesung: Gerhard Woeginger (Zimmer 4024 im E1) Sprechstunde: Mittwoch 11:15 12:00 Übungen: Tim Hartmann,
MehrWS 2013/14. Diskrete Strukturen
WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314
MehrPrüfungsklausur Operations Research,
HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Operations Research,.0.0 B Name, Vorname Matr. Nr. Aufgabe gesamt erreichbare P. () 0+ erreichte P. Bemerkungen: Die angewendeten
MehrSystems of Distinct Representatives
Systems of Distinct Representatives Seminar: Extremal Combinatorics Peter Fritz Lehr- und Forschungsgebiet Theoretische Informatik RWTH Aachen Systems of Distinct Representatives p. 1/41 Gliederung Einführung
MehrPrüfungsklausur Operations Research,
HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Operations Research, 12.0.201 A Name, Vorname Matr. Nr. Aufgabe 1 2 6 gesamt erreichbare P. 1 () 1 1 0+ erreichte P. Bemerkungen:
Mehr7. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2016/2017
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Sanders Dr. Christian Schulz, Dr. Simon Gog Michael Axtmann 7. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 216/217 Aufgabe
MehrFlüsse, Schnitte, bipartite Graphen. Martin Oettinger
Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen Martin Oettinger Übersicht Einführung Algorithmen für maximalen Fluss Preflow-Push Ford-Fulkerson Spezialfall: Maximaler Fluss bei minimalen Kosten Reduktionen Bipartites
MehrEffiziente Algorithmen II
10. Präsenzaufgabenblatt, WiSe 2014/15 Übungstunde am 19.01.2015 Aufgabe Q Betrachten Sie das Knapsackpolytop P = conv(v ) mit V = {x n i=1 a ix i α} {0, 1} n für gegebenes α und a i 0 (insbesondere ist
MehrBäume und Wälder. Definition 1
Bäume und Wälder Definition 1 Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph. Ein Wald ist ein Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind. Ein Knoten v eines Baums mit Grad deg(v) = 1 heißt
MehrAlgorithmen zum Lösen von Vertex und Set Cover Instanzen zur Planung von Angriffen auf Netzwerke
Algorithmen zum Lösen von Vertex und Set Cover Instanzen zur Planung von Angriffen auf Netzwerke Steve Göring 13.07.2012 1/18 Gliederung Einleitung Grundlagen Vertex-Cover-Problem Set-Cover-Problem Lösungsalgorithmen
MehrBäume und Wälder. Definition 1
Bäume und Wälder Definition 1 Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph. Ein Wald ist ein Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind. Ein Knoten v eines Baums mit Grad deg(v) = 1 heißt
MehrMatchings in Graphen. Praktikum Diskrete Optimierung (Teil 5)
Praktikum Diskrete Optimierung (Teil 5) 6.05.009 Matchings in Graphen Es sei ein ungerichteter Graph G = (V, E) gegeben. Ein Matching in G ist eine Teilmenge M E, so dass keine zwei Kanten aus M einen
MehrAlgorithmische Graphentheorie
Algorithmische Graphentheorie Sommersemester 204 4. Vorlesung Matchings / Paarungen Kombinatorische Anwendungen des Max-Flow-Min-Cut-Theorems Prof. Dr. Alexander Wolff 2 Paarungen (Matchings) Def. Sei
MehrFerienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem
Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Dipl-Math. Wolfgang Kinzner 4.4.2012 Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Matching und Matchingproblem Flussalgorithmus
MehrLiteratur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)
Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,
MehrOptimieren von Schnittplänen
30. Juli, 015 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 4 Worum geht es? Wir wollen möglichst effizient Druckbögen zerschneiden Dazu verwenden wir nur Guillotinen-Schnitte Worum geht es? Wir wollen möglichst effizient
MehrGraphentheorie. Kardinalitätsmatchings. Kardinalitätsmatchings. Kardinalitätsmatchings. Rainer Schrader. 11. Dezember 2007
Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 11. Dezember 2007 1 / 47 2 / 47 wir wenden uns jetzt einem weiteren Optimierungsproblem zu Gliederung Matchings in bipartiten Graphen
MehrEffiziente Algorithmen I
9. Präsenzaufgabenblatt, WiSe 2013/14 Übungstunden am 13.01. & 15.01.2014 Aufgabe Q Gegeben sei ein Fluss-Netzwerk mit Digraph D = (V, A), Knotenkapazitäten c(u, v) 0, Quelle s und Senke t. Kann sich der
MehrKapitel 1: Fallstudie Bipartite Graphen Gliederung der Vorlesung
Kapitel : Fallstudie Bipartite Graphen Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Wege 6. Traveling Salesman
MehrTrennender Schnitt. Wie groß kann der Fluss in dem folgenden Flussnetzwerk höchstens sein?
6. Flüsse und Zuordnungen max-flow min-cut Trennender Schnitt Wie groß kann der Fluss in dem folgenden Flussnetzwerk höchstens sein? a e s c d t b f Der Fluss kann nicht größer als die Kapazität der der
Mehr8.4 Digraphen mit negativen Kantengewichten Grundsätzliches Betrachte Startknoten s und einen Kreis C mit Gesamtlänge < 0.
8.4 Digraphen mit negativen Kantengewichten 8.4.1 Grundsätzliches Betrachte Startknoten s und einen Kreis C mit Gesamtlänge < 0. k 4 5 1 s 1 3 2 C k 0 k 3 1 1 1 k 1 k 2 v Sollte ein Pfad von s nach C und
MehrAusarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König
Ausarbeitung über den Satz von Menger und den Satz von König Myriam Ezzedine, 0326943 Anton Ksernofontov, 0327064 Jürgen Platzer, 0025360 Nataliya Sokolovska, 0326991 1. Beweis des Satzes von Menger Bevor
MehrTheoretische Informatik 1
Theoretische Informatik 1 Approximierbarkeit David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung Technische Universität Graz 10.06.2016 Übersicht Das Problem des Handelsreisenden TSP EUCLIDEAN-TSP
MehrKombinatorische Algorithmen zur Berechnung von Marktequilibria
Seminar über Algorithmen Beispielbild Kombinatorische Algorithmen zur Berechnung von Marktequilibria 12.11.2013, Sebastian Stugk Übersicht 1. Marktmodelle und Gleichgewichtsdefinition 2. Das Eisenberg-Gale-Programm
MehrNachklausur Grundlagen der Algorithmik (Niedermeier/Froese/Chen/Fluschnik, Wintersemester 2015/16)
Berlin, 14. April 2016 Name:... Matr.-Nr.:... Nachklausur Grundlagen der Algorithmik (Niedermeier/Froese/Chen/Fluschnik, Wintersemester 2015/16) 1 / 10 2 / 10 3 / 11 4 / 9 5 / 10 Σ / 50 Einlesezeit: Bearbeitungszeit:
MehrProseminar Graphentheorie Vortrag 3 Matching. Inhalt: 1. Grundlagen 2. Matchings in bipatiten Graphen 3. Matchings in allgemeinen Graphen
Proseminar Graphentheorie Vortrag 3 Matching Inhalt: 1. Grundlagen 2. Matchings in bipatiten Graphen 3. Matchings in allgemeinen Graphen 1. Grundlagen Definition Matching: Eine Menge M von unabhängigen
MehrAlgorithmik WS 07/ Vorlesung, Andreas Jakoby Universität zu Lübeck. 10 Matching-Probleme
10 Matching-Probleme 10.1 Definition von Matching-Probleme Definition 21 [2-dimensionales Matching] Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph und E E. E ist ein Matching, wenn für alle Kantenpaare e 1, e
MehrFlüsse, Schnitte, bipartite Graphen
Flüsse, chnitte, bipartite Graphen Matthias Hoffmann 5.5.009 Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen 5.5.009 / 48 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel
MehrBipartites Matching. Gegeben: Ein bipartiter, ungerichteter Graph (V 1, V 2, E). Gesucht: Ein Matching (Paarung) maximaler Kardinalität.
Netzwerkalgorithmen Bipartites Matching (Folie 90, Seite 80 im Skript) Gegeben: Ein bipartiter, ungerichteter Graph (V, V, E). Gesucht: Ein Matching (Paarung) maximaler Kardinalität. Ein Matching ist eine
MehrBipartite Graphen. Beispiele
Bipartite Graphen Ein Graph G = (V, E) heiÿt bipartit (oder paar), wenn die Knotenmenge in zwei disjunkte Teilmengen zerfällt (V = S T mit S T = ), sodass jede Kante einen Knoten aus S mit einem Knoten
MehrFlüsse in Netzwerken. Seminar über Algorithmen SoSe 2005. Mike Rohland & Julia Schenk
Flüsse in Netzwerken Seminar über Algorithmen SoSe 2005 Mike Rohland & Julia Schenk Inhalt Einführung Definition Maximale Flüsse Schnitte Restgraphen Zunehmende Wege Max-Fluss Min-Schnitt Theorem Ford-Fulkerson
MehrKapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe 3. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 4. Minimal spannende Bäume 5. Kürzeste Pfade 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse
MehrAlgorithmen II Vorlesung am
Algorithmen II Vorlesung am 07..0 Minimale Schnitte in Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum
MehrDatenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 11 FS 14
Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérale de Zurich Politecnico federale di Zurigo Federal Institute of Technology at Zurich Institut für Theoretische Informatik 14. Mai
MehrLocal Search Algorithmen 1
Local Search Algorithmen 1 Seminar über Algorithmen Manuel Gellfart 18.05.2012 Fachbereich Mathematik und Informatik 18.05.2012 2 Gliederung 1. Einleitung 2. Theorie 3. Beispiel: Vertex Cover 4. Beispiel:
MehrDas Heiratsproblem. Definition Matching
Das Heiratsproblem Szenario: Gegeben: n Frauen und m > n Männer. Bekanntschaftsbeziehungen zwischen allen Männern und Frauen. Fragestellung: Wann gibt es für jede der Frauen einen Heiratspartner? Modellierung
MehrOptimierung. Vorlesung 08
Optimierung Vorlesung 08 Heute Dualität Ganzzahligkeit Optimierung der Vorlesung durch Evaluierung 2 Das duale LP Das primale LP Maximiere c T x unter Ax b, x R d 0. wird zu dem dualen LP Minimiere b T
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10
Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10 Flüsse Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6. Januar 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/8 Flüsse Graphen Grundlagen Definition
MehrAlgorithmen II Vorlesung am
Algorithmen II Vorlesung am 0..0 Minimale Schnitte in Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum
MehrRichtig oder falsch? Richtig oder falsch? Richtig oder falsch? Mit dynamischer Programmierung ist das Knapsack- Problem in Polynomialzeit lösbar.
Gegeben sei ein Netzwerk N = (V, A, c, s, t) wie in der Vorlesung. Ein maximaler s-t-fluss kann immer mit Hilfe einer Folge von höchstens A Augmentationsschritten gefunden werden. Wendet man den Dijkstra-Algorithmus
MehrKlausurvorbereitung. 1 Zentrale Begriffe. 2 Bipartite Graphen. 2.1 Begriffe. Vorlesung Graphen und Optimierung Sommersemester 2011 Prof. S.
Vorlesung Graphen und Optimierung Sommersemester 2011 Prof. S. Lange Klausurvorbereitung Hier finden Sie alle Begriffe, Zusammenhänge und Algorithmen, die mit Blick auf die Klausur relevant sind. Um es
MehrDiskrete Mathematik Graphentheorie (Übersicht)
Diskrete Mathematik Graphentheorie (Übersicht) Dr. C. Löh 2. Februar 2010 0 Graphentheorie Grundlagen Definition (Graph, gerichteter Graph). Ein Graph ist ein Paar G = (V, E), wobei V eine Menge ist (die
Mehr1 Kürzeste Pfade in Graphen
Praktikum Algorithmen-Entwurf (Teil 3) 03.11.2011 1 1 Kürzeste Pfade in Graphen Es sei ein gerichteter Graph G = (V, E) mit V = n Knoten, E = m Kanten und Kantengewichten c : E R gegeben. Ein Pfad in G
MehrApproximationsalgorithmen
Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 320 Approximationsalgorithmen In polynomieller Zeit lässen sich nicht exakte Lösungen von NP-harten Problemen berechnen. Approximationsalgorithmen
MehrDiskrete Mathematik 1 WS 2008/09
Ruhr-Universität Bochum Lehrstuhl für Kryptologie und IT-Sicherheit Prof. Dr. Alexander May M. Ritzenhofen, M. Mansour Al Sawadi, A. Meurer Lösungsblatt zur Vorlesung Diskrete Mathematik 1 WS 008/09 Blatt
MehrAnhang: Ungarische Methode
Ungarische Methode 107 Anhang: Ungarische Methode Zum Schluss des Kurses soll noch der Algorithmus der Ungarischen Methode beschrieben werden. Wir lehnen uns hierbei eng an der Darstellung von DOMSCHKE
MehrDatenstrukturen und Algorithmen SS07
Datenstrukturen und Algorithmen SS07 Datum: 27.6.2007 Michael Belfrage mbe@student.ethz.ch belfrage.net/eth Programm von Heute Online Algorithmen Update von Listen Move to Front (MTF) Transpose Approximationen
Mehr7. Transitive Hülle. Kante des Graphen. Zusatz-Kante der transitiven Hülle
In Anwendungen ist es oft interessant zu wissen, ob man überhaupt von einem Knoten v zu einem Knoten w gelangen kann, ganz gleich wie lang der Weg auch ist. Gegeben sei dabei ein gerichteter Graph G =
Mehr9 Minimum Spanning Trees
Im Folgenden wollen wir uns genauer mit dem Minimum Spanning Tree -Problem auseinandersetzen. 9.1 MST-Problem Gegeben ein ungerichteter Graph G = (V,E) und eine Gewichtsfunktion w w : E R Man berechne
Mehrlässt sich auch ableiten, dass es einen augmentierenden Pfad der Länge höchstens
Praktikum Algorithmen-Entwurf (Teil 5)..5 Matchings in Graphen Es sei ein ungerichteter Graph G = (V, E) gegeben. Ein Matching in G ist eine Teilmenge M E, so dass keine zwei Kanten aus M einen Endpunkt
MehrMinimal spannende Bäume
http://www.uni-magdeburg.de/harbich/ Minimal spannende Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke-Universität 2 Inhalt Definition Wege Untergraphen Kantengewichtete Graphen Minimal spannende Algorithmen
MehrEffiziente Algorithmen I 11. Übungsblatt, Wintersemester 2015/16 Abgabetermin:
11 11. Übungsblatt, Wintersemester 2015/16 Abgabetermin: 19.01.2016 Aufgabe 29 Bestimmen Sie mit der Stepping-Stone-ethode einen Transportplan mit minimalen Kosten für das klassische Transportproblem mit
MehrDatenstrukturen und Algorithmen (SS 2013)
Datenstrukturen und Algorithmen (SS 2013) Übungsblatt 10 Abgabe: Montag, 08.07.2013, 14:00 Uhr Die Übungen sollen in Gruppen von zwei bis drei Personen bearbeitet werden. Schreiben Sie die Namen jedes
MehrKombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 3 Programm des
MehrZuordnungsproblem. Beispiele. Mathematisches Modell. Lösungsmethoden. auch Ernennungs-, Zuweisungs-, Assignmentproblem
Zuordnungsproblem auch Ernennungs-, Zuweisungs-, Assignmentproblem Beispiele Mathematisches Modell Lösungsmethoden HTW-Berlin FB3 Prof. Dr. F. Hartl 1 2 Anwendungen Zuordnung von - 1 ME von A i nach B
MehrRundreiseproblem und Stabilität von Approximationsalg.
Das Rundreiseproblem und Stabilität von Approximationsalgorithmen Friedrich Alexander Universität Erlangen-Nürnberg Seminar Perlen der theoretischen Informatik, 2008-01-19 http://verplant.org/uni/perlen/
MehrKapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege 4. Minimale spannende Bäume 5. Färbungen und Cliquen 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse in Netzwerken
MehrDie Ungarische Methode für das Assignmentproblem
Die Ungarische Methode für das Assignmentproblem Seminar: Kombinatorische Optimierung SS08, Christof Schulz 11.07.2008 Hauptquellen: The Hungarian Method for the Assignment Problem von H.W. Kuhn (1955)
MehrKombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 1 Programm des
MehrWie wird ein Graph dargestellt?
Wie wird ein Graph dargestellt? Für einen Graphen G = (V, E), ob gerichtet oder ungerichtet, verwende eine Adjazenzliste A G : A G [i] zeigt auf eine Liste aller Nachbarn von Knoten i, wenn G ungerichtet
MehrNP-vollständige Probleme
Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 256 NP-vollständige Probleme Keine polynomiellen Algorithmen, falls P NP. Viele wichtige Probleme sind NP-vollständig. Irgendwie müssen sie gelöst
Mehr6. Flüsse und Zuordnungen
6. Flüsse und Zuordnungen Flußnetzwerke 6. Flüsse und Zuordnungen In diesem Kapitel werden Bewertungen von Kanten als maximale Kapazitäten interpretiert, die über diese Kante pro Zeiteinheit transportiert
MehrWS 2008/09. Diskrete Strukturen
WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
Mehr