Zuordnungsproblem. Beispiele. Mathematisches Modell. Lösungsmethoden. auch Ernennungs-, Zuweisungs-, Assignmentproblem

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1 Zuordnungsproblem auch Ernennungs-, Zuweisungs-, Assignmentproblem Beispiele Mathematisches Modell Lösungsmethoden HTW-Berlin FB3 Prof. Dr. F. Hartl 1

2 2 Anwendungen Zuordnung von - 1 ME von A i nach B j (i, j=1,2,,m) - Jobs zu Maschinen - Außendienstmitarbeiter zu Territorien - Person zu Person zwecks Partnerschaft

3 3 Zuordnung A i zu B j Ordnen Sie jedem B j Ort einen A i Ort so zu, dass die Gesamtfahrkilometer minimal sind. Jeder A i Ort soll 1 ME liefern. A 1 1 t B 1 1 t B 2 1 t 70 Entfernung d ij km B1 B2 B3 A A A A 3 1 t B 3 A 2 1t 1 t Zulässige Zuordnung: B1 B2 B3 a i A1 1 A2 1 A3 1 b j Optimale Zuordnung: B1 B2 B3 a i A1 x11=1 1 A2 x22=1 1 A3 x33=1 1 b j Ges. 3 unabhängige Einsen. Wie viele Möglichkeiten? 3! = 3*2*1 = 6 x11 x22 x33 x11 x23 x32 x12 x21 x33 x12 x23 x31 x13 x22 x31 x13 x21 x32

4 4 Jobs zu Maschinen Drei Jobs (3 Arbeiten)können wahlweise auf drei Maschinen durchgeführt werden. Die Arbeiten sind derart zuzuordnen, dass der Gesamtenergieverbrauch minimal ist. Die einzelnen Maschinen besitzen dabei die folgenden arbeitsspezifischen Energieverbrauche : Maschine Arbeit A1 A2 A3 M M M opt. Lösung: M1 M2 M3 A1 X12=1 A2 X23=1 A3 X31=1 Minimaler Gesamtenergieverbrauch: =32

5 Aufgaben zu Personen 5 Aufgaben sollen durch 5 Personen so erledigt werden, dass die Gesamtbearbeitungszeit minimal wird. 5 Bearbeiter 5 A u f g a b e n (c ij ) B1 B2 B3 B4 B5 A A A A A Würde man alle zulässige Kombinationen betrachten, müssten 5! = 5*4*3*2*1 = 120 Berechnungen durchgeführt werden. Suche nach einem effizienten Lösungsweg: Ungarische Methode x11 x22 x33 x44 x55 x11 x22 x33 x45 x54 5

6 6 Partnerschaftsproblem Was ist das Besondere? ein Problem der Maximierung: Sympathie Gegeben seien n Personen der Gruppe A und n Personen der Gruppe B, sowie ein Antipathiekoeffizient c ij, für 1 i, j n Gesucht ist eine Zuordnung der Personen so, dass die Summe der Antipathiekoeffizienten minimal ist.

7 Das Zuordnungsproblem Spezialfall der ganzzahligen, linearen Optimierung spezielles Transportproblem, wobei m = n, a i = b i = 1 für i = 1,...,n und x ij {0, 1} ist. Das Zuordnungsproblem besteht in der Auswahl von n unabhängigen Elementen der Matrix C=[c ij ], so dass ihre Summe ein Minimum ist. (Eine Menge von Elementen dieser Matrix, bezeichnet man als unabhängig, wenn nicht mehr als eines in einer Reihe liegt.) HTW-Berlin FB3 Prof.Dr.F. Hartl 7

8 Mathematisches Modell Bestimme die Zuordnungsvariablen x ij, welche die Zielfunktion n n cijxij i 1 j 1 unter folgenden Nebenbedingungen minimieren: Jede Aufgabe i erledigen Jeder Bearbeiter j eine Aufgabe n j 1 n i 1 x x ij ij 1 1 x ij {0, 1} für i, j = 1, 2,...,n, für i = 1, 2,...n, für j = 1, 2,...n Merke: Allg. sind die Variablenwerte von zulässigen Basislösungen x ij im TOP immer ganzzahlig, solange die rechte Seite der Gleichungen und eventuelle Kapazitätsgrenzen ganzzahlig sind. Da diese Voraussetzung für das Assignment Problem stets erfüllt ist, kann die binäre Restriktion zur Nichtnegativitätsbedingung umformuliert werden: x ij 0 für i, j = 1, 2,...,n 8

9 Lösungsverfahren für das Zuordnungsproblem Standard Simplexmethode (*) Transport Simplexmethode (schneller) (*) Ungarische Methode, die die spezielle Struktur des Zuordnungsproblems noch besser ausnutzt und deshalb noch schneller als die Transport-Simplexmethode ist. (*) da die RHS stets 1 und die Matrix A nur Nullen und Einsen enthält, sind die Lösungen stark entartet (degeneriert). (Als spezielles Transportproblem hat es m+ n - 1 = 2 n 1 BV, von denen aber nur n den Wert 1 haben und der Rest null ist (primal degenerierte Lösung) es werden zum Teil Iterationen durchgeführt, die wertmäßig nichts verändert haben.) 9

10 10 Ungarische Methode Der Algorithmus wurde von den ungarischen Mathematikern D. König und E. Egervary entwickelt und von H. Kuhn im Jahre 1955 auf die Zuordnungsprobleme angewandt. sehr effizientes Lösungsverfahren. ein primal-dual LOP Verfahren, das die Dualität ausnutzt, um das Degenerationsproblem zu umgehen.

11 11 Lösungsidee Verwendung des Satzes von König Hat eine Matrix Nullen und positive Zahlen, dann ist die Mindestzahl der Deckungslinien über Zeilen und/oder Spalten, mit denen alle Nullen überdeckt werden können, gleich der Höchstzahl unabhängiger Nullen (=derjenigen Nullen, die genau einer Zeile und einer Spalte zugeordnet werden können) maximale Anzahl der unabhängigen Nullen gleich n die optimale Zuordnung gefunden.

12 12 Lösungshinweis Eine spalten- oder zeilenweise Addition beliebiger Zahlen führt nicht zu einer Beeinträchtigung der optimalen Lösung. Durch Wechsel der Vorzeichen ist eine Transformation eines Maximum- in ein Minimumproblem und umgekehrt möglich.

13 13 Lösungsschritt 1 Umwandlung der Bewertungsmatrix C in reduzierte Bewertungsmatrix C* wobei c ij * = c ij -(u i +v j ) für alle i,j (= Opportunitätskosten oc ij ) zunächst Zeilenreduktion d.h. Reduktion aller Zeilenwerte c ij um ihr jeweils minimales Zeilenelement u i, i dann Spaltenreduktion c c ij ij c ij * c u ij i v, wobei d.h. Reduktion aller neuen Spaltenwerte um ihr jeweils minimales Spaltenelement v j, i j, wobei ui minc ij j v j mincij i i j

14 14 Anfangslösung Es wurde erreicht, dass in jeder Zeile und jeder Spalte mindestens ein Opportunitätskostenwert null ist Kandidat für BV x ij = 1, da stets oc ij = 0 für BV. Diese Lösung ist dual zulässig, da alle oc ij 0. Die primale Zulässigkeit ist jedoch erst erreicht, wenn in jeder Zeile i und Spalte j der Zuordnungsmatrix genau eine Eins platziert ist (da ist oc ij = 0 und unabhängig) Schritt 2 und 3. (dann auch optimal für primal und dual)

15 15 Lösungsschritte 2 und 3 2. Ziehe Minimalzahl von Linien durch Zeilen und Spalten, so dass alle Nullelemente von C* durch Linien überdeckt sind (= Deckungslinien). Ist C* vollständig überdeckt, so lassen sich unabhängige Nullen finden. STOP. Andernfalls gehe zu Erzeuge neue Nullelemente in C*, indem aus den unbedeckten Elementen das minimale gewählt wird und ziehe dieses von jedem unbedeckten Element ab bzw. addiere es zu jedem doppelt bedeckten Element hinzu. Gehe zu 2.

16 Schritt 1. Bildung der reduzierten Matrix C* 1. Zeilenreduktion 1.1 In jeder Zeile den kleinsten Wert suchen 1.2 Subtrahiere von jeder Zeile ihr kleinstes Element. 2. Spaltenreduktion 2.1 In jeder Spalte den kleinsten Wert suchen 2.2 Subtrahiere von jeder Spalte ihr kleinstes Element. 1.2 oc 11 = c 11 (u 1 +v 1 ) (c ij ) B1 B2 B3 B4 B5 u i A A A A A B1 B2 B3 B4 B5 A A A A A v j Reduzierte Matrix C* =Matrix der Opportunitätskosten oc ij 9 Nullen 9 prim. Basisvariable 2.2 A1 8 A2 0 A3 2 A4 0 A5 3 B1 B B Der duale Zielwert läßt sich anhand der dualen Zielfunktion berechnen: B v j B u i Mindestzeitbedarf: n n F u i v j 37 i 1 j 1 16

17 Schritt 2 (Suche einer zulässigen primalen Lösung) Erzeugen eines Deckliniensystems Mit einer minimalen Anzahl von Decklinien sollen alle Nullen überdeckt werden. Zunächst wird von oben nach unten Zeile für Zeile nach einzelnen unmarkierten Nullen gesucht und die Spalten gestrichen in der sie stehen. Daraufhin werden von links nach rechts die Spalten nach einzelnen unmarkierten Nullen abgesucht und die entsprechende Zeile gestrichen. Dann werden wieder die Zeilen abgesucht und so fort, bis keine einzelne unmarkierte Null mehr in einer Spalte oder Zeile steht.* (oc ij ) B1 B2 B3 B4 B5 A A A A A Minimale Anzahl von Deckungslinien = 5 optimale Lösung * Verfahren, das leider nicht für alle Fälle bis zur vollständigen Zuordnung führt 17

18 Ergebnis der Ungarischen Methode Die unabhängigen, grünen Nullen (Opportunitätskosten=0) geben die optimale Zuordnung an. Dort ist die entsprechende primale Basisvariable gleich 1. B1 B2 B3 B4 B5 ai A A A A A bj Die primale Basislösung x 13 = x 21 = x 34 = x 42 = x 55 = 1 ist zulässig. Warum?. mit der obigen zulässigen u,v-lösung und der primalen zulässigen Lösung ist garantiert, dass x optimal ist. A1 B3, A2 B1, A3 B4, A4 B2, A5 B5 n Zuordnung der Aufgaben zu den Bearbeitern F n u i v j 37 Gesamtzeitaufwand : i 1 j 1 oder ( ) = 37 ZE 18

19 19 2. Beispiel: Erzeugen eines Deckliniensystems über Lösungsschritte 2 und 3 geg.: reduzierte Matrix C* mit Reduktionskonstante u i + v j = 35 Mit einer minimalen Anzahl von Decklinien sollen alle Nullen überdeckt werden. B1 B2 B3 B4 B5 A A A A A Decklinien aber 5 zu bestimmende unabhängige Nullen --> noch keine Lösung

20 Bsp. Lösungsschritt 3 Erzeugen neuer Nullelemente Wähle aus den unbedeckten Elementen das minimale und ziehe dieses von jedem unbedeckten Element ab bzw. addiere es zu jedem doppelt bedeckten Element hinzu. Gehe zu 2. kleinster Wert eines nicht bedeckten Feldes B1 B2 B3 B4 B5 A A A A A Die Reduktionskonstante wird um das Produkt aus Minimalwert und Differenz der Anzahl der Spalten und der Anzahl der Decklinien erhöht. Reduktionskonstante = 35 +2*(5-4) = 37 (Zeilenanzahl-Anzahl Deckungslinien ) 20

21 21 zurück zu Lösungsschritt 2. Erzeugen eines Deckliniensystems B1 B2 B3 B4 B5 A A A A A Decklinienanzahl = Zeilenanzahl Die Optimallösung kann nun bestimmt werden, da die Zahl der Deckungslinien der Zahl der Zuordnungen entspricht. Es liegen 5 unabhängige Nullelemente vor.

22 22 Ergebnis der Ungarischen Methode Die optimale Zuordnung ergibt sich aus der Lage (i,j) der unabhängigen Nullen: 0 bei (i,j) --> xij = 1 (c ij ) B1 B2 B3 B4 B5 A A A A A Optimale Lösung des Problems A1 B3, A2 B1, A3 B4, A4 B2, A5 B5 Zuordnung der Aufgaben zu den Bearbeitern Gesamtzeitaufwand = ( ) = 37 Zeiteinheiten oder aus Reduktionskonstante 37 Zeiteinheiten

23 23 Bemerkungen Die Matrix C muss gelegentlich noch angepasst werden, bevor der Ungarische Algorithmus starten kann. Wenn nicht alle Elemente c ij 0 sind, wird zu jedem Element eine geeignete Konstante hinzuaddiert, so dass alle c ij 0 größer sind. Wenn es sich um ein Maximierungsproblem handelt, muss eine geeignete Konstante gewählt werden, von der das jeweilige Element c ij subtrahiert wird, so dass gilt: n ij = M- c ij

24 Lösung mittels EXCEL Solver (cij) B1 B2 B3 B4 B5 A A A A A Lineares Modell Keine negativen Werte im Zuordnungsfeld B1 B2 B3 B4 B5 IST ai A A A A A Ist bj Zeit 37 min Zuordnungsfeld Veränderbare Zellen Zielzelle =summenprodukt( Zeitmatrix;Zuordn ungsfeld) Nebenbedingunge Veränderbare Ist = Soll Zellen n LOP- Bsp.xlsx 24

25 25 Übung U i Vj C* Mindestzeitbedarf: 109

26 26 noch keine optimale Lösung ablesbar, da anstatt 6 nur 5 markierte Nullen weitere Matrixreduktion notwendig mit Minimalelement 2: Neue reduzierte Matrix C* Mindestzeitbedarf: (6-5)*2 = 111

27 27 Optimale Zuordnung x 15 = x 24 =x 31 =x 46 =x 52 =x 63 =1 mit t = 111 ZE