10.2 Dualitätstheorie Operations Research. In der Standardform eines Maximierungsproblem: b e ) mit ( w) + a ej ) x j + x g = ( b g + g G

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1 48 0 Operations Research In der Standardform eines Maximierungsproblem: Max ( w) mit ( w) + u. d. N. z + x l + n ( a gj + j= g G e E n d j x j = z 0 j= n a l j x j = b l für alle l L j= x g n + a gj x j x g = b e für alle j= a ej ) x j + x g = ( b g + g G g G e E g G x e n + a ej x j = b e für alle e E j= x j 0 x l,x g 0 x g,x e 0 z frei Unzulässigkeitsfunktion, alternativer Name für die zweite Zielfunktion. Ihr Wert ist ein Maß für die Summe aller Unzulässigkeiten. Je kleiner der Wert der Unzulässigkeitsfunktion, desto stärker nähert sich die Lösung dem zulässigen Bereich. Mithilfe der Simplex-Methode kann man das neue Problem lösen, indem die ursprüngliche Zielfunktion wie eine Nebenbedingung mit umgerechnet wird, allerdings mit der Maßgabe, dass die entsprechende Zeile niemals Pivotzeile werden darf. Das heißt, diese Nebenbedingung darf nicht restriktiv werden, sodass die Zielvariable z als freie Variable behandelt werden muss. Zulässige Lösung, der Lösungsprozess endet mit dem minimalen Wert der Funktion w = 0. Keine zulässige Lösung, der Lösungsprozess endet mit dem minimalen Wert der Funktion w > 0. b e ) 0. Dualitätstheorie Dualität linearer Programme, das paarweise Auftreten von LP-Problemen. Zu jedem LP-Problem existiert ein zweites, das als das duale Problem des ersteren bezeichnet wird. Bei Zwei-Personen-Nullsummenspielen wird besonders deutlich, dass der Gewinn des einen Spielers gleich dem Verlust des anderen Spielers ist. Das heißt, es muss sich dieselbe Lösung ergeben, wenn man den Mindestgewinn des Spielers A maximiert oder den Maximalverlust des Spielers B minimiert. Die entsprechenden linearen Programme sind dual zueinander. In der Produktionsprogrammplanung ist mit jedem Ressourcen-Allokations-Problem ein Preisproblem verbunden. Das heißt, der Faktoreinsatz wird davon abhängig gemacht, welche Erlöse sich mit ihm erzielen lassen. Das Problem, die Ressourcen so einzusetzen, dass sich ein maximaler Gewinn ergibt, ist dual zu dem Problem, Verrechnungspreise für die Faktoren zu bestimmen, so dass die Kosten ihres Einsatzes minimiert werden.

2 0. Dualitätstheorie 49 Duale Entsprechungen, die gegenseitigen Entsprechungen des primalen und des dualen Problems. Primales Problem Duales Problem Zielfunktion Rechte Seite Rechte Seite Zielfunktion Koeffizientenmatrix Transponierte Matrix (ohne Vorzeichen) Variable (Spalte) Nebenbedingung (Zeile) Nebenbedingung (Zeile) Variable (Spalte) Das Mengenproblem lautet in allgemeiner Schreibweise: x x x =. x n der Vektor der herzustellenden Mengen c T = (c,c,...,c n ) der Vektor der Deckungsbeiträge a a a n a A = a a n..... die Matrix der Produktionskoeffizienten. a m a m a mn b b b =. b n der Vektor der Kapazitätsangebote Mit diesen Bezeichnungen ergibt sich im Folgenden das als PRIMAL bezeichnete LP-Problem: Max z mit z = c T x u. d. N. A x b x 0 Das Preisproblem ergibt sich, wenn man allen Faktoren i Preise u i zuordnet: u u u =. u m Als Wert aller verfügbaren Faktoren erhält man: der Vektor der Faktorbewertungen m w = b i u i = b T u i= Die Preise sind so zu bestimmen, dass die Bewertung aller vorhandenen Faktoren minimal ist.

3 40 0 Operations Research Bei der Berechnung der Preise soll in jedem Fall sichergestellt sein, dass der Wert der eingesetzten Faktoren in einer Aktivität den Deckungsbeitrag c j des Aktivitätenoutputs nicht unterschreitet: m a ij u i c j für alle j =,,...,n i= Restriktionen zusammengefasst: A T u c Keine negativen Preise: u 0 Zusammengefasst ergibt sich das LP-Problem: DUAL Min w mit w = b T u u. d. N. A T u c u 0 Allgemeines duales Problem, ergibt sich aus folgender Synopse, die von links nach rechts zu interpretieren ist, wenn das primale Problem ein Maximierungsproblem ist, sonst von rechts nach links, wobei die so genannte Punktnotation für die i-te Zeile A i bzw. für die j-te Spalte A j der Matrix A verwendet wurde: PRIMAL (DUAL) DUAL (PRIMAL) Kriterium: Max Kriterium: Min Variablen: x j ; j =,,...,n Funktionen: A T j u ; j =,,...,n Funktionen: A T i x ; i =,,...,m Variablen: u i ; i =,,...,m Zielfunktion: z = c T x + z 0 Rechte Seite: c Rechte Seite: b Zielfunktion: w = b T u + z0 Nebenbed.: A l x b l l L A e = b e e E A T g b g g G Variablen: x i 0 i I x j frei j J x k 0 k K Variablen: u l 0 l L u e frei e E u g 0 g G Nebenbed.: A T i u c i i I A T j u = c j j J A T k u c k k K Zwischen den jeweils paarweise auftretenden LP-Problemen bestehen enge Beziehungen. Sie sind im Folgenden in Form von Eigenschaften zusammengestellt, auf die im weiteren Text Bezug genommen wird. Wir halten zunächst fest, dass es sich bei den beiden dualen Problemen Max z mit z = c T x u. d. N. A x b x 0 Min w mit w = b T u u. d. N. A T u c u 0 um zwei verschiedene Probleme handelt! Sie werden i. d. R. unterschiedliche Dimensionen besitzen und durch die Nebenbedingungen sind völlig verschiedene Polyeder beschrieben.

4 0. Dualitätstheorie 4 Die zulässigen Lösungen des einen Problems haben mit den zulässigen Lösungen des anderen Problems im Prinzip nichts gemeinsam. Eigenschaften dualer Probleme: Duales Problem des dualen: Das duale Problem des dualen Problems ergibt das primale Problem. Schwache Dualität: Es seien x eine zulässige Lösung des primalen Max-Problems und u eine zulässige Lösung des dualen Min-Problems: z(x ) = c T x b T u = w(u ) Der Zielfunktionswert einer zulässigen Lösung des Maximierungsproblems ist also stets kleiner oder gleich dem Zielfunktionswert einer zulässigen Lösung des dazugehörenden Minimierungsproblems. Aus der schwachen Dualität ergeben sich wichtige Folgerungen: Der Zielfunktionswert einer zulässigen Lösung des Min-Problems stellt eine obere Schranke für die optimale (und zulässige) Lösung des Max-Problems dar. Analog ist der Zielfunktionswert einer zulässigen Lösung des Max-Problems eine untere Schranke für die optimale Lösung des Min-Problems. Ist die Lösung des Max-Problems zulässig und nach oben unbeschränkt, so gibt es keine zulässige Lösung des Min-Problems. Ist die Lösung des Min-Problems zulässig und nach unten unbeschränkt, so gibt es keine zulässige Lösung des Max-Problems. Falls das Min-Problem keine und das Max-Problem mindestens eine zulässige Lösung besitzt, so ist das Max-Problem nach oben unbeschränkt. Hat das Max-Problem keine und das Min-Problem mindestens eine zulässige Lösung, so ist das Min-Problem nach unten unbeschränkt. Hinreichende Bedingung der Optimalität: In einem Paar dualer LP-Probleme sei x eine zulässige Lösung des (primalen) Max-Problems und u eine zulässige Lösung des (dualen) Min-Problems. z(x ) und w(u ) seien die entsprechenden Zielfunktionswerte und es gelte z(x ) = w(u ). Dann ist x die optimale Lösung des Max-Problems und u die optimale Lösung des Min-Problems. Starke Dualität: Besitzt in einem Paar dualer LP-Probleme eines der beiden Probleme eine (endliche) Optimallösung, dann auch das andere und die Zielfunktionswerte beider Probleme sind im Optimum gleich. Neben zahlreichen theoretischen Folgerungen ergibt sich die folgende auch für den praktischen Einsatz relevante Konsequenz. Es wird angenommen, dass für ein Paar zueinander dualer Probleme jeweils eine zulässige Basislösung bekannt ist. Beide LP-Probleme sollen also unabhängig voneinander gelöst werden, wobei in beiden Fällen zunächst die Zulässigkeit angestrebt wird. Wegen der schwachen Dualität ist der Zielfunktionswert: des Min-Problems obere Schranke für das Max-Problem des Max-Problems untere Schranke für das Min-Problem. Der einzige gemeinsame (zulässige) Wert beider Probleme ergibt sich wegen des starken Dualitätssatzes im Optimum. Complementary Slackness-Bedingung: Für ein Paar dualer LP-Probleme gilt: x und u sind dann und nur dann optimale Lösungen der

5 4 0 Operations Research jeweiligen Probleme, wenn sie die Complementary Slackness-Bedingung u T (b A x ) = 0 bzw. (A T u c) T x = 0 erfüllen. Die CS-Bedingung ist identisch mit der ökonomischen Aussage, dass nur diejenigen Faktoren einen Schattenpreis ( = Dualvariable!) ungleich null haben, die knapp sind, bei denen also die Nebenbedingung als Gleichung gilt. Umgekehrt ist der Schattenpreis gleich null, wenn die Nebenbedingung nicht restriktiv ist, d. h. das Ungleichheitszeichen gilt. 0.. Duale Simplex-Methode Die primale Simplex-Methode arbeitet in der Optimierungsphase nach dem folgenden Prinzip: Sie startet mit einer (primal) zulässigen Lösung. In jeder Iteration wird eine andere Basislösung berechnet, die die Eigenschaft hat,. nach wie vor zulässig zu sein und. hinsichtlich des Zielfunktionswertes besser, zumindest aber nicht schlechter zu sein. Dieses (primale) Prinzip strebt also von einer zulässigen Lösung ausgehend die Optimalität an, wobei sichergestellt wird, dass die einmal gewonnene Zulässigkeit nicht mehr verloren geht. Alle bis auf die letzte Basislösung sind zulässig, aber nicht optimal; nach den zuvor erarbeiteten Ergebnissen kann man also feststellen: Sie sind primal, jedoch nicht dual zulässig. Die Lösungsstrategie besteht dabei darin, eine (primal) zulässige Lösung stetig zu verbessern, bis sie auch dual zulässig, also optimal ist. Duale Strategie, geht genau umgekehrt vor, d. h. startet mit einer dual zulässigen Lösung und strebt primale Zulässigkeit an. Ist sie erreicht, so ist man am Ziel, d. h. die erste (primal) zulässige Lösung ist dann die gesuchte. Wir gehen hierzu wieder von der Standardform aus: Ausgangstableau: Max x j x s RS z d j d s z 0 x r a rj b r x i a ij a is b i Die zugehörige Basislösung sei optimal (dual zulässig), d. h. d j, d s 0, jedoch nicht (primal) zulässig, d. h., es existiere mindestens eine Zeile i mit b i < 0. Duale Simplex-Methode (Standardform) Input: Output: Vereinbarung: Schritt : Simplextableau mit dual zulässiger (= optimaler) Ausgangslösung Simplextableau mit optimaler und primal zulässiger Basislösung oder dem Nachweis, dass keine zulässige Lösung existiert. Umgerechnete Koeffizienten sind durch einen Stern (*) gekennzeichnet. Auswahl der Pivotzeile r Es sei b r = min b i i Falls b r 0 ist, dann ist eine zulässige Lösung erreicht; die Rechnung ist beendet. Andernfalls wähle die Zeile r als Pivotzeile.

6 0. Dualitätstheorie 43 Schritt : Auswahl der Pivotspalte s Berechne: d { s = min d j j a rj a rj < 0} Wähle Spalte s als Pivotspalte. Bei mehreren minimalen Quotienten wähle die Spalte s unter den entsprechenden Zeilen beliebig aus. Falls kein a rj < 0 existiert, gibt es keine zulässige Lösung; die Rechnung endet. Schritt 3: Pivotoperation bzgl. < 0 3.: Pivotzeile r a rj = a rj für alle j s, 3.: Pivotspalte s a is = a is für alle i r, b r = b r d s = d s 3.3: Pivotelement a rs = 3.4: Alle übrigen Elemente a ij = a ij a is a rj = a ij a is a rj für alle i r und j s b i = b i a is b r = b i a is b r für alle i r d j = d j d s a rj = d j d s a rj für alle j s z 0 = z 0 d s b r = z 0 d s b r 3.: Vertauschung der Variablen Tausche x r gegen x s und gehe nach Schritt. Beispiel: Gesucht ist die Lösung des nachstehenden Minimierungsproblems. Min z mit z = x +4x +x 3 u. d. N. x +x +3x 3 9 x +3x +x 3 x +x +4x 3 x,x,x 3 0 Max x x x 3 RS ( z) 4 0 x x 3 x 6 4 Max x 6 x x 3 RS ( z) x 4 3 x 3 3 x

7 44 0 Operations Research Max x 6 x x 4 RS ( z) 33 x 3 3 x x 3 9 Max x x x 4 RS ( z) x 3 x 6 x Revidierte Simplex-Methode Klassische Simplex-Methode: In jeder Iteration wird das gesamte Tableau umgerechnet. Dabei sind bei größeren Problemen u. U. außerordentlich viele Operationen des Typs a = a b c, d. h. der zentralen d linearen Transformation, auszuführen, was mit folgenden, z. T. gravierenden Nachteilen verbunden ist: Speicherplatz: Die Koeffizientenmatrizen sind groß, jedoch meist nur dünn besetzt. Bei der vollständigen Umrechnung ändert sich die Verteilung der Nichtnull-Elemente, sodass eine kompakte Speicherung nicht infrage kommt. Die vollständige Speicherung der Koeffizientenmatrix kann nicht im Arbeitsspeicher vorgenommen werden, weshalb bei externer Speicherung sehr viele Input/Output-Operationen anfallen, was die Lösungszeit stark belastet. Rechenzeit: Gerade wenn es sich um große Probleme mit i. d. R. sehr viel mehr Aktivitäten (Spalten) als Nebenbedingungen (Zeilen) handelt, werden letztendlich nicht alle, sondern i. Allg. sogar nur relativ wenige Aktivitäten bewegt, d. h. nur ein geringer Teil der Spalten wird tatsächlich Pivotspalte. Würde man diese a priori kennen, so könnte auf die Darstellung und Umrechnung solcher Aktivitäten, die sich für den Entscheidungsprozess als irrelevant herausstellen, ganz verzichtet werden. Das Problem ist, dass man über dieses Wissen ex ante nicht verfügt. Rundungsfehler: Durch die wiederholte Umrechnung eines jeden Koeffizienten kommt es häufig vor, dass ein Nullelement ungleich null wird und - bei exakter Rechnung - in einer späteren Iteration wieder verschwindet (d. h. = 0 wird). Für die interne Darstellung einer Gleitkommazahl stehen jedoch nur begrenzt viele Stellen zur Verfügung, sodass gerundet und abgeschnitten werden muss, weshalb Koeffizienten, die im fortgeschrittenen Rechenstadium eigentlich gleich null wären, fälschlicherweise einen Wert ungleich null haben und als Pivotelement gewählt werden. Revidierte Simplex-Methode, alternative Implementierung der Simplex-Methode, bei der nur derjenige Teil des Simplex-Tableaus umgerechnet wird, der für den nächsten Schritt unbedingt erforderlich ist. Alle anderen Daten werden bei Bedarf aktualisiert. Basisinverse, derjenige Teil der Koeffizientenmatrix, mit dem alle anderen Daten umgerechnet werden müssen. Sie wird im Wesentlichen aktuell gehalten. Je nach Form der Inversen gibt es verschiedene Varianten der revidierten S. M.: Revidierte S. M. mit Explizitform der Inversen Revidierte S. M. mit Produktform der Inversen Revidierte S. M. mit LU-Form der Inversen Blockpivoting, Matrizendarstellung des Pivotprozesses, liefert die Rechenregeln für die Aktualisierung der in jeder Iteration benötigten Daten. z x L x B x N 0 T d T B d T N = 0 E A B A N Ausgangstableau z x L x B x N d T B A B 0 T d T N dt B A B A N 0 A B E A B A N Tableau auf kanonische Form zur Basis B