Lineare Optimierung Teil 2

Transkript

1 Lineare Optimierung Teil 2 Primale Degeneration Duale Degeneration = Mehrdeutigkeit Normalform kanonische Form Duale Simplexmethode HTW-Berlin FB3 Prof. Dr.F. Hartl 1

2 Primale Degeneration/1 Besitzt eine zulässige Basislösung genau m (=Anzahl NB) positive Komponenten, wird sie nichtausgeartet (nichtdegeneriert) genannt. Primale Degeneration wird durch das Auftreten von Nullen in der RHS Spalte ersichtlich. Basisvariable hat Wert Null Spezialfall der Redundanz der Nebenbedingungen. Geometrisch gesehen ist dann ein Eckpunkt durch mehr als n Hyperebenen bestimmt (ist überbestimmt). Wenn das Folgetableau degeneriert ist, so wird das bereits im vorangehenden Tableau erkennbar: Die PZ-Regel liefert mehrere kleinste Quotienten Pivotzeile nicht eindeutig würfeln als günstigster Kompromiß 2

3 Primale Degeneration/2 Theoretisch besteht ein Kreisen in degenerierten Ecken ist praktisch jedoch irrelevant. 3

4 Duale Degeneration =Mehrdeutigkeit wenn die Zielfunktion auf einer Nebenbedingung liegt, Duale Degeneration, wenn Nichtbasisvariable im optimalen Tableau einen Zielzeilenkoeffizienten (=Opportunitätskosten) gleich Null hat. Das Problem hat zwei Eckpunklösungen (und damit auch alle auf der Kante liegenden Punkte) als optimale Basislösungen. 4

5 Bsp. Mehrdeutigkeit Basis x1 x2 x3 x4 x5 RHS x x x Z x2 1/2 1 1/ x / x Z Normalerweise sind wegen drei BV auch drei Nullen in der Z-Zeile, hier aber unter der NBV x1 eine weitere Null Ergebnis: x /8-1/4 0 9 x /4 1/2 0 2 x /4-1/2 1 4 Z Eckpunktlösung 1 neue Basis- Transformation mit x1 Eckpunktlösung 2 bei gleichem Z-Wert Zwei Eckpunktlösungen und zusätzlich alle Punkte auf der Verbindungsgeraden, d.h. x = Eckpunktlösung1 + (1- ) Eckpunktlösung2 mit 0 1 sind optimal 5

6 Unbegrenzte Lösungen Die Lösungsmenge ist unendlich. wenn in der Pivotspalte nur negative Koeffizienten bei positiver RHS vorhanden sind. Merke: Pivotelement darf niemals Null und negativ sein. 6

7 keine Lösungen des LOP Zulässiger Lösungsbereich X ist leer, wenn die Nebenbedingungen widersprüchlich formuliert sind. 7

8 wenn primaler Simplex angewendet wird, dann Standardform (1) Maximierung der Zielfunktion: (2) in strukturellen Nebenbedingungen: max c T x Ax b (3) Definitionsbereiche der strukturellen Variablen: x 0 (4) Nichtnegative RHS b 0 8

9 andere Formen in Standardform übertragbar (1) min c T x (2) a T x b (3) x u max -c T x - a T x - b x - u 0 x + := x - u mit x + 0 x o 0 o - x x - := o - x mit x - 0 x = g x g, x g x unbeschränkt x := x + - x - mit x + 0 mit x - 0 9

10 andere Formen in Standardform übertragbar b 0 nicht erzwingbar aber ausgehend vom Anfangstableau eine erste zulässige Basislösung über mehrere Basistransformationen (BT) ermitteln Wie? Zeilen mit negativen b-werten durch BT beseitigen Umkehrung der Auswahlregel-Reihenfolge für das Pivotelement: Erst PZ, dann PS. 10

11 PPP-3 Zur Fertigung von P 1 werden die drei Maschinen M 1, M 2 und M 3 eingesetzt. Für das Produkt P 2 werden nur die Maschinen M 1 und M 2 benötigt. Die Stückkosten pro Tonne P 1 betragen 200 bzw. pro Tonne P M 1 soll höchstens 40 Stunden [h], M 2 mindestens 24 [h] und M 3 genau 6 [h] arbeiten. Die Bearbeitungszeiten in Stunden [h] je Tonne durch die jeweilige Maschine sind der folgenden Tabelle zu entnehmen: Bearbeitungszeit in h/t Maschine P 1 P 2 M M M Gesucht ist das PP(x 1, x 2 ) mit minimalen Kosten. 11

12 Mathematisches Modell von PPP-3 Bezeichnung: x i - Menge des Produktes P i (i=1,2) Minimiere Zielfunktion: z(x 1, x 2 ) = 200 x x 2 NB: M 1 -Restriktion: 2 x x 2 40 M 2 -Restriktion: 3 x x 2 24 M 3 -Restriktion: x 1 = 6 NNB: x 1 x

13 Erzeugen der Standardform aus Min z = 200 x x 2 2 x x x x 2 24 x 1 = 6 wird Max z = -200 x x 2 2 x x x 1-2 x 2-24 x 1 6 -x

14 Erzeugen der kanonischen Form 2 x x 2 + x 3 = 40-3 x 1-2 x 2 + x 4 = -24 x 1 + x 5 = 6 -x 1 + x 6 = x x 2 -z = 0 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x

15 Tabellenform Basis x1 x2 x3 x4 x5 x6 RHS x x x x Z Unzulässige RHS 15

16 zulässige Basislösung erzeugen mittels dualer Simplexmethode BV x1 x2 x3 x4 x5 x6 z RHS x x x x z , Max[Q] Basistransformation x4 x1 BV x1 x2 x3 x4 x5 x6 z RHS x3 0 8/3 1 2/ x1 1 2/3 0-1/ x5 0-2/3 0 1/ x6 0 2/3 0-1/ z 0 500/ / Min[RHS] Min[RHS] Basistransformation x5 x2 BV x1 x2 x3 x4 x5 x6 z RHS x x x /2-3/ x z und optimales Tableau, da nicht negative Z-Zeile Zulässige RHS 16

17 Allgemeines zur Dualen Simplexmethode Ein relativ einfaches Eröffnungsverfahren zur Auffindung einer zulässigen Startlösung. Wird eine primal unzulässige Basislösung mit optimaler Zielzeile dualisiert, dann ergibt sich im Dualen eine zulässige Basislösung Es kommt zu einer Umkehrung der Auswahlregel-Reihenfolge: Erst PZ, dann PS. 17

18 Dualer Simplex-Algorithmus zur Erzeugung nichtnegativer Basislösungen Jede Iteration besteht aus folgenden drei Schritten: Schritt 1: Wahl einer negativen BV x r, die in NBV x r umgewandelt werden soll (Pivotzeile r) Suche in der RHS-Spalte den negativsten Wert: b r = min{b j :b i < 0} Schritt 2: Wahl der NBV x s, die in BV x s umgewandelt werden soll (Pivotspalte s) Suche den maximalen Quotienten c rs /a rs aus den Werten der z-zeile sowie den zugehörigen negativen Werten der Pivotzeile r: Das Element a rs heißt Pivotelement. Schritt 3: Basistransformation Der Iterationsprozess wird beendet, wenn alle Elemente der RHS-Spalte nichtnegativ sind. Zur Bestimmung der optimalen Lösung wird dann der primale Simplexalgorithmus angewendet. 18

19 Grafische Lösung von PPP-3 x1 = 6 min Z = 200x x2 Z=2.100 min für x1 = 6, x2 = 3 X Minimum 2x1+4x2 <= 40 3x1+2x2>=24 19

20 weiteres Bsp. zur Transformation in Standardform min z = 8x 1 + 7x 2 2x 1-4x 2 4 1x 1 5 4x 1 + 3x 2 = 42-5x 1 + 4x 2 25 x 1 0 max z = -8x 1-7x 2 2x 1-4x 2 4-1x 1-5 4x 1 + 3x x 1-3x x 1 + 4x 2 25 x 1 0 max z = -8x 1 7(x 2+ -x 2- ) 2x 1-4 (x 2+ -x 2- ) 4-1x 1-5 4x (x 2+ - x 2- ) 42-4x 1-3 (x 2+ - x 2- ) -42-5x 1 + 4(x 2+ - x 2- ) 25 x 1 0 x 2 R x 2 = x 2+ - x 2 - x 2+, x 2-0 x 2 = x 2+ - x 2 - x 2+, x

21 optimale Personaleinsatzplanung Der Personalbedarf in einem Unternehmen sei in den Wochentagen wie folgt : Das Personal arbeitet jeweils fünf Tage hintereinander und hat dann zwei Tage frei. Bestimmen Sie die Anzahl der Arbeitskräfte, die ihre Arbeitswoche am Montag oder Dienstag,...bzw. Sonntag beginnen so, dass die Gesamtpersonenzahl minimal ist. 21

22 Mathematisches Modell Ges.: Ziel: x i = Anzahl der Arbeitskräfte, die ihre 5-Tage-Arbeitswoche am Anfang des Zeitintervalls i, i=1,...,7 beginnen (1=Montag, 2=Dienstag,,7=Sonntag) Minimierung der Gesamtanzahl der Arbeitskräfte Z =x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 min Nb: Zeitintervall Tag Bedarf 1 Mo 15 2 Di 10 3 Mi 9 4 Do 13 5 Fr 14 6 Sa 10 7 So 9 x 1 + x 4 +x 5 +x 6 + x 7 = 15 x 1 + x 2 +x 5 +x 6 + x 7 = 10 x 1 + x 2 +x 3 +x 6 + x 7 = 9 x 1 + x 2 +x 3 +x 4 + x 7 = 13 x 1 + x 2 +x 3 +x 4 + x 5 = 14 x 2 + x 3 +x 4 +x 5 + x 6 = 10 x 3 + x 4 +x 5 +x 6 + x 7 = 9 NNB: x i 0 22

23 Lösung Umsetzung des mathematischen Modells in Excel- Tabellenform x_mo x_di x_mi x_do x_fr x_sa x_so Ist Rel RHS Zielfkt: = 16 Min Personal Lösung Mo = 15 Di = 10 Mi = 9 Do = 13 Fr = 14 Sa = 10 So = 9 Lösung: Dienstbeginn Mo Di Mi Do Fr Sa So Anzahl Personen zusätzlich Anzahl Personen insgesamt = = = = = = = Personalbedarf

24 Schichtplanung In einem Werk besteht ein Zeitplan der Mindestausstattung an Reparaturspezialisten pro Zeitintervall: Zeitintervall Uhrzeit Mindestanzahl Welcher Schichtplan minimiert die Zahl der Reparaturspezialisten, wenn eine Schicht jeweils 8 Stunden umfasst? Bsp. aus Vahrenkamp, Logistik 24

25 Mathematisches Modell Ges.: Ziel: x i = Anzahl der Reparaturspezialisten, die am Anfang des Zeitintervalls i, i=1,...,6 ihre 8-Stunden-Schicht beginnen Minimierung der Anzahl der Reparaturspezialisten Z =x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 Nb: Zeitintervall Uhrzeit Mindestanzahl NNB: x i 0 x 1 + x 6 3 x 1 + x 2 8 x 2 + x 3 10 x 3 + x 4 8 x 4 + x 5 14 x 5 + x

26 Ausgangstableau mit Wahl des Pivotelementes Xi - Entscheidungsvariable Yi Schlupfvariable 1 X1 X2 X3 X4 X5 X6 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 RHS Y Y Y Y Y Y Z

27 optimales Tableau: BV X1 X2 X3 X4 X5 X6 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 RHS X Y x Y X X Z X1 = 3 X2 = 10 X3 = 0 X4 = 9 X5 = 5 X6 = 0 Z = 27 x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ist >= Personen =>= >= =>= >= =>= =>= 5 z

28 Opportunitätskostenauswertung wenn in der 3. Schicht ein Reparaturspezialist eingesetzt wird, folgt: X3 =1 BV X1 X2 X3 X4 X5 X6 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 RHS X Y X Y X X Z X = = = = = = = = x3 hat Opportunitätskosten 0 mehrere optimale Lösungen x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ist >= Personen =>= >= =>= >= =>= =>= 5 z

29 Übung min z = 8x 1 + 7x 2 2x 1-4x 2 4 1x 1 5 4x 1 + 3x 2 = 42-5x 1 + 4x 2 25 x 1 0 x 2 R 29

30 max z = -8x 1 7(x 2+ -x 2- ) 2x 1-4 (x 2+ -x 2- ) 4-1x 1-5 Analytische Lösung -5x 1 + 4(x 2+ - x 2- ) 25 4x (x 2+ - x 2- ) 42-4x 1-3 (x 2+ - x 2- ) -42 x1 x2+ x2- x3 x4 x5 x6 x7 z b x x x x x z /1-7/3 x1 x2+ x2- x3 x4 x5 x6 x7 z b x3 0-11/2 11/ /2 0-17/1 x4 0 3/4-3/ /4 0 11/2 x5 0 31/4-31/ / /2 x6 0 0/1 0/ /1 0 0/1 x1 1 3/4-3/ /4 0 21/2 -z x / /11 0 3,09 x / /11 0 3,18 x / / ,55 x / ,00 x / /11 0 8,18 -z / / ,09 30

31 Hinweis Da Minimierungsprobleme mit Nebenbedingungen im allg. aufwendig zu lösen sind, ist es effizienter, die Lösung dem O- Tableau der entsprechenden dualen Aufgabe zu entnehmen. 31

32 Primales Problem Das Duale Problem zum Primalen-Problem Duales Problem Max Z n j 1 c j x j, Min F m i 1 b i yi, m NB. n j 1 aij x j bi, n NB. m i 1 a ij y i c j, für i 1,2,,m. j 1,2,,n. für i 1,2,,m. j 1,2,,n. n NNB. x j 0, m NNB. y i 0, Das duale Problem verwendet die gleichen Parameter wie das primale Problem, aber in unterschiedlicher Position. 32

33 Primale Aufgabe duale Aufgabe Min F =x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 Max Z =3y 1 +8y 2 +10y 3 +8y 4 +14y 5 +5y 6 NB: x 1 + x 6 3 x 1 + x 2 8 x 2 + x 3 10 x 3 + x 4 8 x 4 + x 5 14 x 5 + x 6 5 y 1 + y 6 1 y 1 + y 2 1 y 2 + y 3 1 y 3 + y 4 1 y 4 + y 5 1 y 5 + y 6 1 NNB: x i 0 NNB: y i 0 33

34 x1 x2 x3 x4 x5 x6 Z Ansatz und Lösung für max-aufgabe y1 y2 y3 y4 y5 y6 x1 x2 x3 x4 x5 x6 b Optimales Tableau nach der 4.Iteration y1 y3 x3 y5 y6 x6 Z Opt. Lösung für das primale Problem: x1 x2 x3 x4 x5 x6 z (In diesem Fall auch 4 Iterationen, wenn als primale Aufgabe gelöst.) Schlupfvariable 34