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- David Färber
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1 Inhaltsübersicht für heute: Dualität Anwendung: Spieltheorie Komplementarität und Sensitivitätsanalyse Spaltengenerierung Schnittebenenverfahren Welchen Simplex wann?
2 Inhaltsübersicht für heute: Dualität Anwendung: Spieltheorie Komplementarität und Sensitivitätsanalyse Spaltengenerierung Schnittebenenverfahren Welchen Simplex wann?
3 Dualität Mit jedem konvexen Minimierungsproblem löst man automatisch ein verwandtes konvexes Maximierungsproblem, das als die Bestimmung einer besten Schranke für den Optimalwert des Originalproblems interpretiert werden kann. Die duale Optimallösung (wenn sie existiert) gibt wichtige Zusatzinforamtion über das Originalproblem. Für Lineare Optimierung ist das besonders einfach und anschaulich.
4 Untere Schranken, algebraisch Eine Ungleichung a T x α heißt gültig für ein Optimierungsproblem mit zulässiger Menge X, wenn sie für alle x X erfüllt ist. a T Betrachte X := {x : Ax b} mit A = 1.. Nichtneg. Linearkombination der Zeilen Ax b und r.s. vergrößern a T m a T 1 x b 1 y 1 ( 0). amx T b m y m ( 0) 0 T x 1 η( 0) : (y T A)x y T b η liefert eine gültige Ungleichung für X (und man erhält alle so!).
5 Untere Schranken, algebraisch Eine Ungleichung a T x α heißt gültig für ein Optimierungsproblem mit zulässiger Menge X, wenn sie für alle x X erfüllt ist. a T Betrachte X := {x : Ax b} mit A = 1.. Nichtneg. Linearkombination der Zeilen Ax b und r.s. vergrößern a T m a T 1 x b 1 y 1 ( 0). amx T b m y m ( 0) 0 T x 1 η( 0) : (y T A)x y T b η liefert eine gültige Ungleichung für X (und man erhält alle so!). Für ein ȳ 0 mit A T ȳ = c folgt min{c T x : Ax b} b T ȳ. Die größte untere Schranke?
6 Untere Schranken, algebraisch Eine Ungleichung a T x α heißt gültig für ein Optimierungsproblem mit zulässiger Menge X, wenn sie für alle x X erfüllt ist. a T Betrachte X := {x : Ax b} mit A = 1.. Nichtneg. Linearkombination der Zeilen Ax b und r.s. vergrößern a T m a T 1 x b 1 y 1 ( 0). amx T b m y m ( 0) 0 T x 1 η( 0) : (y T A)x y T b η liefert eine gültige Ungleichung für X (und man erhält alle so!). Für ein ȳ 0 mit A T ȳ = c folgt min{c T x : Ax b} b T ȳ. Die größte untere Schranke? max{b T y : A T y = c, y 0}
7 Das Duale in Normalform Betrachte min c T x Ax = b, x 0. Erlaubte Linearkombionation der Zeilen Ax = b und Ix 0 a T 1 x = b 1 y 1 ( R). amx T = b m y m ( R) e1 T x 0 z 1( 0). en T x 0 z n ( 0) : (y T A + z T I )x y T b
8 Das Duale in Normalform Betrachte min c T x Ax = b, x 0. Erlaubte Linearkombionation der Zeilen Ax = b und Ix 0 a T 1 x = b 1 y 1 ( R). amx T = b m y m ( R) e1 T x 0 z 1( 0). en T x 0 z n ( 0) : (y T A + z T I )x y T b Die beste untere Schranke liefert das Duale LP in Normalform: max b T y max b T y A T y + z = c y R m, z 0 A T y 0 y R m, y und z sind die Dualvariablen.
9 Dualisierungsregeln Nach dem gleichen Muster ergibt sich min c T x max b T y Ax b y 0 Ax b y 0 Ax = b y frei x 0 A T y c x 0 A T y c x frei A T y = c Insbesondere ist das Duale des Dualen LPs wieder das Primale LP.
10 Mozart: das Duale geometrisch (P M ) max c T x Ax b x 0 min b T y (D M ) A T y c a 2 y e1 A = 1 1, b = 6, [ ] 3 c = 2 e 2 1 [ ] ȳ = 0 4 A T ȳ = c, b 5 T ȳ = 28 2 x T a 1 c a 1+ 2a 3 a 3 x K
11 Mozart: das Duale optimal (P M ) max c T x Ax b x 0 x T a 1 min b T y (D M ) A T y c a 2 y 0 a 1+a 2 = c e1 A = 1 1, b = 6, a [ ] 3 c = 2 e2 1 [ ] [ ] ȳ = A T ȳ = = c, b 2 T ȳ = 16, x = 2 0 x K
12 Wo ist das Duale im Simplex-Algorithmus? Input: zulässige Basis B, x B = A 1 B b 1. BTRAN: Bestimme ȳ := A T B c B durch Lösen von A T B y = c B. 2. PRICE: z N := c N A T Nȳ, ist z N 0, STOP (Optimallösung), sonst wähle î N mit zî < 0.. (P) min c T x [A B, A N ] x 0 [ xb x N ] =b (D) max b [ T y A T B A T N ] [ zb y + y R m, z 0 1. Schritt: Setze z B = 0 und löse 1. duale Block-Zeile ȳ 2. Schritt: Bestimme z N aus der 2. dualen Block-Zeile z N ] [ cb = c N ]
13 Wo ist das Duale im Simplex-Algorithmus? Input: zulässige Basis B, x B = A 1 B b 1. BTRAN: Bestimme ȳ := A T B c B durch Lösen von A T B y = c B. 2. PRICE: z N := c N A T Nȳ, ist z N 0, STOP (Optimallösung), sonst wähle î N mit zî < 0.. (P) min c T x [A B, A N ] x 0 [ xb x N ] =b (D) max b [ T y A T B A T N ] [ zb y + y R m, z 0 1. Schritt: Setze z B = 0 und löse 1. duale Block-Zeile ȳ 2. Schritt: Bestimme z N aus der 2. dualen Block-Zeile Ist die duale Lösung zulässig ( z N 0), ergibt das die Schranke z N ] [ cb = c N min x X ct x ȳ T b = c T B A 1 B = c B x B = c T x [ OL] ]
14 Wo ist das Duale im Simplex-Algorithmus? Input: zulässige Basis B, x B = A 1 B b 1. BTRAN: Bestimme ȳ := A T B c B durch Lösen von A T B y = c B. 2. PRICE: z N := c N A T Nȳ, ist z N 0, STOP (Optimallösung), sonst wähle î N mit zî < 0.. (P) min c T x [A B, A N ] x 0 [ xb x N ] =b (D) max b [ T y A T B A T N ] [ zb y + y R m, z 0 1. Schritt: Setze z B = 0 und löse 1. duale Block-Zeile ȳ 2. Schritt: Bestimme z N aus der 2. dualen Block-Zeile Ist die duale Lösung zulässig ( z N 0), ergibt das die Schranke z N ] [ cb = c N min x X ct x ȳ T b = c T B A 1 B = c B x B = c T x [ OL] Beachte: PRICE sucht einfach ein dual unzulässiges z i mit i N! ]
15 (D) max b T y Das duale Simplex-Verfahren [ A T B A T N ] [ zb y + z N ] [ cb = c N ], y R m, z 0 Dual zulässige Basis: z B = 0, y = A T B (c B z B ), z N = c N A T N y 0 Kostenänderung in Abh. von z B : y T b = cb T c B zb T A 1 B }{{ b } =: x B
16 (D) max b T y Das duale Simplex-Verfahren [ A T B A T N ] [ zb y + z N ] [ cb = c N ], y R m, z 0 Dual zulässige Basis: z B = 0, y = A T B (c B z B ), z N = c N A T N y 0 Kostenänderung in Abh. von z B : y T b = cb T c B zb T A 1 B }{{ b } =: x B Input: dual zulässige Basis B, ȳ = A T B c b, z N = c N A T Nȳ 0 1. FTRAN: Bestimme x B := A 1 B b durch Lösen von A Bx B = b. 2. PRICE: Ist x B 0, STOP (Optimallösung), sonst wähle ĵ {1,..., m} mit x B(ĵ) < BTRAN: Bestimme w := A T ĵ und berechne ω N := A T N w B 4. RATIO: Ist ω N 0 STOP (Duales unbeschränkt), sonst wähle î Argmin i N { z i ω i : ω i > 0}, ζ := z î ωî 5. Update: ȳ := ȳ ζ w, z N := z N ζ ω, z B(ĵ) := ζ N := N \ {î} B(ĵ), B(ĵ) := î, GOTO 1.
17 (P) min Schwache und Starke Dualität c T x Ax = b x 0 (D) max b T y A T y + z = c y R m, z 0 Ist x primal zulässig und (y, z) dual zulässig, dann gilt c T x b T y = (A T y + z) T x b T y = (Ax b) T y + z T x = z T x 0
18 (P) min Schwache und Starke Dualität c T x Ax = b x 0 (D) max b T y A T y + z = c y R m, z 0 Ist x primal zulässig und (y, z) dual zulässig, dann gilt c T x b T y = (A T y + z) T x b T y = (Ax b) T y + z T x = z T x 0 Schwache Dualität: Der Wert jeder zulässigen Lösung beschränkt den Optimalwert des jeweils Dualen. [gilt immer!] Ist ein LP unbeschränkt, ist dessen Duales unzulässig.
19 (P) min Schwache und Starke Dualität c T x Ax = b x 0 (D) max b T y A T y + z = c y R m, z 0 Ist x primal zulässig und (y, z) dual zulässig, dann gilt c T x b T y = (A T y + z) T x b T y = (Ax b) T y + z T x = z T x 0 Schwache Dualität: Der Wert jeder zulässigen Lösung beschränkt den Optimalwert des jeweils Dualen. [gilt immer!] Ist ein LP unbeschränkt, ist dessen Duales unzulässig. Dualitätslücke: Differenz aus primalem und dualem Optimalwert.
20 (P) min Schwache und Starke Dualität c T x Ax = b x 0 (D) max b T y A T y + z = c y R m, z 0 Ist x primal zulässig und (y, z) dual zulässig, dann gilt c T x b T y = (A T y + z) T x b T y = (Ax b) T y + z T x = z T x 0 Schwache Dualität: Der Wert jeder zulässigen Lösung beschränkt den Optimalwert des jeweils Dualen. [gilt immer!] Ist ein LP unbeschränkt, ist dessen Duales unzulässig. Dualitätslücke: Differenz aus primalem und dualem Optimalwert. Starke Dualität: Primaler und dualer Optimalwert sind gleich, (beide werden angenommen). [gilt i.a. nicht für Konv. Opt.]
21 (P) min Schwache und Starke Dualität c T x Ax = b x 0 (D) max b T y A T y + z = c y R m, z 0 Ist x primal zulässig und (y, z) dual zulässig, dann gilt c T x b T y = (A T y + z) T x b T y = (Ax b) T y + z T x = z T x 0 Schwache Dualität: Der Wert jeder zulässigen Lösung beschränkt den Optimalwert des jeweils Dualen. [gilt immer!] Ist ein LP unbeschränkt, ist dessen Duales unzulässig. Dualitätslücke: Differenz aus primalem und dualem Optimalwert. Starke Dualität: Primaler und dualer Optimalwert sind gleich, (beide werden angenommen). [gilt i.a. nicht für Konv. Opt.] Satz (Starke Dualität in der Linearen Optimierung) Hat ein LP einen endlichen Optimalwert, so wird dieser sowohl primal als auch dual angenommen. Beweis: Simplex-Alg. mit Auswahlregeln von Bland.
22 Es können beide unzulässig sein! (P u ) max x 1 x 1 x 2 1 x 1 + x 2 0 x 1 0, x 2 0 (D u ) max y 1 y 1 y 2 1 y 1 + y 2 0 y 1 0, y 2 0 (P u ) Es kann nicht x x 1 und x 2 x 1 sein. (D u ) Es kann nicht y y 2 und y 1 y 2 sein.
23 Inhaltsübersicht für heute: Dualität Anwendung: Spieltheorie Komplementarität und Sensitivitätsanalyse Spaltengenerierung Schnittebenenverfahren Welchen Simplex wann?
24 Anwendung: Spieltheorie 2-Personen Matrix-Spiel: Für eine gegebene Auszahlungsmatrix M R m n wählt Spieler 1 (S1) eine Zeile i und Spieler 2 (S2) eine Spalte j. Spieler 1 zahlt an Spieler 2 den Betrag M ij.
25 Anwendung: Spieltheorie 2-Personen Matrix-Spiel: Für eine gegebene Auszahlungsmatrix M R m n wählt Spieler 1 (S1) eine Zeile i und Spieler 2 (S2) eine Spalte j. Spieler 1 zahlt an Spieler 2 den Betrag M ij. Wenn S2 weiß, dass S1 Zeile i wählt, wählt S2 max j=1,...,n (A T e i ) j.
26 Anwendung: Spieltheorie 2-Personen Matrix-Spiel: Für eine gegebene Auszahlungsmatrix M R m n wählt Spieler 1 (S1) eine Zeile i und Spieler 2 (S2) eine Spalte j. Spieler 1 zahlt an Spieler 2 den Betrag M ij. Wenn S2 weiß, dass S1 Zeile i wählt, wählt S2 max j=1,...,n (A T e i ) j. S1 bestimmt eine optimale Wahrscheinlichkeits-Verteilung für eine zufällige Zeilenwahl, um nicht so leicht voraussagbar zu sein: min max j=1,...,n (M T x) j 1 T x = 1 x 0
27 Anwendung: Spieltheorie 2-Personen Matrix-Spiel: Für eine gegebene Auszahlungsmatrix M R m n wählt Spieler 1 (S1) eine Zeile i und Spieler 2 (S2) eine Spalte j. Spieler 1 zahlt an Spieler 2 den Betrag M ij. Wenn S2 weiß, dass S1 Zeile i wählt, wählt S2 max j=1,...,n (A T e i ) j. S1 bestimmt eine optimale Wahrscheinlichkeits-Verteilung für eine zufällige Zeilenwahl, um nicht so leicht voraussagbar zu sein: min max j=1,...,n (M T min s x) j 1 T s (M x = 1 (P 1 ) T x) j j = 1,..., n 1 x 0 T x = 1 x 0, s R
28 Anwendung: Spieltheorie 2-Personen Matrix-Spiel: Für eine gegebene Auszahlungsmatrix M R m n wählt Spieler 1 (S1) eine Zeile i und Spieler 2 (S2) eine Spalte j. Spieler 1 zahlt an Spieler 2 den Betrag M ij. Wenn S2 weiß, dass S1 Zeile i wählt, wählt S2 max j=1,...,n (A T e i ) j. S1 bestimmt eine optimale Wahrscheinlichkeits-Verteilung für eine zufällige Zeilenwahl, um nicht so leicht voraussagbar zu sein: min max j=1,...,n (M T min s x) j 1 T s (M x = 1 (P 1 ) T x) j j = 1,..., n 1 x 0 T x = 1 x 0, s R S2 tut das gleiche für sich max min i=1,...,m (My) i 1 T y = 1 y 0 (P 2 ) max t t (My) j i = 1,..., m 1 T y = 1 y 0, t R (P 2 ) ist das Duale zu (P 1 ), beide sind zul., also ist v(p 1 ) = v(p 2 ). Man muss die Strategie des Gegners gar nicht kennen!
29 Inhaltsübersicht für heute: Dualität Anwendung: Spieltheorie Komplementarität und Sensitivitätsanalyse Spaltengenerierung Schnittebenenverfahren Welchen Simplex wann?
30 (P) min c T x Ax = b x 0 Komplementarität (D) max b T y A T y + z = c y R m, z 0 c T x b T y = z T x 0 gilt für bel. primal und dual zul. Lösungen. Satz (vom komplementären Schlupf) Primal und dual zulässige Lösungen x und (ȳ, z) sind genau dann optimal, wenn x i z i = 0 für i = 1,..., n.
31 (P) min c T x Ax = b x 0 Komplementarität (D) max b T y A T y + z = c y R m, z 0 c T x b T y = z T x 0 gilt für bel. primal und dual zul. Lösungen. Satz (vom komplementären Schlupf) Primal und dual zulässige Lösungen x und (ȳ, z) sind genau dann optimal, wenn x i z i = 0 für i = 1,..., n. Eine Ungleichung heißt aktiv in einem Punkt, wenn sie in dem Punkt mit Gleichheit erfüllt ist, sonst nicht aktiv oder inaktiv.
32 (P) min c T x Ax = b x 0 Komplementarität (D) max b T y A T y + z = c y R m, z 0 c T x b T y = z T x 0 gilt für bel. primal und dual zul. Lösungen. Satz (vom komplementären Schlupf) Primal und dual zulässige Lösungen x und (ȳ, z) sind genau dann optimal, wenn x i z i = 0 für i = 1,..., n. Eine Ungleichung heißt aktiv in einem Punkt, wenn sie in dem Punkt mit Gleichheit erfüllt ist, sonst nicht aktiv oder inaktiv. Folgerungen: Ist in einer OL eine Variable in x oder z > 0, ist deren duale Ungleichung in jeder OL des jeweiligen dualen aktiv!
33 (P) min c T x Ax = b x 0 Komplementarität (D) max b T y A T y + z = c y R m, z 0 c T x b T y = z T x 0 gilt für bel. primal und dual zul. Lösungen. Satz (vom komplementären Schlupf) Primal und dual zulässige Lösungen x und (ȳ, z) sind genau dann optimal, wenn x i z i = 0 für i = 1,..., n. Eine Ungleichung heißt aktiv in einem Punkt, wenn sie in dem Punkt mit Gleichheit erfüllt ist, sonst nicht aktiv oder inaktiv. Folgerungen: Ist in einer OL eine Variable in x oder z > 0, ist deren duale Ungleichung in jeder OL des jeweiligen dualen aktiv! Ist in einer OL eine Unglg. des LPs inaktiv, ist deren Dualvariable in jeder OL des jeweiligen dualen gleich Null!
34 (P) min c T x Ax = b x 0 Komplementarität (D) max b T y A T y + z = c y R m, z 0 c T x b T y = z T x 0 gilt für bel. primal und dual zul. Lösungen. Satz (vom komplementären Schlupf) Primal und dual zulässige Lösungen x und (ȳ, z) sind genau dann optimal, wenn x i z i = 0 für i = 1,..., n. Eine Ungleichung heißt aktiv in einem Punkt, wenn sie in dem Punkt mit Gleichheit erfüllt ist, sonst nicht aktiv oder inaktiv. Folgerungen: Ist in einer OL eine Variable in x oder z > 0, ist deren duale Ungleichung in jeder OL des jeweiligen dualen aktiv! Ist in einer OL eine Unglg. des LPs inaktiv, ist deren Dualvariable in jeder OL des jeweiligen dualen gleich Null! Tatsächlich gibt die Größe der Dualvariablen wesentliche Information über den Einfluss der Unglg. auf den Optimalwert...
35 e 1 Geometrische Interpretation der Komplementarität x T e 2 a 2 a 1 (P M ) a +a =c 1 2 a 3 max x K c T x Ax b x 0 A = (D M ) min, b = b T y A T y c y , c = [ 3 2 Inaktive Ungleichungen können nicht zur besten Schranke beitragen, die aktiven Restr. halten die OL. (Gleichungen sind immer aktiv!) y j a j (bzw. z i ) ist Kraftanteil von Restriktion i im Kräftegleichgewicht. ]
36 e 1 Geometrische Interpretation der Komplementarität x T e 2 a 2 a 1 (P M ) a +a =c 1 2 a 3 max x K c T x Ax b x 0 A = (D M ) min, b = b T y A T y c y , c = [ 3 2 Inaktive Ungleichungen können nicht zur besten Schranke beitragen, die aktiven Restr. halten die OL. (Gleichungen sind immer aktiv!) y j a j (bzw. z i ) ist Kraftanteil von Restriktion i im Kräftegleichgewicht. Der Gradient der Zielfunktion liegt im Kegel der Gradienten der aktiven Restriktionen. (Die Vorzeichen sind je nach Richtungen anzupassen!) ]
37 Sensitivitätsanalyse Wie sensibel reagiert die OL auf Änderungen in welchen Daten? (P) min c T x Ax = b x 0 (D) max b T y A T y + z = c y R m, z 0 Wie weit ist b veränderbar bei gleicher optimaler Basis B? x B = A 1 B b 0, y = A T B c B, z N = c N A T N y 0
38 Sensitivitätsanalyse Wie sensibel reagiert die OL auf Änderungen in welchen Daten? (P) min c T x Ax = b x 0 (D) max b T y A T y + z = c y R m, z 0 Wie weit ist b veränderbar bei gleicher optimaler Basis B? x B = A 1 B b 0, y = A T B c B, z N = c N A T N y 0 b(t) := b + t b erhält duale Zul. für t R, primale aber nur wenn x B (t) = x B +t A 1 B }{{ b } 0 max B ] i [ x B ] i >0 [ x B ] i t max B ] i [ x B ] i <0 [ x B ] i =: x B
39 Sensitivitätsanalyse Wie sensibel reagiert die OL auf Änderungen in welchen Daten? (P) min c T x Ax = b x 0 (D) max b T y A T y + z = c y R m, z 0 Wie weit ist b veränderbar bei gleicher optimaler Basis B? x B = A 1 B b 0, y = A T B c B, z N = c N A T N y 0 b(t) := b + t b erhält duale Zul. für t R, primale aber nur wenn x B (t) = xb +t A 1 B }{{ b 0 max } [x B ] i [ x B ] i >0 [ x B ] i t max =: x B Für diese t ist der Optimalwert = b T y + t b T y (Kompl.!), sonst ist dieser Wert auf jeden Fall eine untere Schranke. [x B ] i [ x B ] i <0 [ x B ] i
40 Sensitivitätsanalyse Wie sensibel reagiert die OL auf Änderungen in welchen Daten? (P) min c T x Ax = b x 0 (D) max b T y A T y + z = c y R m, z 0 Wie weit ist b veränderbar bei gleicher optimaler Basis B? x B = A 1 B b 0, y = A T B c B, z N = c N A T N y 0 b(t) := b + t b erhält duale Zul. für t R, primale aber nur wenn x B (t) = xb +t A 1 B }{{ b 0 max } [x B ] i [ x B ] i >0 [ x B ] i t max =: x B Für diese t ist der Optimalwert = b T y + t b T y (Kompl.!), sonst ist dieser Wert auf jeden Fall eine untere Schranke. [x B ] i [ x B ] i <0 [ x B ] i Für b = e j beziffert yj die marginalen Kosten der Veränderung, bei Ressourcennebenbed. heißen die yj oft Schattenpreise.
41 Sensitivitätsanalyse für die Kostenkoeffizienten Wie weit ist c veränderbar bei gleicher optimaler Basis B? x B = A 1 B b 0, y = A T B c B, z N = c N A T N y 0 c(t) := c + t c erhält primale Zul. für t R, duale aber nur wenn z N (t) = zn + t ( c N A T N A T B c B) 0 }{{} =: z N max [ z N ] i >0 [z N ] i [ z N ] i t max [ z N ] i <0 [z N ] i [ z N ] i Für diese t ist der Optimalwert = c T x + t c T x (Kompl.), sonst ist dieser Wert eine obere Schranke.
42 Inhaltsübersicht für heute: Dualität Anwendung: Spieltheorie Komplementarität und Sensitivitätsanalyse Spaltengenerierung Schnittebenenverfahren Welchen Simplex wann?
43 Spaltengenerierung Was tun, wenn es zu viele Variablen gibt um das LP aufzustellen? Das Simpex-Verfahren benötigt je Iteration nur die Basis-Variablen (x N = 0!), solange eine verbessernde Nichtbasis-Spalte in PRICE erzeugt werden kann. Das nutzt die Spaltengenerierung.
44 Spaltengenerierung Was tun, wenn es zu viele Variablen gibt um das LP aufzustellen? Das Simpex-Verfahren benötigt je Iteration nur die Basis-Variablen (x N = 0!), solange eine verbessernde Nichtbasis-Spalte in PRICE erzeugt werden kann. Das nutzt die Spaltengenerierung. Am Beispiel: Zuschnittproblem: Aus möglichst wenigen Metern von Standardblechrollen der Breite (b 0 = 1000mm) sollen kleinere Breiten b j (in mm) mit Gesamtlänge h j, j = 1,..., m geschnitten werden.
45 Modellierung des Zuschnittproblems Daten: Länge h j der Breite b j N (j = 1,..., m) aus Breite b 0 Modell: Schnittmuster s N m 0 enthält die Breite b j genau s j mal. { Menge der zul. Schnittmuster: S = s N m 0 : } m j=0 s jb j b 0
46 Modellierung des Zuschnittproblems Daten: Länge h j der Breite b j N (j = 1,..., m) aus Breite b 0 Modell: Schnittmuster s N m 0 enthält die Breite b j genau s j mal. { Menge der zul. Schnittmuster: S = s N m 0 : } m j=0 s jb j b 0 Variable x s gibt die Länge an, mit der s S geschnitten wird. [sx s ] j ist der Beitrag von Schnittmuster s zum Bedarf l j.
47 Modellierung des Zuschnittproblems Daten: Länge h j der Breite b j N (j = 1,..., m) aus Breite b 0 Modell: Schnittmuster s N m 0 enthält die Breite b j genau s j mal. { Menge der zul. Schnittmuster: S = s N m 0 : } m j=0 s jb j b 0 Variable x s gibt die Länge an, mit der s S geschnitten wird. [sx s ] j ist der Beitrag von Schnittmuster s zum Bedarf l j. min s S x s max h T y (P S ) s S sx s h (D S ) s T y 1 s S x 0 y 0 sucht die minimal notwendige Gesamtlänge um alle l j zu erfüllen. Schwierigkeit: S ist riesig!
48 Modellierung des Zuschnittproblems Daten: Länge h j der Breite b j N (j = 1,..., m) aus Breite b 0 Modell: Schnittmuster s N m 0 enthält die Breite b j genau s j mal. { Menge der zul. Schnittmuster: S = s N m 0 : } m j=0 s jb j b 0 Variable x s gibt die Länge an, mit der s S geschnitten wird. [sx s ] j ist der Beitrag von Schnittmuster s zum Bedarf l j. min s S x s max h T y (P S ) s S sx s h (D S ) s T y 1 s S x 0 y 0 sucht die minimal notwendige Gesamtlänge um alle l j zu erfüllen. Schwierigkeit: S ist riesig! Idee: Starte mit Ŝ = {e j : j = 1,..., m}, löse (PŜ) ŷ, bestimme, wie in PRICE, s S mit kleinsten red. Kosten s Argmin s S ẑ }{{} s := 1 s T ŷ setze Ŝ := Ŝ { s}, iteriere. Pricingproblem
49 Das Pricingproblem des Zuschnittproblems Für ŷ 0, b j N (j = 0,..., m), bestimme s Argmin{1 s T ŷ} s S max ŷ T s b T s b 0, s N m 0 Dieses ganzzahlige Optimierungsproblem heißt Rucksackproblem.
50 Das Pricingproblem des Zuschnittproblems Für ŷ 0, b j N (j = 0,..., m), bestimme s Argmin{1 s T ŷ} s S max ŷ T s b T s b 0, s N m 0 Dieses ganzzahlige Optimierungsproblem heißt Rucksackproblem. Falls b 0 nicht zu groß, gut rekursiv lösbar (dynamic programming). Die beste Füllung bis Kapazität b mit Objekten 1,..., k hat den Wert k k F ( b, k) := max ŷ j s j : b j s j b, s j N 0 für b = 0,..., b 0, k = 0,..., m, j=1 j=1 wobei F (0, 0) := 0 und F ( b, k) := für ( b) N, k = 0,..., m.
51 Das Pricingproblem des Zuschnittproblems Für ŷ 0, b j N (j = 0,..., m), bestimme s Argmin{1 s T ŷ} s S max ŷ T s b T s b 0, s N m 0 Dieses ganzzahlige Optimierungsproblem heißt Rucksackproblem. Falls b 0 nicht zu groß, gut rekursiv lösbar (dynamic programming). Die beste Füllung bis Kapazität b mit Objekten 1,..., k hat den Wert k k F ( b, k) := max ŷ j s j : b j s j b, s j N 0 für b = 0,..., b 0, k = 0,..., m, j=1 j=1 wobei F (0, 0) := 0 und F ( b, k) := für ( b) N, k = 0,..., m. Nun gilt F ( b, k) = max { } b = 1,..., b F ( b, k 1), F ( b b k, k) + ŷ k für 0, k = 1,..., m. (Entweder k nicht verwenden oder k einmal verwenden und Rest bestmöglich füllen)
52 Beispiel Rucksackproblem b 0 = 10, b 1 = 3, b 2 = 5, b 3 = 6, ŷ 1 = 2, ŷ 2 = 4, ŷ 3 = 5 F ( b, k) = max { F ( b, k 1), F ( b b k, } b = 1,..., b k) + ŷ k für 0, k = 1,..., m. b F ( b, 0) F ( b, 1) F ( b, 2) F ( b, 3) (1) 8 (2) 8 (2) 9 0 6(1) 6 (1) 7 (3) 8 0 4(1) 6 (2) 6 (2) 7 0 4(1) 4 (1) 5 (3) 6 0 4(1) 4 (1) 5 (3) 5 0 2(1) 4 (2) 4 (2) 4 0 2(1) 2 (1) 2 (1) 3 0 2(1) 2 (1) 2 (1) Rekonstruktion der Lösung durch Objektindices.
53 Zusammenfassung Spaltengenerierung Zuschnittproblem Daten: Länge h j der Breite b j (j = 1,..., m) aus Breite b 0 0. Schritt: Ŝ = {e j : j = 1,..., m} (pro j: Breite j einmal) 1. Schritt Ermittle OLen ˆx, ŷ von (PŜ) min s Ŝ x s s Ŝ sx s h x 0 (DŜ) max h T y s T y 1 s Ŝ y 0 2. Schritt: Löse das Pricingprobelm als Rucksack max (ŷ ) T s b T s b 0, s N m 0 s 3. Schritt: Ist 1 s T ŷ 0 (oder beinahe) STOP (gut genug) sonst Ŝ := Ŝ { s}, GOTO 1. (auch Entfernen ungebrauchter Muster möglich)
54 Zusammenfassung Spaltengenerierung Zuschnittproblem Daten: Länge h j der Breite b j (j = 1,..., m) aus Breite b 0 0. Schritt: Ŝ = {e j : j = 1,..., m} (pro j: Breite j einmal) 1. Schritt Ermittle OLen ˆx, ŷ von (PŜ) min s Ŝ x s s Ŝ sx s h x 0 (DŜ) max h T y s T y 1 s Ŝ y 0 2. Schritt: Löse das Pricingprobelm als Rucksack max (ŷ ) T s b T s b 0, s N m 0 s 3. Schritt: Ist 1 s T ŷ 0 (oder beinahe) STOP (gut genug) sonst Ŝ := Ŝ { s}, GOTO 1. (auch Entfernen ungebrauchter Muster möglich) Bemerkungen zur Praxis: Anfangsmenge Ŝ muss Zul. und endl. OL garantieren Verwendet m verschiedene Schnittmuster (# Basisvar.), oft zuviel Längen ˆx S nicht ganzzahlig, oft wenige lange, einige sehr kurze Anfangs gute Verbesserung, dann SEHR langsam (tailing off effect)
55 Inhaltsübersicht für heute: Dualität Anwendung: Spieltheorie Komplementarität und Sensitivitätsanalyse Spaltengenerierung Schnittebenenverfahren Welchen Simplex wann?
56 Schnittebenenverfahren Gleiche Idee, wenn es zu viele Ungleichungen a T j x b j, j I gibt: 0. Schritt: Wähle Î I, die endliche OL garantiert 1. Schritt Ermittle OLen ˆx, ŷ von (PÎ) min max ct x aj T (DÎ) x b j j Î j Î b jy j j Î a jy j c y 0 2. Schritt: Löse das Separierungsproblem: Finde eine (maximal) verletzte Ungleichung j Argmax j I {b j a T j ˆx } 3. Schritt: Ist b j a T j ˆx 0 (oder beinahe) STOP (gut genug) sonst Î := Î { j}, GOTO 1. (auch Entfernen inaktiver Ungleichungen möglich)
57 Schnittebenenverfahren Gleiche Idee, wenn es zu viele Ungleichungen a T j x b j, j I gibt: 0. Schritt: Wähle Î I, die endliche OL garantiert 1. Schritt Ermittle OLen ˆx, ŷ von (PÎ) min max ct x aj T (DÎ) x b j j Î j Î b jy j j Î a jy j c y 0 2. Schritt: Löse das Separierungsproblem: Finde eine (maximal) verletzte Ungleichung j Argmax j I {b j a T j ˆx } 3. Schritt: Ist b j a T j ˆx 0 (oder beinahe) STOP (gut genug) sonst Î := Î { j}, GOTO 1. (auch Entfernen inaktiver Ungleichungen möglich) Bemerkungen: Schnittebenenvefahren = Spaltengenerierung im Dualen gute Erfolge in kombinatorischer/ganzz. Optimierung Linearisierung konvexer Nebenbedingungen (oft gibt es besseres!) Je nach separierter Unglg.-Klasse starker tailing off effect
58 1. Konvexe Nebenbedindungen mit Schnittebenen
59 Konvexe Nebenbedindungen mit Schnittebenen 1. 2.
60 Konvexe Nebenbedindungen mit Schnittebenen
61 Konvexe Nebenbedindungen mit Schnittebenen Problem: Schleifende Schnitte numerisch ungünstig, ungenau
62 Inhaltsübersicht für heute: Dualität Anwendung: Spieltheorie Komplementarität und Sensitivitätsanalyse Spaltengenerierung Schnittebenenverfahren Welchen Simplex wann?
63 Wann den primalen, wann den dualen Simplex verwenden? Für ein festes LP: Für viele LPs aus der Praxis scheint der duale Simplex etwas schneller zu sein (vermutlich weil viele LPs nach ähnlichen Denkmustern erstellt werden). Innere-Punkte-Verfahren (s. später) sind bei großen Instanzen oft schneller und weniger anfällig bzgl. Degeneriertheit, aber ein Test lohnt sich.
64 Wann den primalen, wann den dualen Simplex verwenden? Für ein festes LP: Für viele LPs aus der Praxis scheint der duale Simplex etwas schneller zu sein (vermutlich weil viele LPs nach ähnlichen Denkmustern erstellt werden). Innere-Punkte-Verfahren (s. später) sind bei großen Instanzen oft schneller und weniger anfällig bzgl. Degeneriertheit, aber ein Test lohnt sich. Spaltengenerierung: Nach Einfügen von Variablen bleibt die primale Basis zulässig (die alte Duale Lösung nicht), also setzt man mit dem primalen Simplex direkt fort! (Innere-Punkte-Verfahren sind dafür ungeeignet)
65 Wann den primalen, wann den dualen Simplex verwenden? Für ein festes LP: Für viele LPs aus der Praxis scheint der duale Simplex etwas schneller zu sein (vermutlich weil viele LPs nach ähnlichen Denkmustern erstellt werden). Innere-Punkte-Verfahren (s. später) sind bei großen Instanzen oft schneller und weniger anfällig bzgl. Degeneriertheit, aber ein Test lohnt sich. Spaltengenerierung: Nach Einfügen von Variablen bleibt die primale Basis zulässig (die alte Duale Lösung nicht), also setzt man mit dem primalen Simplex direkt fort! (Innere-Punkte-Verfahren sind dafür ungeeignet) Schnittebenen-Verfahren: Nach Einfügen einer Schnittebene bleibt die duale Basis zulässig (die alte primale Lösung nicht), also setzt man mit dem dualen Simplex direkt fort! (Innere-Punkte-Verfahren sind dafür ungeeignet)
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