Überbestimmte Gleichungssysteme, Regression
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- Reinhardt Fischer
- vor 7 Jahren
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1 Überbestimmte Gleichungssysteme, Regression 8. Vorlesung Numerische Methoden I Clemens Brand und Erika Hausenblas MUL 16. Mai 2013 C. Brand, E. Hausenblas 8. Vorlesung 1 / 19
2 Gliederung 1 Überbestimmte Systeme Nachtrag und Wiederholung: Punkte aus der 7. Vorlesung Geometrische Interpretation Nichtlineare Systeme 2 Inverse, Pseudoinverse und Singlärwertzerlegung Inverse und Pseudoinverse Pseudoinverse C. Brand, E. Hausenblas 8. Vorlesung 2 / 19
3 Gliederung 1 Überbestimmte Systeme Nachtrag und Wiederholung: Punkte aus der 7. Vorlesung Geometrische Interpretation Nichtlineare Systeme 2 Inverse, Pseudoinverse und Singlärwertzerlegung Inverse und Pseudoinverse Pseudoinverse C. Brand, E. Hausenblas 8. Vorlesung 3 / 19
4 Geometrische Interpretation von Ax = b Zwei Möglichkeiten Im Raum der x-vektoren Jede Zeile der Matrix ist ein Normalvektor in einer Geradengleichung für x R 2,... Ebenengleichung für x R 3,... Lösung x ist Schnittpunkt aller Geraden (Ebenen, Hyperebenen...) Im Raum der b-vektoren Jede Spalte der Matrix A ist ein Vektor. Das Produkt Ax ist eine Linearkombination der Spaltenvektoren. Lösung x gibt genau die Koeffizienten an, mit denen sich b als Linearkombination der Spaltenvektoren von A erreichen lässt.
5 Geometrische Interpretation von Ax = b Zwei Möglichkeiten Im Raum der x-vektoren Jede Zeile der Matrix ist ein Normalvektor in einer Geradengleichung für x R 2,... Ebenengleichung für x R 3,... Lösung x ist Schnittpunkt aller Geraden (Ebenen, Hyperebenen...) Im Raum der b-vektoren Jede Spalte der Matrix A ist ein Vektor. Das Produkt Ax ist eine Linearkombination der Spaltenvektoren. Lösung x gibt genau die Koeffizienten an, mit denen sich b als Linearkombination der Spaltenvektoren von A erreichen lässt.
6 Geometrische Interpretation von Ax = b Zwei Möglichkeiten Im Raum der x-vektoren Jede Zeile der Matrix ist ein Normalvektor in einer Geradengleichung für x R 2,... Ebenengleichung für x R 3,... Lösung x ist Schnittpunkt aller Geraden (Ebenen, Hyperebenen...) Im Raum der b-vektoren Jede Spalte der Matrix A ist ein Vektor. Das Produkt Ax ist eine Linearkombination der Spaltenvektoren. Lösung x gibt genau die Koeffizienten an, mit denen sich b als Linearkombination der Spaltenvektoren von A erreichen lässt.
7 Interpretation im x-raum Ausgangsraum der Abbildung x Ax = b drei Messungen: m 1 = 1 m 2 = 2 m 1 + m 2 = 4 Der Raum der x-vektoren [ ] m1 x = m 2 m ist hier R 2 (weil die Matrix zwei Spalten hat). 1 Den drei Zeilen von A entsprechen drei Geraden-Gleichungen m 1
8 Interpretation im b-raum Zielraum der Abbildung x Ax = b Der Ausdruck Ax ist hier die Linearkombination zweier Spaltenvektoren: 1 0 m m Der Punkt (1; 2; 4) lässt sich nicht als Linearkombination erreichen. Erreichbar sind nur Punkte in der von den Spaltenvektoren aufgespannten Ebene. Eingezeichnet sind der Punkt und die bestmöglich erreichbare Annäherung
9 Orthogonalitätsbedingung im Zielraum Der Punkt b liegt nicht auf der von den Spaltenvektoren aufgespannten Ebene. Der Residuenvektor r = b A x hat minimale Länge, wenn er auf die Ebene normal steht. Die Orthogonalitätsbedingung ist erfüllt, wenn r auf die beiden Spaltenvektoren von A normal steht: A T r = o. A T r = A T (b A x) = o Normalengleichungen!
10 Illustration: Farbmischung Farbtöne entsprechen RGB-Vektoren Additive Farbmischung Linerakombination von Farbvektoren Wie gut lässt sich der Farbton SlateGray (RGB ) aus Turquoise (RGB ) und DeepPink (RGB ) zusammenmischen? x x 2 = Bestmögliche Mischfarbe Die Linearkombination mit x 1 = 0,520 x 2 = 0,294 ergibt die bestmögliche Mischfarbe (RGB ) - keine andere kommt näher an RGB heran.
11 Illustration: Farbmischung Farbtöne entsprechen RGB-Vektoren Additive Farbmischung Linerakombination von Farbvektoren Wie gut lässt sich der Farbton SlateGray (RGB ) aus Turquoise (RGB ) und DeepPink (RGB ) zusammenmischen? , ,294 = Bestmögliche Mischfarbe Die Linearkombination mit x 1 = 0,520 x 2 = 0,294 ergibt die bestmögliche Mischfarbe (RGB ) - keine andere kommt näher an RGB heran.
12 Illustration: Farbmischung Farbtöne entsprechen RGB-Vektoren Additive Farbmischung Linerakombination von Farbvektoren Wie gut lässt sich der Farbton SlateGray (RGB ) aus Turquoise (RGB ) und DeepPink (RGB ) zusammenmischen? , ,294 = Bestmögliche Mischfarbe Die Linearkombination mit x 1 = 0,520 x 2 = 0,294 ergibt die bestmögliche Mischfarbe (RGB ) - keine andere kommt näher an RGB heran.
13 Überbestimmte nichtlineare Systeme Beispiel: Standortbestimmung durch Trilateration Die Abstände von drei festen Punkten A, B, C zu einem unbekannten Punkt X sind (etwas ungenau) bekannt. Gesucht ist eine möglichst gute Positionsbestimmung. (x1 1) 2 +(x 2 1) 2 = 6 (x1 8) 2 +(x 2 4) 2 = C d c =4.2 d b =3.6 (x1 5) 2 +(x 2 8) 2 = d a =6 4 X B 2 Den drei Gleichungen entsprechen drei Kreise im R 2. Sie haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt. 1 A
14 Überbestimmte nichtlineare Systeme Lösung durch Linearisierung und Iteration f(x) = b, x R n, f(x),b R m, m > n Ausgehend von einem Startvektor x (0) bestimmt man eine Korrektur x. Die Rechenvorschrift des Newton-Verfahrens für f(x) b = o ergibt ein überbestimmtes lineares System mit der Jacobimatrix D f D f x = b f(x) Verbesserte Lösung x (1) = x (0) + x. Für die Konvergenz der Iteration kann Unterrelaxation (Dämpfung) notwendig sein: x (n+1) = x (n) +ω x mit Unterrelaxationsfaktor 0 < ω 1.
15 Überbestimmte nichtlineare Systeme Lösung durch Linearisierung und Iteration f(x) = b, x R n, f(x),b R m, m > n Ausgehend von einem Startvektor x (0) bestimmt man eine Korrektur x. Die Rechenvorschrift des Newton-Verfahrens für f(x) b = o ergibt ein überbestimmtes lineares System mit der Jacobimatrix D f D f x = b f(x) Verbesserte Lösung x (1) = x (0) + x. Für die Konvergenz der Iteration kann Unterrelaxation (Dämpfung) notwendig sein: x (n+1) = x (n) +ω x mit Unterrelaxationsfaktor 0 < ω 1.
16 Rechenbeispiel von vorhin f 1 (x1 1) 2 +(x 2 1) 2 f(x) = f 2 = (x1 8) 2 +(x 2 4) 2, D f = f 3 (x1 5) 2 +(x 2 8) 2 [ 5 Mit Startvektor x = erhält man 4] x 1 1 f 1 x 1 8 f 2 x 1 5 f 3 x 2 1 f 1 x 2 4 f 2 x 2 8 f 3 ([ 5 f = 4]) 5 3, D f = , lin. System ] [ x1 = x /5 1/5 Ergibt x 1 = 1/25, x 2 = 7/25 verbesserte Position [5.04; 4.28].
17 Gliederung 1 Überbestimmte Systeme Nachtrag und Wiederholung: Punkte aus der 7. Vorlesung Geometrische Interpretation Nichtlineare Systeme 2 Inverse, Pseudoinverse und Singlärwertzerlegung Inverse und Pseudoinverse Pseudoinverse C. Brand, E. Hausenblas 8. Vorlesung 12 / 19
18 Abbildung und inverse Abbildung Eine Matrix definiert durch y = A x eine lineare Abbildung. Die Matrix ist dazu gedacht, dass sie aus einem Vektor einen anderen macht. Die inverse Matrix macht diese Abbildung rückgängig: x = A 1 y Was eine Matrix tut, macht die Inverse wieder gut. Aber das ist nicht immer möglich: Eine lineare Abbildung auf den Nullvektor lässt sich nicht umkehren. Doch wenn ein Vektor ganz verschwindet, gibt s keine Matrix, die ihn wiederfindet. Die pseudoinverse Matrix macht rückgängig, so gut es eben geht.
19 Abbildung und inverse Abbildung Eine Matrix definiert durch y = A x eine lineare Abbildung. Die Matrix ist dazu gedacht, dass sie aus einem Vektor einen anderen macht. Die inverse Matrix macht diese Abbildung rückgängig: x = A 1 y Was eine Matrix tut, macht die Inverse wieder gut. Aber das ist nicht immer möglich: Eine lineare Abbildung auf den Nullvektor lässt sich nicht umkehren. Doch wenn ein Vektor ganz verschwindet, gibt s keine Matrix, die ihn wiederfindet. Die pseudoinverse Matrix macht rückgängig, so gut es eben geht.
20 Abbildung und inverse Abbildung Eine Matrix definiert durch y = A x eine lineare Abbildung. Die Matrix ist dazu gedacht, dass sie aus einem Vektor einen anderen macht. Die inverse Matrix macht diese Abbildung rückgängig: x = A 1 y Was eine Matrix tut, macht die Inverse wieder gut. Aber das ist nicht immer möglich: Eine lineare Abbildung auf den Nullvektor lässt sich nicht umkehren. Doch wenn ein Vektor ganz verschwindet, gibt s keine Matrix, die ihn wiederfindet. Die pseudoinverse Matrix macht rückgängig, so gut es eben geht.
21 Abbildung und inverse Abbildung Eine Matrix definiert durch y = A x eine lineare Abbildung. Die Matrix ist dazu gedacht, dass sie aus einem Vektor einen anderen macht. Die inverse Matrix macht diese Abbildung rückgängig: x = A 1 y Was eine Matrix tut, macht die Inverse wieder gut. Aber das ist nicht immer möglich: Eine lineare Abbildung auf den Nullvektor lässt sich nicht umkehren. Doch wenn ein Vektor ganz verschwindet, gibt s keine Matrix, die ihn wiederfindet. Die pseudoinverse Matrix macht rückgängig, so gut es eben geht.
22 Pseudoinverse tritt auch bei überbestimmten Systemen auf Für überbestimmte Systeme Ax = b lässt sich die kleinste-quadrate-lösung aus den Normalengleichungen bestimmen A T Ax = A T b (A T A) 1 x = (A T A) 1 A T b Substituiere (A T A) 1 A T A + x = A + b (abgesehen von numerischen Problemen und dem Sonderfall, dass A nicht vollen Spaltenrang hat) Die Matrix A + wirkt also ähnlich wie eine Inverse bei der Lösung eines gewöhnlichen Gleichungssystems mit nichtsingulärer quadratischer Matrix. C. Brand, E. Hausenblas 8. Vorlesung 14 / 19
23 Pseudoinverse tritt auch bei überbestimmten Systemen auf Für überbestimmte Systeme Ax = b lässt sich die kleinste-quadrate-lösung aus den Normalengleichungen bestimmen A T Ax = A T b (A T A) 1 x = (A T A) 1 A T b Substituiere (A T A) 1 A T A + x = A + b (abgesehen von numerischen Problemen und dem Sonderfall, dass A nicht vollen Spaltenrang hat) Die Matrix A + wirkt also ähnlich wie eine Inverse bei der Lösung eines gewöhnlichen Gleichungssystems mit nichtsingulärer quadratischer Matrix. C. Brand, E. Hausenblas 8. Vorlesung 14 / 19
24 Pseudoinverse tritt auch bei überbestimmten Systemen auf Für überbestimmte Systeme Ax = b lässt sich die kleinste-quadrate-lösung aus den Normalengleichungen bestimmen A T Ax = A T b (A T A) 1 x = (A T A) 1 A T b Substituiere (A T A) 1 A T A + x = A + b (abgesehen von numerischen Problemen und dem Sonderfall, dass A nicht vollen Spaltenrang hat) Die Matrix A + wirkt also ähnlich wie eine Inverse bei der Lösung eines gewöhnlichen Gleichungssystems mit nichtsingulärer quadratischer Matrix. C. Brand, E. Hausenblas 8. Vorlesung 14 / 19
25 Pseudoinverse Die Definition A + = (A T A) 1 A T ist nicht immer gültig Problem Die Definition A + = (A T A) 1 A T ist nicht möglich, wenn (A T A) singulär ist. Trotzdem lässt sich eine Matrix A + angeben, die eine optimale Lösung des überbestimmten Systems findet. Existenz und Eigenschaften der Pseudoinversen Zu jeder reellen m n-matrix A gibt es eine eindeutig bestimmte reelle n m-matrix A +, die Moore-Penrose Inverse, mit den Eigenschaften A A + A = A (A A + ) T = A A + A + A A + = A + (A + A) T = A + A Falls A + = (A T A) 1 A T existiert, erfüllt diese Matrix alle vier Bedingungen. C. Brand, E. Hausenblas 8. Vorlesung 15 / 19
26 Pseudoinverse Die Definition A + = (A T A) 1 A T ist nicht immer gültig Problem Die Definition A + = (A T A) 1 A T ist nicht möglich, wenn (A T A) singulär ist. Trotzdem lässt sich eine Matrix A + angeben, die eine optimale Lösung des überbestimmten Systems findet. Existenz und Eigenschaften der Pseudoinversen Zu jeder reellen m n-matrix A gibt es eine eindeutig bestimmte reelle n m-matrix A +, die Moore-Penrose Inverse, mit den Eigenschaften A A + A = A (A A + ) T = A A + A + A A + = A + (A + A) T = A + A Falls A + = (A T A) 1 A T existiert, erfüllt diese Matrix alle vier Bedingungen. C. Brand, E. Hausenblas 8. Vorlesung 15 / 19
27 Inverse und Pseudoinverse von Diagonalmatrizen Für quadratische Diagonalmatrizen ist die Definition recht einfach... Diagonalmatrix (falls alle s i 0) 1 s s s S =.... S 1 0 s = s 1 n 0 0 s n Pseudoinverse einer Diagonalmatrix r S + 0 r 2 0 { 1 =.... mit r i = s i r n falls { si 0 s i = 0 C. Brand, E. Hausenblas 8. Vorlesung 16 / 19
28 Inverse und Pseudoinverse von Diagonalmatrizen Für quadratische Diagonalmatrizen ist die Definition recht einfach... Diagonalmatrix (falls alle s i 0) 1 s s s S =.... S 1 0 s = s 1 n 0 0 s n Pseudoinverse einer Diagonalmatrix r S + 0 r 2 0 { 1 =.... mit r i = s i r n falls { si 0 s i = 0 C. Brand, E. Hausenblas 8. Vorlesung 16 / 19
29 Inverse und Pseudoinverse von Diagonalmatrizen Für rechteckige Matrizen Ist S R m R n, dann ist S + R n R m Definition der r i und s i bleibt gleich wie vorhin, es gibt nur zusätzliche Nullzeilen oder -spalten. s s r S = 0 0 s n S + = 0 r r n C. Brand, E. Hausenblas 8. Vorlesung 17 / 19
30 Singulärwert-Zerlegung Singular Value Decomposition, SVD Eine beliebige reelle n m Matrix lässt sich in ein Produkt der Form A = U S V T mit einer orthogonalen n n Matrix U, einer n m-diagonalmatrix S und einer orthogonalen m m Matrix V zerlegen. Die Diagonalwerte von S heißen die Singulärwerte von A. MATLAB: [U S V]=svd(A) Anwendungen Rang einer numerischen Matrix, Pseudoinverse, Über- und unterbestimmte Systeme,...
31 SVD löst Gleichungssysteme egal, ob lösbar oder nicht, ob über- oder unterbestimmt! Ax = b U S V T x = b U T S (V T x) = U T b S y = U T b subst. y = V T x Am transformierten System S y = U T b ist wegen der Diagonalgestalt die Lösung für y direkt ablesbar. Auch der Typ der Lösung (ein-, mehrdeutig, kleinste Quadrate) ist ersichtlich. Die Lösung für x erhält man aus der Substitutionsgleichung V T x = y x = V y V Grundlegend für das Verfahren ist, dass die Multiplikationen mit U T bzw. V die 2-Norm des Fehlervektors bzw. des Lösungsvektors unverändert lassen!
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