Kapitel 4. Optimierungsalgorithmen. Technische Universität Wien. Gunnar Klau Technische Universität Wien. Institut für Computergraphik und Algorithmen

Transkript

1 Kapitel 4 Optimierungsalgorithmen Gunnar Klau Institut für Computergraphik und Algorithmen 1

2 Gliederung Kombinatorische vs. Ganzzahlige Optimierung Exakte Verfahren Branch-and-Bound Schnittebenenverfahren Branch-and-Cut Spaltengenerierung Programmieraufgabe ( ) Metaheuristiken Flüsse in Netzwerken 2

3 Schnittebenenverfahren: LOP Beispiel n=3: x 12 x 13 x 23 Permutation <1,2,3> <2,1,3> <2,3,1> <1,3,2> <3,1,2> <3,2,1> charakt. Vektor (1,1,1) (0,1,1) x 12 +x 23 -x 13 =0 (0,0,1) 2 (1,1,0) 1 3 (1,0,0) (0,0,0) <2,1,3> x 13 <1,3,2> x 23 <2,3,1> <1,2,3> x 12 +x 23 -x 13 =1 <3,2,1> <3,1,2> 3 x 12

4 Schnittebenenverfahren y Addiere Ungleichungen nur bei Bedarf Zulässige Lösungen x Zielfunktion 4

5 Separationsproblem y Zulässige Lösungen Gegeben ist ein Punkt x und OP. Gesucht ist eine Ungleichung, die diesen Punkt --- aber keine zulässige Lösung --- abschneidet......oder Beweis, dass keine solche Ungleichung existiert. Zielfunktion x 5

6 Schnittebenenverfahren: Idee Starte mit Teilmenge der Restriktionen Löse LP, sei x * gefundene Optimallösung Separationsproblem Entscheide, ob es weggelassene Restriktionen a T x a 0 gibt, so dass a T x * > a 0? Ja? Nein? Bestimme solche & füge sie zu ILP hinzu STOP (Relaxierung gelöst) 6

7 Satz von Grötschel, Lovasz, Schrijver Das Optimierungsproblem ist in polynomieller Zeit lösbar das zugehörige Separationsproblem ist in polynomieller Zeit lösbar Frage: Können wir Separationsproblem für LOP lösen? durch Aufzählen und Ausprobieren aller Ungleichungen Frage: Können wir Separationsproblem für Acylic Subgraph Problem lösen? 7

8 Beispiel: Acyclic Subgraph Gegeben: gerichteter Graph D = (V, A), c R A Gesucht: Teilgraph maximalen Gewichts, der keine gerichteten Kreise enthält Status: NP-schwierig Ähnlich LOP, aber D nicht notwendigerweise vollständig 8

9 Bsp.: Acyclic Subgraph Exponentiell viele Kreisungleichungen (2)! Relaxierung trotzdem polynomiell lösbar wg. Äquivalenz von Optimierung und Separierung Löse LP ohne (2) und (4) x * Löse Separationsproblem für (2) und x * 9

10 Bsp.: Acyclic Subgraph x * verletzt (2) 10

11 Bsp.: Acyclic Subgraph x * verletzt (2) Neue Gewichte: 1 x * uv Kann ich kürzesten Kreis finden? 11

12 Bsp.: Acyclic Subgraph v f u Für alle Kanten f A: Fixiere Kante f = (u, v) Berechne kürzesten v-u-weg in D mit Gewichten 1-x e Falls Weglänge W + (1 - x uv )< 1, dann: verletzte Ungleichung gefunden, die nun zum System hinzugenommen wird Sonst: Beweis, dass keine verletzte Ungleichung, die f enthält, existiert. 12

13 Bsp. TSP Filmchen CD Arithmeum vom Springer-Verlag, 13

14 Bsp.: TSP Gegeben: vollständiger Graph G = (V, E), c R E Gesucht: Tour T (Hamiltonkreis) in G mit minimalem Gewicht Definiere 14

15 Bsp.: TSP Zulässige Lösungen beschreiben charakteristische Vektoren von Touren Problem: exponentiell viele Ungleichungen (3) Frage: Können wir Separationsproblem für (3) lösen? Lösung des minimalen Schnittproblems Lösung der Relaxierung in polynomieller Zeit! VL Flussalgorithmen 15

16 Bsp.: TSP TSP-Polytop STSP(n) = conv{χ H H Tour in K n } Minkowski/Weyl: STSP(n) = {x R E n Ax b} Für kleine n sind vollständige Beschreibungen bekannt: n Quelle # Facetten 3 0 Trotz der großen Zahlen kann man TSPs mit vielen Tausend Städten optimal lösen! [Norman 1955] [Boyd, Cunningham 1991] [Christof, Jünger, Reinelt 1991] [Christof, Padberg 1996] [Christof, Padberg 1996]

17 Branch-and-Cut-Verfahren Verbindung von Schnittebenenverfahren mit Branch-and- Bound Versuche, jeweils die Teilprobleme (LP-Relaxierungen) mit Schnittebenenverfahren zu lösen Falls die Lösung nicht ganzzahlig ist, dann wähle nichtganzzahlige Variable und generiere zwei neue Teilprobleme: P 1 mit zusätzlichen Restriktionen x e = 0 P 2 mit zusätzlichen Restriktionen x e = 1 17

18 Branch-and-Cut-Schema Minimierungsproblem 18

19 Branch-and-Cut Erfolg hängt ab von guten LP-Relaxierungen schnellen Separationsalgorithmen vielen Tricks 19

20 Spaltengenerierung Eine kurze Einführung anhand eines Beispiels in Mosel 20

21 Warum Spaltengenerierung? Haben lineares Programm mit extrem vielen Variablen Schreibt man alle Variablen in das Programm, kann es nicht mehr gelöst werden In Lösung werden aber nur relativ wenige Variablen von Null verschiedene Werte haben Idee: Generiere nur die Variablen, die wirklich nötig sind 21

22 Eigenschaft der Simplex- Methode Gegeben sei lineares Programm (LP) mit Zielrichtung minimieren Lösen LP mit Simplexmethode In jeder Simplexiteration wird Variable erhöht, deren Koeffizient in der Zielfunktion (reduzierte Kosten) negativ ist Gibt es keine Variablen mit negativen reduzierten Kosten mehr Lösung optimal 22

23 Vorgehensweise Starte mit wenigen Variablen Löse LP Teste ob Variable x existiert, die nicht in LP aber negative reduzierte Kosten hätte x zu LP Ja x existiert? Nein Fertig 23

24 Beispiel Papierfabrik Fabrik stellt Basis-Rollen der Länge MAXWIDTH her Rolle kann in NWIDTHS verschiedene Größen geschnitten werden Für jede Größe ist Bedarf gegeben Wie muss man Rollen zerteilen um Bedarfe mit der minimalen Anzahl von Basis-Rollen zu befriedigen? 24

25 Formulierung als LP Variablen entsprechen Schnittmustern Beginne mit Schnittmustern PATTERN 1 bis PATTERN NWIDTH PATTERN i schneidet Rollen der Breite WIDTH i so oft aus Basisrolle aus wie möglich Variable USE i : Gibt an wie oft PATTERN i benutzt wird 25

26 Formulierung als LP Zielfunktion: Minimiere Anzahl benötigter Basis-Rollen Alle Bedarfe müssen erfüllt sein Obergrenzen für Variablen: Nicht unbedingt nötig aber helfen bei Optimierung 26