Übungen zur Vorlesung Grundbegriffe der Theoretischen Informatik Thomas Schwentick

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1 Übungen zur Vorlesung Grundbegriffe der Theoretischen Informatik Thomas Schwentick Gaetano Geck, Moritz Martens, Martin Schuster SoSe 2014 Übungsblatt Abgabe bis spätestens am Dienstag, (vor der Vorlesung) im HG II, HS 3, oder im Briefkasten von Lehrstuhl 1, OH-16, gegenüber von Raum E22, oder im Briefkasten 38 am Audimax Quizfragen: Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Und warum? keine Punkte 1. Die Verwendung von Turingmaschinen für die Definition der Komplexitätsklasse P wird durch die erweiterte Church-Turing-These gerechtfertigt. 2. Jedes Problem ist entweder in P oder in EXPTIME. 3. Wir beschränken uns auf Entscheidungsprobleme, da sich die entsprechenden Optimierungsprobleme meist auf diese zurückführen lassen. Bei dieser Rückführung handelt es sich um eine Art von Reduktion. 4. Reduktionen sind ein Hilfsmittel, um Probleme bezüglich ihrer Schwierigkeit zu vergleichen. Hinweis: Dieses Arbeitsblatt macht von einigen graphentheoretischen Begriffen Gebrauch, die auf Übungsblatt 11 definiert wurden. Bitte konsultieren Sie diese Definitionen und legen Sie sie ihren Lösungsvorschlägen zugrunde. Veranstaltungshinweis: Am 25. Juni 2014 findet an der Fakultät für Informatik die Jobmesse der IT-Branche, REALITY, statt.

2 Übungsblatt 12 Übungen zur GTI Seite 2 Aufgabe 12.1 [Polynomielle und exponentielle Zeit] 4 Punkte Wir wollen das Problem VertexCover aus Teilaufgabe 11.4c (dort in leicht abgewandelter Form unter dem Namen VC) sowie seine parametrisierte Form k-vertexcover komplexitätstheoretisch genauer untersuchen. Es folgen zunächst die Problemdefinitionen. VertexCover Ungerichteter Graph G pv, Eq ohne isolierte Knoten und eine natürliche Zahl k ď V. Gibt es eine Teilmenge mit k Knoten, welche G überlagert? k-vertexcover Ungerichteter Graph G pv, Eq ohne isolierte Knoten. Gibt es eine Teilmenge mit k Knoten, welche G überlagert? Das Problem k-vertexcover unterscheidet sich von VertexCover dadurch, dass die Größenschranke k nicht Teil der Eingabe ist, sondern ein externer Parameter. Ein Algorithmus für das 5-VertexCover-Problem beispielsweise muss in beliebigen Graphen nur die Suche nach Überlagerungen der Größe 5 leisten. a) Zeigen Sie k-vertexcover P P, indem Sie einen Entscheidungsalgorithmus für beliebiges k P N 0 angeben, der eine polynomielle Laufzeit besitzt (k wird als Konstante aufgefasst). b) Zeigen Sie VertexCover P EXPTIME, indem Sie einen Entscheidungsalgorithmus mit exponentieller Laufzeitschranke für das Problem angeben. Aufgabe 12.2 [Reduktionseigenschaften überprüfen] 7 Punkte Hamiltonkreis Ungerichteter Graph G pv,eq mit Knotenmenge V tv 1,...,v n u. Gibt es einen geschlossenen Weg, der jeden Knoten aus V genau einmal besucht? Beispiel: Der Graph G 2 besitzt keinen Hamiltonkreis. In einem Hamiltonkreis müsste der Knoten 5 genau einmal betreten und genau einmal verlassen werden. Beides ist nur über den Knoten 4 möglich, sodass dieser mehr als einmal besucht würde G 1 : G 2 : 0-1-ILP Ein System U pu 1,...,U m q ganzzahliger linearer Ungleichungen über einer endlichen Variablenmenge X mit Koeffizienten aus Z. Gibt es eine Belegung β : X Ñ t0, 1u der Variablen, die alle Ungleichungen erfüllt?

3 Übungsblatt 12 Übungen zur GTI Seite 3 Bemerkung. Als abkürzende Schreibweise können auch Gleichungen der Form a 1 x 1 ` `a n x n b verwendet werden. Sie entsprechen der Aufnahme der beiden Ungleichungen a 1 x 1 ` `a n x n ď b und a 1 x 1 ` `a n x n ě b in das System. Beispiel: Für das folgende System von Ungleichungen etwa ist β tx ÞÑ 1, y ÞÑ 0, z ÞÑ 1u eine erfüllende Belegung (auch Lösung genannt). 4x 2y ` z ě 3 11y 2z ď 8 Betrachten Sie die folgende Reduktion von Hamiltonkreis auf 0-1-ILP und untersuchen Sie ihre Eigenschaften, indem Sie die Teilaufgaben lösen. Funktion. Wir schränken unsere Betrachtungen gemäß Konvention aus der Vorlesung auf solche Wörter w P Σ ein, die gültige Kodierungen von Graphen darstellen. Einem Graphen G pv,eq mit Knotenmenge V tv 1,...,v n u wird durch die Reduktion das folgende System U G über den Indikatorvariablen x p,i für p,i P t1,...,nu zugewiesen. Dabei soll eine Variable x p,i intuitiv genau dann den Wert 1 annehmen, wenn der Knoten v i an Position p des Weges w 1,...,w n besucht wird, und andernfalls den Wert 0 (da jeder Knoten genau einmal besucht werden soll, ist die Länge potentieller Hamiltonkreise durch die Anzahl n der Knoten bereits bestimmt.) x p,1 ` `x p,n 1 für alle p P t1,...,nu x 1,i ` `x n,i 1 für alle i P t1,...,nu x p,i `x p`1,j ď 1 für alle p P t1,...,n 1u und alle tv i,v j u R E x n,i `x 1,j ď 1 für alle tv i,v j u R E a) Besitzt der Graph G 1 einen Hamiltonkreis? Falls ja, geben Sie den Weg als Knotenfolge an und außerdem eine ihm entsprechende Belegung der Variablen x p,i für p,i P t1,...,4u. (1 Punkt) b) Beschreiben Sie die Bedeutung der erzeugten Gleichungen und Ungleichungen. Welchen Eigenschaften der Knotenfolge w 1,...,w n entsprechen sie? c) Beweisen Sie, dass die angegebene Funktion alle Eigenschaften einer Reduktionen (Berechenbarkeit, Reduktionseigenschaft) erfüllt. (3 Punkte) d) Begründen Sie, dass die Reduktionsfunktion in polynomieller Zeit berechnet werden kann. (1 Punkt) Aufgabe 12.3 [Optimierungsprobleme vs. Entscheidungsprobleme] 4 Punkte Sei G pv,eq ein ungerichteter Graph. Eine Knotenmenge I Ď V heißt unabhängig in G genau dann, wenn zwischen keinen Knoten aus I eine Kante existiert (für alle u,v P I gilt tu,vu R E). Unter der Größe einer solchen Menge verstehen wir wie gewohnt ihre Kardinalität. Betrachten Sie die folgenden Problemvarianten: IndependentSet Ein ungerichteter Graph G und k P N. Gibt es in G eine unabhängige Menge I der Größe k?

4 Übungsblatt 12 Übungen zur GTI Seite 4 IndependentSetV Ein ungerichteter Graph G. Gesucht: Das maximale k P N 0, für das es in G eine unabängige Menge der Größe k gibt. IndependentSetO Ein ungerichteter Graph G. Gesucht: Eine in G unabhänge Menge maximaler Größe. Beispiel: Für den Graphen G 3 sind genau die folgenden Teilmengen unabhängige Mengen maximaler Größe: I 1 ta,c,eu, I 2 tb,d,fu. Entsprechend muss ein Entscheidungsalgorithmus für das Problem IndependentSet die Eingabe pg 3,3q akzeptieren, die Eingabe pg 3,4q jedoch ablehnen. Ein Algorithmus für das Problem IndependentSetV berechnet zur Eingabe G 3 den Wert 3 und ein Algorithmus für das Problem IndependentSetO gibt für die Eingabe G 3 entweder die Menge I 1 oder die Menge I 2 zurück. a b c G 3 : d e f Sie sollen die komplexitätstheoretischen Zusammenhänge zwischen dem Entscheidungsproblem, dem Werteproblem und dem Optimalitätsproblem untersuchen. a) Zeigen Sie, dass IndependentSetV in Polynomialzeit gelöst werden kann unter der Voraussetzung, dass sich IndependentSet in Polynomialzeit entscheiden lässt. b) Zeigen Sie, dass IndependentSetO in Polynomialzeit gelöst werden kann unter der Voraussetzung, dass sich IndependentSetV in Polynomialzeit lösen lässt. Hinweis: Überlegen Sie sich, wie sich die Größe einer maximalen unabhängigen Menge durch Entfernen eines Knotens ändern und wie das Wissen um solche Änderungen ausgenutzt werden kann, um eine maximale unabhängige Menge zu konstruieren. (Betrachten Sie also das Verhältnis der Ausgaben von IndependentSetVpGq und IndependentSetVpG 1 q für Graphen G pv,eq und G 1 `V tvu, te P E v R euu für einen Knoten v P V.)

5 Übungsblatt 12 Übungen zur GTI Seite 5 Aufgabe 12.4 [NP] 5 Punkte Wir untersuchen nun die Komplexität zweier weiterer Probleme: das kombinatorische Bin-Packing- Problem und das graphentheoretische Graphen-Isomorphismus-Problem. Bin-Packing Gewichte w 1,...,w n P r0,1s Ď Q zu Gegenständen 1,...,n; eine Zahl k P N 0. Können alle Gegenstände so auf k Behälter verteilt werden, dass sich für jeden Behälter ein Gewicht von höchstens 1 ergibt? Beispiel: Sind vier Gegenstände mit Gewichten w 1 0,6;w 2 0,3;w 3 0,4;w 4 0,7 gegeben, so können diese beispielsweise auf zwei Behälter verteilt werden: Gegenstände 1 und 3 auf Behälter 1 mit Gesamtgewicht 1,0; Gegenstände 2 und 4 auf Behälter 2 mit Gesamtgewicht 1,0. Ein Entscheidungsalgorithmus für das Problem Bin-Packing muss also die Eingabe `pw1,...,w 4 q,2 akzeptieren, die Eingabe `pw 1,...,w 4 q,1 jedoch ablehnen. Graphen-Isomorphismus Gerichtete Graphen G,G 1 Sind die Graphen isomorph, gilt G» G 1? Zwei gerichtete Graphen G pv,eq,g 1 pv 1,E 1 q heißen isomorph, G» G 1, wenn es eine bijektive Abbildung f : V Ñ V 1 gibt, welche die Kantenrelation respektiert: für alle Paare pu,vq von Knoten aus G gilt pu,vq P E genau dann, wenn `fpuq,fpvq P E 1 gilt. Beispiel: Die Graphen G 4 und G 5 sind isomorph, was durch die Bijektion f ta ÞÑ e, b ÞÑ h, c ÞÑ g, d ÞÑ fu bezeugt wird. Die Graphen G 5 und G 6 sind nicht isomorph, da sie unterschiedlich viele Kanten besitzen (folglich sind auch G 4 und G 6 nicht isomorph). Ein Entscheidungsalgorithmus für das Graphen-Isomorphismus-Problem muss also die Eingabe pg 4,G 5 q akzeptieren und die Eingabe pg 5,G 6 q ablehnen. a b e f i j c d g h k l G 4 : G 5 : G 6 : a) Zeigen Sie Bin-Packing P NP. Beschreiben Sie dazu, aus welchen Daten sich die Lösungskandidaten (die Zusatzeingabe) für eine Probleminstanz zusammensetzen und warum die Größe der Kandidaten polynomiell durch die Größe der Instanz beschränkt ist. Beschreiben Sie anschließend, welche Eigenschaften von Eingabe und Zusatzeingabe ein Algorithmus überprüfen muss, um richtigerweise zu akzeptieren oder abzulehnen. Geben Sie für jeden Test eine obere Laufzeitschranke an. (2,5 Punkte) b) Zeigen Sie Graphen-Isomorphismus P NP. Beschreiben Sie dazu, aus welchen Daten sich die Lösungskandidaten (die Zusatzeingabe) für eine Probleminstanz zusammensetzen und warum die Größe der Kandidaten polynomiell durch die Größe der Instanz beschränkt ist. Beschreiben Sie anschließend, welche Eigenschaften von Eingabe und Zusatzeingabe ein Algorithmus überprüfen muss, um richtigerweise zu akzeptieren oder abzulehnen. Geben Sie für jeden Test eine obere Laufzeitschranke an. (2,5 Punkte)