Theoretische Grundlagen der Informatik

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1 Theoretische Grundlagen der Informatik Übung am INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT Universität des Andrea Landes Schumm Baden-Württemberg - Theoretische und Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Aufgabe 1 Zeigen Sie, dass die folgende Sprache nicht entscheidbar ist: H := {w {0, 1} T w hält für alle Eingaben aus {0, 1}.} Hinweis: Dazu können Sie benutzen, dass auch die folgende Version der Halteproblemsprache nicht entscheidbar ist: H := {w#v w, v {0, 1} und T w hält auf der Eingabe v.} Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

3 Aufgabe 1 H := {w {0, 1} T w hält für alle Eingaben aus {0, 1}.} H := {w#v w, v {0, 1} und T w hält auf der Eingabe v.} Lösung: Annahme: H ist entscheidbar. Sei M DTM, die H entscheidet. Zeige: Mit Hilfe von M kann das Halteproblem entschieden werden Konstruiere DTM M wie folgt: Sei w#v eine Eingabe, von der wir wissen wollen, ob sie in H liegt. Sei T w die DTM, die sich ergibt, indem T w wie folgt modifiziert wird: T w löscht zunächst die Eingabe und schreibt v auf das Band Danach simuliert T w T w. w ist genau dann in H, wenn w#v in H ist Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

4 Aufgabe 1 H := {w {0, 1} T w hält für alle Eingaben aus {0, 1}.} H := {w#v w, v {0, 1} und T w hält auf der Eingabe v.} Lösung: In der ersten Phase berechnet M zu gegebener Eingabe die Gödelnummer w von T w In der zweiten Phase simuliert M M auf der Eingabe w M hält immer und akzeptiert die Eingabe genau dann, wenn w in H, also w#v in H liegt Widerspruch zu H nicht entscheidbar Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

5 Aufgabe 2 Zeigen Sie, dass das folgende Problem Validity in co-n P ist: Gegeben sei eine Boolesche Formel Φ. Das Problem besteht darin, zu entscheiden, ob Φ allgemeingültig ist, d.h. ob Φ für alle möglichen Belegungen der Variablen mit Wahrheitswerten erfüllt ist Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

6 Aufgabe 2 Zeigen Sie, dass das folgende Problem Validity in co-n P ist: Gegeben sei eine Boolesche Formel Φ. Das Problem besteht darin, zu entscheiden, ob Φ allgemeingültig ist, d.h. ob Φ für alle möglichen Belegungen der Variablen mit Wahrheitswerten erfüllt ist. Lösung: Komplementäres Problem co-validity: Gegeben: Boolesche Formel Φ Frage: Gibt es eine Belegung der Variablen, so dass Φ nicht erfüllt ist? zu zeigen: co-validity NP Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

7 Aufgabe 2 Zeigen Sie, dass das folgende Problem Validity in co-n P ist: Gegeben sei eine Boolesche Formel Φ. Das Problem besteht darin, zu entscheiden, ob Φ allgemeingültig ist, d.h. ob Φ für alle möglichen Belegungen der Variablen mit Wahrheitswerten erfüllt ist. Lösung: Sei Φ eine Ja-Instanz von co-validity. Es gibt eine Belegung der Variablen (Zeuge), so dass Φ nicht erfüllt ist Ob eine gegebene Belegung der Variablen Φ nicht erfüllt, kann in Polynomialzeit entschieden werden Mit Hilfe eines Zeugen kann in Polynomialzeit verifiziert werden, dass eine Ja-Instanz vorliegt co-validity NP Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

8 Aufgabe 3 Zeigen Sie: Aus P = N P folgt P \ {, Σ } = N PC. Warum sind und Σ (insbesondere unter dieser Annahme) nicht N P-vollständig? Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

9 Aufgabe 3 Zeigen Sie: Aus P = N P folgt P \ {, Σ } = N PC. Warum sind und Σ (insbesondere unter dieser Annahme) nicht N P-vollständig? Beweis: Annahme: Sei P = N P : Sei L 1 in P \ {, Σ } und L 2 in N P Zeige: Es gibt eine polynomiale Transformation von L 2 in L 1 gibt. Daraus folgt direkt, dass L 1 N P-vollständig ist. Da P = N P ist, gibt es eine DTM M, die L 2 in polynomialer Zeit entscheidet Modifiziere M wie folgt: Falls die Eingabe akzeptiert wird, schreibt M ein beliebiges Wort aus L 1 auf das Band, falls nicht, schreibt M ein beliebiges Wort aus Σ \ L 1 auf das Band Damit gilt offensichtlich, dass die Ausgabe der DTM genau dann in L 1 liegt, wenn die Eingabe in L 2 lag Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

10 Aufgabe 3 Zeigen Sie: Aus P = N P folgt P \ {, Σ } = N PC. Warum sind und Σ (insbesondere unter dieser Annahme) nicht N P-vollständig? Beweis: Annahme: Sei P = N P : Sei L in N PC Da P = N P ist, liegt L auch in P. Falls L die leere Menge ist, so kann eine beliebige nicht-leere Sprache offensichtlich nicht in L transformiert werden. Falls L = Σ ist, so kann eine beliebige Sprache ungleich Σ offensichtlich nicht in L transformiert werden. Beides ist ein Widerspruch zur N P-Vollständigkeit von L Also ist L P \ {, Σ } Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

11 Aufgabe 4 Betrachten Sie das Problem HAMILTONIAN CIRCUIT: Definition (HC): Gegeben: Ungerichteter Graph G = (V, E). Gesucht: Enthält G einen hamiltonschen Kreis? Bemerkung: Ein hamiltonscher Kreis ist eine Permutation (v 1, v 2,..., v n ) der Knotenmenge, so dass (v i, v i+1 ) E für alle i = 1,..., n 1 und (v n, v 1 ) E. Ein hamiltonscher Kreis ist also ein zusammenhängender Kreis in G, der jeden Knoten genau einmal enthält Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

12 Aufgabe 4 a) Geben Sie einen hamiltonschen Kreis in den folgenden Graphen an oder argumentieren Sie, warum der Graph keinen hamiltonschen Kreis enthalten kann: 2 G Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

13 Aufgabe 4 a) Geben Sie einen hamiltonschen Kreis in den folgenden Graphen an oder argumentieren Sie, warum der Graph keinen hamiltonschen Kreis enthalten kann: 2 G Beispiel für einen hamiltonschen Kreis: (1, 2, 3, 9, 8, 7, 6, 5, 11, 12, 10, 4) Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

14 Aufgabe 4 a) Geben Sie einen hamiltonschen Kreis in den folgenden Graphen an oder argumentieren Sie, warum der Graph keinen hamiltonschen Kreis enthalten kann: G Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

15 Aufgabe 4 a) Geben Sie einen hamiltonschen Kreis in den folgenden Graphen an oder argumentieren Sie, warum der Graph keinen hamiltonschen Kreis enthalten kann: G Jeder Pfad, der von 1 nach 4 und wieder zurück führt, enthält den Knoten 3 zweimal. Dies gilt auch für jeden (zusammenhängenden) Kreis, der 1 und 4 enthält, also gibt es keinen hamiltonschen Kreis Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

16 DIRECTED HAMILTONIAN CIRCUIT (DHC) Wir wollen zeigen, dass das HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem N P-vollständig ist Dazu: Umweg über das DIRECTED HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem Definition: Gegeben ist ein gerichteter Graph G = (V, E). Das DIRECTED HA- MILTONIAN CIRCUIT-Problem besteht darin, zu entscheiden, ob G einen gerichteten Hamiltonkreis enthält Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

17 Satz: Das DIRECTED HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem ist N P-vollständig Beweis: DHC ist in N P enthalten, da wir in polynomieller Zeit entscheiden können, ob eine Menge an Kanten ein gerichteter hamiltonscher Kreis ist. N P-Schwere wird über eine Reduktion direkt von 3-SAT gezeigt Sei I mit Variablenmenge X = {x i,..., x n } und Klauselmenge C = (c 1,..., c m ) eine Eingabe für 3-SAT Wir konstruieren daraus in polynomieller Zeit einen gerichten Graphen G, der genau dann einen HC enthält, wenn I lösbar ist Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

18 Satz: Das DIRECTED HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem ist N P-vollständig Beweis: Identifiziere jede Variable mit einem Knoten und jede Klausel mit einem Subgraphen (Klauselkomponente), der aus 6 Knoten besteht Jede Klauselkomponente hat 3 Teile mit 2 Knoten, die den einzelnen Literalen entsprechen Verbinde die Variablenknoten und die Klauselkomponenten durch zwei Kreise (einen grünen und einen roten) Der grüne Kreis verbindet die Variablenknoten mit den Teilen der Klauselkomponenten, die positive Literale enthalten Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

19 Satz: Das DIRECTED HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem ist N P-vollständig Beweis: Dazu: Jede Variable x i hat genau eine ausgehende grüne Kante, diese führt zum ersten Auftreten von x i in einer Klauselkomponente (oder zu x i+1, falls x i in keiner Klausel vorkommt) Jeder Teil x i einer Klauselkomponente hat eine Kante zur nächsten Klauselkomponente, in der x i auftaucht, oder zum Variablenknoten x i+1, falls es keine solche Komponente mehr gibt (x 1, falls i = m) Analog dazu verbindet der rote Kreis die Variablenknoten mit den Teilen der Klauselkomponenten, die negative Literale enthalten Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

20 Beispielreduktion (a b c) (a b d) (a b c) a b c d a b c a b d a b c Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

23 Beispielreduktion (a b c) (a b d) (a b c) a b c d a b c a b d a b c Erfüllende Belegung: a, b, c, d Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

24 Satz: Das DIRECTED HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem ist N P-vollständig Beweis: Was müssen die Klauselkomponenten erfüllen? Wenn ein HC eine Komponente über die i-te eingehende Kante betritt, muss er sie auch über die i-te ausgehende Kante verlassen Es muss möglich sein, dass ein Hamiltonkreis eine Komponente ein-, zwei- oder dreimal passiert Die folgende Komponente erfüllt diese Anforderungen: einmal zweimal dreimal durchlaufen Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

25 Satz: Das DIRECTED HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem ist N P-vollständig Beweis: Was müssen die Klauselkomponenten erfüllen? Wenn ein HC eine Komponente über die i-te eingehende Kante betritt, muss er sie auch über die i-te ausgehende Kante verlassen Es muss möglich sein, dass ein Hamiltonkreis eine Komponente ein-, zwei- oder dreimal passiert Die folgende Komponente erfüllt diese Anforderungen: zweimal dreimal einmal durchlaufen Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

26 Satz: Das DIRECTED HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem ist N P-vollständig Beweis: Was müssen die Klauselkomponenten erfüllen? Wenn ein HC eine Komponente über die i-te eingehende Kante betritt, muss er sie auch über die i-te ausgehende Kante verlassen Es muss möglich sein, dass ein Hamiltonkreis eine Komponente ein-, zwei- oder dreimal passiert Die folgende Komponente erfüllt diese Anforderungen: dreimal einmal zweimal durchlaufen Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

27 Satz: Das DIRECTED HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem ist N P-vollständig Beweis: Was müssen die Klauselkomponenten erfüllen? Wenn ein HC eine Komponente über die i-te eingehende Kante betritt, muss er sie auch über die i-te ausgehende Kante verlassen Es muss möglich sein, dass ein Hamiltonkreis eine Komponente ein-, zwei- oder dreimal passiert Die folgende Komponente erfüllt diese Anforderungen: einmal zweimal dreimal durchlaufen Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

28 Satz: Das DIRECTED HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem ist N P-vollständig Beweis: Was müssen die Klauselkomponenten erfüllen? Wenn ein HC eine Komponente über die i-te eingehende Kante betritt, muss er sie auch über die i-te ausgehende Kante verlassen Es muss möglich sein, dass ein Hamiltonkreis eine Komponente ein-, zwei- oder dreimal passiert Die folgende Komponente erfüllt diese Anforderungen: Wenneinmal zweimal dreimal die Komponente durchlaufen mit falscher Kante verlassen wird, werden Knoten isoliert Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

29 Satz: Das DIRECTED HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem ist N P-vollständig Beweis: Sei nun eine erfüllende Belegung der Variablen gegeben Starte Hamiltonkreis an der ersten Variable und beginne mit grüner ausgehenden Kante, falls die Variable erfüllt ist, sonst mit roter Kante Durchlaufe die Klauselkomponenten jeweils so, wie auf der letzten Folie illustriert (je nachdem, welche Literale erfüllt sind) Erreiche zweiten Variablenknoten und fahre entsprechend fort Konstruiere so Hamiltonkreis Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

30 Satz: Das DIRECTED HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem ist N P-vollständig Beweis: Sei nun Hamiltonkreis gegeben Für jede Variable prüfe, welche der beiden ausgehenden Kanten im Kreis sind Falls rote Kante, setze Variable auf falsch, falls grüne Kante, setze Variable auf wahr Der Kreis durchläuft dabei nur Klauselkomponenten, die erfüllte Literale enthalten Da wir einen Hamiltonkreis durchlaufen haben, müssen alle Klauseln erfüllt sein Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

31 Satz: Das HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem (HC) ist N P-vollständig Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

32 Satz: Das HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem (HC) ist N P-vollständig Beweis: HC ist in N P enthalten, da wir in polynomieller Zeit entscheiden können, ob eine Menge an Kanten ein ungerichteter hamiltonscher Kreis ist Reduziere von DHC Sei G = (V, E) ein gerichteter Graph, also eine Instanz von DHC Konstruiere daraus ungerichteten Graphen G = (V, E ), der genau dann einen HC enthält, wenn G einen DHC enthält Konstruiere G so, dass jede gerichtete Kante durch eine ungerichtete Kante ersetzt wird und jeder Knoten durch einen Pfad, der aus drei Knoten besteht Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

33 Satz: Das HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem (HC) ist N P-vollständig Beweis: Die eingehenden Kanten werden mit erstem Knoten des Pfades verbunden, die ausgehenden Kanten mit letztem Knoten des Pfades Ein DHC in G läßt sich direkt in einen ungerichteten HC in G übersetzen Sei C ein HC in G Betrachte die Kanten in C, die bereits in G waren Diese bilden DHC in G, denn: Würde man z.b. den linkesten Knoten im Beispiel von links erreichen und nach links wieder verlassen, wäre der mittlere Knoten nicht mehr auf einem HC passierbar Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

34 Erinnerung: TRAVELING SALESMAN-Entscheidungsproblem Gegeben sei ein vollständiger Graph G = (V, E, c), mit Kantengewichten, d.h. V := {1,..., n} E := {{u, v} u, v V, u = v} c : E Z +. Gegeben sei zusätzlich auch ein Parameter k Z +. Die Frage ist nun: Gibt es eine Tour(Rundreise), deren Länge höchstens k ist? Dabei entspricht eine Tour einer Permutation π auf V, das bedeutet, dass jeder Knoten genau einmal enthalten ist. Eine Tour entspricht also genau einem hamiltonschen Kreis in einem vollständigen, gewichteten Graphen Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

35 Aufgabe 4 b) Zeigen Sie, dass das TRAVELING SALESMAN-Entscheidungsproblem N P-vollständig ist. Benutzen Sie dazu die Tatsache, dass das HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem N P-vollständig ist Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

36 Aufgabe 4 b) Zeigen Sie, dass das TRAVELING SALESMAN-Entscheidungsproblem N P-vollständig ist. Benutzen Sie dazu die Tatsache, dass das HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem N P-vollständig ist. TSP liegt in N P, denn in polynomieller Zeit kann man überprüfen, ob eine (Orakel-)Eingabe eine Rundreise ist und deren Länge berechnen (s. Skript). Transformiere HAMILTONIAN CIRCUIT auf TSP Sei G = (V, E), V = {x 1,... x n } eine Instanz von HC Konstruiere daraus Instanz I von TSP mit n Orten {o 1,..., o n } Gewichten c ij, die 1 sind, falls (x i, x j ) E und n + 1 sonst Kostengrenze k := n Offensichtlich ist die Transformation polynomial Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

37 Aufgabe 4 b) Zeigen Sie, dass das TRAVELING SALESMAN-Entscheidungsproblem N P-vollständig ist. Benutzen Sie dazu die Tatsache, dass das HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem N P-vollständig ist. Beispiel für eine Konstruktion: Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

38 Aufgabe 4 b) Zeigen Sie, dass das TRAVELING SALESMAN-Entscheidungsproblem N P-vollständig ist. Benutzen Sie dazu die Tatsache, dass das HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem N P-vollständig ist. Beispiel für eine Konstruktion: Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

39 Aufgabe 4 b) Zeigen Sie, dass das TRAVELING SALESMAN-Entscheidungsproblem N P-vollständig ist. Benutzen Sie dazu die Tatsache, dass das HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem N P-vollständig ist. Es gilt: G enthält einen HC genau dann, wenn I eine Rundreise mit Kosten n zulässt, denn: Sei (x i1,..., x in ) ein HC in G dann sind die Kosten der Rundreise (o i1,..., o in ) gleich n Sei (o i1,..., o in ) eine Rundreise mit Kosten höchstens n, dann gilt für i = 1,..., n 1 dass (x i, x i+1 ) E und (x n, x 1 ) in E ist Damit ist (x i1,..., x in ) ein HC in G. Also gibt es eine polynomiale Transformation vom HAMILTONIAN CIRCUIT-Problem in das TSP-Problem Damit ist das TSP-Problem N P-vollständig Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

40 Aufgabe 5 Rentier-Schlitten-Entscheidungsproblem (RSE) Gegeben: Endliche Menge an Rentieren, endliche Menge an Schlittenmodellen, die für Teilmengen dieser Rentiere konzipiert sind, und Parameter k N 0 Frage: Ist es möglich, k Modelle auszuwählen, so dass jedes Rentier höchstens einen Schlitten ziehen muss? Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

41 Aufgabe 5 a) Formulieren Sie das Rentier-Schlitten-Problem auch als Optimierungsproblem Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

42 Aufgabe 5 a) Formulieren Sie das Rentier-Schlitten-Problem auch als Optimierungsproblem. Rentier-Schlitten-Optimierungsproblem Gegeben: Menge an Rentieren und Menge an Schlittenmodellen Gesucht: Eine möglichst große Teilmenge der Modelle, so dass jedes Rentier höchstens einen Schlitten ziehen muss Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

43 Aufgabe 5 a) Was ist das zum Entscheidungsproblem komplementäre Problem co-rse? Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

44 Aufgabe 5 a) Was ist das zum Entscheidungsproblem komplementäre Problem co-rse? co-rentier-schlitten-entscheidungsproblem Gegeben: Menge an Rentieren und Menge an Schlittenmodellen Frage: Gibt es für jede Teilmenge der Schlittenmodelle der Größe k mindestens ein Rentier, das für mindestens zwei dieser Modelle benötigt wird? Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

45 Aufgabe 5 b) Lösen Sie folgende Instanz des Rentier-Schlitten-Optimierungsproblems: Rentiere Rudi Berni Thomas Rosa Klara Susi Georg Tim Schlittenmodelle Reindeer Sleighs International United Reindeer Vehicles Schneewagen AG Robert Frost GmbH General Sleighs SAN SE Rudi, Berni, Thomas, Rosa Rosa, Klara Thomas, Rosa, Georg Rudi, Susi, Tim Berni, Thomas Rudi, Berni, Thomas Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

49 Aufgabe 5 c) Zeigen Sie, dass das Rentier-Schlitten-Entscheidungsproblem NP-vollständig ist. Dazu können Sie benutzen, dass das folgende Entscheidungsproblem Independent Set NP-vollständig ist: Independent Set Gegeben: Graph G = (V, E), K V mit K N 0 Frage: Gibt es eine unabhängige Menge der Größe K in G, d.h. eine Menge V V, mit V K, so dass {v, w} / E für alle v, w V? Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

50 Aufgabe 5 c) Lösung RSE ist in NP: Sei I = (R, S, k) eine Ja-Instanz von RSE und M eine Menge von Schlitten (Zeuge), die I löst In Polynomialzeit kann überprüft werden, ob M = k und ob jedes Rentier für höchstens einen Schlitten aus M benötigt wird Also kann mit Hilfe eines Zeugen in Polynomialzeit verifiziert werden, dass I eine Ja-Instanz ist Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

51 Aufgabe 5 c) Lösung Noch zu zeigen: es gibt eine polynomiale Transformation von Independent Set auf RSE: Sei I = (G = (V, E), k) eine Instanz von Independent Set Konstruiere dazu Instanz I = (R, S, k ) von RSE Bilde jeden Knoten v auf ein Rentier r v und jede Kante e auf ein Rentier r e ab Für jeden Knoten v wird ein Schlittenmodell S v eingeführt, das r v enthält sowie alle Rentiere r {v,u}, für die {u, v} E k = k Diese Transformation ist offensichtlich polynomial Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

52 Beispieltransformation {a, b} a a b {a, c} b c d c {b, c} d {b, d} {c, d} Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

53 Beispieltransformation {a, b} S a a a b S b b {a, c} c d S c c {b, c} {b, d} S d d {c, d} Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

54 Aufgabe 5 c) Lösung Noch zu zeigen: I ist genau dann Ja-Instanz, wenn I Ja-Instanz ist Vorüberlegung: Kein Rentier, das einen Knoten repräsentiert, kommt in mehr als einem Schlittenmodell vor. Sei I = (G = (V, E), k) Ja-Instanz Dann enthält I eine unabhängige Menge U der Größe k Sei S die Menge der zugehörigen Schlittenmodelle. Jedes Rentier, das eine Kante repräsentiert, kann für höchstens eines der Schlittenmodelle aus S benötigt werden, da sonst die entsprechende Kante zwei Knoten aus U verbinden würde S ist also eine gültige Lösung für I Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

55 Aufgabe 5 c) Lösung Noch zu zeigen: I ist genau dann Ja-Instanz, wenn I Ja-Instanz ist Sei I eine Ja-Instanz Dann gibt es Menge S an Schlittenmodellen mit S = k, so dass jedes Rentier für höchstens eines dieser Modelle benötigt wird Jedes dieser Schlittenmodelle benötigt genau ein Rentier, das einen Knoten repräsentiert. Sei V die Menge der entsprechenden Knoten in I. Falls zwei dieser Knoten durch eine Kante verbunden wären, würde das entsprechende Kanten-Rentier für beide Schlittenmodelle benötigt Also ist V eine unabhängige Menge der Größe k Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

56 Beispieltransformation {a, b} S a a a b S b b {a, c} c d S c c {b, c} {b, d} S d d {c, d} Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

57 Beispieltransformation S a a {a, b} a b {a, c} b c d c {b, c} S d d {b, d} {c, d} Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

58 Aufgabe 5 d) Formulieren Sie das Rentier-Schlitten-Entscheidungsproblem(RSE) als Integer Program. Konstruieren Sie dazu zu einer allgemeinen Instanz I von RSE, bei der jedes Schlittenmodell mindestens ein Rentier benötigt, eine Instanz von Integer Programming, die genau dann eine Ja-Instanz ist, wenn I eine Ja-Instanz ist Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

59 Aufgabe 5 d) Lösung Gegeben Instanz I von RSE: M := {R 1,..., R m } : Menge von Rentieren S := {S 1,..., S n } : Menge an Schlittenmodellen k : Parameter von RSE Transformation: Idee: Führe für jedes Schlittenmodell S i Variable x i ein Interpretation: x i = 1 gdw S i in einer Teilmenge von S enthalten ist Schritt 1: Stelle sicher, dass x i in {0, 1} sind: x i 1 für i {1,..., n} Jede Variablenbelegung induziert also Teilmenge von S Schritt 2: Stelle sicher, dass Rentier R j für höchstens ein S i benötigt wird: i:s i benötigt R j x i 1 für j {1,..., m} Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

60 Aufgabe 5 d) Lösung Gegeben Instanz I von RSE: M := {R 1,..., R m } : Menge von Rentieren S := {S 1,..., S n } : Menge an Schlittenmodellen k : Parameter von RSE Transformation: Schritt 2: Stelle sicher, dass Rentier R j für höchstens ein S i benötigt wird: i:s i benötigt R j x i 1 für j {1,..., m} Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

61 Aufgabe 5 d) Lösung Gegeben Instanz I von RSE: M := {R 1,..., R m } : Menge von Rentieren S := {S 1,..., S n } : Menge an Schlittenmodellen k : Parameter von RSE Transformation: Schritt 2: Stelle sicher, dass Rentier R j für höchstens ein S i benötigt wird: i:s i benötigt R j x i 1 für j {1,..., m} Hinweis: Da nach Vor. jedes Modell mindestens ein Rentier benötigt, folgt damit auch direkt, dass alle x i kleiner gleich 1 sind Schritt 3: Stelle sicher, dass die induzierte Teilmenge Kardinalität k hat: n x i = k i Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

62 Aufgabe 5 d) Lösung (formell) Gegeben: M := {R 1,..., R m } : Menge von Rentieren S := {S 1,..., S n } : Menge an Schlittenmodellen k : Parameter von RSE Zugehöriges Integer Program: n := n m := m{ 1, S a ij := j benötigt R i 0, sonst. b i := 1, für 1 i m c i := 1, für 1 i n B := k Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

63 Aufgabe 5 e) Geben Sie an, wie man an einer gültigen Variablenbelegung x 1,..., x n einer nach Ihrer Vorschrift transformierten Instanz von RSE eine Menge an k Schlitten ablesen kann, die Rentier-disjunkt sind Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

64 Aufgabe 5 e) Geben Sie an, wie man an einer gültigen Variablenbelegung x 1,..., x n einer nach Ihrer Vorschrift transformierten Instanz von RSE eine Menge an k Schlitten ablesen kann, die Rentier-disjunkt sind. Lösung: Schlittenmodell S i ist genau dann in der Lösung, wenn die entsprechende Variable x i wahr ist Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

65 Schöne Weihnachten! Andrea Schumm - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE