Berechenbarkeitstheorie 24. Vorlesung

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1 1 Berechenbarkeitstheorie Dr. Institut für Mathematische Logik und Grundlagenforschung WWU Münster WS 15/16 Alle Folien unter Creatie Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported Lizenz.

2 DHC Eingabe: Frage: Satz 44 Gerichteter Graph G Enthält G einen gerichteten Hamiltonkreis? DHC ist NP-ollständig. Beweis DHC NP (Zeuge ist Knotenliste des Hamiltonkreises) wir zeigen NP-Schwerheit durch 3SAT p DHC die Reduktion wandelt eine Formel φ (3CNF) mit k Klauseln in einen Graphen G um Struktur on G für jede Klausel C i aus φ gibt es einen Knoten für jede Variable x i aus φ gibt es einen Teilgraphen in G, genannt Diamant D i 2

3 Diamant D i zwei besondere Knoten s i und t i 3k + 1 Knoten wie folgt dazwischen Gruppiere je zwei benachbarte Knoten in der Mitte zu einer Doublette, getrennt jeweils durch einen Knoten Nummeriere die Doubletten als i durch s i i 1 i 2 t i 3 Verknüpfung D j und 1 Wenn x j C i D j j i 2 Wenn x j C i D j 3 Sonst keine Verbindung j i

4 Verknüpfung der Diamanten s 1 s 2 t 1 t 2 s l t l 4 erbinde zyklisch t i mit s i+1 (in dieser Richtung) Behauptung φ erfüllbar G hat gerichteten Hamiltonkreis ( ) wir wählen eine erfüllende Variablenbelegung für φ Diamanten werden in der Reihenfolge D 1, D 2,... D l durchlaufen es gibt zwei erschiedene Arten, wie ein Diamant D i durchlaufen werden kann. Dies hängt daon ab, ob x i = 0 oder x i = 1 gesetzt wurde.

5 A Wenn x i = 1 durchlaufe D i wie folgt B Wenn x i = 0 durchlaufe D i wie folgt 5 für jede Klauel C i wähle ein Literal x j / x j, welches C i erfüllt erbinde D j mit wie folgt D j D j j i j i C i wird durch x j erfüllt C i wird durch x j erfüllt der so erzeugte Kantenzug ist ein (gerichteter) Hamiltonkreis

6 ( ) sonst Sei H ein gerichteter Hamiltonkreis in G H muss jeden Knoten besuchen, orher und nachher muss dabei ein Knoten eines Diamanten besucht werden die Knoten in H or und nach müssen om gleichen Diamanten stammen Kann nicht mehr besucht werden 6 D a D b H zerfällt in Teile H = D 1 D2 D3... D l, wobei Di der Weg durch D i mit Unterbrechungen durch Knoten c entspricht

7 Angenommen, c j sind aus D k und x k C i und x k C j OBdA: zwischen und c j in H liegt kein anderer Knoten c Situation in D k 7 c j Lauf durch D k ist kein Hamiltonpfad H hat genau die Form, wie im Beweis der -Richtung die Art, wie die Diamanten durchlaufen werden, legen eine Variablenbelegung fest diese Definition ist widerspruchsfrei, und die Belegung erfüllt mindestens ein Literal pro Klausel φ ist erfüllbar Reduktion ist polyzeit (Graph hat Größe O(n 2 ))

8 Satz 45 Beweis HC NP (Zeuge ist Knotenliste des Hamiltonkreises) wir zeigen NP-Schwerheit durch DHC p HC Reduktion bildet gerichteten Graphen G = (V, E) auf ungerichteten Graphen f(g) = G = (V, E ) ab Ersetze jeden Knoten durch einen Teilgraphen mit Knoten in, und out wie folgt in out Formal: E = {(u out, in ) (u, ) E} {( in, )(, out ) V } Bsp. u HC ist NP-ollständig. u in u u out out in 8

9 u u in u u out out Wenn (u 1, u 2, u 3,...) Hamiltonkreis in G, dann nach Konstruktion auch (u 1in, u 1, u 1out, u 2in, u 2, u 2out,...) Hamiltonkreis in G Wenn H Hamiltonkreis in G, dann gilt: In H liegt zwischen in und out In H liegt in or oder nach (sonst ist nicht traersierbar) - das gleiche gilt für out und In H besteht aus Teilsequenzen ( in,, out ) bzw. ( out,, in ) Ersetze Teilsequenzen durch ergibt H H (oder H gespiegelt) besteht nur aus Kanten der Form (u, ), wobei (u, ) in E H beschreibt HC in G f ist also Redultion für DHC p HC und kann in Polynomialzeit berechnet werden in 9

10 Def. Eine Tour in einem gewichteten Graphen ist ein 10 Kantenzug, der jeden Knoten besucht und beim Startpunkt endet. Die Kosten einer Tour entsprechen der Summe ihrer Kantengewichte. TSP Eingabe: Frage: Graph G = (V, E) mit Kantengewichten w, B N Existiert eine Tour mit Kosten B? Satz 46 Beweis TSP ist NP-ollständig. TSP NP (Zeuge ist Tour mit Kosten B) wir zeigen NP-Schwerheit durch HC p TSP Reduktion: Gib Graph G Kantengewichte 1 überall und setze B = V Hat G HC, dann hat der gewichtete Graph eine Tour mit Kosten = B Hat G mit w eine Tour mit Kosten B, dann ist es eine Tour mit Kosten = B, diese ist ein Hamiltonkreis