Komplexitätstheorie Einführung und Überblick (Wiederholung)

Transkript

1 Literatur C. Papadimitriou UC Berkeley Zum Komplexitätsbegriff Strukturelle Komplexität Average Case Analyse Effiziente Algorithmen Logische Komplexität Beschreibungssprachen: SQL Kolmogorov Komplexität Komplexitaet = Programmgröße Axiomatische Komplexität Verallgemeinerte Komplexitätsmaße Komplexitätstheorie Einführung und Überblick (Wiederholung) Helmut Veith Technische Universität München Garey & Johnson: Computers and Intractability Polynomieller Rechenaufwand Exponentieller Rechenaufwand 1

2 The $ Problem NP Probleme Existiert ein polynomieller Algorithmus für folgende Frage: Kann ein Gatter eines kombinatorischen s je 1 werden? The $ Problem Existiert ein polynomieller Algorithmus für folgende Frage: Kann ein Gatter eines kombinatorischen s je 1 werden? CIRCUIT ISFIABILITY UNO Problem Kann eine Gruppe n Delegierter so um einen runden Tisch plaziert werden, dass keine Feinde nebeneinander zu sitzen kommen? Graphentheoretisch:? Färbbarkeitsproblem Kann eine Landkarte mit 3 Farben koloriert werden, sodass Nachbarstaaten unterscheidbar sind? 4-Farbensatz Kreuzwortproblem Cluster Workload Assignment Scheduling Problem Kann ein Kreuzworträtsel mit Wörtern einer Liste vollständig gefüllt werden? Kann eine Menge von Prozessen bekannter Workload auf N Prozessoren eingeplant werden? Kann eine Menge von n abhängigen Aufgaben innerhalb von t Zeiteinheiten eingeplant werden? CIRCUIT ISFIABILITY und tausende weitere Probleme. Suchalgorithmen? Für die genannten Probleme sind nur exponentielle Algorithmen bekannt. Aber: Die Eignung einer vorgeschlagenen Lösung kann effizient üperprüft werden. NP = Entscheidungsprobleme, die (1) Lösungen polynomieller Grösse haben (2) die Überprüfung von Lösungskandidaten in Polynomialzeit erlauben. NP Probleme exponentiell lösbar Angenommen, ein NP-Problem mit Eingabegrösse N hat Lösungen der Grösse N k in Binärdarstellung. Dann kann ein Suchalgorithmus in Zeit 2 (N k) alle Lösungen überprüfen. Theorem NP EXPTIME Unentscheidbar NP-Vollständigkeit Entscheidbar Exponentiell und höher NP NP-vollständig PTIME 2

3 Existiert ein polynomieller Algorithmus für folgende Frage: Kann ein Gatter eines kombinatorischen s je 1 werden? CIRCUIT ISFIABILITY Kann ein Kreuzworträtsel mit Wörtern einer Liste vollständig gefüllt werden? Kann eine Gruppe n Delegierter so um einen runden Tisch plaziert werden, dass keine Feinde nebeneinander zu sitzen kommen? Graphentheoretisch:? Kann eine Menge von Prozessen bekannter Workload auf N Prozessoren eingeplant werden? Kann eine Landkarte mit 3 Farben koloriert werden, sodass Nachbarstaaten unterscheidbar sind? 4-Farbensatz Kann eine Menge von n abhängigen Aufgaben innerhalb von t Zeiteinheiten eingeplant werden? Reduktionen The $ Problem Cluster Workload Assignment Kann eine Menge von Prozessen bekannter Workload auf N Prozessoren eingeplant werden? Minesweeper Ist eine Spielsituation im Spiel Minesweeper konsistent? Gibt es polynomielle Algorithmen für die Probleme in NP? NP Probleme The $ Problem UNO Problem Färbbarkeitsproblem Reduktion Ein Algorithmus für Minesweeper kann mit polynomiellem Pre-Processsing zum Lösen von Workload Assignment verwendet werden. Kreuzwortproblem NP = PTIME? Cluster Workload Assignment Scheduling Problem und tausende weitere Probleme. NP PTIME Komplexitätstheorie NP-Vollständigkeit: Reduktionen Helmut Veith Technische Universität München Probleme unter Bekannten Gibt es K Studenten unter den N Anwesenden, die einander nicht kennen? Reichen 3 Übungsgruppen, damit Studenten, die einander kennen, verschiedene Gruppen erhalten? 3COLORABILITY Reichen K Wanzen, um alle Telefongespraeche zwischen Studenten abzuhoeren? VERTEX COVER Gibt es K Studenten unter den N Anwesenden, die einander nicht kennen? Graph G=(V,E); Zahl K. Hat G ein independent set I mit I >= K? d.h. ein I, sodass i,j I. (i,j) E 3

4 3COLORABILITY Reichen 3 Übungsgruppen, damit Studenten, die einander kennen, verschiedene Gruppen erhalten? Graph G=(V,E). Gibt es eine Funktion F : V {red,green,blue} sodass benachbarte Knoten unterschiedlich gefaerbt werden, d.h. (i,j) E. F(i) F(j) Färbbarkeitsproblem Kann eine Landkarte mit 3 Farben koloriert werden, sodass Nachbarstaaten unterscheidbar sind? PLANAR 3COLORABILITY PLANAR 3COLORABILITY Reichen 3 Übungsgruppen, damit Studenten, die einander kennen, verschiedene Gruppen erhalten? Planarer Graph G=(V,E). Gibt es eine Funktion F : V {red,green,blue} sodass benachbarte Knoten unterschiedlich gefaerbt werden, d.h. (i,j) E. F(i) F(j) VERTEX COVER Reichen K Wanzen, um alle Telefongespraeche zwischen Studenten abzuhoeren? Graph G=(V,E); Zahl K. Hat G ein C mit C <= K? d.h. ein C V, sodass (i,j) E. i C j C HAMILTONIAN CYCLE Graph G=(V,E). Hat G einen Hamiltonschen Kreis? UNO UNO Problem Problem Kann eine Gruppe n Delegierter so um einen Kann eine Gruppe n Delegierter so um einen runden Tisch plaziert werden, dass keine Feinde runden Tisch plaziert werden, dass keine Feinde nebeneinander zu sitzen kommen? nebeneinander zu sitzen kommen? Graph G=(V,E), Zahl K und Gewichtsfunktion f: E N Hat G einen Zyklus mit Gesamtgewicht <= K? Travelling Salesperson Kann ein Vertreter n Städte bereisen, und dabei Kann ein Vertreter n Städte bereisen, und dabei nicht mehr als K Kilometer zurücklegen? nicht mehr als K Kilometer zurücklegen? Graphentheoretisch: Graphentheoretisch:?? 4

5 BIN PACKING N; a 1,..., a M ; b Können M Jobs mit Workloads a i auf N Prozessoren mit maximaler Workload b aufgeteilt werden? Cluster Cluster Workload Workload Assignment Assignment Kann eine Menge von Prozessen bekannter Kann eine Menge von Prozessen bekannter Workload auf N Prozessoren eingeplant werden? Workload auf N Prozessoren eingeplant werden? a 1,..., a M ; W RUCKSACK Kann eine Teilmenge der a i in Summe exakt W ergeben? problem Gegeben eine Menge von Wertobjekten Gegeben eine Menge von Wertobjekten unterschiedlichen Gewichts und Wertes. Kann unterschiedlichen Gewichts und Wertes. Kann ein Dieb mit einem mit Maximalgewicht ein Dieb mit einem mit Maximalgewicht M den Wert W erzielen? M den Wert erzielen? CLIQUE Gibt es K Studenten unter den N Anwesenden, die einander kennen? Graph G=(V,E); Zahl K. Hat G ein independent set I mit I >= K? d.h. ein I, sodass i,j I. (i,j) E Boolesche Bedingungen C Source Code der Form if (f) p; wobei f aus Booleschen Variablen, &&,,! besteht. Ist f eine erfüllbare Bedingung? d.h. gibt es eine Belegung der Variablen, sodass p ausgeführt wird? Boolesche (aussagenlogische) Formel f Gibt es eine Belegung der Variablen, sodass f wahr wird? Circuit 5

6 Circuit CLIQUE und Lemma Graph G = (V,E) und S Teilmenge V. Dann gilt: S ist ein in G gdw S ist eine im Komplement von G CLIQUE und CLIQUE und Lemma Graph G = (V,E) und S Teilmenge V. Dann gilt: S ist eine in G gdw S ist ein im Komplement von G. Algorithmische Reduktion zwischen CLIQUE und : Berechne das Komplement des Graphen. R: (V,E) (V, V x V E) CLIQUE und CLIQUE(V,E): Algorithmus f. Algorithmus f. : Independent_Set(V,E) E = V x V E; CLIQUE(V, E ); Circuit 6

7 CLIQUE und Lemma Graph G = (V,E) und S Teilmenge V. Dann gilt: S ist eine in G gdw S ist ein im Komplement von G gdw V-S ist ein von G. CLIQUE und Circuit Circuit Circuit Cook/Levin ist NP-vollständig. Exkurs: Boolesche Funktionen Boolesche Funktionen Funktionale Vollstaendigkeit Formeln CNF DNF Boolesche Algebra Auswertungsalgorithmen Alternative Beschreibungen 7

8 8

9 Uniforme Theorem Zu jedem polynomialen Algorithmus (PTIME Algorithmus) A mit binären Eingaben gibt es eine Familie von n C 1, C 2,, sodass (1) C i in Zeit polynomiell in i konstruiert werden kann. (2) Für alle Eingaben der Länge n C i dasselbe Ergebnis wie A liefert. Exkurs: Boolesche Funktionen Boolesche Funktionen Funktionale Vollstaendigkeit Formeln CNF DNF Boolesche Algebra Auswertungsalgorithmen Alternative Beschreibungen 9

10 -Probleme CIRCUIT Ist ein Schaltkreis erfüllbar? Ist eine Formel erfüllbar? CNF Ist eine CNF Formel erfüllbar? 3 Ist eine CNF Formel mit maximal 3 Literalen pro Klause erfüllbar? DNF Ist eine DNF Formel erfüllbar? HORN Ist eine Horn Formel erfüllbar? -Probleme CIRCUIT Ist ein Schaltkreis erfüllbar? Ist eine Formel erfüllbar? CNF Ist eine CNF Formel erfüllbar? 3 Ist eine CNF Formel mit maximal 3 Literalen pro Klause erfüllbar? DNF Ist eine DNF Formel erfüllbar? HORN Ist eine Horn Formel erfüllbar? CIRCUIT 3 CNF 3 Circuit CNF 3 Circuit CNF 3 Circuit 10

11 3 CLIQUE CNF 3 Circuit CLIQUE CIRCUIT CNF 3 Circuit CNF 3 Circuit CNF 3 Circuit 11

12 3 3COL Danke für Ihre Aufmerksamkeit 12