Grundlagen der Informatik Kapitel 20. Harald Krottmaier Sven Havemann

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1 Grundlagen der Informatik Kapitel 20 Harald Krottmaier Sven Havemann

2 Agenda Klassen von Problemen Einige Probleme... Approximationsalgorithmen WS2007 2

3 Klassen P NP NP-vollständig WS2007 3

4 Klasse P praktisch lösbare Probleme Algorithmus existiert Betriebsmittel begrenzt Speicher Zeit nicht lösbar, wenn Speicheranforderung > # Atome im Universum Schnellste Rechner benötigt Milliarden Jahre WS2007 4

5 Klasse P Klasse von Problemen zu denen Algorithmen existieren, die eine Lösung mit polynomiellem Aufwand berechnen z.b. Potenzieren nach Legendre O(log n) Sequentielle Suche O(n) Sortieren O(n log n) Primzahlensieb des Eratosthenes O(n 2 ) (klassische) Matrizenmultiplikation O(n 3 ) WS2007 5

6 Klasse NP Es ist keine bessere Methode bekannt als alle Lösungsmöglichkeiten (Kombinationen) durchzuprobieren Und das hat exponentiellen Aufwand, ist damit unpraktikabel (für grössere n) NP: Nondeterministic Polynomial time decideable WS2007 6

7 Bsp: SAT-Problem SAT: satisfiability problem; Erfüllbarkeitsproblem Existiert zu einem gegebenen booleschen Ausdruck eine Belegung der Variablen (true, false), so dass der Ausdruck true wird? [einfach berechenbar: Wert des Ausdrucks bei gegebenen Variablen] WS2007 7

8 SAT-Problem (not(a)+b)*(a+not(b)+not(c))*not(c) ist true für a=false, b=true, c=false a*(not(a)+b)*(not(b)+not(c))*c ist nicht erfüllbar, jede Belegung ergibt false. Kann man also einfach ausprobieren WS2007 8

9 SAT n = Zahl der Variablen im Ausdruck O(2 n ): Alle Kombinationen... Rechner: 10 6 Schritte pro Sekunde WS2007 9

10 ja/nein-probleme Entscheidungsprobleme Untersuchung über Sprachen Kodierung durch Alphabet Σ jedes Problem ist Wort w aus Σ* Menge aller lösbaren Probleme ist Teilmenge (also Sprache) von Σ* WS

11 SAT... Worte zu Alphabet "Der Algorithmus löst Erfüllbarkeitsproblem" wird zu: "Der Algorithmus akzeptiert die Sprache SAT." WS

12 SAT in polynomialer Zeit O(n) lösbar, wenn... 2 n Parallelrechner rechnen WS

13 Klasse NP "Menge aller Probleme, wo ein ein nichtdeterministischer Algorithmus in polynomialer Komplexität die Lösung verifizieren kann." P NP Zwei Phasen Guess-Phase (also raten), Zeit: t n Check-Phase (prüfen), Zeit t d WS

14 Bsp. L={xx R x aus {0, 1}*} x R... Spiegelbild zu x WS

15 deterministisch... WS

16 nichtdeterministisch... Erraten der Mitte Maximal halber Speicherbedarf WS

17 Satz von Cook "Jedes Problem in NP lässt sich polynomial auf das SAT-Problem zurückführen." WS

18 Polynomielle Reduktion? Reduktion: Relation zwischen zwei Problemen "A ist über eine Reduktionsfunktion f reduzierbar auf B" Reduktion ist polynomial wenn f in deterministischer Polynomialzeit berechnet werden kann. WS

19 Das n-farbenproblem "Kann ein gegebener Graph mit höchstens n Farben gefärbt werden, sodass alle benachbarten Knoten unterschiedliche Farben haben?" WS

20 2-COLOR ist einfach! n=2: Zweifarbenproblem Immer möglich, solange kein Kreis mit ungerader # von Knoten existiert In linearer Zeit berechenbar WS

21 3-COLOR n=3 (NP-vollständig!) Beispiel unten: Sind Knoten 1, 2, 3 und 4 mit 3 Farben färbbar, sodass keine benachbarten Knoten die gleiche Farben haben? WS

22 3-COLOR auf SAT reduzieren Boolesche Variablen einführen: s i = Knoten i ist schwarz w i = Knoten i ist weiß b i = Knoten i ist blau Erlaubte Färbung ist gefunden, wenn folgende 3 Bedingungen erfüllt sind WS

23 3-COLOR 1. Jeder Knoten hat eine Farbe a 1 = (s 1 +w 1 +b 1 ) * (s 2 +w 2 +b 2 ) * (s 3 +w 3 +b 3 ) * (s 4 +w 4 +b 4 ) 2. Kein Knoten hat zwei Farben WS

24 3-COLOR 3. Je zwei benachbarte Knoten haben verschiedene Farben WS

25 3-COLOR Sei a = a 1 * a 2 * a 3 Falls Belegung gefunden wird so dass a = true ist, so ist eine Färbung möglich Einfach ablesen aus der Belegung! SAT ist das Grundproblem: Aussagenlogik ist eine universelle Sprache zur Problembeschreibung. WS

26 Cook: Rückführbarkeit auf SAT Alle Probleme aus der Klasse NP sind mit Hilfe der Aussagenlogik formulierbar. Kann man SAT, das Entscheidungsproblem effizient lösen, so kann man alle Probleme der Klasse NP effizient lösen. [bis heute keiner gefunden...] WS

27 NP-vollständig auch NPC [C...complete] SAT ist schwieriges Problem p ist NPC, wenn SAT auf p rückführbar ist. Es gilt: jedes Problem in NPC ist mind. so schwierig wie SAT [Cook] Jedes Problem aus NP ist auf SAT rückführbar, d.h. jedes Problem aus NP höchstens so schwierig wie SAT d.h. Alle Probleme in NPC sind gleich WS2007 schwierig 27

28 P = NP? heute ca NPC-Probleme bekannt kann man eines lösen, sind alle lösbar! Man vermutet, dass P!= NP gilt [ist aber nicht bewiesen!] Größte ungelöste Rätsel der Informatik... Sicher ist: P NP deterministische Alg. sind Spezialfälle von nichtdeterministischen Alg. WS

29 Einige NPC-Probleme 3SAT Wie SAT, aber OR mit maximal drei Variablen (3KNF) wie in (a+b+c)*(e+f+g)* *(x+a+b) CLIQUE-Problem Größe des größten vollständigen Subgraphen WS

30 Einige NPC-Probleme KNAPSACK: Rucksack-Problem Packe einige Gegenstände mit Größe g i und Wert w i in Rucksack mit Größe G so dass Wert maximal wird SUBSUM: Teilsummen-Problem Gegeben natürliche Zahlen a 1..a n und Zahl b, kann man b als Summe einiger geeigneter a i erhalten? WS

31 Einige NPC-Probleme HP: Hamilton-Pfad-Problem Finde Hamiltonschen Pfad: Jeder Knoten eines Graphen wird genau einmal besucht HC: Hamilton Circuit-Problem TSP: Traveling Salesman Problem Finde den kürzesten Weg für eine Rundreise über n Städte (Distanztabelle) WS

32 Etwas mehr im Detail WS

33 3SAT-Problem Spezialfall SAT boolsche Klauseln (OR-Ausdrücke) von max. 3 Variablen z.b. SAT auf 3SAT reduzieren ist Nachweis, dass 3SAT NPC ist. WS

34 3SAT... WS

35 3SAT... WS

36 3SAT... WS

37 3SAT... Jeder SAT-Ausdruck lässt sich mit polynomiellem Aufwand auf einen 3SAT-Ausdruck reduzieren! Damit gilt: WS

38 CLIQUE-Problem In einem Graphen ist eine Teilmenge von Knoten eine Clique, wenn je zwei Elemente aus dieser Teilmenge durch eine Kante verbunden sind. z.b. Jede Person in einer Gruppe kennt die anderen Personen in der Gruppe. WS

39 CLIQUE-Problem Suche Clique mit den meisten Personen! WS

40 Rucksack-Problem n Gegenstände unterschiedlicher Größe g i mit einem Wert w i. Gesucht: Rucksack mit Größe g max so zu füllen, dass Gesamtwert der eingepackten Gegenstände max. wird, jedoch g max nicht überschritten wird. WS

41 Rucksack... g max = 15 z.b. 5 x a, d.h. w ges = 20 c und d: w ges = 21 WS

42 Rucksack... mögliche Lösung: für alle Größen: nur Gegenstand a für alle Größen: nur Gegenstand a und b... max[k]: größter Wert für g max =k optimal[k]: letzter hinzugefügter Gegenstand Zuvor hinzugefügter Gegenstand? max[k-g[optimal[k]]] WS

43 Rucksack... Berechne max. Wert wenn nur a verwendet wird, dann wenn nur a und b verwendet wird bis K WS

44 Rucksack... WS

45 Rucksack... für ganze Zahlen: Problem proportional zu N * K????? N...Anzahl unterschiedlicher Gegenstände K...Kapazität des Rucksacks Großes K: WS

46 Hamilton-Problem Suche Weg in Graphen, sodass jeder Knoten genau einmal besucht wird. 2 Varianten Hamilton-Weg Hamilton-Kreis: am Ende des Weges ist man wieder beim Anfangsknoten WS

47 Hamilton-Graph... WS

48 Hamilton... NP-vollständig Reduktion von 3SAT auf Hamilton- Problem WS

49 Problem des Handlungsreisenden Rundreise-Problem TSP...Traveling Salesman Problem Aufgabe n Städte auf kürzestem Weg jede Stadt nur einmal besuchen Ende: Ausgangsort WS

50 TSP... Reduktion des Hamilton-Problems auf TSP möglich WS

51 TSP... kürzester Weg? alle Permutationen der Entfernungen zwischen Städten ausprobieren WS

52 TSP... exponentielles Wachstum WS

53 Lösungen? optimale Lösung nicht in polynomialer Zeit d.h. akzeptable Lösung gesucht in polynomialer Zeit aber eben nicht optimale Lösung WS

54 Approximation zu TSP... z.b. Routenplaner optimale Lösung: n! Permutationen z.b. 250 Städte: WS

55 Approximation... wähle nächstgelegene, noch nicht besuchte Stadt greedy Strategie: lokal optimal Klasse der Greedy-Algorithmen WS

56 Zusammenfassung Problemklassen NP-vollständige Probleme Approximationsalgorithmen WS

57 Quellen "Grundlagen der Informatik", Herold, Lurz, Wohlrab; Pearson Studium Das Buch zu NP-vollständigen Problemen: M. R. Garey, D. S. Johnson, Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP- Completeness. W. H. Freeman, 1979 Wikipedia... u.a. WS