Künstliche Intelligenz Logische Agenten & Resolution
|
|
- Sarah Ursler
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Künstliche Intelligenz Logische Agenten & Resolution Stephan Schwiebert WS 2009/2010 Sprachliche Informationsverarbeitung Institut für Linguistik Universität zu Köln
2 Inferenz-Algorithmus Wie könnte ein Algorithmus konstruiert werden, der die Wumpus-Welt analysieren kann (um intelligente Entscheidungen des Agenten zu ermöglichen)? Erster Ansatz: Konstruktion einer Wahrheitstabelle Mit Hilfe geeigneter Regeln lassen sich sinnvolle Aktionen für den Agenten ermitteln. Beispiel: (WumpusAhead WumpusAlive) Shoot
3 Inferenz in der Wumpus-Welt Regel: Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) Wissen: Breezy 1,1
4 Inferenz in der Wumpus-Welt Regel: Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) Wissen: Breezy 1,1 Zu zeigen: ( P 1,2 P 2,1 )
5 Inferenz in der Wumpus-Welt Regel: Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) Wissen: Breezy 1,1 Zu zeigen: ( P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) (Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 )) ((P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 )
6 Inferenz in der Wumpus-Welt Regel: Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) Wissen: Breezy 1,1 Zu zeigen: ( P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) (Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 )) ((P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 ) ((P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 ) ( Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ))
7 Inferenz in der Wumpus-Welt Regel: Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) Wissen: Breezy 1,1 Zu zeigen: ( P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) (Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 )) ((P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 ) ((P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 ) ( Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 )) aus Wissen (oben) ergibt sich (P 1,2 P 2,1 )
8 Inferenz in der Wumpus-Welt Regel: Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) Wissen: Breezy 1,1 Zu zeigen: ( P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 ) (Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 )) ((P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 ) ((P 1,2 P 2,1 ) Breezy 1,1 ) ( Breezy 1,1 (P 1,2 P 2,1 )) aus Wissen (oben) ergibt sich (P 1,2 P 2,1 ) und damit ( P 1,2 P 2,1 )
9 Inferenz-Algorithmus Wie könnte ein Algorithmus konstruiert werden, der die Wumpus-Welt analysieren kann (um intelligente Entscheidungen des Agenten zu ermöglichen)? Erster Ansatz: Konstruktion einer Wahrheitstabelle Problem 1: Sehr viele atomare Aussagen: Bei n unterschiedlichen Symbolen enthält die Tabelle 2 n Zeilen... Problem 2: Welcher Inferenz-Mechanismus wird wann benutzt?
10 Resolution
11 Resolution (Idee) Wissensbasis (Knowledge Base, KB) enthält folgendes Wissen: (L 1 L 2 ) und ( L 1 L 3 ) Welche Folgerung ergibt sich hieraus?
12 Resolution (Idee) Wissensbasis (Knowledge Base, KB) enthält folgendes Wissen: (L 1 L 2 ) und ( L 1 L 3 ) (L 2 L 3 ) wahr muss wahr sein, d.h. die Wissensbasis kann um diesen Ausdruck erweitert werden.
13 Resolution (Idee) Wissensbasis (Knowledge Base, KB) enthält folgendes Wissen: (L 1 ) und ( L 1 ) Welche Folgerung ergibt sich hieraus?
14 Resolution (Idee) Wissensbasis (Knowledge Base, KB) enthält folgendes Wissen: (L 1 ) und ( L 1 ) Die Wissensbasis kann nicht wahr sein, da sie einen Widerspruch enthält ( leere Klausel ).
15 Resolution (Allgemein) Sei (L 1... L i... L k ) (M 1... M j... M n ) eine Formel, deren Wahrheitswert wahr ist, und sei M j = L i. Aus dieser Formel lässt sich eine neue Formel erzeugen, in der die Komplemente M j und L i nicht enthalten sind: (L 1... L i-1 L i+1... L k ) (M 1... M j-1 M j+1... M n )
16 Resolution (Allgemein) (L 1... L i-1 L i+1... L k ) (M 1... M j-1 M j+1... M n ) Wenn L i wahr ist, muss M j falsch sein (war so definiert). Daraus folgt, dass (M 1... M j-1 M j+1... M n ) wahr sein muss. Wenn L i falsch ist, muss M j wahr sein. Daraus folgt, dass (L 1... L i-1 L i+1... L k ) wahr sein muss.
17 Resolutionsalgorithmus Idee: Beweis durch Widerspruchsbeweis: Statt zu zeigen, dass sich aus einer Menge von Regeln KB die Formel α ableiten lässt (KB = α), wird gezeigt, dass (KB α) nicht erfüllbar ist (und somit das Gegenteil wahr sein muss).
18 Resolutionsalgorithmus
19 Resolution: Beispiel KB = (B 1,1 (P 1,2 P 2,1 )) B 1,1 Annahme: α = P 1,2 KB KNF = ( B 1,1 P 1,2 P 2,1 ) ( P 1,2 B 1,1 ) ( P 2,1 B 1,1 )
20 Problem Lässt sich jede Formel als Konjunktion von Klauseln darstellen, wobei jede Klausel nur Disjunktionen von Literalen (sowie deren Negation) enthält?
21 Exkurs: Disjunktive Normalform Definition: Ein Satz, der als Disjunktion von Konjunktionen von Literalen ausgedrückt wird, befindet sich in der disjunktiven Normalform (DNF). Beispiel: (L 1 L 2 ) (L 1 L 3 L 7 ) (L 4 L 5 ) (L 2 L 6 ) Behauptung: Jede Formel der Aussagenlogik kann in DNF dargestellt werden.
22 Exkurs: Disjunktive Normalform Beweis: Erzeuge Wahrheitstabelle für F Jede Zeile aus F, die wahr ist, lässt sich als Term aus Konjunktionen der einzelnen Literale und deren Negation repräsentieren. Die so erzeugten Terme entsprechen der DNF von F.
23 Exkurs: Disjunktive Normalform Beispiel: F = [ (A B) C ] A B C (A B) C W w w W W w f F W f w W W f f W f w w W f w f W f f w W f f f W
24 Exkurs: Disjunktive Normalform Beispiel: F = [ (A B) C ] A B C (A B) C W w w W W w f F W f w W W f f W f w w W f w f W f f w W f f f W F = (A B C) (A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C) ( A B C) ( A B C)
25 Exkurs: Konjunktive Normalform Definition: Ein Satz, der als Konjunktion von Disjunktionen von Literalen ausgedrückt wird, befindet sich in der konjunktiven Normalform (KNF). Beispiel: (L 1 L 2 ) (L 1 L 3 L 7 ) (L 4 L 5 ) (L 2 L 6 ) Behauptung: Jede Formel der Aussagenlogik kann in KNF dargestellt werden.
26 Exkurs: Konjunktive Normalform Beweis: Erzeuge Wahrheitstabelle für F Jede Zeile aus F, die falsch ist, lässt sich als Term aus Konjunktionen der einzelnen Literale und deren Negation repräsentieren. Die so erzeugten Terme entsprechen der KNF von F.
27 Konjunktive Normalform Beispiel: F = [ (A B) C ] A B C (A B) C W w w W W w f F W f w W W f f W f w w W f w f W f f w W f f f W F = ( A B C)
28 Konjunktive Normalform Beispiel 2: F =??? A B C??? W w w W W w f F W f w F W f f W f w w W f w f F f f w W f f f W F = ( A B C) ( A B C) (A B C)
29 Normalformen Normalformen können auch ohne den Umweg über eine Wertetabelle konstruiert werden (vgl. Folien der 2. Sitzung)
30 Resolution: Fazit Sämtliches mit Aussagenlogik ausdrückbare Wissen kann in konjunktiver Normalform dargestellt werden. Der Resolutionsalgorithmus kann jede KNF-Formel überprüfen.
31 Erfüllbarkeit /Satisfiability
32 Erfüllbarkeit Die Entscheidung darüber, ob eine KNF mit 3 oder mehr Literalen pro Klausel erfüllbar ist oder nicht, ist i.d.r. nicht mit polynomiellem Zeitaufwand (sondern mit exponentiellem Zeitaufwand) berechenbar. Dieses Entscheidungsproblem wird auch als SAT (bei 3 Literalen pro Klausel 3-SAT) bezeichnet.
33 P vs NP P vs NP ist eine der klassischen Fragestellungen der Komplexitätstheorie: Ausgehend von der Frage, wie viel Zeit benötigt wird, um ein Problem der Länge n zu lösen (z.b. n Zahlen sortieren), lassen sich Probleme unterteilen in P = Menge aller Probleme, die mit einem Zeitaufwand von n k gelöst werden können. NP Menge aller Probleme, die mehr Zeit benötigen.
34 P vs NP Stephen A. Cook bewies 1971, dass sich eine Teilmenge der NP-schweren Probleme auf das Entscheidungsproblem SAT reduzieren lassen. Bis heute ungeklärt ist hingegen die Relation zwischen P und NP: Ist P eine echte Teilmenge von NP (P NP), oder gilt P = NP?
35 Fazit Unschöne Konsequenzen: SAT liegt in NP Der Resolutionsalgorithmus braucht zu viel Zeit, um in der Praxis sinnvoll eingesetzt werden zu können. Ein besserer Algorithmus setzt voraus, dass P = NP...
36 Hornklauseln
37 Hornklauseln Sind eine Teilmenge der Klauseln der KNF.
38 Hornklauseln Sind eine Teilmenge der Klauseln der KNF. Lassen sich durch effiziente Algorithmen schnell (d.h. in polynomieller Zeit) berechnen.
39 Hornklauseln Sind eine Teilmenge der Klauseln der KNF. Lassen sich durch effiziente Algorithmen schnell (d.h. in polynomieller Zeit) berechnen. Sind Basis der Entscheidungen eines Prolog- Interpreters.
40 Hornklauseln Bestehen wie Klauseln der KNF aus Disjunktionen von Literalen, jedoch gilt zusätzlich, dass eine Klausel kein positives Literal enthält (Zielklausel) ( A B C D) oder eine Klausel genau ein positives Literal enthält (definite Klausel) ( A B C D E)
41 Hornklauseln Entsprechen Implikationen: Zielklausel ( A B C) [ (A B C) false ] definite Klausel ( A B C E) [ (A B C) E ]
42 Beweis zu zeigen: ( A B C) [ (A B C) false ] A B C = A B C 0 Sie wissen bereits, dass X Y X Y d.h. X = A B C entsprechend: X = ( A B C) Anwendung de Morgan (( P Q) (P Q)) : ( A B C) 0 (A B C) 0
43 Terminologie (A B C) E Rumpf einer Klausel Kopf einer Klausel (A B C) false Fakt/Tatsache
44 Vorteile von Hornklauseln Einfach zu erzeugen, weil nur zwei (halbwegs intuitive) Typen von Klausel Einfach zu verketten Schnell (linear zur Größe der Wissensbasis) zu verarbeiten
45 Inferenzalgorithmus für Hornklauseln Idee: Aus den bekannten Fakten (Zielklauseln) und den Implikationen der Regeln (definite Klauseln) neue Fakten generieren und der Wissensbasis hinzufügen.
46 Beispiel (Vorwärtsverkettung)
47 UND-ODER-Graph
48 Algorithmus zur Vorwärtsverkettung
49 Vorwärts-Verkettung Prämissen von A P L Prämissen von A B L
50 Vorwärts-Verkettung
51 Vorwärts-Verkettung
52 Vorwärts-Verkettung
53 Vorwärts-Verkettung
54 Vorwärts-Verkettung
55 Vorwärts-Verkettung
56 Vorwärts-Verkettung
57 Rückwärts-Verkettung Idee: Ausgehend von der Frage (im Beispiel: Ist Q wahr?) den Wahrheitswert der betroffenen Regeln ermitteln.
58 Rückwärts-Verkettung
59 Rückwärts-Verkettung
60 Rückwärts-Verkettung
61 Rückwärts-Verkettung
62 Rückwärts-Verkettung
63 Rückwärts-Verkettung
64 Rückwärts-Verkettung
65 Rückwärts-Verkettung
66 Rückwärts-Verkettung
67 Rückwärts-Verkettung
68 Fazit Hornklauseln ermöglichen es, eine Teilmenge der Aussagenlogik so zu behandeln, dass Die Welt durch Wissen und Regeln (Implikationen) beschrieben werden kann Aus diesem Wissen neues Wissen generiert werden kann Fragen beantwortet werden können Die Komplexität des Inferenzalgorithmus in P liegt
69 Literatur Grafiken aus Russell/Norvig: Artificial Intelligence. A modern approach.
Künstliche Intelligenz Hornklauseln & Prolog
Künstliche Intelligenz Hornklauseln & Prolog Stephan Schwiebert WS 2007/2008 Sprachliche Informationsverarbeitung Institut für Linguistik Universität zu Köln Terminologie (A B C) E Rumpf einer Klausel
MehrLogik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 5. Aussagenlogik Normalformen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Normalformen Definition: Literal Atom (aussagenlogische
MehrÜbung 4: Aussagenlogik II
Übung 4: Aussagenlogik II Diskrete Strukturen im Wintersemester 2013/2014 Markus Kaiser 8. Januar 2014 1/10 Äquivalenzregeln Identität F true F Dominanz F true true Idempotenz F F F Doppelte Negation F
MehrTU9 Aussagenlogik. Daniela Andrade
TU9 Aussagenlogik Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 18.12.2017 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;) 2 /
MehrTU5 Aussagenlogik II
TU5 Aussagenlogik II Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 21.11.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;)
MehrErsetzbarkeitstheorem
Ersetzbarkeitstheorem Die Abgeschlossenheit läßt sich auch folgendermaßen formulieren: Ersetzbarkeitstheorem Seien F und G Formeln mit F G. SeienH und H Formeln, so daß H aus H hervorgeht, indem ein Vorkommen
Mehr7 Logische Agenten. Die Wumpus-Welt. Sensoren: Die Quadrate um den Wumpus herum stinken (Stench)
7 Logische Agenten 12.01.2007 Logische Agenten Logische Agenten / 1 Die Wumpus-Welt Sensoren: Die Quadrate um den Wumpus herum stinken (Stench) In Quadraten um eine Falltür (Pit) herum ist ein Luftzug
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 5 8.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
MehrAllgemeingültige Aussagen
Allgemeingültige Aussagen Definition 19 Eine (aussagenlogische) Formel p heißt allgemeingültig (oder auch eine Tautologie), falls p unter jeder Belegung wahr ist. Eine (aussagenlogische) Formel p heißt
MehrNormalformen boolescher Funktionen
Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 06.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax (Formeln) Semantik Wertebelegungen/Valuationen/Modelle
MehrFormale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/36 Ersetzbarkeitstheorem
MehrAufgabe. Gelten die folgenden Äquivalenzen?. 2/??
Äquivalenz Zwei Formeln F und G heißen (semantisch) äquivalent, falls für alle Belegungen A, die sowohl für F als auch für G passend sind, gilt A(F ) = A(G). Hierfür schreiben wir F G.. 1/?? Aufgabe Gelten
MehrAussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25
Aussagenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Modellierung und Beweise Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25 Einführendes Beispiel Falls Lisa Peter trifft, dann trifft Lisa auch Gregor.
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 4 07.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Gestern Normalformen Atome, Literale, Klauseln Konjunktive
MehrAussagenlogik Prädikatenlogik erster Stufe. Logik. Logik
Grundzeichen Aussagenlogik Aussagenvariablen P, Q, R,... Junktoren nicht und oder Runde Klammern (, ) Formeln Aussagenlogik Formeln sind spezielle Zeichenreihen aus Grundzeichen, und zwar 1 Jede Aussagenvariable
MehrAufgabe 13 (Markierungsalgorithmus). Gegeben ist die Formel F = (A D C) (E A) ( ( B D) E) A B (B D)
INTA - Lösungshinweise zum Übungsblatt 4, Version 1.0α. Wenn sie Fehler finden oder Ihnen etwas auch nach dem Gespräch mit ihren Kommilitonen noch unklar ist, dann schicken sie mir bitte eine Email! Aufgabe
MehrGrundlagen der Logik
Grundlagen der Logik Denken Menschen logisch? Selektionsaufgabe nach Watson (1966): Gegeben sind vier Karten von denen jede auf der einen Seite mit einem Buchstaben, auf der anderen Seite mit einer Zahl
MehrAussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen
Einführung in die Logik - 4 Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen Widerlegungsverfahren zum Aufwärmen: Bestimmung von Tautologien mittels Quick Falsification
MehrWeitere NP-vollständige Probleme
Weitere NP-vollständige Probleme Wir betrachten nun folgende Reduktionskette und weisen dadurch nach, daß alle diese Probleme NP-hart sind (sie sind auch in NP und damit NP-vollständig). SAT p 3-SAT p
MehrKapitel L:II. II. Aussagenlogik
Kapitel L:II II. Aussagenlogik Syntax der Aussagenlogik Semantik der Aussagenlogik Eigenschaften des Folgerungsbegriffs Äquivalenz Formeltransformation Normalformen Bedeutung der Folgerung Erfüllbarkeitsalgorithmen
MehrTheorie der Informatik. Theorie der Informatik. 2.1 Äquivalenzen. 2.2 Vereinfachte Schreibweise. 2.3 Normalformen. 2.
Theorie der Informatik 24. Februar 2014 2. Aussagenlogik II Theorie der Informatik 2. Aussagenlogik II 2.1 Äquivalenzen Malte Helmert Gabriele Röger 2.2 Vereinfachte Schreibweise Universität Basel 24.
MehrAussagenlogik. Formale Methoden der Informatik WiSe 2010/2011 teil 7, folie 1 (von 50)
Aussagenlogik Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie (von 5) Teil VII: Aussagenlogik. Einführung 2. Boolesche Funktionen 3. Boolesche Schaltungen Franz-Josef Radermacher & Uwe Schöning,
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 6 14.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
MehrBeispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik...
Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik... Worin besteht das Geheimnis Ihres langen Lebens? wurde ein 100-jähriger gefragt. Ich halte mich streng an die Diätregeln: Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit
MehrFormale Systeme. Das Erfu llbarkeitsproblem. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018 Das Erfu llbarkeitsproblem KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
MehrMethoden der KI in der Biomedizin Logische Agenten 2
ethoden der KI in der iomedizin ogische genten 2 Karl D. Fritscher Übersicht Wissensbasierte genten Wumpus Welt ogik allgemein ussagenlogik Syntax, Semantik Äquivalenz, llgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit
MehrLösungen zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität
Lehrstuhl für Informatik 1 WS 009/10 Prof. Dr. Berthold Vöcking 0.0.010 Alexander Skopalik Thomas Kesselheim Lösungen zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität. Zulassungsklausur Aufgabe 1: (a) Worin
MehrGrundlagen der Künstlichen Intelligenz
Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 28. Aussagenlogik: DPLL-Algorithmus Malte Helmert Universität Basel 2. Mai 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26. Grundlagen 27. Logisches
MehrDeduktion in der Aussagenlogik
Deduktion in der Aussagenlogik Menge von Ausdrücken der Aussagenlogik beschreibt einen bestimmten Sachverhalt, eine "Theorie" des Anwendungsbereiches. Was folgt logisch aus dieser Theorie? Deduktion: aus
MehrWissensrepräsentation und -verarbeitung in Logiken. bereinigt Pränex Skolem ( -Eliminierung) Klausel (Menge von Klauseln, Notation ohne Quantoren)
Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Logiken klassische Aussagenlogik klassische Prädikatenlogik: Wiederholung Syntax, Semantik Normalformen: bereinigt Pränex Skolem ( -Eliminierung)
MehrSyntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4
Syntax der Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1, 2, 3,...). Definition (Formel)
MehrGeschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen
MehrAlgorithmen für OBDD s. 1. Reduziere 2. Boole sche Operationen
Algorithmen für OBDD s 1. Reduziere 2. Boole sche Operationen 1 1. Reduziere siehe auch M.Huth und M.Ryan: Logic in Computer Science - Modelling and Reasoning about Systems, Cambridge Univ.Press, 2000
MehrTheorie der Informatik Übersicht. Theorie der Informatik SAT Graphenprobleme Routing-Probleme. 21.
Theorie der Informatik 19. Mai 2014 21. einige NP-vollständige Probleme Theorie der Informatik 21. einige NP-vollständige Probleme 21.1 Übersicht 21.2 Malte Helmert Gabriele Röger 21.3 Graphenprobleme
MehrAussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/37
Aussagenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Modellierung und Beweise Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/37 Modellierungsaufgabe Es gibt drei Tauben und zwei Löcher. Jede Taube soll in
Mehr5.1 Inferenz. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 5.1 Inferenz. 5.2 Resolutionskalkül. 5.3 Zusammenfassung. Inferenz: Motivation
Theorie der Informatik 9. März 2015 5. Aussagenlogik III Theorie der Informatik 5. Aussagenlogik III 5.1 Inferenz Malte Helmert Gabriele Röger 5.2 Resolutionskalkül Universität Basel 9. März 2015 5.3 Zusammenfassung
MehrFakultät für Informatik Universität Magdeburg Jürgen Dassow. Vorbemerkungen
Vorbemerkungen if (x > y) z = x; else z = y; Wenn es blaue Tiger regnet, dann fressen alle Kirschbäume schwarze Tomaten. q(1) = 1, q(i) = q(i 1) + 2i 1 für i 2 Welchen Wert hat q(6)? 24 ist durch 2 teilbar.
MehrTableaux-Beweise in der Aussagenlogik
Tableaux-Beweise in der Aussagenlogik Wie kann man auf syntaktische Weise eine Belegung mit Wahrheitswerten finden, die einen gegebenen Ausdruck wahr oder falsch macht? Die Frage schliesst Beweise durch
MehrDank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Reduktion. Komplexitätsklassen.
Dank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen
MehrKapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln
Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.3: Normalformen 1/ 29 Übersicht
MehrAussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen
Aussagenlogik Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagen sind Sätze, von denen sich sinnvollerweise sagen läßt, sie seien wahr oder falsch. Jede Aussage besitzt also einen von zwei möglichen Wahrheitswerten,
MehrKonjunktive Normalform
Konjunktive Normalform Eine Formel α in konjunktiver Normalform hat die Form α k 1 k 2... k r. Die Klauseln k 1,..., k r sind Disjunktionen von Literalen, also Disjunktionen von Variablen oder negierten
MehrKapitel L:II. II. Aussagenlogik
Kapitel L:II II. Aussagenlogik Syntax der Aussagenlogik Semantik der Aussagenlogik Eigenschaften des Folgerungsbegriffs Äquivalenz Formeltransformation Normalformen Bedeutung der Folgerung Erfüllbarkeitsalgorithmen
Mehr1 Aussagenlogischer Kalkül
1 Aussagenlogischer Kalkül Ein Kalkül in der Aussagenlogik soll die Wahrheit oder Algemeingültigkeit von Aussageformen allein auf syntaktischer Ebene zeigen. Die Wahrheit soll durch Umformung von Formeln
MehrTableaukalkül für Aussagenlogik
Tableaukalkül für Aussagenlogik Tableau: Test einer Formel auf Widersprüchlichkeit Fallunterscheidung baumförmig organisiert Keine Normalisierung, d.h. alle Formeln sind erlaubt Struktur der Formel wird
MehrResolutionskalkül. wird t als eine Menge K t von Klauseln geschrieben, welche die einzelnen Maxterme repräsentieren:
Resolutionskalkül Ein Kalkül ist eine Kollektion von syntaktischen Umformungsregeln, die unter gegebenen Voraussetzungen aus bereits vorhandenen Formeln neue Formeln erzeugen. Der Resolutionskalkül besteht
MehrLogische und funktionale Programmierung
Logische und funktionale Programmierung Vorlesung 2: Prädikatenkalkül erster Stufe Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 14. Oktober 2016 1/38 DIE INTERPRETATION
MehrKünstliche Intelligenz
Künstliche Intelligenz Logische Agenten Claes Neuefeind Sprachliche Informationsverarbeitung Universität zu Köln 02. November 2011 Logische Agenten Wissensbasierte Agenten Eine Modellwelt Aussagen Logik
MehrSyntax. 1 Jedes A AS AL ist eine (atomare) Formel. 2 Ist F eine Formel, so ist auch F eine Formel. 3 Sind F und G Formeln, so sind auch
Formale der Informatik 1 Kapitel 15 Folgerbarkeit, Äquivalenzen und Normalformen Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 8. Juni 2015 Syntax Definition (Syntax der Aussagenlogik) Mit AS AL sei
MehrGrundlagen der Künstlichen Intelligenz
Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 27. Aussagenlogik: Logisches Schliessen und Resolution Malte Helmert Universität Basel 28. April 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26.
MehrWas ist Logik? Was ist Logik? Logische Konnektoren. Aussagenlogik. Logik stellt Sprachen zur Darstellung von Wissen zur Verfügung
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen
Mehr3. Logik 3.1 Aussagenlogik
3. Logik 3.1 Aussagenlogik WS 06/07 mod 301 Kalkül zum logischen Schließen. Grundlagen: Aristoteles 384-322 v. Chr. Aussagen: Sätze, die prinzipiell als ahr oder falsch angesehen erden können. z. B.: Es
MehrResolutionsalgorithmus
112 Resolutionskalkül Mit dem Begriff Kalkül bezeichnet man eine Menge von syntaktischen Umformungsregeln, mit denen man semantische Eigenschaften der Eingabeformel herleiten kann. Für den Resolutionskalkül:
MehrWas ist Logik? Was ist Logik? Logische Konnektoren. Aussagenlogik. Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker Wintersemester 2007/08 Thomas Schwentick Teil A: Aussagenlogik 3. Erfüllbarkeit Version von: 23. Januar 2008(16:11) Inhalt 3.1 Grundbegriffe 3.2 Aussagenlogische Resolution 3.3 Endlichkeitssatz
Mehr3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik
3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik Wichtige Konzepte und Begriffe in Logiken: Syntax (Signatur, Term, Formel,... ): Festlegung, welche syntaktischen Gebilde als Formeln (Aussagen, Sätze,
MehrLogik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 4. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der Aussagenlogik:
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Inormatik Sebastian Ianoski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.1: Aussagenlogik FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie
MehrMathematische Grundlagen I Logik und Algebra
Logik und Algebra Dr. Tim Haga 21. Oktober 2016 1 Aussagenlogik Erste Begriffe Logische Operatoren Disjunktive und Konjunktive Normalformen Logisches Schließen Dr. Tim Haga 1 / 21 Präliminarien Letzte
MehrWas ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie
Was ist Logik? Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie man aus Aussagen andere Aussagen ableiten kann Beschränkung auf
MehrLogik für Informatiker Logic for Computer Scientists
Logik für Informatiker Logic for Computer Scientists Till Mossakowski Wintersemester 2014/15 Till Mossakowski Logik 1/ 18 Vollständigkeit der Aussagenlogik Till Mossakowski Logik 2/ 18 Objekt- und Metatheorie
MehrNormalformen der Prädikatenlogik
Normalformen der Prädikatenlogik prädikatenlogische Ausdrücke können in äquivalente Ausdrücke umgeformt werden Beispiel "X (mensch(x) Æ sterblich(x)) "X (ÿ mensch(x) sterblich(x)) "X (ÿ (mensch(x) Ÿ ÿ
MehrBeweisen mit Semantischen Tableaux
Beweisen mit Semantischen Tableaux Semantische Tableaux geben ein Beweisverfahren, mit dem ähnlich wie mit Resolution eine Formel dadurch bewiesen wird, dass ihre Negation als widersprüchlich abgeleitet
MehrComputational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution
Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Ralf Moeller Hamburg Univ. of Technology Boole'sche Algebra Äquivalenzen als "Transformationsgesetze" Ersetzbarkeitstheorem Zentrale
MehrRechnerstrukturen. Michael Engel und Peter Marwedel WS 2013/14. TU Dortmund, Fakultät für Informatik
Rechnerstrukturen Michael Engel und Peter Marwedel TU Dortmund, Fakultät für Informatik WS 2013/14 Folien a. d. Basis von Materialien von Gernot Fink und Thomas Jansen 21. Oktober 2013 1/33 1 Boolesche
MehrKapitel 1. Aussagenlogik
Kapitel 1 Aussagenlogik Einführung Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1: Aussagenlogik 1/17 Übersicht Teil I: Syntax und Semantik der Aussagenlogik (1.0) Junktoren und Wahrheitsfunktionen (1.1) Syntax
MehrI. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.
I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten
MehrKünstliche Intelligenz Softwaretechnologie: Prolog
Künstliche Intelligenz Softwaretechnologie: Prolog Stephan Schwiebert sschwieb@spinfo.uni-koeln.de Wiederholung Konzepte logische Äquivalenz Die Aussagen p und q sind genau dann äquivalent, wenn sie unter
MehrFormale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015
Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015 Teil 3: Logik 1 Aussagenlogik Einleitung Eigenschaften Äquivalenz Folgerung Normalformen 2 Prädikatenlogik Wenn eine Karte
MehrInformatik I Tutorium WS 07/08
Informatik I Tutorium WS 07/08 Vorlesung: Prof. Dr. F. Bellosa Übungsleitung: Dipl.-Inform. A. Merkel Tutorium: 2 Tutor: Jens Kehne Tutorium 7: Dienstag,. Dezember 2007 Agenda des heutigen Tutoriums Übersicht
MehrRalf Möller, TUHH. Beim vorigen Mal: Heute: Prädikatenlogik: Algorithmus für Erfüllbarkeitsproblem. Lernziele: Beweisverfahren für Prädikatenlogik
Ralf Möller, TUHH Beim vorigen Mal: Heute: Prädikatenlogik: Algorithmus für Erfüllbarkeitsproblem Lernziele: Beweisverfahren für Prädikatenlogik Danksagung Bildmaterial: S. Russell, P. Norvig, Artificial
MehrLogik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen
Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Andreas Maletti 7. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
MehrLogik. Logik. Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/ September Vorkurs Informatik - Theorie - WS2013/14
Logik Logik Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/14 30. September 2013 Logik > Logik > logische Aussagen Logik Logik > Logik > logische Aussagen Motivation Logik spielt in der Informatik eine
MehrWelche Probleme können Rechner (effizient) lösen? Die P = NP Frage. Ideen der Informatik Kurt Mehlhorn
Welche Probleme können Rechner (effizient) lösen? Die P = NP Frage Ideen der Informatik Kurt Mehlhorn Gliederung Ziele von Theorie Gibt es Probleme, die man prinzipiell nicht mit einem Rechner lösen kann?
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 5 14.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Normalformen Atome, Literale, Klauseln Konjunktive
MehrLogik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3)
Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3) Eine Aussage ist ein Satz, von dem man eindeutig entscheiden kann, ob er wahr (true, = 1) oder falsch (false, = 0) ist. Beispiele a: 1 + 1 = 2 b: Darmstadt liegt in Bayern.
MehrNP-vollständige Probleme. Michael Budahn - Theoretische Informatik 1
NP-vollständige Probleme Michael Budahn - Theoretische Informatik 1 Motivation Michael Budahn - Theoretische Informatik 2 Motivation viele praxisrelevante Probleme sind NPvollständig und eine Lösung würde
MehrKlausur zur Vorlesung Mathematische Logik
Universität Heidelberg 13. Februar 2014 Institut für Informatik Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies Dipl.-Math. Thorsten Kräling Klausur zur Vorlesung Mathematische Logik Musterlösung Aufgabe 1 (Aussagenlogik
MehrGrundbegriffe für dreiwertige Logik
Grundbegriffe für dreiwertige Logik Hans Kleine Büning Universität Paderborn 1.11.2011 1 Syntax und Semantik Die klassische Aussagenlogik mit den Wahrheitswerten falsch und wahr bezeichnen wir im weiteren
MehrEigenschaften der Resolution für PL1 Formeln
Eigenschaften der Resolution für PL1 Formeln Widerlegungsvollständigkeit (ohne Beweis): Sofern man Resolution auf eine widersprüchliche Klauselmenge anwendet, so existiert eine endliche Folge von Resolutionsschritten,
MehrInformationsverarbeitung auf Bitebene
Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta 5. November 2005 Einführung in die Informatik - Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta Grundlagen der Informationverarbeitung
MehrProblem der Resolution: Kombinatorische Explosion Ziel: Einschränkung der Möglichkeiten
2.6 Verfeinerung der Resolution Problem der Resolution: Kombinatorische Explosion Ziel: Einschränkung der Möglichkeiten Resolutions-Strategien: heuristische Regeln für die Auswahl der Resolventen Resolutions-Restriktionen:
MehrTeil 7. Grundlagen Logik
Teil 7 Grundlagen Logik Was ist Logik? etymologische Herkunft: griechisch bedeutet Wort, Rede, Lehre (s.a. Faust I ) Logik als Argumentation: Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also
MehrVorsemesterkurs Informatik
Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Mario Holldack WS2015/16 30. September 2015 Vorsemesterkurs Informatik 1 Einleitung 2 Aussagenlogik 3 Mengen Vorsemesterkurs Informatik > Einleitung
MehrGrundlagen der Programmierung
GdP2 Slide 1 Grundlagen der Programmierung Vorlesung 2 Sebastian Ianoski FH Wedel GdP2 Slide 2 Beispiel ür eine Programmveriikation Gegeben sei olgender Algorithmus: i (x>0) ((y+x) 0) then z := x y else
MehrErfüllbarkeitstests. Im folgenden: Ein sehr effizienter Erfüllbarkeitstest für eine spezielle Klasse von Formeln in KNF, sogenannte Hornformeln (vgl.
Erfüllbarkeitstests Im folgenden: Ein sehr effizienter Erfüllbarkeitstest für eine spezielle Klasse von Formeln in KNF, sogenannte Hornformeln (vgl. Grundlagen und diskrete Strukturen ) Ein für Formeln
MehrEinführung in die Logik. Sommersemester Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik
Einführung in die Logik Jiří Adámek Sommersemester 2010 14. Juli 2010 Institut für Theoretische Informatik Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung: Logische Systeme 4 I Aussagenlogik 6 2 Aussagenlogik 7 2.i Syntax
MehrLogic in a Nutshell. Christian Liguda
Logic in a Nutshell Christian Liguda Quelle: Kastens, Uwe und Büning, Hans K., Modellierung: Grundlagen und formale Methoden, 2009, Carl Hanser Verlag Übersicht Logik - Allgemein Aussagenlogik Modellierung
MehrEiniges zu Resolutionen anhand der Aufgaben 6 und 7
Einiges zu Resolutionen anhand der Aufgaben 6 und 7 Es gibt eine Fülle von verschiedenen Resolutionen. Die bis jetzt behandelten möchte ich hier noch ein Mal kurz erläutern. Ferner möchte ich noch auf
Mehrwenn es regnet ist die Straße nass.
Aussagenlogik 2 In der Aussagenlogik werden, wie der Name schon sagt, Aussagen über logische Operatoren verknüpft. Der Satz diestraßeistnass ist eine Aussage, genauso wie es regnet. Diese beiden Aussagen
MehrErfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 44 Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Def.: eine Formel ϕ heißt erfüllbar, wennesein I gibt, so dass I = ϕ
MehrÜbersicht. 9. Schließen in der Prädikatenlogik 1. Stufe
Übersicht I Künstliche Intelligenz II Problemlösen III Wissen und Schlußfolgern 6. Logisch schließende Agenten 7. Prädikatenlogik 1. Stufe 8. Entwicklung einer Wissensbasis 9. Schließen in der Prädikatenlogik
MehrDie Klassen P und NP. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 11. Die Klassen P und NP. Die Klasse P
Die Klassen Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 11 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de P := {L es gibt ein Polynom p und eine p(n)-zeitbeschränkte DTM A mit L(A) = L} = i 1 DTIME(n
MehrKapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1
Kapitel 1.0 Aussagenlogik: Einführung Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Ziele der Aussagenlogik In der Aussagenlogik analysiert man die Wahrheitswerte zusammengesetzter
MehrSudoku ist NP-vollständig
Sudoku ist NP-vollständig Seminar über Algorithmen und Komplexität Freie Universität Berlin Institut für Informatik SS 007 Sarah Will 8.07.007 Einführung Sudoku ist ein japanisches Logikrätsel und hat
MehrInformatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser
Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr fuhr@uni-duisburg.de auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1 Teil I Logik 2 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische
MehrKapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln. Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.3: Normalformen 1 / 1
Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.3: Normalformen 1 / 1 Boolesche Formeln, Literale und Klauseln Eine Boolesche Formel ist eine aussagenlogische
MehrWas bisher geschah. Aufgaben: Diagnose, Entscheidungsunterstützung Aufbau Komponenten und Funktion
Was bisher geschah Daten, Information, Wissen explizites und implizites Wissen Wissensrepräsentation und -verarbeitung: Wissensbasis Kontextwissen Problemdarstellung fallspezifisches Wissen repräsentiert
MehrKünstliche Intelligenz Einführung in Prolog
Künstliche Intelligenz Einführung in Prolog Stephan Schwiebert WS 2009/20010 Sprachliche Informationsverarbeitung Institut für Linguistik Universität zu Köln Was ist Programmieren? Was ist Programmieren?
Mehr