Übersicht. 9. Schließen in der Prädikatenlogik 1. Stufe

Transkript

1 Übersicht I Künstliche Intelligenz II Problemlösen III Wissen und Schlußfolgern 6. Logisch schließende Agenten 7. Prädikatenlogik 1. Stufe 8. Entwicklung einer Wissensbasis 9. Schließen in der Prädikatenlogik 1. Stufe 10. Logische Inferenzsysteme IV Logisch Handeln V Unsicheres Wissen und Schließen VI Lernen VII Kommunizieren, Wahrnehmen und Handeln

2 Substitution quantifizierter Variablen Ersatz quantifizierter Variablen durch Substitution: Sei die Substitution θ eine Liste von Paaren {Variable x,term x } Dann bedeutet: Subst (θ, Satz), Ersetze in Satz jedes Vorkommen von Variable x durch Term x. z.b.: Subst ({x/sam, y/pam}, Likes (x, y)) = Likes (Sam, Pam) 3 Neue Inferenzregeln (zusätzlich zu den Inferenzregeln für Aussagenlogik) zur Anwendung der Substitution erforderlich.

3 3neueInferenzregeln für Quantoren

4 Beispiel-Beweis: (1) Axiome

5 Beispiel-Beweis: (2) Beweis-Schritte

6 Probleme mit naiven Inferenzregeln Lange Inferenzketten (im Beispiel 14 Schritte) Hoher Verzweigungsfaktor: - Verzweigungsfaktor steigt mit Größe der Wissensbasis - Jede allquantifizierte Variable kann durch jeden Grundterm der Wissensbasis ersetzt werden. Umständliches typisches Vorgehen: (1) Kombiniere atomare Sätze, (2) Ersetze Variablen durch geeignete Konstanten (3) Verwende Modus Ponens.

7 Verbesserungsidee (1): Kombiniere mehrere "zusammengehörige" Inferenzregeln zu einer mächtigeren Regel ("Makro-Operator"), insbesondere Modus Ponens, Ersatz allquantifizierter Variablen und Verküpfung atomare Sätze. Bsp.: aus (1) Missile (M1) (2) Owns (Nono, M1) (3) x Missile (x) Owns (Nono, x) Sells (West, Nono, x) folgt (4) Sells (West, Nono, M1). Die gleiche Schlußfolgernung sollte auch möglich sein, wenn man statt Owns (Nono M1) y Owns (y M1) wüßte. Dann wäre die Substitution {x/m1, y/nono} Zusammenfassung zu generalisiertem Modus Ponens

8 Generalisierter Modus Ponens Für atomare Sätze p i,p i ' und q mit einer Substitution θ der Art i Subst (θ,p i ') = Subst (θ, p i ) gilt: p 1 ', p 2 ',...,p n ', (p 1 p 2... p n q) Subst (θ, q) Vorteile des generalisierten Modus Ponens: 1. Kombination mehrerer Inferenzen in einem Schritt, 2. Gezielte Benutzung von Substitutionen durch Unifikation. Die Unifikationsprozedur berechnet aus zwei Sätzen eine Substitution, die beide Sätze gleichmacht, wenn es eine gibt: Unify (p, q) = θ, wobei Subst (θ, p) = Subst (θ, q) 3. Kanonische Form von Sätzen: Jeder Satz ist entweder atomar oder eine Implikation mit einer Konjunktion von atomaren Sätzen auf der linken Seite und einem atomaren Satz auf der rechten Seite (Hornsätze oder Hornklauseln).

9 Beispiel-Beweis mit generalisiertem Modus Ponens

10 Vorwärts- und Rückwärtsverkettung Der generalisierte Modus Ponens kann in zwei Richtungen benutzt werden: 1. Forwärtsverkettung (datengesteuertes Schließen): Schließe aus den Sätzen der Wissensbasis alles, was daraus geschlossen werden kann 2. Rückwärtsverkettung (zielgesteuertes Schließen): Wenn ein bestimmtes Ziel erreicht werden soll, suche Implikationen mit dem Ziel auf der rechten Seite, und versuche Sätze der linken Seite zu erfüllen, indem sie als Unterziele betrachtet werden (sofern erforderlich).

11 Vorwärtsverkettung

12 Beispiel-Beweis mit Vorwärtsverkettung (1)

13 Beispiel-Beweis mit Vorwärtsverkettung (2)

14 Rückwärtsverkettung

15 Beispiel-Beweis mit Rückwärtsverkettung

16 Beispiel für Unvollständigkeit von generalisiertem Modus Ponens

17 Vollständigkeit Die Hornlogik ist unvollständig, da nicht alle Sätze in Hornklauseln umgewandelt werden können. Gödel (1930, 1931) hatte jedoch gezeigt, daß die Prädikatenlogik 1. Stufe vollständig ist. Robinson (1965) zeigte mit dem Resolutionskalkül eine vollständige Beweisprozedur für die Prädikatenlogik 1. Stufe. Der Resolutionskalkül ist jedoch unentscheidbar, und daher auch die Frage nach der Konsistenz einer Menge von Sätzen.

18 Resolutionskalkül Grundidee: Standardnotation mit Klauseln (Konjunktive Normalform) bzw. Implikationen (implikative Normalform). Nur eine Inferenzregel: Resolutionsregel. Widerspruchsbeweis (z.b. zum Beweis von P P) Umwandlung prädikatenlogischer Formeln in Standardnotation. Problem: Behandlung von Gleichheit: P(A) und P(B) können nicht unifiziert werden, selbst wenn A=B bekannt ist. Lösungen: Axiomatisierung von Gleichheit oder Neue Inferenzregel: Demodulation bzw. Paramodulation Resolutionsstrategien: Ziel: Verkleinerung des Suchbaumes, indem einer der beiden Sätze, die resolviert werden, wie folgt ausgewählt wird: Unit Preference: Nur Sätze mit einem Literal Set of Support: Nur Sätze aus Anfrage und deren Resolventen Input Resolution: Nur Sätze aus Wissensbasis und Anfrage Linear Resolution: Verallgemeinerung der Input Resolution (Subsumption: Eliminiere Sätze, die von anderen subsumiert sind)

19 2 Varianten der Resolutionsregel

20 Vergleich konjunktiver und implikativer Normalform

21 Beweis mit Resolutionsregel in implikativer Normalform

22 Widerspruchsbeweis mit Resolutionsregel

23 Konvertierung prädikatenlogischer Ausdrücke in konjunktiver bzw. implikativer Normalform (1)

24 Konvertierung prädikatenlogischer Ausdrücke in konjunktiver bzw. implikativer Normalform (2)

25 Konvertierung prädikatenlogischer Ausdrücke in konjunktiver bzw. implikativer Normalform (3)

26 Beispiel-Widerspruchsbeweis mit Resolutionskalkül (1)

27 Beispiel-Widerspruchsbeweis mit Resolutionskalkül (2)

28 Behandlung von Gleichheit im Resolutionskalkül

29 Beweisidee für Vollständigkeit für Resolutionskalkül