Prädikatenlogik: Syntax

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1 Prädikatenlogik: Syntax Signatur : Welche Zeichen gibt es? Funktionssymbole Prädikatensymbol (Eigenschaften) Terme: Variablen f(t 1,... t n ) wenn t i Terme und f Funktionssymbol Formeln: P (t 1,... t n ) wenn t i Terme und P Prädikatensymbol (Atom) ( F ), (F G), (F G), (F G), (F G) ( x : F ) ( x : F ) KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

2 Beispiele ( x : ( y : R(x, y))) ( x : ( y : ( z : ((R(x, y) R(x, y)) R(x, z))))) vereinfachte Schreibweise: x, y, z : R(x, y) R(x, y) R(x, z) x, y, z, sind Variablen; R ist ein Prädikatensymbol KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

3 Definitionen Atom: P (t 1,... t n ) Literal: Ein Atom oder ein negiertes Atom Grundterm: Ein Term t ohne Variablen Grundatom: Ein Atom ohne Variablen geschlossene Formel: ohne freie Variablen Klausel: x 1, x 2,... : F F Disjunktion von Literalen und {x 1, x 2,...} = FV (F ) KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

4 Interpretationen Interpretationen I sind analog wie in der Aussagenlogik Es wird durch I noch zusätzlich festgelegt: Menge D der möglichen Elemente Für Prädikatensymbole P : I(R): D... D Bool Für Funktionssymbole f: I(f): D... D D KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

5 Interpretationen: Berechnung H = f(t 1,... t n ) dann I ( f(t 1,... t n ) ) = I(f) ( I(t 1 ),..., I(t n ) ) H = P (t 1,... t n ) dann I ( P (t 1,... t n ) ) = I(P ) ( I(t 1 ),..., I(t n ) ) H = 0 dann I(H) = 0 H = 1 dann I(H) = 1 H = F dann I(H) = 1 falls I(F ) = 0 H = F G dann I(H) = 1 falls I(F ) = 1 oder I(G) = 1 H = F G, dann I(H) = 1 falls I(F ) = 1 und I(G) = 1 H = F G dann I(H) = 1 falls I(F ) = 0 oder I(G) = 1 H = F G dann I(H) = 1 falls I(F ) = 1 gdw. I(G) = 1 H = x : F dann I(H) = 1 falls für alle a D : I[a/x](F ) = 1 H = x : F dann I(H) = 1 falls für ein a D : I[a/x](F ) = 1 KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

6 Modelle, Tautologien, Widerspruch etc. I = F : I macht F wahr Eine (geschlossene) Formel F heißt: allgemeingültig (Tautologie, Satz) gdw. alle I machen F wahr erfüllbar gdw. ein I macht F wahr unerfüllbar (widersprüchlich) gdw. kein I macht F wahr falsifizierbar gdw. ein I macht F falsch F ist allgemeingültig gdw. F unerfüllbar KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

7 Beispiele allgemeingültig: x.q(x) Q(x) unerfüllbar: P P erfüllbar, falsifizierbar: x.p (x) KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

8 Semantische Folgerung F = G gdw. für alle I: I = F impliziert I = G Für mehrere Formeln: F 1,..., F n = G gdw. F 1... F n = G Für Mengen von Formeln: F = G gdw. für alle I: wenn für alle F F: I = F, dann I = G KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

9 Deduktionstheorem Deduktionstheorem: Für alle Formeln F und G gilt: F = G gdw. F G ist Tautologie Folgerung: F = G gdw. (F G) ist unerfüllbar (widersprüchlich) gdw. F G ist unerfüllbar. KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

10 Komplexität Es ist unentscheidbar, ob eine geschlossene Formel eine Tautologie ist (Halteproblem für Turingmaschinen) Tautologien der Prädikatenlogik sind rekursiv aufzählbar praktische Konsequenz: Deduktionssystem: Wenn F Tautologie: Wenn F keine Tautologie: dann Antwort JA in endlicher Zeit Antwort NEIN oder Nichtterminierung KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

11 Klauselnormalformen Klauselnormalform (conjunctive normal form, CNF) Klausel-Menge: Klausel: K 1... K n Disjunktion von Literalen mit All-Quantor-Präfix: x 1,..., x m.l 1... L n KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

12 Elementare Rechenregeln Regeln der Aussagenlogik gelten auch für prädikatenlogische Formeln. Regeln für Quantoren: x : F x : F x : F x : F ( x : F ) G x : (F G) falls x nicht frei in G ( x : F ) G x : (F G) falls x nicht frei in G ( x : F ) G x : (F G) falls x nicht frei in G ( x : F ) G x : (F G) falls x nicht frei in G x : F x : G x : (F G) x : F x : G x : (F G) KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

13 Transformation in CNF Unter Erhaltung der Unerfüllbarkeit 1: Elimination von und : F G F G G F F G F G 2. Negation ganz nach innen schieben: F F (F G) F G (F G) F G x : F x : F x : F x : F KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

14 Transformation in CNF 3. Skopus von Quantoren minimieren: x : (F G) ( x : F ) G falls x nicht frei in G x : (F G) ( x : F ) G falls x nicht frei in G x : (F G) ( x : F ) G falls x nicht frei in G x : (F G) ( x : F ) G falls x nicht frei in G x : (F G) x : F x : G x : (F G) x : F x : G 4. Alle gebundenen Variablen umbenennen. KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

15 Transformation in CNF 5. eliminieren mittels Skolemisierung von außen nach innen. x : F [x] F [g(y 1,..., y n )] wobei y i die Variablen sind, die weiter außen unter einem Allquantor stehen. g neues Funktionssymbol pro Existenzquantor ein neues Funktionssymbol KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

16 Transformation in CNF 6. Allquantoren nach außen schieben 7. Distributivität, Assoziativität, Kommutativität von, iterativ (mit richtiger Strategie) anwenden, um nach außen zu schieben ( Ausmultiplikation ). F (G H) (F G) (F H) (Oder: Schnelle CNF-Erzeugung) KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

17 Resultat: CNF Konjunktion von Disjunktionen (Klauseln) von Literalen: (L 1,1... L 1,n1 ) (L 2,1... L 2,n2 )... (L k,1... L 1,nk ) oder in Mengenschreibweise: {{L 1,1,..., L 1,n1 }, {L 2,1,..., L 2,n2 },... {L k,1,..., L 1,nk }} KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

18 Beispiel Eingabe Impl.Elim. Neg. Elim. Skolemisieren: Distrib.: y : x : P (x) Q(y) y : x : ( P (x) Q(y)) ( Q(y) P (x)) y : x : (P (x) Q(y)) (Q(y) P (x)) y : (P (f(y)) Q(y)) (Q(y) P (f(y))) y : (P (f(y)) Q(y)) (P (f(y)) P (f(y))) ( Q(y) Q(y)) ( Q(y) P (f(y))) Klausel-Erz.+ Umbenennen: ( y 1 : P (f(y 1 )) Q(y 1 )) ( y 2 : P (f(y 2 )) P (f(y 2 ))) ( y 3 : Q(y 3 ) Q(y 3 )) ( y 4 : Q(y 4 ) P (f(y 4 ))) KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

19 Grundresolution Resolutionsschritt ist analog zur Resolution in Aussagenlogik: Elternklausel 1: Elternklausel 2: Resolvente: L, A 1,..., A m L, B 1,..., B n A 1,..., A m, B 1,..., B n Das Resolutionsverfahren vervollständigt Klauselmengen (analog zur Aussagenlogik) Erfolg, wenn leere Klausel erzeugt wurde. Stopp, wenn keine neuen Klauseln erzeugbar sind: Erfüllbar KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

20 Grundresolution: Vollständigkeit Satz Jede unerfüllbare Grundklauselmenge ist mit Grundresolution widerlegbar. = Grundresolution ist ein Entscheidungsverfahren für Grundklauselmengen. Das folgt direkt aus den Sätzen zur Aussagenlogik. KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

21 Allgemeine Resolution (Prädikatenlogik) Man braucht: komplementär machen. P (x) P (y) und x y ist eine passende Substitution KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

22 Resolution mit Unifikation Elternklausel 1: L, A 1,..., A m σ ist Substitution Elternklausel 2: L, B 1,..., B n mit σ(l) = σ(l ) Resolvente: σ(a 1,..., A m, B 1,..., B n ) KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

23 Beispiel: modus ponens Historisches Beispiel: Alle Menschen sind sterblich, Sokrates ist ein Mensch, also ist Sokrates sterblich. M(So) ( y : (M(y) S(y))) S(So) Klauselmenge zur Negation: (M(So) (M(y) S(y)) S(So)) {M(So)} { M(y) S(y)} { S(So)} 1. Resolvente: {S(So)} aus {M(So)} und { M(y) S(y)} mit Substitution y So 2. Resolvente: aus {S(So)} und { S(So)} KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

24 Extra Regel: Faktorisierung Elternklausel: L, L, K 1,..., K m σ(l) = σ(l ) Faktor: σ(l, K 1,..., K m ) z.b. {P (x) P (y)} hat {P (y)} als Faktor mit Substitution x y. KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

25 Resolutionskalkül Der Resolutionskalkül transformiert Klauselmengen S wie folgt: 1. S S {R}, wobei R eine Resolvente 2. S S {F }, wobei F ein Faktor Diese Transformationen werden iteriert (nicht-deterministisch) Der Resolutionskalkül terminiert mit Erfolg, wenn S. Antwort: die Eingabe ist widersprüchlich KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

26 Beispiel: (Variante des Russelschen Widerspruchs) das Beispiel zeigt auch, dass Faktorisierung notwendig ist. Der Friseur rasiert alle, die sich nicht selbst rasieren x : (rasiert(x, x)) rasiert(friseur, x) Klauselmenge: 1. {rasiert(x, x), rasiert(friseur, x)}, 2. { rasiert(friseur, y), rasiert(y, y)} KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

27 Beispiel: Friseur Widerlegung Faktorisierung von {rasiert(x, x), rasiert(friseur, x)} mit ergibt {x Friseur} rasiert(friseur, Friseur) Faktorisierung von { rasiert(friseur, y), rasiert(y, y)} mit ergibt : {y Friseur} rasiert(friseur, Friseur) Resolution ergibt leere Klausel Ohne Faktorisierung ist in diesem Beispiel keine Resolutions-Widerlegung möglich. KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

28 Beispiel: Resolution Beweis der Transitivität der Teilmengenrelation mit Resolution Axiom: Theorem: x, y : x y w : w x w y x, y, z : x y y z x z Klauselform von Axiom Theorem: H1: x y, w x, w y ( Teil der Definition) H2: x y, f(x, y) x (zwei Teile der Definition, H3: x y, f(x, y) y f ist die Skolem Funktion für w) C1: a b (drei Teile der negierten Behauptung, C2: b c a, b, c sind Skolem Konstanten für x, y, z) C3: a c KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

29 Beispiel: Resolutionswiderlegung H1: x y, w x, w y H2: x y, f(x, y) x H3: x y, f(x, y) y C1: a b C2: b c C3: a c H1,1 & C1, {x a, y b} R1: w a, w b H1,1 & C2, {x b, y c} R2: w b, w c H2,2 & R1,1, {x a, w f(a, y)} R3: a y, f(a, y) b H3,2 & R2,2, {y c, w f(x, c)} R4: x c, f(x, c) b R3,2 & R4,2, {x a, y c} R5: a c, a c R5 & (Faktorisierung) R6: a c R6 & C3 R7: KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

30 Unifikation Resolutions- und Faktorisierungsregel verwenden Substitutionen, die zwei Atome syntaktisch gleich machen. Diese Substitutionen nennt man Unifikatoren Gesucht: allgemeinste Unifikatoren Beispiele: Unifikator und allgemeinster Unifikator P (x), Q(x) P (y), R(y) σ = {x a, y a} Q(a), R(a) σ ist Unifikator P (x), Q(x) P (y), R(y) σ = {x y} Q(y), R(y) σ ist allgemeinster Unifikator KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

31 Beispiel zur Unifikation P (x, y, f(z, x) = P (a, f(z, a), y) P x y f z x? = a P f z a y KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

32 Beispiel zur Unifikation P (x, y, f(z, x) = P (a, f(z, a), y) P x y f z x? = a P f z a y a P f f z a z a? = a P f f z a z a x = a y = f(z, a) KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

33 Unifikationsalgorithmus: Eingabe: zwei Terme oder Atome s und t: Ausgabe: nicht unifizierbar oder einen allgemeinsten Unifikator: Zustände: Menge Γ von Gleichungen s? = t. Initialzustand: Γ 0 = {s? = t}. KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

34 Unifikationsregeln: f(s 1,..., s n )? = f(t 1,..., t n ), Γ s 1? = t1,..., s n? = tn, Γ (Dekomposition) x =? x, Γ Γ x =? t, Γ x =? t, {x t}γ (Tautologie) x F V (Γ), x F V (t) (Anwendung) t? = x, Γ x? = t, Γ t V (Orientierung) KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

35 Abbruchbedingungen: f(...) =? g(...), Γ F ail x =? t, Γ F ail wenn f g (Clash) wenn x F V (t) und t x (occurs check Fehler) KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

36 Beispiel {k(f(x, g(a, y)), g(x, h(y))? = k(f(h(y), g(y, a)), g(z, z))} x f k g g x h a y y? = f k g h g z z y y a KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

37 Theoretische Eigenschaften: Unifikation Satz Der Unifikationsalgorithmus terminiert, ist korrekt und vollständig. Er gibt genau einen allgemeinsten Unifikator aus, falls er nicht abbricht. Der Unifikator ist eindeutig bis auf Variablenumbenennung Der Algorithmus kann so implementiert werden, dass er in polynomieller Zeit terminiert, es ist auch O(n log(n)) möglich. Folgerung: Der Unifikationsalgorithmus ist ausreichend zur Entscheidung der Unerfüllbarkeit einer Menge von 1-Klauseln KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

38 Vollständigkeit der Resolution Begriffe: σ(c) ist Grundinstanz einer Klausel C, wenn keine Variablen mehr in σ(c) vorkommen. Satz (Gödel-Herbrand-Skolem Theorem) Zu jeder unerfüllbare Menge C von Klauseln gibt es eine endliche unerfüllbare Menge von Grundinstanzen von C. KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

39 Vollständigkeit der Resolution Satz Die Resolution mit Unifikation und Faktorisierung ist vollständig. Zum Beweis benötigt man: den Satz von Gödel-Herbrand-Skolem, die Vollständigkeit der Grundresolution Ein Lemma zum Lifting Zusammenhang zwischen allgemeinen Resolutionsschritten und Grundresolutionsschritten. Hier erkennt man: die Faktorisierung ist erforderlich KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

40 Redundanz-Elimination bei Resolution : Löschregeln: Subsumtion, Tautologie und Isoliertheit Es gibt folgende Situationen im Resolutionsbeweiser: Tautologien {P, P,...} Subsumierte Klausel {P (x), Q} ist allgemeiner als {P (a), Q} auch allgemeiner als {P (y), Q, R} Isoliert Literale {P (x, f(x), } und nur { P (s, s),...} kommt vor KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

41 Isolierte Literale Sei L ein Literal in der Klausel D, die in der Klauselmenge M ist. L heißt isoliert, wenn kein L in M vorkommt, so dass L und L verschiedenes Vorzeichen haben und L und L unifizierbar sind. Der Isoliertheitstest kann in Zeit O(n 3 log(n)) durchgeführt werden. Löschregel für isolierte Literale: Lösche Klauseln aus einer Klauselmenge, wenn diese isolierte Literale enthalten. KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

42 Subsumtion Die Klausel D subsumiert die Klausel E, wenn es eine Substitution σ gibt, so dass σ(d) E Löschregel für subsumierte Klauseln: Wenn Klausel D die Klausel E subsumiert und E hat nicht weniger Literale als D, dann lösche die Klausel E KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

43 Subsumtion: Beispiele {P (x)} subsumiert {P (a), P (b), Q(y)}. P subsumiert {P, S}. {Q(x), R(x)} subsumiert {R(a), S, Q(a)} {E(a, x), E(x, a)} subsumiert {E(a, a)} D.h eine Klausel subsumiert einen ihren Faktoren. In diesem Fall wird nicht gelöscht. Vorsicht { P (x), P (f(x))} impliziert { P (x), P (f(f(x))}, aber subsumiert nicht. KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

44 Subsumtion: Komplexität Der Test, ob eine Klausel C eine andere subsumiert ist N P-vollständig. Die Komplexität kommt von den Permutationsmöglichkeiten der Literale beim Subsumtionstest. KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

45 Subsumtion: Vorwärts- und Rückwärtsanwendung Vorwärtsanwendung: Lösche Resolventen / Faktoren, die von Klauseln aus der Klauselmenge subsumiert werden. Wichtige Löschregel in resolutionsbasierten Deduktionssystemen Rückwärtsanwendung Verwende neueste Resolvente zum Löschen von vorhandenen Klauseln nicht immer implementiert: kann ineffizient sein KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

46 Tautologie-Löschung Eine Klausel D ist eine Tautologie, wenn D unter allen Interpretationen wahr ist. Syntaktische Erkennung: D ist Tautologie, wenn zwei komplementäre Literale L, L in D enthalten sind Dieser Test ist in Zeit O(n 3 ) durchführbar. Löschregel: tautologische Klauseln kann man löschen. KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

47 Tautologielöschung: Beispiele {P a, P a}, {Qa, P (f(x)), P (f(x), Qb} {P x, P x}. Keine Tautologien: {P x, P f(y)} { P (x, y), P (y, x)}. KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

48 Widerlegungsvollständigkeit Satz Der Resolutionskalkül zusammen mit [ Löschung subsumierter Klauseln, Löschung von Klauseln mit isolierten Literalen Löschung von Tautologien ist widerlegungsvollständig. KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

49 Einige Weitere Einschränkung der Resolution Set-of-Support UR-Resolution Unit-Resolution Input-Resolution Lineare-Resolution SL-Resolution SL-Resolution für Hornklauseln KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

50 Lineare Resolution Definition Initial: Iterationsschritt: Klauselmenge; eine Klausel wird als Zentralklausel Z 0 ausgewählt. aktuelle Zentralklausel + andere Klausel ergibt neue Zentralklausel. Z i + andere Klausel Z i+1 Faktorisierung ist ebenfalls erlaubt Eigenschaft: Lineare Resolution ist widerlegungsvollständig KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

51 Lineare Resolution, Beispiel Klauselmenge {P, Q}, { P, Q}, {P, Q}, { P, Q} ist unerfüllbar: lineare Resolution allgemeine Resolution Vorgänger- Schritt P, Q P Q P Q, P P, Q P, Q P, Q P Q, P P, Q Q, P P KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

52 Lineare Resolution, Beispiel Faktorisierung ist notwendig: {{P (x), P (y)}, { P (x), P (y)}}. In diesem Beispiel: Lineare Resolution ohne Faktorisierung ergibt immer eine Zentralklausel der Länge zwei, KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

53 Hornklauselmengen Definitionen positives Literal := Atom ; Literal ohne Negation negatives Literal := negiertes Atom Hornklausel := Klausel mit maximal einem positiven Literal. definite Hornklausel := Klausel mit genau einem positiven Literal. negative Hornklausel, Anfrage := Klausel ohne positive Literale. Hornklauselmenge := Klauselmenge nur aus Hornklauseln KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

54 Hornklauselmengen Eigenschaften: definite Hornklauseln kann man schreiben als L 1... L n L n+1 Klauseln ohne positive Literale sind Hornklauseln Eine unerfüllbare Hornklauselmenge enthält mindestens eine positive Unitklausel. und mindestens eine negative Hornklausel Unerfüllbare Hornklauselmengen sind widerlegbar mittels Unit-Resolution. KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

55 SL-Resolution SL-Resolution = Lineare Resolution plus Selektionsfunktion D.h. Beschränkung der (für die Resolution) erlaubten Literale Wir betrachten ab jetzt: SL-Resolution für Hornklauselmengen Annahme: Hornklauseln haben Reihenfolge der negativen Literale: KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

56 SL-Resolution für Hornklauselmengen Vorgehen der linearen Resolution: Menge von initialen (definiten) Horn Klauseln Anfrage = initiale Zielklausel (nur negative Literale) Weitere Zielklausel (auch rein negativ) = Resolvente aus Zielklausel und einer initialen Klausel Selektionsfunktion: Das letzte Literal wird zuerst wegresolviert Beispiel: Zielklausel P, Q, R initiale (passende Klausel): P, A, B, C Resolvente (neues Ziel): nega, B, C, Q, R, KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

57 SL-Resolution für Hornklauselmengen: Eigenschaften Widerlegungsvollständig für Hornklauseln, auch ohne Faktorisierung Es gibt immer eine Gesamtsubstitution in die Anfrage, wenn ein Widerspruch gefunden wird Die Gesamtsubstitution in die Anfrage bei Erfolg kann man als Antwort deuten. KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011

58 Beispiel SL-Resolution SL-Resolution mit Horn Klauseln Prolog-Reihenfolge: Klausel Notation: C1: A(x, y) P (x, y) A(x, y) P (x, y) C2: A(x, z) P (x, y) A(y, z) A(x, z) P (x, y) A(y, z) C3: P (a, b) C4: P (b, c) C5: P (c, d) Theorem: v : A(a, v) P (v, d)? Negiertes Theorem: A(a, v) P (v, d) KI, SS 11, Folien Pr.Logik Seite Mai 2011