Resolution für die Aussagenlogik

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1 Resolution für die Aussagenlogik Der Resolutionskakül ist ein Beweiskalkül, der auf Klauselmengen, d.h. Formeln in KNF arbeitet und nur eine Schlußregel besitzt. Der Resolution liegt die folgende Vorstellung zu Grunde:. Wir bearbeiten nur Formeln in KNF. 2. Aus zwei Klauseln (α L) und (β L) kann eine neue Klausel (α β) erzeugt werden. Dies ist die einzige Schlußregel der Resolutionskalküls. 3. Wir versuchen, die leere Klausel zu erzeugen. Dies gelingt genau dann, wenn die Ausgangsformel widerspruchsvoll ist, Definition: (Resolutionsregel) Sei α eine Klausel mit einem Literal L und β eine Klausel mit dem Literal L, dann ist die Resolution auf die beiden Klauseln anwendbar. Wir sagen, α und β können über L (bzw. L) resolviert werden. Ausgehend von den Klauseln α und β wird so eine neue Klausel (α\{l}) (β\{ L}) erzeugt, die wir als Resolvente bezeichnen. α und β sind die Elternklauseln der Resolvente. Das Schema α β (α\{l}) (β\{ L}) (Res) bezeichnen wir als die Resolutionsregel. Durch die Anwendung der Resolutionsregel werden also alle Vorkommen des Literals L aus α und alle Vorkommen des Literals L aus β entfernt, bevor die Resolvente als Vereinigung der Restklauseln gebildet wird. Enthält die Resolvente also ein Literal L, so muß dieses bereits in α oder β enthalten sein. Für einen Resolutionsschritt α L, L β (Res) schreiben wir auch α β α L, L β α β. Graphisch stellen wir die Anwendung der Resolutionsoperation als Baum dar:

2 Die leere Klausel wird von jeder Bewertung als falsch interpretiert! Beispiele: a) Sei α 0 = {(A B C D), ( A B C D)}. Figure : Resolutionsherleitung aus α 0 b) Sei α = {(A B), ( B C), ( C D)}. Figure 2: Resolutionsherleitung aus α c) Sei α 2 = {(A B), ( A B), (A B), ( A B)}. Figure 3: Resolutionsherleitung aus α 2 2

3 d) Sei α 3 = {( A B C), (A D), (B C), (C F ), F }. Figure 4: Resolutionsherleitung aus α 3 Definition: (Herleitung) Sei α = {α,..., α n } eine Formel in KNF und π eine Klausel. Eine Folge π,..., π k ist eine Herleitung der Klausel π aus α, wenn π = π k gilt und für alle j mit j k Klauseln σ, τ α {π,..., π j } existieren mit σ, τ π j. Wir sagen, π ist (mit der Resolution) herleitbar aus α, in Zeichen α π. Die Klauseln aus α bezeichnen wir als Ausgangs- oder Input-Klauseln. Die Länge der Herleitung π,..., π k ist k. Die Klauseln der Ausgangsformel fassen wir ebenfalls als herleitbar auf; die Länge mit Resolutionsherleitung ist hierfür 0. Wir verwenden für α = {α,..., α n } KNF mit Klauseln α i und α j und α i, α j δ die Schreibweise α,..., α n δ oder auch α δ. Für die Herleitungen α L und α L 2 schreiben wir kurz α L, L 2. Für β = {β,..., β m } mit α β j für alle j m schreiben wir α β. Satz: Es gilt:. Der Resolutionskalkül ist korrekt. Sei α KNF, dann gilt für alle Klauseln π: α π α = π 3

4 2. Der Resolutionskalkül ist nicht vollständig. Es gibt Formeln α KNF und Klauseln π, so dass gilt: α = π und nicht α π 3. Der Resolutionskalkül ist widerlegungsvollständig. Sei α KNF, dann gilt: α widerspruchsvoll α Beweis: Ad: Für Klauseln α und α 2 folgt aus α, α 2 δ sofort α, α 2 = δ. Die allgemeine Behauptung erhält man durch eine Induktion über die Anzahl der Resolutionsschritte für α δ. Ad2: Sei α = A und π = A B, dann gilt α = π, aber π läßt sich aus α nicht mit Hilfe der Resolution herleiten. Ad3: Um die Widerlegungsvollständigkeit der Resolution (oder von Restriktionen der Resolution) zu zeigen, empfiehlt sich ein induktiver Beweis. Typische Parameter für die Induktion sind die Länge der Formel, die Anzahl der Atome oder die Anzahl der Klauseln. Da widerspruchsvolle Formeln vorausgesetzt sind, ist der Induktionsanfang meist einfach zu zeigen. Hier zeigen wir durch Induktion über die Länge widerspruchsvoller Formeln, dass die leere Klausel herleitbar ist. Die kürzeste widerspruchsvolle Formel besteht aus zwei Unit-Klauseln α = {(A), ( A)}. Es gilt A, A. Sei nun α mit der Länge n + gegeben, Da nach Voraussetzung α widerspruchsvoll ist, gibt es eine Atom A, welches in α sowohl positiv als auch negativ vorkommt. Wir zerlegen nun α in die Formel α[a/] und α[ A/]. Für eine aussagenlogische Formel α und ein Atom A definieren wir die Abbildungen α[a/] (bzw. α[a/0]) als Ergebnis des folgenden Ersetzungsprozesses:. Ersetze in α jedes Vorkommen von A durch. 2. Tritt nun eine Teilformel auf, ersetze sie durch 0, eine Teilformel 0 ersetze durch. Teilformeln β sowie β 0 werden durch β ersetzt. Teilformeln β werden durch und Teilformeln β 0 werden durch 0 ersetzt. 3. Schritt 2 wird so lange durchgeführt, bis keine weitere Ersetzung möglich ist. 4

5 α[a/] und α[ A/] sind nicht erfüllbar, da α widerspruchsvoll ist. Nehmen wir an, dass sowohl α[a/] als auch α[ A/] nicht den Wert 0 ergeben. Da α[a/] und α[ A/] widerspruchsvoll sind, folgt mit der Induktionsvoraussetzung α[a/] und α[ A/]. Fügen wir in α[a/] die eliminierten Literale A und zu α[ A/] die Atom A wieder hinzu, dann sind diese Formeln Teilformeln von α. In α[a/]( A) 2 bzw. α[ A/](A) können wir alle Herleitungsschritte ganz analog zur Herleitung α[a/] bzw. α[ A/] durchführen. Es gilt daher entweder sofort α[ A/]( A) bzw. α[a/]( A) und wir gaben damit eine Herleitung der leeren Klausel aus α, oder aber es gilt α[a/]( A) A und α[ A/](A) A. Da α[a/]( A) und α[ A/](A) Teilformeln von α sind, können wir die Herleitungen für A und A aneinanderfügen und als letzten Resolutionsschritt A, A anfügen. Wir erhalten insgesamt eine Herleitung der leeren Klausel aus α. Ergibt sich für eine der beiden Reduktionen α[a/] bzw. α[ A/] der Wert 0, so enthält α eine Klausel A (falls α[ A/] = 0 ) oder eine Klausel A (falls α[a/] = 0). Diese Fälle können analog behandelt werden. Stufensättigungsstrategie Die Stufensättigungsstrategie (Level Saturation) ist ein Verfahren zur systematischen Generierung aller Resolventen, bei dem die Länge der kürzesten Herleitung die Reihenfolge bei der Generierung bestimmt. Um diese Strategie formal einfach beschreiben zu können, definieren wir für α KNF und n 0 die Menge der Klauseln, die mit Hilfe von n Resolutionsschritten hergeleitet werden kann. 2 α[a/]( A) bezeichnet die Menge der Klauseln aus α, die das Literal A nicht enthalten, und α[a/0](a) bezeichnet die Menge der Klauseln aus α, die das Literal A nicht enthalten. 5

6 Definition: (Resolutionsabschluß) Sei α KNF und n N, n 0. Dann sei 0 (α) := α (α) := {π τ τ 2 α : τ, τ 2 n+ (α) := Res (Res n (α)) für n > 0 (α) := n Resn (α) π} α Wir bezeichnen Res (α) auch als Resolutionsabschluß von α. Beispiel: Wir geben die Resolvententabelle für die Formel α bis zur Stufe 3 an. α = {{ A, B, C}, {A, D}, {B, C}, {C, F }, {F }} { A, B, C} 6. { B, C, D} (, 2). { C, D} (6, 3) 2. { D, F } (, 4) 2. {A, D} 7. { A, C} (, 3) 2. { B, D, F } (6, 4) 22. { D} (, 0) 3. {B, C} 8. { A, B, F } (, 4) 3. { C, F } (7, 4) {C, F } 9. {B, F } (3, 4) 4. { A, C, F } (8, 3) 5. {F } 0. {C} (4, 5) 5. { A, B} (8, 5) 6. {B} (0, 3) 7. { C, D. F } (6, 9) 8. { B, D} (6, 0) 9. { A} (7, 0) 20. { A, F } (8, 9) Unit-Resolution Eine weitere unvollständige Resolutionsrestriktion ist die Unit-Resolution, bei der eine der Elternklauseln immer eine Unit-Klausel, d.h. eine aus nur einem Literal bestehende Klausel sein muß. Definition: (Unit-Resolution) Eine Unit-Resolutionsherleitung ist eine Resolutionsherleitung, bei der in jedem Schritt eine der Elternklauseln eine Unit-Klausel ist. Als Bezeichnungen verwenden wir U- bzw. U-. 6