Unifikation. T eine Menge von Termen. σ(t) einelementig ist. Definition: Unifikator. Eine Substitution σ ist Unifikator von T, falls

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1 Unifikation Definition: Unifikator T eine Menge von Termen Eine Substitution σ ist Unifikator von T, falls σ(t) einelementig ist Logik für Informatiker, SS 06 p.12

2 Unifikation Definition: Unifikator T eine Menge von Termen Eine Substitution σ ist Unifikator von T, falls σ(t) einelementig ist Insbesondere σ ist Unifikator von Termen t 1, t 2, falls t 1 σ = t 2 σ Logik für Informatiker, SS 06 p.12

3 Unifikation: Beispiel Beispiel { f (g(a, x), g(y, b)), f (z, g(v, w)), f (g(x, a), g(v, b))} wird unifiziert durch {x/a, y/v, z/g(a, a), w/b} Logik für Informatiker, SS 06 p.13

4 Unifikation Ein paar simple Fakten Jeder Term ist mit sich selbst unifizierbar (mittels id) Logik für Informatiker, SS 06 p.14

5 Unifikation Ein paar simple Fakten Jeder Term ist mit sich selbst unifizierbar (mittels id) Terme der Gestalt f (s 1,..., s n ), f (t 1,..., t n ) sind unifizierbar g.d.w. {s i, t i } unifizierbar für 1 i n Logik für Informatiker, SS 06 p.14

6 Unifikation Ein paar simple Fakten Jeder Term ist mit sich selbst unifizierbar (mittels id) Terme der Gestalt f (s 1,..., s n ), f (t 1,..., t n ) sind unifizierbar g.d.w. {s i, t i } unifizierbar für 1 i n Terme der Gestalt f (s 1,..., s n ), g(t 1,..., t m ) sind niemals unifb. Logik für Informatiker, SS 06 p.14

7 Unifikation Ein paar simple Fakten Jeder Term ist mit sich selbst unifizierbar (mittels id) Terme der Gestalt f (s 1,..., s n ), f (t 1,..., t n ) sind unifizierbar g.d.w. {s i, t i } unifizierbar für 1 i n Terme der Gestalt f (s 1,..., s n ), g(t 1,..., t m ) sind niemals unifb. Eine Variable x und ein Term t sind immer unifb. (mittels {x/t}) Logik für Informatiker, SS 06 p.14

8 Unifikation Ein paar simple Fakten Jeder Term ist mit sich selbst unifizierbar (mittels id) Terme der Gestalt f (s 1,..., s n ), f (t 1,..., t n ) sind unifizierbar g.d.w. {s i, t i } unifizierbar für 1 i n Terme der Gestalt f (s 1,..., s n ), g(t 1,..., t m ) sind niemals unifb. Eine Variable x und ein Term t sind immer unifb. (mittels {x/t}) Eine Variable x und ein Term t x, der x enthält, sind niemals unifizierbar Logik für Informatiker, SS 06 p.14

9 Allgemeinster Unifikator Definition: Allgemeinster Unifikator (engl.: most general unifier, MGU) Logik für Informatiker, SS 06 p.15

10 Allgemeinster Unifikator Definition: Allgemeinster Unifikator (engl.: most general unifier, MGU) µ is ein allgemeinster Unifikator von T, falls: µ ist Unifikator von T, und für alle Unifikatoren ν von T existiert eine Substitution ρ, so daß ν = ρ µ (d.h. ν ist spezieller als µ) Logik für Informatiker, SS 06 p.15

11 Allgemeinster Unifikator Theorem Ist T unifizierbar, dann gibt es einen idempotenten, allgemeinsten Unifikator von T Logik für Informatiker, SS 06 p.16

12 Allgemeinster Unifikator Theorem Ist T unifizierbar, dann gibt es einen idempotenten, allgemeinsten Unifikator von T Dieser ist bis auf Variablenumbenennung eindeutig bestimmt. Logik für Informatiker, SS 06 p.16

13 Allgemeinster Unifikator Theorem Ist T unifizierbar, dann gibt es einen idempotenten, allgemeinsten Unifikator von T Dieser ist bis auf Variablenumbenennung eindeutig bestimmt. Der Aufwand zu seiner Berechnung ist linear in der Größe von T (verlangt geschickte Repräsentation) Logik für Informatiker, SS 06 p.16

14 Allgemeinster Unifikator Theorem Ist T unifizierbar, dann gibt es einen idempotenten, allgemeinsten Unifikator von T Dieser ist bis auf Variablenumbenennung eindeutig bestimmt. Der Aufwand zu seiner Berechnung ist linear in der Größe von T (verlangt geschickte Repräsentation) Unifikator kann exponentiell groß sein (in der Größe von T) Logik für Informatiker, SS 06 p.16

15 Unifikationsalgorithmus Form des Algorithmus Dargestellt in Form von Transformationsregeln Regeln operieren auf Menge von Gleichungen Regeln erhalten die (allgemeinsten) Unifikatoren Logik für Informatiker, SS 06 p.17

16 Unifikationsalgorithmus Form des Algorithmus Dargestellt in Form von Transformationsregeln Regeln operieren auf Menge von Gleichungen Regeln erhalten die (allgemeinsten) Unifikatoren Eingabe Termmenge: T = {t 1,..., t n } Gleichungsmenge: R = {y = t 1,..., y = t n } wobei y T oder y neu Logik für Informatiker, SS 06 p.17

17 Unifikationsalgorithmus: Regeln 1 R {t = x} R {x = t} fall x eine Variable, t keine Variable Logik für Informatiker, SS 06 p.18

18 Unifikationsalgorithmus: Regeln 1 2 R {t = x} R {x = t} R {s = s} R fall x eine Variable, t keine Variable Logik für Informatiker, SS 06 p.18

19 Unifikationsalgorithmus: Regeln R {t = x} R {x = t} R {s = s} R fall x eine Variable, t keine Variable R { f (s 1,..., s n ) = f (t 1,..., t n )} R {s 1 = t 1,..., s n = t n } Logik für Informatiker, SS 06 p.18

20 Unifikationsalgorithmus: Regeln R {t = x} R {x = t} R {s = s} R fall x eine Variable, t keine Variable R { f (s 1,..., s n ) = f (t 1,..., t n )} R {s 1 = t 1,..., s n = t n } R {x = t} R{x/t} {x = t} fall x eine Variable, x in R, x nicht in t Logik für Informatiker, SS 06 p.18

21 Unifikationsalgorithmus: Regeln R {t = x} R {x = t} R {s = s} R fall x eine Variable, t keine Variable R { f (s 1,..., s n ) = f (t 1,..., t n )} R {s 1 = t 1,..., s n = t n } R {x = t} R{x/t} {x = t} R {x = y} R{x/y} {x = y} fall x eine Variable, x in R, x nicht in t fall x, y eine Variablen, x in R, x y Logik für Informatiker, SS 06 p.18

22 Unifikationsalgorithmus: Regeln R {t = x} R {x = t} R {s = s} R fall x eine Variable, t keine Variable R { f (s 1,..., s n ) = f (t 1,..., t n )} R {s 1 = t 1,..., s n = t n } R {x = t} R{x/t} {x = t} R {x = y} R{x/y} {x = y} R { f (s 1,..., s n ) = g(t 1,..., t m )} FAIL fall x eine Variable, x in R, x nicht in t fall x, y eine Variablen, x in R, x y Logik für Informatiker, SS 06 p.18

23 Unifikationsalgorithmus: Regeln R {t = x} R {x = t} R {s = s} R fall x eine Variable, t keine Variable R { f (s 1,..., s n ) = f (t 1,..., t n )} R {s 1 = t 1,..., s n = t n } R {x = t} R{x/t} {x = t} R {x = y} R{x/y} {x = y} R { f (s 1,..., s n ) = g(t 1,..., t m )} FAIL R {x = t} FAIL falls x in t fall x eine Variable, x in R, x nicht in t fall x, y eine Variablen, x in R, x y Logik für Informatiker, SS 06 p.18

24 Unifikationsalgorithmus: Theorem Theorem Der Unifikationsalgorithmus terminiert Logik für Informatiker, SS 06 p.19

25 Unifikationsalgorithmus: Theorem Theorem Der Unifikationsalgorithmus terminiert Falls das Ergebnis FAIL ist, hat die Eingabe keinen Unifikator Logik für Informatiker, SS 06 p.19

26 Unifikationsalgorithmus: Theorem Theorem Der Unifikationsalgorithmus terminiert Falls das Ergebnis FAIL ist, hat die Eingabe keinen Unifikator Sonst hat die Menge der Gleichungen die Form {x 1 = t 1,..., x k = t k } und {x 1 /t 1,..., x k /t k } ist ein allgemeinster Unifikatior für die Eingabe Logik für Informatiker, SS 06 p.19

27 Zusammenfassung: Substitutionen und Unifikation Substitutionen Logik für Informatiker, SS 06 p.20

28 Zusammenfassung: Substitutionen und Unifikation Substitutionen Anwendung von Substitutionen auf Terme und Formeln Logik für Informatiker, SS 06 p.20

29 Zusammenfassung: Substitutionen und Unifikation Substitutionen Anwendung von Substitutionen auf Terme und Formeln Substitutionstheorem Logik für Informatiker, SS 06 p.20

30 Zusammenfassung: Substitutionen und Unifikation Substitutionen Anwendung von Substitutionen auf Terme und Formeln Substitutionstheorem Kollisionsfreie Substitutionen Logik für Informatiker, SS 06 p.20

31 Zusammenfassung: Substitutionen und Unifikation Substitutionen Anwendung von Substitutionen auf Terme und Formeln Substitutionstheorem Kollisionsfreie Substitutionen Gebundene Umbenennung Logik für Informatiker, SS 06 p.20

32 Zusammenfassung: Substitutionen und Unifikation Substitutionen Anwendung von Substitutionen auf Terme und Formeln Substitutionstheorem Kollisionsfreie Substitutionen Gebundene Umbenennung Unifikator Logik für Informatiker, SS 06 p.20

33 Zusammenfassung: Substitutionen und Unifikation Substitutionen Anwendung von Substitutionen auf Terme und Formeln Substitutionstheorem Kollisionsfreie Substitutionen Gebundene Umbenennung Unifikator Allgemeinster Unifikator Logik für Informatiker, SS 06 p.20

34 Zusammenfassung: Substitutionen und Unifikation Substitutionen Anwendung von Substitutionen auf Terme und Formeln Substitutionstheorem Kollisionsfreie Substitutionen Gebundene Umbenennung Unifikator Allgemeinster Unifikator Unifikationsalgorithmus Logik für Informatiker, SS 06 p.20