Termersetzungssysteme. Andrei Morozyuk
|
|
|
- Rolf Thilo Meinhardt
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1
2 Verlauf 1 Grundlagen Terme
3 Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen
4 Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Gleichungen
5 Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Gleichungen Oparationelle und Semantische Gleihheit
6 Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Gleichungen Oparationelle und Semantische Gleihheit 2
7 Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Gleichungen Oparationelle und Semantische Gleihheit 2 Regel
8 Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Gleichungen Oparationelle und Semantische Gleihheit 2 Regel Rewriterelation
9 Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Gleichungen Oparationelle und Semantische Gleihheit 2 Regel Rewriterelation Termination
10 Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Gleichungen Oparationelle und Semantische Gleihheit 2 Regel Rewriterelation Termination Konfluenz
11 Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Gleichungen Oparationelle und Semantische Gleihheit 2 Regel Rewriterelation Termination Konfluenz
12 Grundlagen:Definition Terme Sei F = n 0 F n eine Menge von Funktionssymbolen(Signatur) mit F n F m = und χ eine (abzählbare) Menge von Variablensymbolen so, dass χ F =. Die Menge aller Terme T (F, χ) wird induktiv definiert: χ T (F, χ) für alle n 0, f F n und für alle t 1...t n T (F, χ) gilt: f (t 1...t n ) T (F, χ) (n (arity) ist die Stelligkeit von f) Eigenschaften von T (F, χ) bzw. von F T (F, χ) ist die kleinste Menge die χ enthält und unter Anwendung von Funktionen aus F abgeschlossen ist
13 Grundlagen:Definition Terme Sei F = n 0 F n eine Menge von Funktionssymbolen(Signatur) mit F n F m = und χ eine (abzählbare) Menge von Variablensymbolen so, dass χ F =. Die Menge aller Terme T (F, χ) wird induktiv definiert: χ T (F, χ) für alle n 0, f F n und für alle t 1...t n T (F, χ) gilt: f (t 1...t n ) T (F, χ) (n (arity) ist die Stelligkeit von f) Eigenschaften von T (F, χ) bzw. von F T (F, χ) ist die kleinste Menge die χ enthält und unter Anwendung von Funktionen aus F abgeschlossen ist Sei Var(t) die Menge aller Variablen, die in Term t vorkommen, alle Terme t mit Var(t) = bezeichnet man als Grundterme
14 Grundlagen:Definition Terme Sei F = n 0 F n eine Menge von Funktionssymbolen(Signatur) mit F n F m = und χ eine (abzählbare) Menge von Variablensymbolen so, dass χ F =. Die Menge aller Terme T (F, χ) wird induktiv definiert: χ T (F, χ) für alle n 0, f F n und für alle t 1...t n T (F, χ) gilt: f (t 1...t n ) T (F, χ) (n (arity) ist die Stelligkeit von f) Eigenschaften von T (F, χ) bzw. von F T (F, χ) ist die kleinste Menge die χ enthält und unter Anwendung von Funktionen aus F abgeschlossen ist Sei Var(t) die Menge aller Variablen, die in Term t vorkommen, alle Terme t mit Var(t) = bezeichnet man als Grundterme Funktionssymbolen mit arity 0 werden Konstanten genannt
15 Grundlagen:Definition Terme Sei F = n 0 F n eine Menge von Funktionssymbolen(Signatur) mit F n F m = und χ eine (abzählbare) Menge von Variablensymbolen so, dass χ F =. Die Menge aller Terme T (F, χ) wird induktiv definiert: χ T (F, χ) für alle n 0, f F n und für alle t 1...t n T (F, χ) gilt: f (t 1...t n ) T (F, χ) (n (arity) ist die Stelligkeit von f) Eigenschaften von T (F, χ) bzw. von F T (F, χ) ist die kleinste Menge die χ enthält und unter Anwendung von Funktionen aus F abgeschlossen ist Sei Var(t) die Menge aller Variablen, die in Term t vorkommen, alle Terme t mit Var(t) = bezeichnet man als Grundterme Funktionssymbolen mit arity 0 werden Konstanten genannt Mit t p bezeichent man den Subterm von t an der p-ten Stelle, wobei p ist ein String über N(kann auch leer sein)
16 Grundlagen:Definition Terme Sei F = n 0 F n eine Menge von Funktionssymbolen(Signatur) mit F n F m = und χ eine (abzählbare) Menge von Variablensymbolen so, dass χ F =. Die Menge aller Terme T (F, χ) wird induktiv definiert: χ T (F, χ) für alle n 0, f F n und für alle t 1...t n T (F, χ) gilt: f (t 1...t n ) T (F, χ) (n (arity) ist die Stelligkeit von f) Eigenschaften von T (F, χ) bzw. von F T (F, χ) ist die kleinste Menge die χ enthält und unter Anwendung von Funktionen aus F abgeschlossen ist Sei Var(t) die Menge aller Variablen, die in Term t vorkommen, alle Terme t mit Var(t) = bezeichnet man als Grundterme Funktionssymbolen mit arity 0 werden Konstanten genannt Mit t p bezeichent man den Subterm von t an der p-ten Stelle, wobei p ist ein String über N(kann auch leer sein)
17 Grundlagen:Wie stellt man sich am besten Terme vor?
18 Grundlagen:Substituitonen Definition:Substituition Substituiton ist eine spezielle Abbildung σ:χ T (F, χ), die Variablen auf Terme abbildet,wobei x σ(x) nur für eine endliche Anzahl von Variablen gelten darf Schreibweise:{x 1 s 1,..., x n s n } Bemerkung zur Substituitonen σ:t (F, χ) T (F, χ) mit Eigenschaft: σ(f (t 1,..., t n )) = f (σ(t 1 ),..., σ(t n ))für alle Terme aus T und alle Substituitonen σ
19 Grundlagen:Substituitonen Definition:Substituition Substituiton ist eine spezielle Abbildung σ:χ T (F, χ), die Variablen auf Terme abbildet,wobei x σ(x) nur für eine endliche Anzahl von Variablen gelten darf Schreibweise:{x 1 s 1,..., x n s n } Bemerkung zur Substituitonen σ:t (F, χ) T (F, χ) mit Eigenschaft: σ(f (t 1,..., t n )) = f (σ(t 1 ),..., σ(t n ))für alle Terme aus T und alle Substituitonen σ Beispiel:Verkettung von Substituitionen σ 1 = {x 1 f (y, z), x 2 0}, σ 2 = {x y, z 0, x 1 1} σ 2 σ 1 = {x 1 f (y, 0), x 2 0, z 0, x y}
20 Grundlagen:Substituitonen Definition:Substituition Substituiton ist eine spezielle Abbildung σ:χ T (F, χ), die Variablen auf Terme abbildet,wobei x σ(x) nur für eine endliche Anzahl von Variablen gelten darf Schreibweise:{x 1 s 1,..., x n s n } Bemerkung zur Substituitonen σ:t (F, χ) T (F, χ) mit Eigenschaft: σ(f (t 1,..., t n )) = f (σ(t 1 ),..., σ(t n ))für alle Terme aus T und alle Substituitonen σ Beispiel:Verkettung von Substituitionen σ 1 = {x 1 f (y, z), x 2 0}, σ 2 = {x y, z 0, x 1 1} σ 2 σ 1 = {x 1 f (y, 0), x 2 0, z 0, x y}
21 Grundlagen:Gleichungen, Operationelle E-Gleichheit Definition:Menge von Gleichungen über T (F, χ) Eine Menge E von Gleichungen über T (F, χ) ist eine Teilmenge von {{s, t} : s, t T (F, χ)} Definition:Operationelle E-Gleichheit Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) zwei Terme s,t T (F, χ) bezeichnet man als operationell E-gleich, Schreibweise: s E t falls s = u[σ(l)] p t = u[σ(r)] p für eine Gleichung l = r in E und eine Substitution σ.
22 Grundlagen:Gleichungen, Operationelle E-Gleichheit Definition:Menge von Gleichungen über T (F, χ) Eine Menge E von Gleichungen über T (F, χ) ist eine Teilmenge von {{s, t} : s, t T (F, χ)} Definition:Operationelle E-Gleichheit Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) zwei Terme s,t T (F, χ) bezeichnet man als operationell E-gleich, Schreibweise: s E t falls s = u[σ(l)] p t = u[σ(r)] p für eine Gleichung l = r in E und eine Substitution σ. Beispiel zur operationellen E-Gleichheit E = {f (x, f (y, z)) = f (f (x, y), z), f (i(e), x) = x, f (x, x) = e} f (i(e), f (e, e)) = E f (f (i(e), e), e) = E f (e, e) = E e
23 Grundlagen:Gleichungen, Operationelle E-Gleichheit Definition:Menge von Gleichungen über T (F, χ) Eine Menge E von Gleichungen über T (F, χ) ist eine Teilmenge von {{s, t} : s, t T (F, χ)} Definition:Operationelle E-Gleichheit Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) zwei Terme s,t T (F, χ) bezeichnet man als operationell E-gleich, Schreibweise: s E t falls s = u[σ(l)] p t = u[σ(r)] p für eine Gleichung l = r in E und eine Substitution σ. Beispiel zur operationellen E-Gleichheit E = {f (x, f (y, z)) = f (f (x, y), z), f (i(e), x) = x, f (x, x) = e} f (i(e), f (e, e)) = E f (f (i(e), e), e) = E f (e, e) = E e
24 Semantische Gleichheit Definition: F-Algebra Sei F eine Menge von Funktionssymbole.Unter einer Algebra A versteht man eine Wertemenge(Universe) A und F A eine Menge von Abbildungen so, dass zu jedem f F mit arity n N eine Abbildung f A in F A : f A : A n A zugeordnet wird. Beispiel:F-Algebra T (F, χ) als Universe mit F ist eine F-Algebra
25 Semantische Gleichheit Definition: F-Algebra Sei F eine Menge von Funktionssymbole.Unter einer Algebra A versteht man eine Wertemenge(Universe) A und F A eine Menge von Abbildungen so, dass zu jedem f F mit arity n N eine Abbildung f A in F A : f A : A n A zugeordnet wird. Beispiel:F-Algebra T (F, χ) als Universe mit F ist eine F-Algebra
26 Grundlagen:Auswertung von Termen Figure: Beispiel der Wertzuweisung einem Term Beispiel:Auswertung von Termen Sei A eine F-Algebra, θ : χ A eine Auswertung von Variabelen in A:
27 Grundlagen:Semantische Gleichheit Definition:Gültigkeit einer Gleichung Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) und A eine F-Algebra eine Gleichung s=t in E heißt gültig in A falls die Auswertungen φ(s) und φ(t) für beliebige Wertenzuweisungen an Variablen in t und s in A identisch sind. Definition:Modell Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) und A eine F-Algebra, A ist ein Modell von E, falls jede Gleichung aus E in A gültig ist.
28 Grundlagen:Semantische Gleichheit Definition:Gültigkeit einer Gleichung Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) und A eine F-Algebra eine Gleichung s=t in E heißt gültig in A falls die Auswertungen φ(s) und φ(t) für beliebige Wertenzuweisungen an Variablen in t und s in A identisch sind. Definition:Modell Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) und A eine F-Algebra, A ist ein Modell von E, falls jede Gleichung aus E in A gültig ist. Definition:Semantische E-Gleichheit Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) und A eine F-Algebra zwei Terme s und t sind genau dann semantisch E-gleich,falls s=t in allen Modellen von E gültig ist.
29 Grundlagen:Semantische Gleichheit Definition:Gültigkeit einer Gleichung Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) und A eine F-Algebra eine Gleichung s=t in E heißt gültig in A falls die Auswertungen φ(s) und φ(t) für beliebige Wertenzuweisungen an Variablen in t und s in A identisch sind. Definition:Modell Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) und A eine F-Algebra, A ist ein Modell von E, falls jede Gleichung aus E in A gültig ist. Definition:Semantische E-Gleichheit Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ) und A eine F-Algebra zwei Terme s und t sind genau dann semantisch E-gleich,falls s=t in allen Modellen von E gültig ist.
30 Grundlagen:Semantische Gleichheit:Satz von Birkhoff Satz von Birkhoff Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ), zwei Terme s,t aus T (F, χ) sind genau dann semantisch E-gleich, wenn sie operationell E-gleich sind. Semantische und Operationelle E-Gleichheiten stimmen überein
31 Grundlagen:Semantische Gleichheit:Satz von Birkhoff Satz von Birkhoff Sei E eine Menge von Gleichungen über T (F, χ), zwei Terme s,t aus T (F, χ) sind genau dann semantisch E-gleich, wenn sie operationell E-gleich sind. Semantische und Operationelle E-Gleichheiten stimmen überein
32 Motivation Wie kann man prüfen bzw. entscheiden ob zwei Terme bzgl. eines Reduktionssystems gleich sind?
33 :Regeln Definition:Regel Eine Regel ist eine Äquivalenz s=t (s,t aus T (F, χ)) wobei s keine Variable ist und Var(t) Var(s). Schreibweise: s t Definition:Reduktionssystem, Termersetzungssystem Eine Menge von Regeln R bezeichnet man als Termersetzungssystem
34 :Regeln Definition:Regel Eine Regel ist eine Äquivalenz s=t (s,t aus T (F, χ)) wobei s keine Variable ist und Var(t) Var(s). Schreibweise: s t Definition:Reduktionssystem, Termersetzungssystem Eine Menge von Regeln R bezeichnet man als Termersetzungssystem Beispiel:Termersetzungssystem R = {f (x, f (y, z)) f (f (x, y), z), f (i(e), x) x, f (x, x) e}
35 :Regeln Definition:Regel Eine Regel ist eine Äquivalenz s=t (s,t aus T (F, χ)) wobei s keine Variable ist und Var(t) Var(s). Schreibweise: s t Definition:Reduktionssystem, Termersetzungssystem Eine Menge von Regeln R bezeichnet man als Termersetzungssystem Beispiel:Termersetzungssystem R = {f (x, f (y, z)) f (f (x, y), z), f (i(e), x) x, f (x, x) e}
36 :Rewriterelation Definition:Rewriterelation bzgl. R Sei R ein Termersetzungssystem und s,t T (F, χ), Term s wird zum Term t bzgl. R überschrieben Schreibweise: s R t falls es s p = σ(l) und t=s[σ(r)] p für eine Regel l r in R, eine Position p in s und eine Substituition σ Bemerkungen - Rewriterelation ist abgeschlossen unter Substitutionen und kompatibel mit F-Operationen Allgemein:Sei eine beliebige Relation auf T (F, χ) 1. ist kompatibel mit F-Operationen:für alle t,s aus T (F, χ) t s impliziert: f (t 1,..., t i 1, t, t i+1,..., t n ) f (t 1,..., t i 1, s, t i+1,..., t n ) für alle n N {0},1 i n und für alle f aus F n 2. ist abgeschlossen unter Substituitonen:für alle s,t aus T (F, χ) mit t s impliziert: σ(t) σ(s) für alle Substitutionen σ
37 :Rewriterelation Definition:Rewriterelation bzgl. R Sei R ein Termersetzungssystem und s,t T (F, χ), Term s wird zum Term t bzgl. R überschrieben Schreibweise: s R t falls es s p = σ(l) und t=s[σ(r)] p für eine Regel l r in R, eine Position p in s und eine Substituition σ Bemerkungen - Rewriterelation ist abgeschlossen unter Substitutionen und kompatibel mit F-Operationen Allgemein:Sei eine beliebige Relation auf T (F, χ) 1. ist kompatibel mit F-Operationen:für alle t,s aus T (F, χ) t s impliziert: f (t 1,..., t i 1, t, t i+1,..., t n ) f (t 1,..., t i 1, s, t i+1,..., t n ) für alle n N {0},1 i n und für alle f aus F n 2. ist abgeschlossen unter Substituitonen:für alle s,t aus T (F, χ) mit t s impliziert: σ(t) σ(s) für alle Substitutionen σ
38 :Beispiel R = {f (x, f (y, z)) f (f (x, y), z), f (i(e), x) x, f (x, x) e} f (i(e), f (e, e)) R f (f (i(e), e), e) R f (e, e) R e
39 :Beispiel R = {f (x, f (y, z)) f (f (x, y), z), f (i(e), x) x, f (x, x) e} f (i(e), f (e, e)) R f (f (i(e), e), e) R f (e, e) R e Definition:Normalform Sei R ein Termersetzungssystem über T (F, χ) und t ein Term aus T (F, χ) die Normalform wird genau dann erreicht, wenn es keine Stelle p in t exestiert an der die Reduktion stattfinden kann.
40 :Beispiel R = {f (x, f (y, z)) f (f (x, y), z), f (i(e), x) x, f (x, x) e} f (i(e), f (e, e)) R f (f (i(e), e), e) R f (e, e) R e Definition:Normalform Sei R ein Termersetzungssystem über T (F, χ) und t ein Term aus T (F, χ) die Normalform wird genau dann erreicht, wenn es keine Stelle p in t exestiert an der die Reduktion stattfinden kann. Bemerkungen -Eine Normalform muss nicht immer existieren -es kann mehrere Normalformen von einem Term geben
41 :Beispiel R = {f (x, f (y, z)) f (f (x, y), z), f (i(e), x) x, f (x, x) e} f (i(e), f (e, e)) R f (f (i(e), e), e) R f (e, e) R e Definition:Normalform Sei R ein Termersetzungssystem über T (F, χ) und t ein Term aus T (F, χ) die Normalform wird genau dann erreicht, wenn es keine Stelle p in t exestiert an der die Reduktion stattfinden kann. Bemerkungen -Eine Normalform muss nicht immer existieren -es kann mehrere Normalformen von einem Term geben
42 :Konvergenz Definition:Konvergenz Ein Termersetzungssystem R heißt konvergent genau dann, wenn es konfluent und terminierend ist.
43 :Konvergenz Definition:Konvergenz Ein Termersetzungssystem R heißt konvergent genau dann, wenn es konfluent und terminierend ist. Definition:Termination Ein Termersetuzungsystem R über T (F, χ)heißt terminierend falls es keine unenliche Kette t 1 R t 2 R t 3..., t i T (F, χ)i 1.
44 :Konvergenz Definition:Konvergenz Ein Termersetzungssystem R heißt konvergent genau dann, wenn es konfluent und terminierend ist. Definition:Termination Ein Termersetuzungsystem R über T (F, χ)heißt terminierend falls es keine unenliche Kette t 1 R t 2 R t 3..., t i T (F, χ)i 1. Definiton: Konfluenz Sei R ein Termersetzungssystem über T (F, χ) heißt konfluent falls es für alle s,t,r T (F, χ) mit s R t,s R r dann ist r t.
45 :Konvergenz Definition:Konvergenz Ein Termersetzungssystem R heißt konvergent genau dann, wenn es konfluent und terminierend ist. Definition:Termination Ein Termersetuzungsystem R über T (F, χ)heißt terminierend falls es keine unenliche Kette t 1 R t 2 R t 3..., t i T (F, χ)i 1. Definiton: Konfluenz Sei R ein Termersetzungssystem über T (F, χ) heißt konfluent falls es für alle s,t,r T (F, χ) mit s R t,s R r dann ist r t. Bemerkungen Konvergenz bedeutet Existenz genau einer Normalform
46 :Konvergenz Definition:Konvergenz Ein Termersetzungssystem R heißt konvergent genau dann, wenn es konfluent und terminierend ist. Definition:Termination Ein Termersetuzungsystem R über T (F, χ)heißt terminierend falls es keine unenliche Kette t 1 R t 2 R t 3..., t i T (F, χ)i 1. Definiton: Konfluenz Sei R ein Termersetzungssystem über T (F, χ) heißt konfluent falls es für alle s,t,r T (F, χ) mit s R t,s R r dann ist r t. Bemerkungen Konvergenz bedeutet Existenz genau einer Normalform
47 Termersetzungsysteme:Church-Rosser- Eigenschaft,Konfluenz Definition:Church-Rosser-Eigenschaft Church-Rosser Eignschaft <=> x R y x y Satz Church-Rosser-Eigenschaft <=> Konfluenz.
48 Termersetzungsysteme:Church-Rosser- Eigenschaft,Konfluenz Definition:Church-Rosser-Eigenschaft Church-Rosser Eignschaft <=> x R y x y Satz Church-Rosser-Eigenschaft <=> Konfluenz. Falls R konvergent und endlich ist dann ist R entscheidbar.
49 Termersetzungsysteme:Church-Rosser- Eigenschaft,Konfluenz Definition:Church-Rosser-Eigenschaft Church-Rosser Eignschaft <=> x R y x y Satz Church-Rosser-Eigenschaft <=> Konfluenz. Falls R konvergent und endlich ist dann ist R entscheidbar.
50 :Termination Die Frage ob ein endliches Termersetzungssystem Terminiert ist unentscheidbar Satz:Spezialfall Sei R ein endliches right-ground Termersetzungssystem d.h. R = {l 1 r 1, l 2 r 2,..., l n r n } mit Var(r i ) = i {1...n} dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1.R terminiert nicht 2. Es exestiert eine Regel l i r i in R so, dass r i + R t[r i] p
51 :Termination Die Frage ob ein endliches Termersetzungssystem Terminiert ist unentscheidbar Satz:Spezialfall Sei R ein endliches right-ground Termersetzungssystem d.h. R = {l 1 r 1, l 2 r 2,..., l n r n } mit Var(r i ) = i {1...n} dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1.R terminiert nicht 2. Es exestiert eine Regel l i r i in R so, dass r i + R t[r i] p
52 Termersetzungsysteme:Termination:Spezialfall Bei einem right-ground Termersetzungssystem R ist Termination entscheidbar. Algorithmus zur Überprüfung der Terination eines right-ground Termersetzungssystems k = 1 1 Generiere alle Reduktionsfolgen der Länge k beginnend mit r i, 1...n
53 Termersetzungsysteme:Termination:Spezialfall Bei einem right-ground Termersetzungssystem R ist Termination entscheidbar. Algorithmus zur Überprüfung der Terination eines right-ground Termersetzungssystems k = 1 1 Generiere alle Reduktionsfolgen der Länge k beginnend mit r i, 1...n 2 Falls es keine Folgen generierbar sind, dann STOP, R terminiert sonst:
54 Termersetzungsysteme:Termination:Spezialfall Bei einem right-ground Termersetzungssystem R ist Termination entscheidbar. Algorithmus zur Überprüfung der Terination eines right-ground Termersetzungssystems k = 1 1 Generiere alle Reduktionsfolgen der Länge k beginnend mit r i, 1...n 2 Falls es keine Folgen generierbar sind, dann STOP, R terminiert sonst: 3 Falls es doch Folgen der Länge k exestieren,prüfe ob es eine Folge exestiert, die 2. (aus dem Satz:Speziallfall) erfüllt, falls JA dann STOP, R terminiert nicht sonst k := k + 1 gehe zu 1.
55 Termersetzungsysteme:Termination:Spezialfall Bei einem right-ground Termersetzungssystem R ist Termination entscheidbar. Algorithmus zur Überprüfung der Terination eines right-ground Termersetzungssystems k = 1 1 Generiere alle Reduktionsfolgen der Länge k beginnend mit r i, 1...n 2 Falls es keine Folgen generierbar sind, dann STOP, R terminiert sonst: 3 Falls es doch Folgen der Länge k exestieren,prüfe ob es eine Folge exestiert, die 2. (aus dem Satz:Speziallfall) erfüllt, falls JA dann STOP, R terminiert nicht sonst k := k + 1 gehe zu 1.
56 :Termination:Rewriteorder Definition:Rewriteorder Sei F eine Signatur und χ eine Variablenmenge(abzählbar unendlich) eine strenge Ordnungngsrelation > auf T (F, χ) heißt Rewriteorder genau dann wenn: 1. > ist kompatibel mit F-Operationen 2. > ist abgeschlossen unter Substitutionen Defintion:Reductionorder Ein Reductionorder ist ein wellfounded Rewriteorder d.h.: es exestiert keine unednliche Kette t 1 > t 2 > t 3 >...
57 :Termination:Rewriteorder Definition:Rewriteorder Sei F eine Signatur und χ eine Variablenmenge(abzählbar unendlich) eine strenge Ordnungngsrelation > auf T (F, χ) heißt Rewriteorder genau dann wenn: 1. > ist kompatibel mit F-Operationen 2. > ist abgeschlossen unter Substitutionen Defintion:Reductionorder Ein Reductionorder ist ein wellfounded Rewriteorder d.h.: es exestiert keine unednliche Kette t 1 > t 2 > t 3 >... Satz:Kriterium für Termination Ein Termersetzungssystem R terminiert genau dann, wenn es ein Reductionorder > exestiert, so dass l > r für alle Regeln l r in R gilt.
58 :Termination:Rewriteorder Definition:Rewriteorder Sei F eine Signatur und χ eine Variablenmenge(abzählbar unendlich) eine strenge Ordnungngsrelation > auf T (F, χ) heißt Rewriteorder genau dann wenn: 1. > ist kompatibel mit F-Operationen 2. > ist abgeschlossen unter Substitutionen Defintion:Reductionorder Ein Reductionorder ist ein wellfounded Rewriteorder d.h.: es exestiert keine unednliche Kette t 1 > t 2 > t 3 >... Satz:Kriterium für Termination Ein Termersetzungssystem R terminiert genau dann, wenn es ein Reductionorder > exestiert, so dass l > r für alle Regeln l r in R gilt.
59 :Termination:Reductionorder: Beispiel für ein Reductionorder für alle s,t T (F, χ): s>t <=> s > t und für alle x χ gilt s x t x
60 :Termination:Reductionorder: Beispiel für ein Reductionorder für alle s,t T (F, χ): s>t <=> s > t und für alle x χ gilt s x t x
61 :Konfluenz Das Problem festzustellen ob ein endliches Termersetzungssystem Konfluent ist, ist unentscheidbar
62 :Konfluenz Das Problem festzustellen ob ein endliches Termersetzungssystem Konfluent ist, ist unentscheidbar Definition:Lokale Konfluenz R heißt lokal konfluent <=> für alle x,y,z T (F, χ) x R y, x R z y z
63 :Konfluenz Das Problem festzustellen ob ein endliches Termersetzungssystem Konfluent ist, ist unentscheidbar Definition:Lokale Konfluenz R heißt lokal konfluent <=> für alle x,y,z T (F, χ) x R y, x R z y z
64 :Konfluenz Newman s Lemma Ein terminierendes Termersetzungssystem R ist konfluent <=> R ist lokal konfluent.
65 :Konfluenz Newman s Lemma Ein terminierendes Termersetzungssystem R ist konfluent <=> R ist lokal konfluent.
66 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen
67 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen
68 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen Impliziert: t 1 = s[σ 1 (r 1 )] p1 s[t]p1 s[(σ1 (l 1 ))[σ 2 (r 2 )] p ] p1 = s[σ 2 (r 2 )] p2 = = t 2
69 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen Impliziert: t 1 = s[σ 1 (r 1 )] p1 s[t]p1 s[(σ1 (l 1 ))[σ 2 (r 2 )] p ] p1 = s[σ 2 (r 2 )] p2 = = t 2
70 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Nichtkritischer Fall
71 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritischer Fall Kritischer Fall l 1 p / χ und σ 1 (l 1 p ) = σ 2 (l 2 )
72 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritischer Fall Kritischer Fall l 1 p / χ und σ 1 (l 1 p ) = σ 2 (l 2 ) Definition:Kritische Paare Seien l i r i i = 1, 2 zwei Regeln aus R mit Var(l 1, r 2 ) Var(l 2, r 2 ) =.Weiter sei p eine Position in l 1 so, dass l 1 p / χ und θ ein mgu(most general unifier) von l 1 p =? l 2 dann wird ein kritisches Paar definiert θ(r 1 ), (θ(l 1 ))[θ(r 2 )] p
73 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritischer Fall Kritischer Fall l 1 p / χ und σ 1 (l 1 p ) = σ 2 (l 2 ) Definition:Kritische Paare Seien l i r i i = 1, 2 zwei Regeln aus R mit Var(l 1, r 2 ) Var(l 2, r 2 ) =.Weiter sei p eine Position in l 1 so, dass l 1 p / χ und θ ein mgu(most general unifier) von l 1 p =? l 2 dann wird ein kritisches Paar definiert θ(r 1 ), (θ(l 1 ))[θ(r 2 )] p
74 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritische Paare Kritisches Paar 1 f(f(x,y),z) f(x,f(y,z)) 2 f (i(x 1 ), x 1 ) e
75 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritische Paare Kritisches Paar 1 f(f(x,y),z) f(x,f(y,z)) 2 f (i(x 1 ), x 1 ) e Kritisches Paar Lemma Falls s R t i i = 1, 2 dann ist entweder t 1 t 2 oder t i = s[u i ] p, i = 1, 2 mit u 1, u 2 oder u 2, u 1 ist eine Instanz eines kritischen Paares von R.
76 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritische Paare Kritisches Paar 1 f(f(x,y),z) f(x,f(y,z)) 2 f (i(x 1 ), x 1 ) e Kritisches Paar Lemma Falls s R t i i = 1, 2 dann ist entweder t 1 t 2 oder t i = s[u i ] p, i = 1, 2 mit u 1, u 2 oder u 2, u 1 ist eine Instanz eines kritischen Paares von R. Satz Ein Termersetzungssystem R ist lokal konfluent <=> jedes kritisches Paar von R ist vereinbar.
77 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritische Paare Kritisches Paar 1 f(f(x,y),z) f(x,f(y,z)) 2 f (i(x 1 ), x 1 ) e Kritisches Paar Lemma Falls s R t i i = 1, 2 dann ist entweder t 1 t 2 oder t i = s[u i ] p, i = 1, 2 mit u 1, u 2 oder u 2, u 1 ist eine Instanz eines kritischen Paares von R. Satz Ein Termersetzungssystem R ist lokal konfluent <=> jedes kritisches Paar von R ist vereinbar.
78 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritische Paare Satz Ein terminierendes Termersetzungssystem ist konfluent <=> jedes kritisches Paar ist vereinbar.
79 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritische Paare Satz Ein terminierendes Termersetzungssystem ist konfluent <=> jedes kritisches Paar ist vereinbar. Konfluenz eines endlichen, terminierenden Termersetzungssystems R ist entscheidbar
80 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritische Paare Satz Ein terminierendes Termersetzungssystem ist konfluent <=> jedes kritisches Paar ist vereinbar. Konfluenz eines endlichen, terminierenden Termersetzungssystems R ist entscheidbar Algorithmus zur Überprüfung von Konfluenz im Spezialfall 1 für jedes Paar l 1 r 1,l 2 r 2 aus R und für jede Position p in l 1 p / χ prüfe ob variablendisjunkte Varianten von l 1 p und l 2 unifizierbar sind 2 für jedes Kritisches Paar Prüfe ob ihre Normalformen syntaktisch gleich sind
81 :Konfluenz: Untersuchung lokaler Divergenzen:Kritische Paare Satz Ein terminierendes Termersetzungssystem ist konfluent <=> jedes kritisches Paar ist vereinbar. Konfluenz eines endlichen, terminierenden Termersetzungssystems R ist entscheidbar Algorithmus zur Überprüfung von Konfluenz im Spezialfall 1 für jedes Paar l 1 r 1,l 2 r 2 aus R und für jede Position p in l 1 p / χ prüfe ob variablendisjunkte Varianten von l 1 p und l 2 unifizierbar sind 2 für jedes Kritisches Paar Prüfe ob ihre Normalformen syntaktisch gleich sind
82 Informationsquellen: Zur Verfügung gestellter Skript von Professor Dr. Tim Hoffmann Term Rewriting and All That, Franz Baader, Tobias Nipkow Reduktionssysteme, Jürgen Avenhaus
Reduktion. 2.1 Abstrakte Reduktion
2 Reduktion In diesem Kapitel studieren wir abstrakte Eigenschaften von Regeln. In den ersten beiden Abschnitten betrachten wir nicht einmal die Regeln selbst, sondern nur abstrakte Reduktionssysteme,
Reduktionssysteme Termersetzungssysteme. Keine kritischen Paare. Betrachte Variablenüberlappung:
Beispiele Beispiel 9.4 Betrachte f (f (x, y), z) f (x, f (y, z)) f (f (x, y ), z ) f (x, f (y, z )) Unifizierbar mit x f (x, y ), y z f (f (f (x, y ), z ), z) t 1 = f (f (x, y ), f (z, z)) f (f (x, f (y,
2. Beweisen mit Gleichungen: Gleichungslogik und Termersetzung
2. Beweisen mit Gleichungen: Gleichungslogik und Termersetzung Gleichungstheorien Gleichungslogik: Syntax und Semantik von Termen und Gleichungen Grundlagen der Termersetzung: Substitution, Unifikation
Zusammenfassung Term Rewriting aat
Zusammenfassung Term Rewriting aat CC BY: Tim Baumann, http://timbaumann.info/uni-spicker Dies ist eine übersetzte Zusammenfassung des Buches Term Rewriting and All That von Franz Baader und Tobias Nipkow.
Theoretische Grundlagen des Software Engineering
Theoretische Grundlagen des Software Engineering 12: Termersetzungssysteme schulz@eprover.org Reduktionssysteme Definition: Reduktionssystem Ein Reduktionssystem ist ein Tupel (A, ) Dabei gilt: A ist eine
Zusammenfassung des Bisherigen
Zusammenfassung des Bisherigen Ziel ist die Ableitung von Gleichungen aus gegebenen Gleichungen Gilt eine Gleichung in der von den gegebenen Gleichungen definierten Theory? Beispiel: Ist eine bestimmte
Einführung in die Theoretische Informatik. Inhalte der Lehrveranstaltung. Definition (Boolesche Algebra) Einführung in die Logik
Zusammenfassung Einführung in die Theoretische Informatik Woche 5 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung der letzten LV Jede binäre Operation hat maximal ein
Grundlagen der Logik
Grundlagen der Logik Denken Menschen logisch? Selektionsaufgabe nach Watson (1966): Gegeben sind vier Karten von denen jede auf der einen Seite mit einem Buchstaben, auf der anderen Seite mit einer Zahl
Die Prädikatenlogik erster Stufe: Syntax und Semantik
Die Prädikatenlogik erster Stufe: Syntax und Semantik 1 Mathematische Strukturen und deren Typen Definition 1.1 Eine Struktur A ist ein 4-Tupel A = (A; (R A i i I); (f A j j J); (c A k k K)) wobei I, J,
Gröbnerbasen in Monoid- und Gruppenringen
Gröbnerbasen in Monoid- und Gruppenringen Karsten Hiddemann 5. November 2003 Zusammenfassung Gröbnerbasen, entwickelt von Bruno Buchberger für kommutative Polynomringe, finden immer häufiger Anwendung
Normalform. 2.1 Äquivalenz und Folgerung. 2.2 Die pränexe Normalform
2 Normalformen 2.1 Äquivalenz und Folgerung Definition 2.1 Äquivalenz, Folgerung). Seien ϕ, ψ FO[σ]. a) ϕ und ψ heißen äquivalent kurz: ϕ ψ, bzw. ϕ = ψ), wenn für alle zu ϕ und ψ äquivalent passenden σ-interpretationen
Einführung in die Theoretische Informatik
Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Sascha Böhme, Lars Noschinski Sommersemester 2011 Lösungsblatt 9 25. Juli 2011 Einführung in die Theoretische Informatik
Kapitel 5 KONVERGENZ
Kapitel 5 KONVERGENZ Fassung vom 21. April 2002 Claude Portenier ANALYSIS 75 5.1 Metrische Räume 5.1 Metrische Räume DEFINITION 1 Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X X! R + heißt Metrik oder Distanz
Theoretische Grundlagen des Software Engineering
Theoretische Grundlagen des Software Engineering 11: Abstrakte Reduktionssysteme schulz@eprover.org Reduktionssysteme Definition: Reduktionssystem Ein Reduktionssystem ist ein Tupel (A, ) Dabei gilt: A
Abstrakte Ersetzungssysteme
Kapitel 3 Abstrakte Ersetzungssysteme Für viele Überlegungen spielt die Feinstruktur der Objekte, die durch ein Ersetzungssystem manipuliert werden, keine Rolle. So sind die folgenden Begriffe und Ergebnisse
Prädikatenlogiken. Mathematische Logik. Vorlesung 6. Alexander Bors. 30. März & 6. April A. Bors Logik
Mathematische Logik Vorlesung 6 Alexander Bors 30. März & 6. April 2017 1 Überblick 1 Formale Prädikatenlogiken erster Stufe (Quelle: Ziegler, pp. 3 24) 2 Erinnerung Letztes Mal haben wir begonnen, ein
Grundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 18: Logik Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/35 Überblick Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe Theorien und
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 10. Prädikatenlogik Substitutionen und Unifikation Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Substitutionen Definition:
4 Terme und Σ-Algebren
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 2 4 Terme und Σ-Algebren 4.1 Grundterme und Terme Menge S von unktionssymbolen funktionale Signatur: Σ S N Menge
Modellierungsmethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle
smethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle Prädikatenlogik 1. Stufe Norbert Fuhr Gudrun Fischer 29.11.2005 Organisatorisches Organisatorisches Klausur Termin: 20.2.2006, 13-15 Uhr, Audimax Anmeldung
mathematik und informatik
Prof. Dr. Christoph Beierle Kurs 01695 Deduktions- und Inferenzsysteme LESEPROBE mathematik und informatik Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere das Recht
Syntax der Prädikatenlogik: Variablen, Terme. Formeln. Freie und gebundene Variablen, Aussagen. Aufgabe
Syntax der Prädikatenlogik: Variablen, Terme Formeln Eine Variable hat die Form x i mit i = 1, 2, 3.... Ein Prädikatensymbol hat die Form Pi k und ein Funktionssymbol hat die Form fi k mit i = 1, 2, 3...
Unifikation. T eine Menge von Termen. σ(t) einelementig ist. Definition: Unifikator. Eine Substitution σ ist Unifikator von T, falls
Unifikation Definition: Unifikator T eine Menge von Termen Eine Substitution σ ist Unifikator von T, falls σ(t) einelementig ist Logik für Informatiker, SS 06 p.12 Unifikation Definition: Unifikator T
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 9. Prädikatenlogik Syntax und Semantik der Prädikatenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der
σ-algebren, Definition des Maßraums
σ-algebren, Definition des Maßraums Ziel der Maßtheorie ist es, Teilmengen einer Grundmenge X auf sinnvolle Weise einen Inhalt zuzuordnen. Diese Zuordnung soll so beschaffen sein, dass dabei die intuitiven
Modellierungsmethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle
smethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle Prädikatenlogik 1. Stufe Norbert Fuhr Gudrun Fischer 29.11.2005 Organisatorisches Organisatorisches Klausur Termin: 20.2.2006, 13-15 Uhr, Audimax Anmeldung
Formale Systeme. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018 Pra dikatenlogik: Tableaukalku l (ohne Gleichheit) KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der
Formale Systeme. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 Pra dikatenlogik: Tableaukalku l (ohne Gleichheit) KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 9. Prädikatenlogik Syntax und Semantik der Prädikatenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der
Formale Grundlagen der Informatik 3 Kapitel 4 Prädikatenlogik Resolution
Formale Grundlagen der Informatik 3 Kapitel 4 Prädikatenlogik Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 30. November 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/43 Eine besondere Formel
4.1 Motivation. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 4.1 Motivation. 4.2 Syntax der Prädikatenlogik. 4.3 Semantik der Prädikatenlogik
Theorie der Informatik 3. März 2014 4. Prädikatenlogik I Theorie der Informatik 4. Prädikatenlogik I 4.1 Motivation Malte Helmert Gabriele Röger 4.2 Syntax der Prädikatenlogik Universität Basel 3. März
Grundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 29.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Motivation 2. Terminologie 3. Endliche Automaten und reguläre
Allgemeines Halteproblem Hilberts 10. Problem
Allgemeines Halteproblem Hilberts 10. Problem Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen November 2011 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit
Vorlesung Diskrete Strukturen Rechnen mit 0 und 1
Vorlesung Diskrete Strukturen Rechnen mit 0 und 1 Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2009/10 1 Bernhard Ganter, TU Dresden Modul Einführung
Logik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 13. Prädikatenlogik Der Satz von Herbrand Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Semantische Bäume Eine klassische
Einführung in die Logik
Einführung in die Logik Klaus Madlener und Roland Meyer 24. April 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik 1 1.1 Syntax................................. 1 1.2 Semantik............................... 3 1.3
Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen. notwendig: Existenz- und Allaussagen
Prädikatenlogik 1. Stufe (kurz: PL1) Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen notwendig: Existenz- und Allaussagen Beispiel: 54 Syntax der Prädikatenlogik erster Stufe (in der
Einführung in die Theoretische Informatik
Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Dr. Werner Meixner, Dr. Alexander Krauss Sommersemester 2010 Lösungsblatt 11 15. Juli 2010 Einführung in die Theoretische
- Theorie der uninterpretierten
Theorie der uninterpretierten Funktionen Entscheidungsverfahren mit Anwendungen in der Softwareverifikation STEPHAN FALKE INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK (ITI) 0 KIT 13. Universität Mai 2013 des S.
Formale Systeme. Tableaukalku l (ohne Gleichheit) Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/ KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/2016 Tableaukalku l (ohne Gleichheit) KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK KIT Universita t des Landes Baden-Wu rttemberg und nationales Forschungszentrum
17 Lineare Abbildungen
Chr.Nelius: Lineare Algebra II (SS2005) 1 17 Lineare Abbildungen Wir beginnen mit der Klärung des Abbildungsbegriffes. (17.1) DEF: M und N seien nichtleere Mengen. Eine Abbildung f von M nach N (in Zeichen:
Ablauf. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 21 Prädikatenlogische Resolution. Eine besondere Formel. Eine besondere Formel
Ablauf Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 21 Prädikatenlogische Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 30. Juni 2015 Wir werden heute die Themen aus den Kapitel 2.3, 2.4 und 2.5 aus
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 21 Prädikatenlogische Resolution
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 21 Prädikatenlogische Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 30. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/41 Ablauf Unendliche
Formale Systeme, WS 2013/2014. Lösungen zu Übungsblatt 5
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter H. Schmitt Dr. V. Klebanov, Dr. M. Ulbrich, C. Scheben Formale Systeme, WS 2013/2014 Lösungen zu Übungsblatt 5 Dieses
8 Der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim und Skolem
8 Der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim und Skolem 8.1 Der Kompaktheitssatz Kompaktheitssatz Endlichkeitssatz Der Kompaktheitssatz ist auch unter dem Namen Endlichkeitssatz bekannt. Unter Verwendung
Reduktion / Hilberts 10. Problem
Reduktion / Hilberts 10. Problem Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 9. November 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und
Wort- und Termersetzung
Kapitel 2 Wort- und Termersetzung Wortersetzungssysteme spielen in der Informatik traditionell eine wichtige Rolle. Ein Grund dafür war die Notwendigkeit, die Syntax von Programmiersprachen präzise zu
Beispiel. Bsp.: Betrachte Schlussweise in: (3) folgt aus (1) und (2), siehe z.b. Resolutionsregel. was ist mit folgender Schlußweise:
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 5.4 Prädikatenlogik mit Gleichheit Resolution 192 Beispiel Bsp.: Betrachte Schlussweise in: 1 Wenn es regnet, dann wird die Straße nass. R N
3 Terme und Algebren 3.1 Terme
3 Terme und Algebren 3.1 Terme Mod - 3.1 In allen formalen Kalkülen benutzt man Formeln als Ausdrucksmittel. Hier betrachten wir nur ihre Struktur - nicht ihre Bedeutung. Wir nennen sie Terme. Terme bestehen
Implementierung von Rewriting-Bibliotheken in Curry
Arbeitsgruppe Programmiersprachen und Übersetzerkonstruktion Institut für Informatik Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Bachelorarbeit Implementierung von Rewriting-Bibliotheken in Curry Jan-Hendrik
Logik I. Symbole, Terme, Formeln
Logik I Symbole, Terme, Formeln Wie jede geschriebene Sprache basiert die Prädikatenlogik erster Stufe auf einem Alphabet, welches aus den folgenden Symbolen besteht: (a) Variabeln wie zum Beispiel v 0,v
Einführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Woche 7 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV 1 Wir betrachten die folgende Signatur
7. Prädikatenlogik. Aussagenlogik hat wünschenswerte Eigenschaften wie Korrektheit, Vollständigkeit, Entscheidbarkeit.
7. Prädikatenlogik Aussagenlogik hat wünschenswerte Eigenschaften wie Korrektheit, Vollständigkeit, Entscheidbarkeit. Aber: Aussagenlogik ist sehr beschränkt in der Ausdrucksmächtigkeit. Wissen kann nur
(b) Man nennt die Menge M beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist.
8 Punktmengen Für die Menge M = { 1 n ; n N } ist 1 = max(m), denn 1 M und 1 n 1 für alle n N. Die Menge M besitzt aber kein Minimum, denn zu jeder Zahl x = 1 n M existiert ein y M mit y < x, etwa y =
Reduktionssysteme und Termersetzungssysteme
Reduktionssysteme und Termersetzungssysteme Untersuchung von Berechnungen mittels Reduktionsregeln Simplifikation von: Datenstrukturen / Termen usw. Erkennen von gleichen Objekten durch Normalisierung
Automatische Analyse von Termination und Komplexität von (funktionalen) Programmen
Automatische Analyse von Termination und Komplexität von (funktionalen) Programmen Johannes Waldmann (HTWK Leipzig) Univ. Bonn, Juni 2012 1 / 20 Wie teuer sind diese Funktionen? data List k = N C k (List
Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme
Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme Max Kramer 13. Februar 2009 Diese Zusammenfassung entstand als persönliche Vorbereitung auf die Klausur zur Vorlesung Formale Systeme von Prof.
13 Auswahlaxiom und Zornsches Lemma
13 Auswahlaxiom und Zornsches Lemma Handout zur Funktionalanalysis I von H. Glöckner, 25.11.2008 Wichtige Teile der modernen Mathematik beruhen auf dem sogenannten Auswahlaxiom der Mengenlehre. Dieses
1 Syntax und Semantik der Logik erster Stufe
1 Syntax und Semantik der Logik erster Stufe Die Logik erster Stufe Prädikatenlogik) besitzt eine Syntax, die festlegt, welche Zeichenketten Formeln der Logik erster Stufe sind, und eine Semantik, die
Deklarative Semantik
7. Deklarative Semantik 7-1 Deklarative Semantik Bisher: Prolog als Programmiersprache. Operationale Semantik : Wie wird ein Programm ausgeführt? Welche Antworten werden berechnet? Jetzt: Prolog als logischer
Ultrametrik. Christian Semrau Metrische Räume
Ultrametrik Christian Semrau 05.11.2002 Inhaltsverzeichnis 1 Metrische Räume 1 1.1 Definition der Metrik.................................. 1 1.2 Offene und abgeschlossene Mengen..........................
Unvollständigkeit der Arithmetik
Unvollständigkeit der Arithmetik Slide 1 Unvollständigkeit der Arithmetik Hans U. Simon (RUB) Email: simon@lmi.rub.de Homepage: http://www.ruhr-uni-bochum.de/lmi Unvollständigkeit der Arithmetik Slide
Die Reduktion Hilberts 10. Problem
Die Reduktion Hilberts 10. Problem Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 8. November 2010 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit
Allgemeine Algebren. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden
Allgemeine Algebren Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Operationen Eine Operation auf einer Menge A ist eine Abbildung f : A n A. A n ist dabei
1 Prädikatenlogik. 1.1 Signaturen und Strukturen
1 Prädikatenlogik Die Constraint-logische Programmierung basiert auf der Prädikatenlogik: Constraints sind prädikatenlogische Formeln und logische Sprachen wie prolog machen einen Ausschnitt der Prädikatenlogik
1. [Aufgabe] Welche der folgenden Aussagen sind gültige Einwände gegen das Sprichwort Alles verstehen heisst alles verzeihen?
![1. [Aufgabe] Welche der folgenden Aussagen sind gültige Einwände gegen das Sprichwort Alles verstehen heisst alles verzeihen?](/thumbs/63/49911623.jpg "1. [Aufgabe] Welche der folgenden Aussagen sind gültige Einwände gegen das Sprichwort Alles verstehen heisst alles verzeihen?")
Lineare Algebra D-MATH, HS 2014 Prof. Richard Pink Lösung 1 1. [Aufgabe] Welche der folgenden Aussagen sind gültige Einwände gegen das Sprichwort Alles verstehen heisst alles verzeihen? a Niemand versteht
Aussagenlogik. Mengenlehre. Relationen. Funktionen. Zahlentheorie. Vollständige Induktion. Reihen. Zahlenfolgen. WS 2016/17 Torsten Schreiber
Mengenlehre Aussagenlogik Relationen Zahlentheorie Funktionen Vollständige Induktion Zahlenfolgen Reihen 193 Definition einer Menge: Beziehungsjunktoren: ist Element, d.h. Wert und Format stimmen überein
Semantik von Programmiersprachen SS 2017
Lehrstuhl für Programmierparadigmen Denis Lohner Sebastian Ullrich denis.lohner@kit.edu sebastian.ullrich@kit.edu Semantik von Programmiersprachen SS 2017 http://pp.ipd.kit.edu/lehre/ss2017/semantik Lösungen
Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Probleme über Sprachen. Teil II.
Dank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen
1.3 Wiederholung der Konvergenzkonzepte
1.3 Wiederholung der Konvergenzkonzepte Wir erlauben nun, dass der Stichprobenumfang n unendlich groß wird und untersuchen das Verhalten von Stichprobengrößen für diesen Fall. Dies liefert uns nützliche
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 3. Prädikatenlogik Teil 1 9.06.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Rückblick: Vor- und Nachteile von Aussagenlogik + Aussagenlogik
Kapitel 11. Prädikatenlogik Quantoren und logische Axiome
Kapitel 11 Prädikatenlogik Im Kapitel über Aussagenlogik haben wir die Eigenschaften der Booleschen Operationen untersucht. Jetzt wollen wir das als Prädikatenlogik bezeichnete System betrachten, das sich
8 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
8 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Beweis. 1. Sei A X abgeschlossen, dann ist X \ A offen und jede offene Überdeckung von A lässt sich durch Hinzunahme von X \ A auf ganz X fortsetzen. Die Kompaktheit von X erlaubt
das Konzept der Gleichung in der Algebra Robert Recorde Spielsemantik Semantik-Spiel FO mit oder ohne =? Abschnitt 2.5
Teil 2: FO Syntax und Semantik FO 2 Spielsemantik Semantik-Spiel Satz: A = ψ[a] V hat Gewinnstrategie in Position (ψ, a. Teil 2: FO Syntax und Semantik FO 2 das Konzept der Gleichung in der Algebra Robert
Kapitel 1. Grundlagen Mengen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
U = U, v i λ i = o und (z.b.) λ 1 0. i=1 1 = i=2. i=2
7 Lineare Unabhängigkeit, asis Existenzsatz M Am Ende des vorigen Paragraphen betrachteten wir bei vorgegebener Teilmenge T eines K-Vektorraumes V das Erzeugnis U von T in V. Die ildung des Erzeugnisses
Musterlösung Analysis 3 - Maßtherorie
Musterlösung Analysis 3 - Maßtherorie 10. März 2011 Aufgabe 1: Zum Aufwärmen (i) Zeige, dass die Mengensysteme {, X} und P(X) σ-algebren sind. Es sind jeweils nur die Charakteristika nachzuweisen. (1)
Dieser Foliensatz darf frei verwendet werden unter der Bedingung, dass diese Titelfolie nicht entfernt wird.
Thomas Studer Relationale Datenbanken: Von den theoretischen Grundlagen zu Anwendungen mit PostgreSQL Springer, 2016 ISBN 978-3-662-46570-7 Dieser Foliensatz darf frei verwendet werden unter der Bedingung,
Substitution. Unifikation. Komposition der Substitution. Ausführung der Substitution
Substitution Unifikation Ziel eines Widerspruchsbeweis: Widerspruch ja/nein Variablenbindung im Falle eines Widerspruchs Eine Substitution θ ist eine endliche Menge der Form {v 1 /t 1 v n /t n }, wobei
1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie
1 Einführung 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen 3 Berechnungsmodelle 4 Unentscheidbarkeit 5 Unentscheidbare Probleme 6 Komplexitätstheorie WS 11/12 155 Überblick Zunächst einmal definieren wir formal den Begriff
Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik
Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik Syntax und Semantik, Normalformen, Herbrandexpansion Michael Beetz Plan-based Robot Control 1 Inhalt 7.1 Motivation 7.2 Syntax und Semantik 7.3 Normalformen 7.4
1 Aussagenlogischer Kalkül
1 Aussagenlogischer Kalkül Ein Kalkül in der Aussagenlogik soll die Wahrheit oder Algemeingültigkeit von Aussageformen allein auf syntaktischer Ebene zeigen. Die Wahrheit soll durch Umformung von Formeln
Musterlösung 11.Übung Mathematische Logik
Lehr- und Forschungsgebiet Mathematische Grundlagen der Informatik RWTH Aachen Prof. Dr. E. Grädel, F. Reinhardt SS 2015 Aufgabe 2 Musterlösung 11.Übung Mathematische Logik Geben Sie für die folgenden
1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie
1 Einführung 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen 3 Berechnungsmodelle 4 Unentscheidbarkeit 5 Unentscheidbare Probleme 6 Komplexitätstheorie 139 Unentscheidbarkeit Überblick Zunächst einmal definieren wir formal
WS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
Prädikatenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Normalformen und Grenzen der Prädikatenlogik 1. Stufe
Prädikatenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Normalformen und Grenzen der Prädikatenlogik 1. Stufe 3 Teil 3: Modellierung und Beweise 4 Teil 4: Substitution, Unifikation und Resolution
Theoretische Informatik Mitschrift
Theoretische Informatik Mitschrift 2. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Beispiel: Syntaxdefinition in BNF :=
Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16
Lineare Algebra I - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß 1. Mengen und Abbildungen: Mengen gehören zu den Grundlegendsten Objekten in der Mathematik Kurze Einführung in die (naive) Mengelehre
Lemma Für jede monotone Grammatik G gibt es eine kontextsensitive
Lemma Für jede monotone Grammatik G gibt es eine kontextsensitive Grammatik G mit L(G) = L(G ). Beweis im Beispiel (2.): G = (V,Σ, P, S) : P = {S asbc, S abc, CB BC, ab ab, bb bb, bc bc, cc cc}. (i) G
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19. Syntax & Semantik
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19 & Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 23. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/25 Motivation Die ist eine Erweiterung
Zusammenfassung. Beispiel. 1 Wir betrachten die folgende Signatur F = {,, +, 0, 1} sodass. 3 Wir betrachten die Identitäten E. 4 Dann gilt E 1 + x = 1
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Christina Kohl Alexander Maringele eorg Moser Michael Schaper Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2016
11 Dezimalbruchdarstellung reeller Zahlen; Mächtigkeitsvergleich von Mengen
11 Dezimalbruchdarstellung reeller Zahlen; Mächtigkeitsvergleich von Mengen 11.1 g-adische Entwicklung von Zahlen aus [0, 1[ 11.2 g-adische Entwicklung reeller Zahlen 11.3 g-adische Entwicklung nicht-negativer
Kapitel L:III. III. Prädikatenlogik
Kapitel L:III III. Prädikatenlogik Syntax der Prädikatenlogik Semantik der Prädikatenlogik Wichtige Äquivalenzen Einfache Normalformen Substitution Skolem-Normalformen Standard-Erfüllbarkeit Prädikatenlogische
Terme. Dann ist auch f(t 1. Terme. Dann ist P (t 1
Prädikatenlogik 1. Syntax und Semantik Man kann die Prädikatenlogik unter einem syntaktischen und einem semantischen Gesichtspunkt sehen. Bei der Behandlung syntaktischer Aspekte macht man sich Gedanken
Stochastik I. Vorlesungsmitschrift
Stochastik I Vorlesungsmitschrift Ulrich Horst Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe 1 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume..................................
2.1 Allgemeines. Was ist eine Sprache? Beispiele:
Was ist eine Sprache? Beispiele: (a) Deutsch, Japanisch, Latein, Esperanto,...: Natürliche Sprachen (b) Pascal, C, Java, Aussagenlogik,...: Formale Sprachen Wie beschreibt man eine Sprache? (i) Syntax
Zusammenfassung. Definition. 1 (x i ) 1 i n Sequenz von Registern x i, die natürliche Zahlen beinhalten. 2 P ein Programm. Befehle: 1 x i := x i + 1
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Christina Kohl Alexander Maringele Georg Moser Michael Schaper Manuel Schneckenreither Eine Registermaschine (RM)
1 Körper. Wir definieren nun, was wir unter einem Körper verstehen, und sehen dann, dass es noch andere, ganz kleine Körper gibt:
1 Körper Sie kennen bereits 2 Beispiele von Zahlkörpern: (Q, +, ) (R, +, ) die rationalen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation die reellen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation Vielleicht
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 19. Oktober 2017 1/27 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage