Formale Methoden der Softwaretechnik 1 Vorlesung vom : Grundlage von Isabelle

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Formale Methoden der Softwaretechnik 1 Vorlesung vom : Grundlage von Isabelle"

Transkript

1 1 Formale Methoden der Softwaretechnik 1 Vorlesung vom : Grundlage von Isabelle Christoph Lüth, Lutz Schröder Universität Bremen Wintersemester 2009/10

2 2 Fahrplan Teil I: Grundlagen der Formalen Logik Teil II: Arbeiten mit Isabelle Grundlagen von Isabelle Logik höherer Ordnung Isabelle/HOL Beweise über funktionale Programme in Isabelle/HOL Beweisen mit Isabelle: Simplifikation, Taktiken Teil III: Modellierung imperative Programme

3 3 Fahrplan Grundlagen: der getypte λ-kalkül Unifikation und Resolution Beweisen in Isabelle

4 4 Der λ-kalkül In den 30 ern von Alonzo Church als theoretisches Berechhnungsmodell erfunden. In den 60 ern Basis von Lisp (John McCarthy) Mathematische Basis von funktionalen Sprachen (Haskell etc.) Hier: Grundlage der Synta ( higher-order abstract synta ) Typisierung Gebundene Variablen Warum?

5 5 Der polymorph getypte λ-kalkül Typen Type gegeben durch Typkonstanten: c C Type Typvariablen: α V Type (Menge V Type gegeben) Funktionen: s, t Type dann s t in Type Terme Term gegeben durch Konstanten: c C Variablen: v V Applikation: s, t Term dann s t Term Abstraktion: V, τ Type, t Term dann λ τ.t Term Typ τ kann manchmal berechnet werden. Signatur enthält C Type, C

6 6 Typisierung Signatur: Σ = C Type, C, ar, ar : C Type Typisierung der Konstanten Notation: Σ = {c 1 : τ 1,..., c n : τ n } für ar(c i ) = τ i Term t hat Typ τ in einem Kontet Γ und einer Signatur Σ: Γ Σ t : τ Kontet: 1 : τ 1,..., n : τ n ( i V) Typisierung von Variablen Vergleiche Haskell etc.

7 7 Typisierung Die Regeln: c : τ Σ Γ Σ c : τ CONST : τ Γ Γ Σ : τ VAR Γ Σ s : σ τ Γ Σ t : σ Γ Σ s t : τ APP Γ, : σ Σ t : τ Γ Σ λ σ.t : σ τ ABST

8 8 Einbettungen Beispiel: Einbettung der Prädikatenlogik mit PA Basistypen: C Type = {i, o} Konstanten: Σ T = {0 : i, s : i i, plus : i i i} Σ A = {eq : i i o, false : o, and : o o o,..., all : (i o) o, e : (i o) o} Σ = Σ T Σ A φ Form Σ t : o Beispiel:. y.( = y) all (λ.e (λy.(eq ) y))

9 9 Substitution s [ t ] ist Ersetzung von durch t in s Definiert durch strukturelle Induktion: c [ ] t def = c y [ { ] t def t = y = y y (r s) [ t ] def (λy.s) [ ] t def = = r [ ] [ t s t ] λy.s λy.s [ ] t [ ] λz.(s z y ) [ t ] = y y, y FV(t) y, y FV(t) mit z FV (t) (z frisch)

10 10 Reduktion und Äquivalenzen β-reduktion: (λ.s)t β s [ ] t def β-äquivalenz: = β = ( β β ) s = β t iff. u.s β u, t β u (Church-Rosser) α-äquivalenz: λ.t = α λy.t [ y ], y FV(t) Name von gebundenen Variablen unerheblich In Isabelle Implizit (debruijn-indizes) η-äquivalenz: λ.t = η t, FV(t) punktfreie Notation

11 11 Unifikation Für s, t Term oder s, t Type ist Substitution σ Unifikator wenn sσ = tσ Allgemeinster Unifikator τ: alle anderen Unifikatoren sind Instanzen von τ Allgemeinster Unifikator eindeutig, wenn er eistiert Unifikationsalgorithmus: τ(f t, g s) = false τ(f t, f s) = τ(t, s) τ(t, ) = [ ] t FVt τ(y, s) = [ ] y y FVs Matching: einseitige Unifikation (σ mit sσ = t)

12 12 Grundlagen von Isabelle Grundlage: getypter Λ-Kalkül Unifikation und Matching (apply (rule r)) Äquivalenzen: β-reduktion automatisch α-äquivalenz eingebaut (debruijn-indeing) η-äquivalenz automatisch Variablen, Formeln, Resolution

13 13 Variablen Meta-Variablen: können unifiziert und beliebig instantiiert werden freie Variablen (fied): beliebig aber fest Gebundene Variablen: Name beliebig (α-äquivalenz)

14 13 Variablen Meta-Variablen: können unifiziert und beliebig instantiiert werden freie Variablen (fied): beliebig aber fest Gebundene Variablen: Name beliebig (α-äquivalenz) Meta-Quantoren: Isabelles Eigenvariablen.P().P() alli!!. P ==> ALL. P Beliebig instantiierbar Gültigkeit auf diese (Teil)-Formel begrenzt

15 14 Formeln Formeln in Isabelle: φ 1,..., φ n ψ [[φ 1,..., φ n ]] = ψ φ 1,..., φ n Formeln, ψ atomar Theoreme: ableitbare Formeln Ableitung von Formeln: Resolution, Instantiierung, Gleichheit Randbemerkung: =,, formen Meta-Logik Einbettung anderer Logiken als HOL möglich generischer Theorembeweiser

16 15 Resolution Einfache Resolution (rule) Achtung: Lifting von Meta-Quantoren und Bedingungen

17 15 Resolution Einfache Resolution (rule) Achtung: Lifting von Meta-Quantoren und Bedingungen Randbemerkung: Unifikation höherer Stufe unentscheidbar Eliminationsresolution (erule) Destruktionsresolution (drule)

18 16 Rückwärtsbeweis Ausgehend von Beweisziel ψ Beweiszustand ist [[φ 1,..., φ n ]] = ψ φ 1,..., φ n : subgoals Beweisverfahren: Resolution, Termersetzung, Beweissuche

19 17 Zusammenfassung Getypter λ-kalkül als Grundlage der Metalogik, Modellierung von Logiken durch Einbettung Isabelle: Korrektheit durch Systemarchitektur Beweis: Rückwärts, Resolution Anmerkung: auch Vorwärtsbeweis möglich Donnerstag: Logik höherer Ordnung in Isabelle

Lösungen zum Aufgabenblatt 10 Logik und modelltheoretische Semantik

Lösungen zum Aufgabenblatt 10 Logik und modelltheoretische Semantik Lösungen zum Aufgabenblatt 10 Logik und modelltheoretische Semantik Universität München, CIS, SS 2013 Hans Leiß Abgabetermin: Do, 4.7.2013, 16 Uhr, in meinem Postfach Aufgabe 10.1 Vereinfache die folgenden

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 10. Prädikatenlogik Substitutionen und Unifikation Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Substitutionen Definition:

Mehr

Beweisen mit Semantischen Tableaux

Beweisen mit Semantischen Tableaux Beweisen mit Semantischen Tableaux Semantische Tableaux geben ein Beweisverfahren, mit dem ähnlich wie mit Resolution eine Formel dadurch bewiesen wird, dass ihre Negation als widersprüchlich abgeleitet

Mehr

Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen. notwendig: Existenz- und Allaussagen

Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen. notwendig: Existenz- und Allaussagen Prädikatenlogik 1. Stufe (kurz: PL1) Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen notwendig: Existenz- und Allaussagen Beispiel: 54 Syntax der Prädikatenlogik erster Stufe (in der

Mehr

Kapitel 11. Prädikatenlogik Quantoren und logische Axiome

Kapitel 11. Prädikatenlogik Quantoren und logische Axiome Kapitel 11 Prädikatenlogik Im Kapitel über Aussagenlogik haben wir die Eigenschaften der Booleschen Operationen untersucht. Jetzt wollen wir das als Prädikatenlogik bezeichnete System betrachten, das sich

Mehr

5. Lambda-Kalkül und Logik höherer Stufe

5. Lambda-Kalkül und Logik höherer Stufe 5. Lambda-Kalkül und Logik höherer Stufe 5.1 Lambda-Kalkül (ungetypt) Lambda-Notation, Lambda-Terme Konversionsregeln 5.2 Einfach getypter Lambda-Kalkül 5.3 (Prädikaten-)Logik höherer Stufe Motivation

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 4. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der Aussagenlogik:

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 1. Einführung Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Formale Logik Ziel Formalisierung und Automatisierung rationalen

Mehr

Operationale Semantik 1

Operationale Semantik 1 Operationae Semantik 1 Side 1 Zie: Geschossene Terme t ι ι sind Programme, die auf Eingabe n die Ausgabe [t] n erzeugen. Ein-/Ausgabekonvention: Eingaben und Ausgaben sind Numerae! Def. Ein Numera ist

Mehr

5.2 Logische Gültigkeit, Folgerung, Äquivalenz

5.2 Logische Gültigkeit, Folgerung, Äquivalenz 5.2 Logische Gültigkeit, Folgerung, Äquivalenz Durch Einsetzung von PL1-Formeln für die Metavariablen in AL-Gesetzen erhält man PL1-Instanzen von AL-Gesetzen. Beispiele: φ φ AL PL1-Instanzen: Pa () Pa

Mehr

Der Sequenzenkalkül. Charakterisierung der logischen Schlussfolgerung: Sequenzenkalkül für die Prädikatenlogik

Der Sequenzenkalkül. Charakterisierung der logischen Schlussfolgerung: Sequenzenkalkül für die Prädikatenlogik Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Der Sequenzenkalkül 138 Der Sequenzenkalkül Charakterisierung der logischen Schlussfolgerung: Sequenzenkalkül

Mehr

Funktionale Programmierung ALP I. λ Kalkül WS 2012/2013. Prof. Dr. Margarita Esponda. Prof. Dr. Margarita Esponda

Funktionale Programmierung ALP I. λ Kalkül WS 2012/2013. Prof. Dr. Margarita Esponda. Prof. Dr. Margarita Esponda ALP I λ Kalkül WS 2012/2013 Berechenbarkeit - inspiriert durch Hilbert's Frage - im Jahr 1900, Paris - Internationaler Mathematikerkongress Gibt es ein System von Axiomen, aus denen alle Gesetze der Mathematik

Mehr

Theoretische Informatik II

Theoretische Informatik II Vorlesung Theoretische Informatik II Bernhard Beckert Institut für Informatik Wintersemester 2007/2008 B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/08 1 / 179 Dank Diese Vorlesungsmaterialien basieren

Mehr

Inferenzmethoden. Einheit 18. Logik höherer Stufe

Inferenzmethoden. Einheit 18. Logik höherer Stufe Inferenzmethoden Einheit 18 Logik höherer Stufe 1. Syntax und Semantik 2. Simulation mathematischer Konstrukte 3. Beweisführung in Logik höherer Stufe Logik höherer Stufe Logik erster Stufe hat nur einfache

Mehr

Inferenzmethoden. Teil V. Behandlung spezifischer Fragestellungen

Inferenzmethoden. Teil V. Behandlung spezifischer Fragestellungen Inferenzmethoden Teil V Behandlung spezifischer Fragestellungen Spezialisierte Beweistechniken 1. Verarbeitung mathematischer Theorien 2. Gleichheitsbehandlung 3. Zahlen und Induktion 4. Termersetzung

Mehr

5.4 Die Prädikatenlogik 1.Stufe als Semantikformalismus

5.4 Die Prädikatenlogik 1.Stufe als Semantikformalismus 5.4 Die Prädikatenlogik 1.Stufe als Semantikformalismus 5.4.1 Einführung Einführung Verwendet wird die Sprache der Prädikatenlogik erster Stufe mit Identität (ohne Funktionskonstanten) mit dem folgenden

Mehr

Entwicklung eines korrekten Übersetzers

Entwicklung eines korrekten Übersetzers Entwicklung eines korrekten Übersetzers für eine funktionale Programmiersprache im Theorembeweiser Coq Thomas Strathmann 14.01.2011 Gliederung 1 Einleitung

Mehr

Was bisher geschah. deklarative Programmierung. funktionale Programmierung (Haskell):

Was bisher geschah. deklarative Programmierung. funktionale Programmierung (Haskell): Was bisher geschah deklarative Programmierung funktional: Programm: Menge von Termgleichungen, Term Auswertung: Pattern matsching, Termumformungen logisch: Programm: Menge von Regeln (Horn-Formeln), Formel

Mehr

κ Κα π Κ α α Κ Α

κ Κα π Κ α α Κ Α κ Κα π Κ α α Κ Α Ζ Μ Κ κ Ε Φ π Α Γ Κ Μ Ν Ξ λ Γ Ξ Ν Μ Ν Ξ Ξ Τ κ ζ Ν Ν ψ Υ α α α Κ α π α ψ Κ α α α α α Α Κ Ε α α α α α α α Α α α α α η Ε α α α Ξ α α Γ Α Κ Κ Κ Ε λ Ε Ν Ε θ Ξ κ Ε Ν Κ Μ Ν Τ μ Υ Γ φ Ε Κ Τ θ

Mehr

Lambda-Kalkül. Philipp Meyer. 28. April 2009

Lambda-Kalkül. Philipp Meyer. 28. April 2009 Lambda-Kalkül Philipp Meyer 28. April 2009 1 Einleitung Der λ-kalkül ist eine von Alonzo Church und Stephen Kleene in den 1930er Jahren eingeführtes Modell zur Beschreibung berechenbarer Funktionen. Es

Mehr

Entscheidungsverfahren für Bernays/Schönfinkelbzw. Datenlogik-Formeln

Entscheidungsverfahren für Bernays/Schönfinkelbzw. Datenlogik-Formeln Vorlesung Letz WS 2002/2003 TU München: Logikbasierte Entscheidungsverfahren Entscheidungsverfahren für Bernays/Schönfinkelbzw. Datenlogik-Formeln INHALTE Die Bernays-Schönfinkel-Klasse bzw. Datenlogik-Formeln

Mehr

Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser

Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr fuhr@uni-duisburg.de auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1 Teil I Logik 2 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische

Mehr

Schlussregeln aus anderen Kalkülen

Schlussregeln aus anderen Kalkülen Was bisher geschah Klassische Aussagenlogik: Syntax Semantik semantische Äquivalenz und Folgern syntaktisches Ableiten (Resolution) Modellierung in Aussagenlogik: Wissensrepräsentation, Schaltungslogik,

Mehr

Musterableitung Relativsätze als Hilfestellung zur Lösung von Aufgaben in den Übungen und der Klausur

Musterableitung Relativsätze als Hilfestellung zur Lösung von Aufgaben in den Übungen und der Klausur eminar: Formale emantik Modul 04-006-1006: Grammatikorie eminarleiter: Anke Assmann Institut für Linguistik Universität Leipzig Musterableitung Relativsätze als Hilfestellung zur Lösung von Aufgaben in

Mehr

Haskell, Typen, und Typberechnung. Grundlagen der Programmierung 3 A. Einige andere Programmiersprachen. Typisierung in Haskell

Haskell, Typen, und Typberechnung. Grundlagen der Programmierung 3 A. Einige andere Programmiersprachen. Typisierung in Haskell Haskell, Typen, und Typberechnung Grundlagen der Programmierung 3 A Typen, Typberechnung und Typcheck Prof. Dr. Manfred Schmidt-Schauß Ziele: Haskells Typisierung Typisierungs-Regeln Typ-Berechnung Milners

Mehr

Prolog basiert auf Prädikatenlogik

Prolog basiert auf Prädikatenlogik Software-Technologie Software-Systeme sind sehr komplex. Im Idealfall erfolgt die Programmierung problemorientiert, während die notwendige Übertragung in ausführbare Programme automatisch erfolgt. Prolog-Philosophie:

Mehr

3 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) Teil I

3 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) Teil I 3 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) Teil I 3.3 Quantoren [ Gamut 70-74 McCawley 23-44 Chierchia 113-117 ]? Sind folgende Sätze jeweils synonym? (1) (a) Hans ist verheiratet oder nicht verheiratet. (b)

Mehr

-ein Mustervergleicher ist ein Programm, das überprüft, ob ein Datum zu einem gegebenen Muster passt.

-ein Mustervergleicher ist ein Programm, das überprüft, ob ein Datum zu einem gegebenen Muster passt. Thema: Wie ein beispielhaftes Query-System funktioniert Vortragender: Petar Tonev 1. Vorworte - - Ziele und Aufgaben des Vortrags klären wie das für Beispiel verwendete Anfragesystem die Herleitung musterbasierter

Mehr

Beispiel. Bsp.: Betrachte Schlussweise in: (3) folgt aus (1) und (2), siehe z.b. Resolutionsregel. was ist mit folgender Schlußweise:

Beispiel. Bsp.: Betrachte Schlussweise in: (3) folgt aus (1) und (2), siehe z.b. Resolutionsregel. was ist mit folgender Schlußweise: Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 5.4 Prädikatenlogik mit Gleichheit Resolution 192 Beispiel Bsp.: Betrachte Schlussweise in: 1 Wenn es regnet, dann wird die Straße nass. R N

Mehr

De Morgan sche Regeln

De Morgan sche Regeln De Morgan sche Regeln Durch Auswerten der Wahrheitswertetabelle stellen wir fest, dass allgemeingültig ist; ebenso (p q) p q (p q) p q. Diese beiden Tautologien werden als die De Morgan schen Regeln bezeichnet,

Mehr

Ein Teddybär für Philosophen

Ein Teddybär für Philosophen Geo Siegwart Ein Teddybär für Philosophen Grammatik, Logik, Definitorik Break every rule! Tina Turner 1. Grammatik für Standardsprachen erster Stufe Sprachliche Gegebenheiten lassen sich im Lichte verschiedener

Mehr

4.1 Motivation. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 4.1 Motivation. 4.2 Syntax der Prädikatenlogik. 4.3 Semantik der Prädikatenlogik

4.1 Motivation. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 4.1 Motivation. 4.2 Syntax der Prädikatenlogik. 4.3 Semantik der Prädikatenlogik Theorie der Informatik 3. März 2014 4. Prädikatenlogik I Theorie der Informatik 4. Prädikatenlogik I 4.1 Motivation Malte Helmert Gabriele Röger 4.2 Syntax der Prädikatenlogik Universität Basel 3. März

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 7. Aussagenlogik Analytische Tableaus Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Der aussagenlogische Tableaukalkül

Mehr

Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie

Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie Andreas Maletti 9. Januar 2015 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften

Mehr

Logik-Grundlagen. Syntax der Prädikatenlogik

Logik-Grundlagen. Syntax der Prädikatenlogik Logik-Grundlagen X 1 :...: X k : ( A 1 A 2... A m B 1 B 2... B n ) Logische und funktionale Programmierung - Universität Potsdam - M. Thomas - Prädikatenlogik III.1 Syntax der Prädikatenlogik Prädikat:

Mehr

Aussagenlogische Kalküle

Aussagenlogische Kalküle Aussagenlogische Kalküle Ziel: mit Hilfe von schematischen Regeln sollen alle aus einer Formel logisch folgerbaren Formeln durch (prinzipiell syntaktische) Umformungen abgeleitet werden können. Derartige

Mehr

Proseminar Logik für Informatiker Thema: Prädikatenlogik (1.Teil)

Proseminar Logik für Informatiker Thema: Prädikatenlogik (1.Teil) Proseminar Logik für Informatiker Thema: Prädikatenlogik (1.Teil) Inhaltsverzeichnis 1. Warum eine mächtigere Sprache? 1.1. Einleitung 1.2. Definitionen 2. Prädikatenlogik als formale Sprache 2.1. Terme

Mehr

Deklarative Programmierung

Deklarative Programmierung Deklarative Programmierung Prof. Dr. Sibylle Schwarz Westsächsische Hochschule Zwickau Dr. Friedrichs-Ring 2a, RII 263 http://www.fh-zwickau.de/~sibsc/ sibylle.schwarz@fh-zwickau.de WS 2012/2013 1 Motivation...

Mehr

Hilbert-Kalkül (Einführung)

Hilbert-Kalkül (Einführung) Hilbert-Kalkül (Einführung) Es gibt viele verschiedene Kalküle, mit denen sich durch syntaktische Umformungen zeigen läßt, ob eine Formel gültig bzw. unerfüllbar ist. Zwei Gruppen von Kalkülen: Kalküle

Mehr

Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 6.1 Einführung. 6.2 Alphabete und formale Sprachen. 6.3 Grammatiken. 6.4 Chomsky-Hierarchie

Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 6.1 Einführung. 6.2 Alphabete und formale Sprachen. 6.3 Grammatiken. 6.4 Chomsky-Hierarchie Theorie der Informatik 17. März 2014 6. Formale Sprachen und Grammatiken Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 6.1 Einführung

Mehr

Übersicht. 9. Schließen in der Prädikatenlogik 1. Stufe

Übersicht. 9. Schließen in der Prädikatenlogik 1. Stufe Übersicht I Künstliche Intelligenz II Problemlösen III Wissen und Schlußfolgern 6. Logisch schließende Agenten 7. Prädikatenlogik 1. Stufe 8. Entwicklung einer Wissensbasis 9. Schließen in der Prädikatenlogik

Mehr

Rhetorik und Argumentationstheorie.

Rhetorik und Argumentationstheorie. Rhetorik und Argumentationstheorie 2 [frederik.gierlinger@univie.ac.at] Teil 2 Was ist ein Beweis? 2 Wichtige Grundlagen Tautologie nennt man eine zusammengesetzte Aussage, die wahr ist, unabhängig vom

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 6. Aussagenlogik Resolution Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Der aussagenlogische Resolutionkalkül Wesentliche

Mehr

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik 2. Klausur zum WS 2010/2011

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik 2. Klausur zum WS 2010/2011 Fakultät für Informatik 2. Klausur zum WS 2010/2011 Prof. Dr. Bernhard Beckert 08. April 2011 Vorname: Matrikel-Nr.: Platz: Klausur-ID: **Platz** **Id** Die Bearbeitungszeit beträgt 60 Minuten. A1 (17)

Mehr

3. Logik 3.1 Aussagenlogik

3. Logik 3.1 Aussagenlogik 3. Logik 3.1 Aussagenlogik WS 06/07 mod 301 Kalkül zum logischen Schließen. Grundlagen: Aristoteles 384-322 v. Chr. Aussagen: Sätze, die prinzipiell als ahr oder falsch angesehen erden können. z. B.: Es

Mehr

Formale Sprachen. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie. Rudolf FREUND, Marian KOGLER

Formale Sprachen. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie. Rudolf FREUND, Marian KOGLER Formale Sprachen Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Rudolf FREUND, Marian KOGLER Grammatiken Das fundamentale Modell zur Beschreibung von formalen Sprachen durch Erzeugungsmechanismen sind Grammatiken.

Mehr

Vorsemesterkurs Informatik

Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Mario Holldack WS2015/16 30. September 2015 Vorsemesterkurs Informatik 1 Einleitung 2 Aussagenlogik 3 Mengen Vorsemesterkurs Informatik > Einleitung

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 13. Prädikatenlogik Der Satz von Herbrand Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Semantische Bäume Eine klassische

Mehr

Syntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln

Syntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln Syntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln Σ = P, F eine prädikatenlogische Signatur Var eine Menge von Variablen Definition: Menge For Σ der Formeln über Σ Logik für Informatiker, SS 06 p.10 Syntax

Mehr

Logic in a Nutshell. Christian Liguda

Logic in a Nutshell. Christian Liguda Logic in a Nutshell Christian Liguda Quelle: Kastens, Uwe und Büning, Hans K., Modellierung: Grundlagen und formale Methoden, 2009, Carl Hanser Verlag Übersicht Logik - Allgemein Aussagenlogik Modellierung

Mehr

3 Terme und Algebren 3.1 Terme

3 Terme und Algebren 3.1 Terme 3 Terme und Algebren 3.1 Terme Mod - 3.1 In allen formalen Kalkülen benutzt man Formeln als Ausdrucksmittel. Hier betrachten wir nur ihre Struktur - nicht ihre Bedeutung. Wir nennen sie Terme. Terme bestehen

Mehr

Musterlösung der Klausur zur Vorlesung Logik für Informatiker

Musterlösung der Klausur zur Vorlesung Logik für Informatiker Musterlösung der Klausur zur Vorlesung Logik für Informatiker Bernhard Beckert Christoph Gladisch Claudia Obermaier Arbeitsgruppe Künstliche Intelligenz Fachbereich Informatik, Universität Koblenz-Landau

Mehr

Formale Semantik. λ Typenlogik. Tutorium WiSe 2013/ November Sitzung: Folien freundlicherweise bereitgestellt von Andreas Bischoff

Formale Semantik. λ Typenlogik. Tutorium WiSe 2013/ November Sitzung: Folien freundlicherweise bereitgestellt von Andreas Bischoff Formale Semantik Tutorium WiSe 2013/14 20. November 2013 3. Sitzung: λ Typenlogik Folien freundlicherweise bereitgestellt von Andreas Bischoff Grenzen der Typenlogik Das letzte Mal: lesen(duden*) ( Eigenschaft

Mehr

5.1 Inferenz. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 5.1 Inferenz. 5.2 Resolutionskalkül. 5.3 Zusammenfassung. Inferenz: Motivation

5.1 Inferenz. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 5.1 Inferenz. 5.2 Resolutionskalkül. 5.3 Zusammenfassung. Inferenz: Motivation Theorie der Informatik 9. März 2015 5. Aussagenlogik III Theorie der Informatik 5. Aussagenlogik III 5.1 Inferenz Malte Helmert Gabriele Röger 5.2 Resolutionskalkül Universität Basel 9. März 2015 5.3 Zusammenfassung

Mehr

Praktische Informatik 3: Einführung in die Funktionale Programmierung Vorlesung vom 10.11.2010: Rekursive Datentypen

Praktische Informatik 3: Einführung in die Funktionale Programmierung Vorlesung vom 10.11.2010: Rekursive Datentypen Rev. 1152 1 [23] Praktische Informatik 3: Einführung in die Funktionale Programmierung Vorlesung vom 10.11.2010: Rekursive Datentypen Christoph Lüth & Dennis Walter Universität Bremen Wintersemester 2010/11

Mehr

Formale Systeme. Aussagenlogik: Sequenzenkalkül. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

Formale Systeme. Aussagenlogik: Sequenzenkalkül. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz

Mehr

Einführung in die Logik

Einführung in die Logik Einführung in die Logik Klaus Madlener und Roland Meyer 24. April 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik 1 1.1 Syntax................................. 1 1.2 Semantik............................... 3 1.3

Mehr

Terme. Dann ist auch f(t 1. Terme. Dann ist P (t 1

Terme. Dann ist auch f(t 1. Terme. Dann ist P (t 1 Prädikatenlogik 1. Syntax und Semantik Man kann die Prädikatenlogik unter einem syntaktischen und einem semantischen Gesichtspunkt sehen. Bei der Behandlung syntaktischer Aspekte macht man sich Gedanken

Mehr

Montague-Grammatik (ohne Semantik)

Montague-Grammatik (ohne Semantik) Montague-Grammatik (ohne Semantik) R. Montague hat um 1970 eine Alternative zur Generativen Grammatik von N. Chomsky ausgearbeitet, die eine durch eine Ubersetzung der nat urlichsprachlichen Ausdr ucke

Mehr

Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme

Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme Max Kramer 13. Februar 2009 Diese Zusammenfassung entstand als persönliche Vorbereitung auf die Klausur zur Vorlesung Formale Systeme von Prof.

Mehr

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel Motivation Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19 & Die ist eine Erweiterung der Aussagenlogik. Sie hat eine größere Ausdrucksstärke und erlaub eine feinere Differenzierung. Ferner sind Beziehungen/Relationen

Mehr

Tableaukalkül für Aussagenlogik

Tableaukalkül für Aussagenlogik Tableaukalkül für Aussagenlogik Tableau: Test einer Formel auf Widersprüchlichkeit Fallunterscheidung baumförmig organisiert Keine Normalisierung, d.h. alle Formeln sind erlaubt Struktur der Formel wird

Mehr

Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen

Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Andreas Maletti 7. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Institut für Informatik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik:

Mehr

Lineare Differenzengleichungen

Lineare Differenzengleichungen Lineare Differenzengleichungen Die Fibonacci-Zahlen F n sind definiert durch F 0 = 0 F 1 = 1 F n = F n 1 +F n 2 für n >= 2 Die letzte Zeile ist ein Beispiel für eine homogene lineare Differenzengleichung

Mehr

Berechnungsschemata: Funktion als Parameter abstrahiert Operation im Schema, wird bei Aufruf des Schemas konkretisiert

Berechnungsschemata: Funktion als Parameter abstrahiert Operation im Schema, wird bei Aufruf des Schemas konkretisiert 6. Funktionen als Daten, Übersicht Orthogonales Typsystem: Funktionen sind beliebig mit anderen Typen kombinierbar Notation für Funktionswerte (Lambda-Ausdruck): fn (z,k) => z*k Datenstrukturen mit Funktionen

Mehr

Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Theoretische Grundlagen des Software Engineering Theoretische Grundlagen des Software Engineering 9: Prädikatenlogik schulz@eprover.org Rückblick 2 Rückblick: Vor- und Nachteile von Aussagenlogik Aussagenlogik ist deklarativ: Syntaxelemente entsprechen

Mehr

Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Logiken. bereinigt Pränex Skolem ( -Eliminierung) Klausel (Menge von Klauseln, Notation ohne Quantoren)

Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Logiken. bereinigt Pränex Skolem ( -Eliminierung) Klausel (Menge von Klauseln, Notation ohne Quantoren) Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Logiken klassische Aussagenlogik klassische Prädikatenlogik: Wiederholung Syntax, Semantik Normalformen: bereinigt Pränex Skolem ( -Eliminierung)

Mehr

mathe plus Aussagenlogik Seite 1

mathe plus Aussagenlogik Seite 1 mathe plus Aussagenlogik Seite 1 1 Aussagenlogik 1.1 Grundbegriffe Def 1 Aussage Eine Aussage ist ein beschriebener Sachverhalt, dem eindeutig einer der Wahrheitswerte entweder wahr oder falsch zugeordnet

Mehr

Dierentialgleichungen 2. Ordnung

Dierentialgleichungen 2. Ordnung Dierentialgleichungen 2. Ordnung haben die allgemeine Form x = F (x, x, t. Wir beschränken uns hier auf zwei Spezialfälle, in denen sich eine Lösung analytisch bestimmen lässt: 1. reduzible Dierentialgleichungen:

Mehr

Mathematische Logik. Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz. Felix Hensel. February 21, 2012

Mathematische Logik. Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz. Felix Hensel. February 21, 2012 Mathematische Logik Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz Felix Hensel February 21, 2012 Dies ist im Wesentlichen eine Zusammenfassung der Abschnitte 1.1-1.3 aus Wolfgang Rautenberg s Buch

Mehr

Prüfungsprotokoll Kurs 1825 Logik für Informatiker. Studiengang: MSc. Informatik Prüfer: Prof. Dr. Heinemann Termin: Januar 2015

Prüfungsprotokoll Kurs 1825 Logik für Informatiker. Studiengang: MSc. Informatik Prüfer: Prof. Dr. Heinemann Termin: Januar 2015 Prüfungsprotokoll Kurs 1825 Logik für Informatiker Studiengang: MSc. Informatik Prüfer: Prof. Dr. Heinemann Termin: Januar 2015 1. Aussagenlogik Alphabet und AS gegeben, wie sind die Aussagenlogischen

Mehr

Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution

Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Ralf Moeller Hamburg Univ. of Technology Boole'sche Algebra Äquivalenzen als "Transformationsgesetze" Ersetzbarkeitstheorem Zentrale

Mehr

Termersetzungssysteme. Andrei Morozyuk

Termersetzungssysteme. Andrei Morozyuk Verlauf 1 Grundlagen Terme Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Gleichungen Verlauf 1 Grundlagen Terme Substituitonen Gleichungen Oparationelle und Semantische

Mehr

Mathematik für Informatiker I

Mathematik für Informatiker I Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom 19.10.2004 In diesem Kurs geht es um Mathematik und um Informatik. Es gibt sehr verschiedene Definitionen, aber für mich ist Mathematik die Wissenschaft

Mehr

5. Vorlesung Wintersemester

5. Vorlesung Wintersemester 5. Vorlesung Wintersemester 1 Bewegung mit Stokes scher Reibung Ein dritter Weg, die Bewegungsgleichung bei Stokes scher Reibung zu lösen, ist die 1.1 Separation der Variablen m v = αv (1) Diese Methode

Mehr

3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik

3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik 3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik Wichtige Konzepte und Begriffe in Logiken: Syntax (Signatur, Term, Formel,... ): Festlegung, welche syntaktischen Gebilde als Formeln (Aussagen, Sätze,

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 10 4.06.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Hauptklausur: Montag, 23.07.2012, 16:00-18:00,

Mehr

Modelltheorie. Zunächst fixieren wir die Notation, die wir im Folgenden verwenden werden.

Modelltheorie. Zunächst fixieren wir die Notation, die wir im Folgenden verwenden werden. 1 Modelltheorie Die Modelltheorie beschäftigt sich mit der Klassifikation mathematischer Strukturen und Abbildungen mit Hilfe von logischen Formeln sowie dem Zusammenhang zwischen rein syntaktischen und

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. Stefan Kühnlein Dipl.-Math. Jochen Schröder Einführung in Algebra und Zahlentheorie Übungsblatt 10 Musterlösung Aufgabe 1 4

Mehr

ÜBUNG ZUM GRUNDKURS LOGIK SS 2016 GÜNTHER EDER

ÜBUNG ZUM GRUNDKURS LOGIK SS 2016 GÜNTHER EDER ÜBUNG ZUM GRUNDKURS LOGIK SS 2016 GÜNTHER EDER FORMALE SPRACHEN Bevor wir anfangen, uns mit formaler Logik zu beschäftigen, müssen wir uns mit formalen Sprachen beschäftigen Wie jede natürliche Sprache,

Mehr

Einführung in die mathematische Logik

Einführung in die mathematische Logik Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Einführung in die mathematische Logik Vorlesung 22 Repräsentierbarkeit in einer Theorie Wir haben schon in der zwanzigsten Vorlesung davon gesprochen, wann eine arithmetische

Mehr

Vorlesung. Logik und Diskrete Mathematik

Vorlesung. Logik und Diskrete Mathematik Vorlesung Logik und Diskrete Mathematik (Mathematik für Informatiker I) Wintersemester 2008/09 FU Berlin Institut für Informatik Klaus Kriegel 1 Literatur zur Vorlesung: C. Meinel, M. Mundhenk, Mathematische

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Dr. Werner Meixner, Dr. Alexander Krauss Sommersemester 2010 Lösungsblatt 11 15. Juli 2010 Einführung in die Theoretische

Mehr

Differentialgleichungen

Differentialgleichungen Kapitel Differentialgleichungen Josef Leydold Mathematik für VW WS 05/6 Differentialgleichungen / Ein einfaches Modell (Domar) Im Domar Wachstumsmodell treffen wir die folgenden Annahmen: () Erhöhung der

Mehr

Übersicht. Einführung in die Funktionale Programmierung: Einleitung & Motivation. Klassifizierung von Programmiersprachen (1)

Übersicht. Einführung in die Funktionale Programmierung: Einleitung & Motivation. Klassifizierung von Programmiersprachen (1) Stand der Folien: 18. Oktober 2010 Motivation Funktionale Programmiersprachen Haskell Übersicht Einführung in die Funktionale Programmierung: Einleitung & Motivation Dr. David Sabel 1 Motivation Übersicht

Mehr

David Harel, Dexter Kozen, Jerzy Tiuryn. Dynamic Logic. The MIT Press, 2000.

David Harel, Dexter Kozen, Jerzy Tiuryn. Dynamic Logic. The MIT Press, 2000. Kapitel 6 Programme In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Semantik von Programmen. Dazu betrachten wir eine kleine, idealisierte Programmiersprache IMP, die als Teilsprache von C aufgefasst werden

Mehr

Abschluss unter Operationen

Abschluss unter Operationen Abschluss unter Operationen Definition Definition: Es seien L eine Menge von Sprachen und τ eine n-stellige Operation, die über Sprachen definiert ist. Dann heißt L abgeschlossen unter τ, wenn für beliebige

Mehr

Einführung in die mathematische Logik

Einführung in die mathematische Logik Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2016 Einführung in die mathematische Logik Arbeitsblatt 3 Übungsaufgaben Aufgabe 3.1. Beweise mittels Wahrheitstabellen, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind.

Mehr

Theoretische Informatik. Alphabete, Worte, Sprachen

Theoretische Informatik. Alphabete, Worte, Sprachen Theoretische Informatik Alphabete, Worte, Sprachen Alphabete, Worte, Sprachen 1. Alphabete und Worte Definitionen, Beispiele Operationen mit Worten Induktionsbeweise 2. Sprachen Definition und Beispiele

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik echnische Universität München Fakultät für Informatik Prof. obias Nipkow, Ph.D. ascha öhme, Lars Noschinski ommersemester 2011 Lösungsblatt 5 6. Juni 2011 Einführung in die heoretische Informatik Hinweis:

Mehr

Formale Methoden in der Informatik Wiederholung klassische Logik Konkrete Datentypen (algebraische Strukturen) Abstrakte Datentypen

Formale Methoden in der Informatik Wiederholung klassische Logik Konkrete Datentypen (algebraische Strukturen) Abstrakte Datentypen Was bisher geschah Formale Methoden in der Informatik Wiederholung klassische Logik Konkrete Datentypen (algebraische Strukturen) Abstrakte Datentypen Syntax: Signatur Semantik: Axiome (FOL-Formeln, meist

Mehr

Prof. Dr. sc. Hans-Dieter Burkhard Vorlesung Winter-Semester 2003/04. Wissensrepräsentation: Resolution (im PK1)

Prof. Dr. sc. Hans-Dieter Burkhard Vorlesung Winter-Semester 2003/04. Wissensrepräsentation: Resolution (im PK1) Einführung in die KI Prof. Dr. sc. Hans-Dieter Burkhard Vorlesung Wissensrepräsentation: Resolution (im PK1) 2. Resolution Vorbild für Formalismus : exakt, präzise, (theoretisch) beherrscht Aufbau: Zeichen

Mehr

Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015

Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015 Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015 Teil 3: Logik 1 Aussagenlogik Einleitung Eigenschaften Äquivalenz Folgerung Normalformen 2 Prädikatenlogik Wenn eine Karte

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Kursprüfung Methoden der VWL Klausurteil Dynamische Methoden der VWL (Prof. Dr. Lutz Arnold) Wintersemester 2009/

Kursprüfung Methoden der VWL Klausurteil Dynamische Methoden der VWL (Prof. Dr. Lutz Arnold) Wintersemester 2009/ Kursprüfung Methoden der VWL Klausurteil Dynamische Methoden der VWL (Prof. Dr. Lutz Arnold) Wintersemester 2009/10 2.3.2010 Bitte gut leserlich ausfüllen: Name: Vorname: Matr.-nr.: Wird vom Prüfer ausgefüllt:

Mehr

Kapitel 1: Einführung

Kapitel 1: Einführung Funktionale Programmierung (WS2005/2006) 1/1 Kapitel 1: Einführung Lernziele dieses Kapitels 1. Unterschiede zwischen typisch imperativer und typisch funktionaler Programmierung 2. Nutzen einer Vielfalt

Mehr

3.2 Prädikatenlogik. WS 06/07 mod 321

3.2 Prädikatenlogik. WS 06/07 mod 321 3.2 Prädikatenlogik WS 06/07 mod 321 Prädikatenlogik umfasst Aussagenlogik mit atomaren Aussagen, Variablen, Junktoren. Zusätzliche Konzepte: A = (τ, Σ) sei die so genannte Termalgebra (mit Variablen,

Mehr

Mathematische Logik (Stand: Okt 08)

Mathematische Logik (Stand: Okt 08) I 1 Sprachaufbau und Induktion In diesem Abschnitt wird die formale Sprache der (AL) eingeführt. Zudem werden einige zentrale Konzepte der Logik, wie etwa induktive Definitionen, behandelt. Vorbemerkung

Mehr