Prädikatenlogiken. Mathematische Logik. Vorlesung 7. Alexander Bors. 6. & 27. April A. Bors Logik

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1 Prädikatenlogiken Mathematische Logik Vorlesung 7 Alexander Bors 6. & 27. April

2 Prädikatenlogiken Überblick 1 Formale Prädikatenlogiken erster Stufe (Quelle: Ziegler, pp. 3 24) (Abgeleitete) Axiome und Schlussregeln des Hilbertkalküls Der Gödelsche Vollständigkeitssatz und Folgerungen 2

3 Erinnerung Die letzte Vorlesungseinheit war zur Gänze der Semantik jener formalen Systeme, die wir für die Prädikatenlogik erster Stufe einführen werden, gewidmet. Wir haben u.a. den Wert eines σ-terms sowie den Wahrheitswert einer σ-formel unter einer Belegung in einer σ-struktur definiert, syntaktisches Einsetzen in einen Term sowie in eine Formel definiert und mit dem Substitutionslemma einen Zusammenhang zur Semantik hergestellt, den Begriff einer σ-tautologie definiert und einfache Resultate dazu bewiesen. Erinnerung: Eine σ-formel ϕ heißt σ-tautologie, falls ϕ unter allen Belegungen in allen σ-strukturen gilt. 3

4 Plan für die heutige Einheit Wie schon letztes Mal angekündigt, werden wir heute die Axiome und Schlussregeln des zu einer fixierten Signatur σ assoziierten formalen Systems auflisten, verifizieren, dass alle aufgelisteten Axiome Tautologien sind und die Schlussregeln von Tautologien nur auf weitere Tautologien führen, abgeleitete Axiome und Schlussregeln auflisten und herleiten sowie den Gödelschen Vollständigkeitssatz formulieren und mit seinem Beweis beginnen. 4

5 Aussagenlogische σ-tautologien Wir klären zuerst den Begriff einer aussagenlogischen σ-tautologie. Definition Es sei σ eine Signatur. Eine aussagenlogische σ-tautologie entsteht aus einer aussagenlogischen Tautologie (offiziell rein unter Verwendung der Junktoren und gebildet, wobei wir inoffizielle Abkürzungen wie vereinbart zulassen) durch Ersetzen der Aussagenvariablen durch beliebige σ-formeln. Beispiel: P 0 P 1 P 0 ist eine aussagenlogische Tautologie. Damit ist z.b. folgende σ group -Formel eine aussagenlogische σ group -Tautologie: x 0 : (x 0 x 0 = 1) x 1 : (x 1 1) x 0 : (x 0 x 0 = 1). 5

6 Aussagenlogische (σ, T )-Tautologien cont. Man beachte, dass in Definition der Vorgang des Ersetzens der Aussagenvariablen durch σ-formeln nicht mehr ausführlich rekursiv definiert wird. Wir überlassen dies den ZuhörerInnen als Übungsaufgabe, ebenso wie den Beweis von Lemma Es sei σ eine Signatur, f = f (p 1,..., p n ) eine aussagenlogische Formel. Bezeichnen wir mit f (ϕ 1,..., ϕ n ) jene σ-formel, die aus f (p 1,..., p n ) entsteht, indem man für i = 1,..., n die Aussagenvariable p i durch die σ-formel ϕ i ersetzt, so gilt, für alle Belegungen β in jeder σ-struktur M: M = f (ϕ 1,..., ϕ n )[β] µ(f ) = 1. Hierbei bezeichnet µ die Funktion, welche jeder aussagenlogischen Formel mit Aussagenvariablen aus {p 1,..., p n } ihren Wahrheitswert unter der Belegung µ : {p 1,..., p n } {0, 1}, µ(p i ) = 1 M = ϕ i [β] für i = 1,..., n, zuordnet. 6

7 Axiome und Schlussregeln des σ-hilbertkalküls Es sei σ eine Signatur. Der σ-hilbertkalkül ist das formale System, dessen Formeln die σ-formeln sind, dessen Tautologien die σ-tautologien sind und dessen Axiome und Schlussregeln im Folgenden angegeben werden. Axiome des σ-hilbertkalküls: 1 Alle aussagenlogischen σ-tautologien. 2 Die folgenden, so genannten Gleichheitsaxiome: 1 x : x = x. 2 x y : (x = y y = x). 3 x y z : (x = y y = z x = z). 4 Für jedes f σ op, k-stellig: x 1 x k y 1 y k : (x 1 = y 1 x k = y k fx 1 x k = fy 1 y k ). 5 Für jedes R σ rel, k-stellig: x 1 x k y 1 y k : (x 1 = y 1 x k = y k (Rx 1 x k Ry 1 y k )). 7

8 Axiome und Schlussregeln des σ-hilbertkalküls Axiome des σ-hilbertkalküls cont.: 3 Die so genannten -Quantorenaxiome: Für jede σ-formel ϕ, jeden σ-term t und jede für t in ϕ freie Variable x, die folgende σ-formel: ϕ t x x : ϕ. Schlussregeln des σ-hilbertkalküls: 1 Modus ponens: Für beliebige σ-formeln ϕ und ψ, die Regel ϕ,ϕ ψ ψ. 2 -Einführung: Für alle σ-formeln ϕ und ψ sowie alle Variablen x, welche nicht frei in ψ vorkommen, die Regel ϕ ψ xϕ ψ. 8

9 Axiome, Schlussregeln und Tautologien Wie angekündigt, werden wir nun folgendes Resultat beweisen: Lemma Es sei σ eine Signatur. 1 Jedes Axiom des σ-hilbertkalküls ist eine σ-tautologie. 2 Für die beiden Schlussregeln des σ-hilbertkalküls gilt: Sind die Voraussetzungen der Regel (die σ-formeln im Zähler ) σ-tautologien, so sind auch die Folgerungen (die σ-formeln im Nenner ) σ-tautologien. 9

10 Axiome, Schlussregeln und Tautologien cont. Beweis von Lemma Wir zeigen zuerst Punkt (1), also, dass alle Axiome σ-tautologien sind. Für aussagenlogische σ-tautologien folgt das direkt aus Lemma Für die Gleichheitsaxiome kann man es ohne Probleme direkt nachrechnen. Für die -Quantorenaxiome führen wir das Argument aus. Es sei also β eine Belegung in einer σ-struktur M. Dann folgt mit dem Substitutionslemma: M = ϕ t x [β] M = ϕ[β tm [β] x ] M = xϕ[β]. 10

11 Axiome, Schlussregeln und Tautologien cont. Beweis von Lemma cont. Nun zum Beweis von Punkt (2), betreffend die Schlussregeln. Zum Modus Ponens: Wenn ϕ und ϕ ψ beides σ-tautologien sind, dann heißt das: ϕ gilt in allen σ-strukturen unter jeder Belegung, ebenso wie ϕ ψ. Damit kann es keine σ-struktur sowie eine Belegung in dieser Struktur geben, sodass ψ falsch wird, denn dann wäre die Implikation ϕ ψ ebenfalls falsch, ein Widerspruch. Zur -Einführung: Es sei ϕ ψ eine σ-tautologie, M eine σ-struktur und β eine Belegung in M. Wir müssen zeigen, dass die Implikation xϕ ψ in M unter β gilt. Das ist klar, wenn xϕ in M unter β falsch ist, also können wir M = xϕ[β] annehmen. 11

12 Axiome, Schlussregeln und Tautologien cont. Beweis von Lemma cont. Nach Definition heißt das, es gibt ein a M mit M = ϕ[β a x ]. Da nach Annahme ϕ ψ eine σ-tautologie ist, gilt insbesondere M = (ϕ ψ)[β a x ], also folgt aus M = ϕ[β a x ], dass M = ψ[β a x ]. Daher muss M = ψ[β a x ] gelten, und da x in ψ nicht frei vorkommt, folgt M = ψ[β] und somit auch M = ( xϕ ψ)[β], wie wir zeigen wollten. Bevor wir uns den abgeleiteten Axiomen und Schlussregeln zuwenden, führen wir eine Terminologie und Notation ein. 12

13 Beweisbarkeit und der Korrektheitssatz Definition Es sei σ eine Signatur. Eine σ-formel ϕ heißt σ-beweisbar, falls sie im σ-hilbertkalkül ableitbar ist. Wir schreiben dafür: σ ϕ. Aus Lemma folgt unmittelbar: Satz (Korrektheitssatz) Es sei σ eine Signatur. Jede σ-beweisbare σ-formel ist eine σ-tautologie, also: σ ϕ = σ ϕ. Der Gödelsche Vollständigkeitssatz behauptet, dass auch die Umkehrung des Korrektheitssatzes gilt. 13

14 Abgeleitete Axiome und Schlussregeln Lemma Es sei σ eine Signatur. Im Folgenden meinen wir mit beweisbar stets σ-beweisbar. 1 Verallgemeinerter Modus Ponens: Sind ϕ 1,..., ϕ n sowie ϕ 1 ϕ n ψ beweisbare σ-formeln, so ist auch ψ beweisbar. Insbesondere gilt: Sind ϕ 1,..., ϕ n beweisbar, so auch ϕ 1 ϕ n. 2 -Quantorenaxiome: Ist x frei für t in ϕ, so ist xϕ ϕ t x beweisbar. 3 -Einführung: Ist x nicht frei in ϕ und ist ϕ ψ beweisbar, so ist auch ϕ xψ beweisbar. Insbesondere gilt: Ist ψ beweisbar, so auch xψ. 14

15 Abgeleitete Axiome und Schlussregeln cont. Beweis von Lemma Zu Punkt (1): Man sieht leicht, dass folgende σ-formel eine aussagenlogische σ-tautologie (insbesondere ein Axiom des σ-hilbertkalküls) ist: ((ϕ 1 ϕ n ) ψ) (ϕ 1 (ϕ 2 ( (ϕ n ψ)) )). Durch eine Anwendung von Modus Ponens erhält man also die Beweisbarkeit von ϕ 1 (ϕ 2 ( (ϕ n ψ)) ) und damit, nach n-maliger weiterer Anwendung von Modus Ponens, dass σ ψ. 15

16 Abgeleitete Axiome und Schlussregeln cont. Beweis von Lemma cont. Zu Punkt (2): ϕ t x x ϕ ist ein -Quantorenaxiom, und ( ϕ t x x ϕ) ( x ϕ ϕ t x ) ist eine aussagenlogische σ-tautologie, entstanden durch Einsetzen in die aussagenlogische Tautologie ( P 0 P 1 ) ( P 1 P 0 ). Durch eine Anwendung von Modus Ponens sieht man, dass σ x ϕ ϕ t x, wie gewünscht. 16

17 Abgeleitete Axiome und Schlussregeln cont. Beweis von Lemma cont. Zu Punkt (3): Nach Annahme ist ϕ ψ beweisbar, und (ϕ ψ) ( ψ ϕ) ist eine aussagenlogische σ-tautologie. Nach Modus Ponens gilt also auch T σ ψ ϕ. Da nach Annahme x nicht frei in ψ vorkommt, dürfen wir mittels -Einführung auf x ψ ϕ schließen. Aussagenlogik lässt uns dann hieraus wiederum auf ϕ x ψ schließen, wie gewünscht. Zum Insbesondere in Punkt (3): Angenommen, σ ψ. Fixiere eine beweisbare σ-formel ϕ, die x nicht frei enthält (z.b. das Gleichheitsaxiom x : x = x). ψ (ϕ ψ) ist eine aussagenlogische σ-tautologie, und man erhält mit Modus Ponens σ (ϕ ψ), durch -Einführung also auch σ ϕ xψ, also mit Modus Ponens σ xψ. 17

18 Formulierung des Vollständigkeitssatzes Satz (Gödelscher Vollständigkeitssatz) Es sei σ eine Signatur. Dann gilt: Eine σ-formel ϕ ist genau dann σ-beweisbar, wenn sie eine σ-tautologie ist, also: σ ϕ = σ ϕ. Beachte: Nach Lemma hängt der Begriff einer σ-tautologie ϕ nicht wirklich von σ ab; σ muss lediglich so groß sein, dass es alle in der Formel ϕ vorkommenden Konstanten-, Operations- und Relationssymbole umfasst. Daher ist die Notation = ϕ (ohne explizite Erwähnung von σ) wohldefiniert, und nach dem Vollständigkeitssatz ist damit auch die Notation ϕ wohldefiniert. 18

19 Überblick über den Beweis des Vollständigkeitssatzes Der wesentlichste Schritt zum Beweis von Satz wird der Beweis eines bemerkenswerten Satzes über Widerspruchsfreiheit von σ-theorien sein. Zuerst ein paar Begriffe: Definition Es sei σ eine Signatur. Eine σ-theorie ist eine Menge T von σ-sätzen, und eine σ-struktur M heißt ein Modell für T, falls M = τ für jeden σ-satz τ T. T heißt widerspruchsfrei, falls es keine σ-sätze ϕ 1,..., ϕ n T gibt, sodass σ (ϕ 1 ϕ n ). Im vorigen Kapitel (dem historischen Überblick) hatten wir Widerspruchsfreiheit für formale Systeme definiert. Man kann auch die Widerspruchsfreiheit von T mit der Widerspruchsfreiheit eines geeigneten formalen Systems, des (σ, T )-Hilbertkalküls, in Verbindung setzen. Mehr dazu am Ende dieses Abschnittes. 19

20 Überblick über den Beweis des Vollständigkeitssatzes cont. Der vorhin erwähnte bemerkenswerte Satz ist folgender: Satz Es sei σ eine Signatur, T eine σ-theorie. Dann gilt: T ist genau dann widerspruchsfrei, wenn T ein Modell hat. Bemerkungen: Die Richtung in Satz wird eine relativ leichte Folgerung aus dem Korrektheitssatz, Satz 2.4.5, sein. Die andere Richtung ist wesentlich aufwändiger. Wir skizzieren ihren Beweis grob, bevor wir sie im Detail beweisen, aber zuerst zeigen wir, wie aus Satz der Vollständigkeitssatz folgt. 20

21 Überblick über den Beweis des Vollständigkeitssatzes cont. Proposition Satz impliziert Satz Beweis Wir nehmen also die Aussage von Satz als gegeben an und zeigen damit Satz Die Richtung in Satz ist gerade der Korrektheitssatz, den wir bereits bewiesen haben. Zur Richtung : Wir zeigen die Kontraposition: Angenommen, ϕ ist nicht σ-beweisbar. Wir müssen zeigen, dass ϕ keine σ-tautologie sein kann. Nach Lemma 2.4.6(2) (den -Quantorenaxiomen) ist auch der universelle Abschluss ψ von ϕ nicht σ-beweisbar. 21

22 Überblick über den Beweis des Vollständigkeitssatzes cont. Beweis von Proposition cont. Damit ist nach Definition die σ-theorie T := { ψ} widerspruchsfrei. Denn ansonsten gäbe es ja ϕ 1,..., ϕ n T mit σ (ϕ 1 ϕ n ), also (da ϕ i ψ und unter Verwendung von Aussagenlogik) σ ψ ψ, also (wieder unter Verwendung von Aussagenlogik) σ ψ, ein Widerspruch. Nach Satz hat T somit ein Modell. Also gibt es eine σ-struktur, in der ψ falsch ist. Somit ist ψ, und damit nach Lemma auch ϕ, keine σ-tautologie, wie gewünscht. 22

23 Überblick über den Beweis des Vollständigkeitssatzes cont. Wir skizzieren nun zunächst grob den Beweis der Implikationsrichtung in Satz Es sei also T eine widerspruchsfreie σ-theorie, und wir müssen ein Modell für T finden. Diese Konstruktion eines Modells führen wir nicht für alle widerspruchsfreien σ-theorien aus, sondern nur für besonders schöne Theorien, die vollständigen Henkin-Theorien. Bei diesen ist die Definition des Modells sehr naheliegend; es handelt sich um ein so genanntes Modell aus Konstanten, und wir werden auch zeigen können, dass diese Theorien bis auf Isomorphie sogar genau ein Modell aus Konstanten haben. Anschließend bleibt nur noch zu zeigen, dass sich jede widerspruchsfreie σ-theorie T zu einer vollständigen Henkintheorie T erweitern lässt. Da jedes Modell von T auch ein Modell von T ist, sind wir dann fertig. 23

24 Neue Konstanten und vollständige Diagramme Diese Folie dient als Motivation zu Henkin-Theorien. Definition Es sei σ eine Signatur, C eine Menge, welche zu A(σ) {=,,, } {x 0, x 1,...} disjunkt ist. Dann heißt C eine Menge neuer Konstantensymbole für σ, und die Erweiterung von σ um C, notiert σ + C, ist die Erweiterung von σ, die entsteht, indem man die Elemente aus C als Konstantensymbole ansieht. Definition Es sei σ eine Signatur, M eine σ-struktur mit Trägermenge M. Weiter sei C = {c a a M} eine Menge neuer Konstantensymbole für σ (eines für jedes Element aus M). Das vollständige Diagramm von M zu C ist die Menge aller (σ + C)-Sätze, die in der (σ + C)-Struktur M gelten, welche als Expansion von M mit c M a = a, a M, eindeutig definiert ist. 24

25 Henkin-Theorien Man sieht leicht, dass vollständige Diagramme stets (σ + C)-vollständige Henkin-Theorien über der Menge C aus neuen Konstantensymbolen sind, in folgendem Sinne: Definition Es sei σ + eine Signatur, C σ + const. 1 Eine σ + -Theorie T + heißt Henkintheorie über C, falls es zu jeder σ + -Formel ϕ(x) (in einer freien Variable x) eine Konstante c C gibt mit ( xϕ(x) ϕ(c)) T +. 2 Eine σ + -Theorie T heißt σ + -vollständig, wenn sie widerspruchsfrei ist, und wenn für jeden σ + -Satz ϕ gilt: ϕ T oder ϕ T. 25

26 Das Konstanten-Modell einer vollständigen Henkin-Theorie Für den Beweis von Satz beginnen wir damit, zu zeigen, dass jede σ + -vollständige Henkin-Theorie bis auf Isomorphie genau ein Modell aus Konstanten besitzt, in folgendem Sinne: Definition Es sei σ + eine Signatur, T eine σ + -Theorie. Eine σ + -Struktur M heißt ein Modell aus Konstanten für T, falls 1 M ein Modell für T ist und 2 die Funktion σ + const M, c c M, surjektiv ist. Satz Es sei σ + eine Signatur, T eine vollständige σ + -Henkintheorie (über irgendeiner Teilmenge C σ + const). Dann besitzt T bis auf Isomorphie genau ein Modell aus Konstanten. 26

27 Ableitungen aus einer Theorie Bevor wir beginnen, Satz zu beweisen, brauchen wir ein paar Vorarbeiten. Wir beschäftigen uns mit folgendem Konzept: Definition Es sei σ eine Signatur, T eine σ-theorie. Für eine σ-formel ϕ schreiben wir T σ ϕ (und sagen, ϕ sei aus T ableitbar), falls es n N (möglicherweise n = 0) und ψ 1,..., ψ n T gibt mit σ ψ 1 ψ n ϕ (wobei diese Implikation im Fall n = 0 einfach die Formel ϕ selbst sei). Beachte: σ ϕ genau dann, wenn σ ϕ. Wir werden als nächstes zeigen, dass sich dieser Beweisbarkeitsbegriff sehr ähnlich zu dem bereits eingeführten, σ, verhält. 27

28 Ableitungen aus einer Theorie cont. Lemma Es sei σ eine Signatur, T eine σ-theorie. Dann gilt für alle σ-formeln ϕ und ψ: 1 T σ τ für jedes τ T. 2 Wenn σ ϕ, dann auch T σ ϕ. 3 T σ ϕ ψ genau dann, wenn T σ ϕ und T σ ψ. 4 Wenn T σ ϕ und T σ ϕ ψ, dann T σ ψ. 28

29 Ableitungen aus einer Theorie cont. Beweis von Lemma Punkt (1) folgt sofort aus σ τ τ. Zu Punkt (2): Folgt aus der Konvention für den Fall n = 0. Punkt (3): Übung. Punkt (4): Da T σ ϕ, gibt es ψ 1,..., ψ m T mit σ (ψ 1 ψ m ϕ) : α. Ebenso folgt aus T σ ϕ ψ, dass es χ 1,..., χ n T gibt mit σ (χ 1 χ n (ϕ ψ)) : β. Nach Lemma 2.4.6(1) (verallgemeinerter Modus Ponens) folgt σ α β. Setze γ : ψ 1 ψ m χ 1 χ n ψ. Nach Aussagenlogik gilt σ α β γ, und somit nach Modus Ponens σ γ, woraus nach Definition T σ ψ folgt. 29

30 Deduktive Abgeschlossenheit Definition Es sei σ eine Signatur. Eine σ-theorie T heißt σ-deduktiv abgeschlossen, falls für alle σ-sätze τ gilt: T σ τ τ T. Beachte, dass die Richtung immer gilt, nach Lemma (1). Lemma Es sei σ eine Signatur. Dann gilt: Vollständige σ-theorien sind σ-deduktiv abgeschlossen. 30

31 Deduktive Abgeschlossenheit cont. Beweis von Lemma Angenommen, T ist vollständig und T σ τ. Wir müssen zeigen, dass τ T. Indirekt: Angenommen, τ / T. Da T vollständig ist, gilt dann τ T, also nach Lemma (1) auch T σ τ. Nach Lemma (3) folgt T σ τ τ, d.h., σ (ψ 1 ψ n ) (τ τ) für geeignete ψ 1,..., ψ n T. Nun muss man nur noch Aussagenlogik und Modus Ponens anwenden, um σ (ψ 1 ψ n ), also die Widersprüchlichkeit von T, zu erhalten, im Widerspruch zur Annahme, T sei vollständig (und damit nach Definition auch widerspruchsfrei). 31

32 Modell aus Konstanten: Eindeutigkeit Beweis von Satz Eindeutigkeit: Setze C + := σ + const. Angenommen, M und N sind beides Modelle aus Konstanten für T, mit Trägermengen M = {c M c C + } und N = {c N c C + }. Da T vollständig ist und M sowie N Modelle von T sind, muss für jeden σ + -Satz τ gelten: M = τ τ T N = τ. Es folgt für c, d C + : c M = d M M = c = d N = c = d c N = d N. Damit ist die Funktion F : M N, c M c N, wohldefiniert und eine Bijektion. Wir zeigen, dass F sogar ein Isomorphismus zwischen M und N ist. 32

33 Modell aus Konstanten: Eindeutigkeit cont. Beweis von Satz Wir rechnen nach: Für alle c C + : F (c M ) = c N : klar nach Definition. Für alle R σ rel, k-stellig, und alle c 1,..., c k C + : (c M 1,..., cm k ) RM M = Rc 1 c k N = Rc 1 c k (c N 1,..., cn k ) = (F (cm 1 ),..., F (cm k )) RN. Für alle f σ op, k-stellig, und alle c 1,..., c k C + : Es sei c C + so gewählt, dass f M (c M 1,..., cm k ) = cm. Dann gilt also M = fc 1 c k = c, und damit auch N = fc 1 c k = c. Es folgt: F (f M (c M 1,..., cm k )) = F (cm ) = c N = f N (c N 1,..., cn k ) = f N (F (c M 1 ),..., F (cm k )). 33

34 Modell aus Konstanten: Existenz Wir wenden uns nun dem Existenz-Beweis für ein Modell M aus Konstanten zu. Da wir bereits wissen, dass die Interpretationsfunktion C + M, c c M surjektiv sein muss, wäre die naheliegende erste Idee, die Menge C + selbst als Trägermenge für M zu verwenden, jedes Konstantensymbol aus C + als es selbst zu interpretieren und zusätzlich auf C + geeignete Operationen und Relationen zu definieren. Beachte allerdings: Es kann natürlich durchaus sein, dass (c = d) T für verschiedene Konstantensymbole c und d. In diesem Fall müssen aber die Interpretationen von c und d im zu konstruierenden Modell natürlich gleich sein. 34

35 Modell aus Konstanten: Existenz cont. Somit wird nicht C + selbst die Trägermenge, sondern die Quotientenmenge (Menge aller Äquivalenzklassen) C + /, wobei die Äquivalenzrelation auf C +, gegeben durch c d : c = d T, ist. Wir müssen aber erst nachweisen, dass tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist. Da σ + x : x = x (ist das erste Gleichheitsaxiom) sowie σ + x : (x = x) c = c für jedes c C + (ist ein -Quantorenaxiom), folgt mittels Modus Ponens, dass auch σ + c = c, also nach Lemma (2) T σ + c = c und somit (c = c) T wegen der deduktiven Abgeschlossenheit von T nach Lemma , womit reflexiv ist. Mit ähnlichen Argumenten sieht man, dass auch symmetrisch und transitiv ist; wir überlassen die Details den HörerInnen als Übung. 35

36 Modell aus Konstanten: Existenz cont. Damit können wir nun guten Gewissens M := C + / = {[c] c C + } setzen ([c] bezeichnet die Äquivalenzklasse von c), sowie c M := [c]; die Interpretationen der Konstantensymbole der Signatur σ + im zu definierenden Modell M sind also geklärt. Es bleibt noch Folgendes zu tun: die Interpretationen der Operations- und Relationssymbole zu erklären sowie zu zeigen, dass M ein Modell von T ist, dass also M = τ für jeden Satz τ T (dass M ein Modell aus Konstanten ist, ist nach Definition klar). 36

37 Modell aus Konstanten: Existenz cont. Wir beginnen mit der Erklärung der Interpretation R M von R, einem k-stelligen Relationssymbol aus σ. Wir haben eigentlich gar keine Freiheit bei der Wahl von R M, denn es soll ja für alle c 1,..., c k C + gelten: ([c 1 ],..., [c k ]) = (c1 M,..., cm k ) RM M = Rc 1 c k Rc 1 c k T. Daher müssen wir nur zeigen, dass R M wohldefiniert ist durch ([c 1 ],..., [c k ]) R M : Rc 1 c k T. Es seien also c 1,..., c k, d 1,..., d k C + mit c i d i für i = 1,..., k. D.h., es gilt (c i = d i ) T, bzw. äquivalent T σ + c i = d i, i = 1,..., k. Nach Lemma (3) und mit Induktion nach k folgt damit T k σ + i=1 (c i = d i ). Zudem: T σ + ( k i=1 (c i = d i ) (Rc 1 c k Rd 1 d k )) (folgt aus einem der Gleichheitsaxiome durch Einsetzen ( -Axiom plus Modus Ponens)). 37

38 Modell aus Konstanten: Existenz cont. Nach Modus Ponens, der Definition der abkürzenden Schreibweise sowie Lemma (3) gilt also T σ + Rc 1 c k Rd 1 d k und T σ + Rd 1 d k Rc 1 c k. Damit sieht man (erneut wegen Modus Ponens), dass die (metatheoretische) Äquivalenz (T σ + Rc 1 c k ) (T σ + Rd 1 d k ) gilt. Und damit folgt (unter Verwendung der deduktiven Abgeschlossenheit von T ): (Rc 1 c k T ) (Rd 1 d k T ), wie für die Wohldefiniertheit von R M erforderlich. 38

39 Modell aus Konstanten: Existenz cont. Um die Definition der σ + -Struktur M abzuschließen, müssen wir noch die Interpretationen der Operationssymbole definieren. Es sei also f ein k-stelliges Operationssymbol aus σ +. Wir zeigen zwei Dinge: 1 Für alle c 1,..., c k C + gibt es ein c 0 = c 0 (c 1,..., c k ) C + mit (fc 1 c k = c 0 ) T. 2 [c 0 ] ist durch [c 1 ],..., [c k ] eindeutig bestimmt. Sobald wir diese zwei Aussagen gezeigt haben, ist klar, dass durch f M (c M 1,..., cm k ) := c 0(c 1,..., c k ) M eine k-stellige Operation auf M wohldefiniert ist. 39

40 Modell aus Konstanten: Existenz cont. Zur ersten Aussage: Da σ + fc 1 c k = fc 1 c k, folgt mittels -Quantorenaxiom σ + x : fc 1 c k = x. Und da T eine Henkin-Theorie ist, gibt es c 0 C + mit ( x : (fc 1 c k = x) fc 1 c k = c 0 ) T. Unter Verwendung von Lemma und der deduktiven Abgeschlossenheit von T erhalten wir damit (fc 1 c k = c 0 ) T. Zur zweiten Aussage: Geht sehr ähnlich wie der Beweis der Wohldefiniertheit von R M ; für die Details siehe die Übungen. 40

41 Ausblick auf nächstes Mal In der nächsten Vorlesungseinheit werden wir zeigen, dass die gerade definierte σ + -Struktur M tatsächlich ein Modell von T ist (und damit den Beweis, dass vollständige Henkin-Theorien jeweils bis auf Isomorphie genau ein Modell aus Konstanten haben, abschließen), die Behauptung, dass allgemein jede konsistente Theorie T ein Modell hat, auf den dann bereits behandelten Fall vollständiger Henkin-Theorien reduzieren (womit dann der Vollständigkeitssatz zur Gänze bewiesen ist), einige interessante Folgerungen aus dem Vollständigkeitssatz diskutieren. 41