Einführung in die Logik

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1 Martin Rippel Einführung in die Logik Zusammenfassung der Vorlesung von Prof. Dr. Karl Georg Niebergall (SS 2010)

2 Vorbemerkung : Dies ist eine Zusammenfassung der wesentlichen Inhalte der Vorlesungen Einführung in die Logik gehalten von Prof. Dr. Karl Georg Niebergall im Rahmen des Studiengangs Philosophie an der Humboldt-Universität Berlin im Sommersemester Sie erhebt weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Inhalt : In dem Kurs Einführung in die Logik soll behandelt werden: Syntax der Aussagenlogik und Prädikatenlogik 1. Stufe mit Identität: Vokabular, induktive Definition der Formeln. Paraphrasen der Umgangssprache in formale Sprache und umgekehrt. Wahrheitswerttafeln und formale Semantik der Aussagenlogik. Aussagen- und prädikatenlogische Axiomensysteme (Hilberttyp-Kalküle) und Regelsysteme (KM-Kalkül). Beweisen im Kalkül. Induktiv und explizit definierte Theoremmengen. Formale Semantik der Prädikatenlogik 1. Stufe mit Identität: Definition von Belegung h erfüllt A in M. Beweis der Vollständigkeit (Korrektheit und Adäquatheit) der aussagenlogischen und prädikatenlogischen Axiomatisierungen. Beweise im Stile von Henkin über maximal-konsistente Formelmengen und Termmodelle. Literatur : Godehard Link, Collegium Logicum - Logische Grundlagen der Philosophie und der Wissenschaften, Band 1, 2009 Urheberrecht : Diese Zusammenfassung steht unter der Creative Commons Lizenz (by-nc-sa). Es ist Ihnen somit gestattet das Werk zu vervielfältigen, verbreiten, öffentlich zugänglich zu machen und Abwandlungen bzw. Bearbeitungen des Inhaltes anzufertigen, solange Sie folgende drei Punkte beachten: 1. Namensnennung Sie müssen den Namen des Autors/Rechteinhabers in der von ihm festgelegten Weise nennen. 2. Keine kommerzielle Nutzung Dieses Werk darf nicht für kommerzielle Zwecke verwendet werden. 3. Weitergabe unter gleichen Bedingungen Wenn Sie den lizenzierten Inhalt bearbeiten oder in anderer Weise umgestalten, verändern oder als Grundlage für einen anderen Inhalt verwenden, dürfen Sie den neu entstandenen Inhalt nur unter Verwendung von Lizenzbedingungen weitergeben, die mit denen dieses Lizenzvertrages identisch oder vergleichbar sind. Weitere Informationen dazu finden sie unter: Dank : Mein Dank für Hilfe und Unterstützung geht an Dennis Groh. 1

3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Warum Logik? Behauptungssatz / Folgerungsbeziehung Wahrheits-Zugang Notation der Junktoren Beispiele Beispiel Beispiel Bermerkungen Wiederholung de Morgan sches Gesetz Platon und die Griechen Quantifikation Identität naive Mengentheorie Extensionalitätsprinzip Church sche Konversionsprinzip Leere Menge Einermenge Paarmenge Defitionen Teilmenge Potenzmenge geordnete Paare (Tupel) Funktion Eigenschaften Mächtigkeit, Kardinalität unendlich große Mengen Aussagenlogische Sprache Satzkonstanten Ausdrücke Formeln/Sätze Konkardination Quine-corner Definition weiterer Junktoren formale Semantik Wahrheitswerte Anwednung Belegungen Wert Tautologie logische Folgerung Prädikatenlogische Sprache erster Stufe Kennzeichnungsterme Vokabular Syntax induktive Termdefinition induktive Formeldefinition Prädikatenlogische Sprache der Mengentheorie Vokabular Extensionalitätsprinzip Church sche Konversionsprinzip Vereinigungsmenge Paarmenge

4 5.6.6 leere Menge Potenzmenge Prädikatenlogische Sprache der Zahlentheorie Vokabular Robinson-Arithmetik Kalküle des natürlichen Schließens Kalish-Montague-Kalkül (KM-Kalkül) KM-Kalkül der aussagenlogischen Sprache Ableitungsbegriff / Definition der Herleitung KM-Kalkül der prädikatenlogischen Sprache Axiomatischer Kalkül oder Hilbert-Typ Kalkül für AL Aximomenschemata Schlussregel Dedutktionstheorem Induktionsbeweis

5 Einleitung 1.1 Warum Logik? Logik wichtig für Verständnis der philosophischen Schriften (z.b. Quine, Davidson, Tarski) Erkennen logischer Argumente und zum Verstehen logischer Schlüsse (Prämisse Behauptung) 1.2 Behauptungssatz / Folgerungsbeziehung aus x folgt y x impliziert y 1.3 Wahrheits-Zugang x ist wahr Berlin ist eine Stadt. - wahr? Berlin ist ein Wort. - wahr? Eine Stadt ist ein Wort? - wahr? Es bleibt unklar was hier bezeichnet wird. Je nach Standpunkt sind Sätze wahr oder nicht. für Logik eigentlich nicht relevant Berlin ist größer als München - wahr? historischer Zufall? besser x ist logisch wahr / falsch Wenn Berlin eine Stadt ist, dann ist Berlin eine Stadt. verallgemeinert: wenn A, dann A immer richtig Tautologie Berlin ist eine Stadt oder Berlin ist keine Stadt. verallgemeinert: A oder nicht A immer richtig Tautologie Berlin ist eine Stadt und Berlin ist nicht eine Stadt. verallgemeinert: A und nicht A immer falsch Kontradiktion logische Wahrheiten selbst sind trivial, nicht das analysieren dieser 1.4 Notation der Junktoren Junktoren sind Satzverknüpfer, die aus zwei Sätzen (z.b. A und B) einen neuen Satz bilden für den bestimmte Bedingungen gelten Zeichen Bedeutung A nicht A A B wenn A, dann B A B A genau dann, wenn B A B A und B A B A oder B 4

6 1.5 Beispiele Beispiel 1 (A B) ( A B) Einfach auflösbar mit naivem Sprachverständnis an Hand von Beispielen. Beispiel A - es regnet B - die Straße ist nass Wenn es regnet, dann ist die Straße nass impliziert, wenn es nicht regnet, dann ist die Straße nicht nass. Dieses Verfahren taugt bestenfalls für einfache Beispiele. Wirklich beweisen lassen sich allgemeine Behauptungen mit wenn-dann-konstruktionen durch Zerlegung und mit Hilfe des Modus Ponens. 1. Nimm (A B) an und versuche ( A B) zu zeigen 2. Nimm A an und versuche B zu zeigen 3. Schlussregel Modus Ponens (MP) A,A B B Beispiel 2 (A (B C)) ((A B) (A C)) Das gleiche Verfahren lässt sich bei sturem Verfolgen der Regeln auch für komplexe Beispiele umsätzen: 1. Ann: (A (B C)) Zeige: ((A B) (A C)) 2. Ann: (A B) Zeige: (A C) 3. Ann: A Zeige: C 4. MP (A,A B) B 5. MP (A,(A (B C))) (B C) 6. MP (B,(B C)) C 1.6 Bermerkungen Anführungszeichen benötigen eine Konvention! (bsp. Berlin ist eine Stadt - Kennzeichnung von Namen!) Sprechen über Sätze (bsp. Berlin ist eine Stadt ist wahr) Wir verlassen informelles Resonieren und betreten mit Mengentheorie bewaffnet das Gebiet der formalen Sprache! Wiederholung Berlin ist eine Stadt, genau dann wenn es nicht der Fall ist, dass es nicht der Fall ist, dass Berlin eine Stadt ist. A A 5

7 1.8 de Morgan sches Gesetz Zeige de Morgansch es Gesetz gilt ( A B) (A B) Hinweg Rückweg Ann: ( A B) Zeige: (A B) Widerspruchsbeweis: Ann: (A B) Ann: A Widerspruch zu Annahme ( A B) Ann: B Widerspruch zu Annahme ( A B) Widerspruch! Ann: (A B) Zeige: ( A B) Zeige: (A B) A Ann: (A B) Zeige: A Zeige: (A B) B Widerspruch! Ann: (A B) Zeige: B 1.9 Platon und die Griechen Jeder Mensch ist ein Grieche vs. Platon ist ein Grieche Platon ist ein Grieche zerlegbar in Prädikat ist ein Grieche und Term Platon Jeder Mensch ist ein Grieche nicht so einfach zerlegbar, da jeder Mensch kein einfacher Term Umformulierung: Für jedes Objekt gilt: Wenn es ein Mensch ist, ist es ein Grieche Quantifikation Für jedes Objekt gilt: Wenn es ein Mensch ist, ist es ein Grieche. für jede lässt sich vereinfacht durch den Allquantor ausdrücken x(x ist ein Mensch x ist ein Grieche) Für jede natürliche Zahl gibt es eine, die Größer ist. gibt es lässt sich vereinfacht durch den Existenzquantor ausdrücken x y(x < y) entspricht notwendiger entspricht möglicherweise die letzten beiden (modalen) Quantoren werden jdeoch nicht behandelt 6

8 1.11 Identität A = A ist eine logische Wahrheit die Identitätsbeziehung ist eine Typus logischer Wahrheiten, die sich nicht durch Quantoren und Junktoren ausdrücken lassen 2 naive Mengentheorie Möglichkeit ein Element einer Menge zuzuschreiben: x A Beispiel 5 N Die Zahl 5 ist ein Element der Menge der natürlichen Zahlen Berlin {Berlin, München} Berlin ist ein Element der Menge der Elemente Berlin und München 2.1 Extensionalitätsprinzip x : (x A x B) A = B Wenn für alle x gilt, genau dann wenn x ein Element von A ist, ist x auch ein Element von B, dann sind die Mengen A und B gleich. 2.2 Church sche Konversionsprinzip a {x, ϕ(x)} ϕ(a) Nehmen wir an a steht für Berlin und ϕ(x) steht für x ist eine Stadt so ergibt sich demnach: Berlin ist genau dann ein Element der Menge bestehend aus x und x ist eine Stadt, wenn Berlin ist eine Stadt. 2.3 Leere Menge Eine besonderen Typ Menge erhalten wir, wenn wir nach Church schem Konversionsprinzip folgende Klassenbzw. Komprehentionsterm betrachten: a {x, x x} = a a := Da es kein Element geben kann, das von sich selbst verschieden ist, erhalten wir die leere Menge ( ). 2.4 Einermenge Die Menge deren einziges Element A ist, also {A} := {x x = A} daraus ergibt sich zum Beispiel { } = {{ }}, denn die Einermenge der leeren Mengen selbst ist nicht leer sondern enthält ein Element - die leere Menge. Statt dessen gilt { } {{ }}. 7

9 Paarmenge {A, B} := {C C = A C = B} Die Paarmenge bildet sich aus der Menge der Einermengen von A und B. 2.6 Defitionen 1 := S(0) Das Definiendum (1) wird definiert durch das Definiens (S(0)). Wichtig ist, das hier nicht die Identität (siehe oben) gemeint ist. Diese wird durch die Aussage erst erzeugt. x ist eine gerade Zahl : y(x = 2y) y(x = y + y) 2.7 Teilmenge A B : x A x B A ist genau dann eine Teilmenge von B, wenn für alle x, die Element A sind gilt, dass sie auch ein Element von B sind. 2.8 Potenzmenge P(A) := {B B A} So gilt zum Beispiel P( ) = { }. 2.9 geordnete Paare (Tupel) Im Gegensatz zu Mengen gilt bei Paaren die Ordnung der Komponenten strikt und darf nicht vertauscht werden, also a, b b, a aber ( a, b = c, d ) (a = c b = d). Mengentheoretisch lassen sich geordnete Paare folgender Maßen definieren: a, b := {{a}, {a, b}} 2.10 Funktion Funktionen (Abbildungen), ein Sondertyp der Relation, lassen sich folgender Maßen mit mengentheoretischen Mitteln erklären. f = { x, 2x x N} 8

10 Eigenschaften surjektiv := jedes Element der Zielmenge wird erreicht injektiv := jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen bijektiv := surjektiv und injektiv 2.11 Mächtigkeit, Kardinalität Der Begriff der Kardinalität bezeichnet die Größe der Anzahl der Elemente einer Menge unendlich große Mengen Nach Dedekind lässt sich Unendlichkeit einer Menge wie folgt definieren: x ist unendlich : y(x = y y x) Aussagenlogische Sprache 3.1 Satzkonstanten Alle Sätze ohne Junktoren, mit gewisser grammatischer Komplexität, die aus aussagenlogischer Perspektive ignoriert wird. Als Zeichen werden p 0, p 1, p 2,..., woraus folgt, dass die Menge der Satzkonstanten abzählbar unendlich sein muss. Diese Satzkonstanten können mittels Junktoren (, ) zu Sätzen (φ, ψ) verknüpft werden. Alle darüber hinaus bereits eingeführten Junktoren lassen sich aus den beiden genannten Junktoren ableiten, z.b. (,, ). 3.2 Ausdrücke Ausdrücke sind eine beliebige Aneinanderreihung von diesen verschiedenen Zeichen. Sie müssen nicht zwingend wohlgeformte Sätze sein. 3.3 Formeln/Sätze Für die Menge der aussagenlogischen Formeln (Sätze) gilt: 1. Jede Satzkonstante ist eine Formel 2. Wenn φ eine Formel ist, dann ist auch φ eine Formel 3. Wenn φ und ψ eine Formel sind, dann ist auch (ψ φ) eine Formel 4. Nichts ist eine Formel, dass nicht eine endliche Kombination dieser drei Regeln ist Konkardination Um Anführungs- und Negationszeichen innerhalb der Regeln auch bei induktiver Anwendung dieser sinnvoll verwenden zu können, ist es nötig das Konkardinationszeichen einzuführen. Es stellt die Verknüpfung der Variable mit dem Anführungszeichen dar. 9

11 3.5 Quine-corner Als Vereinfachung lassen sich auch Quine-corner verwenden, die den Vorteil haben wesentlich übersichtlicher zu sein. p 3 p Definition weiterer Junktoren Zeichen wie, und sind bisher ohne Bedeutung in unserer Notation, da diese jedoch häufig verwendet werden können, um komplizierte Kombinationen aus und einfacher schreiben zu können. A B : (A B) A B : ( A B) A B : ((A B) (B A)) 4 formale Semantik 4.1 Wahrheitswerte Um den eingeführten Zeichen eine Bedeutung zu zu weisen und diese später zu Überprüfen, werden Wahrheitswerte bzw. Wahrheitswertetabellen (bzw. -tafeln) verwendet. Die bisher eingeführten Zeichen haben also folgende Wahrheitswerte und definieren sich darüber (w bzw. 1 := wahr, f bzw. 0 := falsch) ϕ ψ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ w w f w w w w w f f f w f f f w w f w w f f f w f f w w Anwednung Mit den Wahrheitswerten und deren semnatischer Zuordnung lassen sich nun komplexere Ausdrücken analysieren, ob sie wahr sind oder nicht. So lässt sich zum Beispiel die komplexe Aussage (p 1 ( p 1 p 2 )) über einfachere Zwischenschritte analysieren. p 1 p 2 p 1 p 1 p 2 p 1 ( p 1 p 2 ) w w f w w w f f w w f w w w w f f w f w 4.3 Belegungen Unter Belgungen wollen wir beliebige Zuordnungsvorschriften (Funktionen) von Elementen der Menge der Satzkonstanten zu Elementen der Menge bestehend aus 0 und 1 verstehen. f ist eine Belegung : f : Menge der SK {0, 1} 10

12 Durch die Belgungen der Satzkonstanten können im Folgenden die Wahrheitswerte komplexerer Formeln in Abhängigkeit von den ensprechenden Belgegungen gefunden werden. ϕ ist eine aussagenlogische Wahrheit : f(f ist eine Belegung Wert f (ϕ) = 1) 4.4 Wert Sei ϕ eine Formel und f eine Belegung, dann 1. ϕ p i Wert f (ϕ) = f(ϕ) { Wert f (ψ) = 0 Wert f (ϕ) = 1 2. ϕ ψ Wert f (ψ) = 1 Wert f (ϕ) = 0 { Wert f (α) = 0 Wert f (ϕ) = 1 3. ϕ = (α β Wert f (α) = 1 Wert f (ϕ) = Tautologie Unter Tautologien verstehen wir Formeln, die unter allen Belegungen immer den Wert 1 aufzeigen, also wahr sind. Formal lassen sie sich folgender Maßen definieren: Sei ϕ eine L AL -Formel. Dann heißt ϕ ist logische Wahrheit (Tautologie): f(fbelegung Wert f (ϕ) = 1) Daraus e rgibt sich, wie leicht zu erkennen ist, dass Satzkonstanten alleine keine Tautologien sind. Zur Vereinfachung werden wir Tautologien im Folgenden ϕ ist eine Tautologie : = ϕ Wobei mit = kein weiteres Zeichen in L AL eingeführt wird. Hierbei handelt es sich lediglich um ein Metasprachliches Prädikat, dass in der Objektsprache nicht verwendet wird. 4.6 logische Folgerung Nun wollen wir dahin kommen zu sagen, was eine logische Folgerung ist. Dazu definieren wir: Sei Σ eine Menge von L AL -Formeln und ψ eine L AL -Formel. Dann gilt: Σ = ψ : f(f Belegung α(α Σ Wert f (α) = 1) Wert f (ψ) = 1) Das heißt, dass jede Belegung f, die alle Präamissen α wahr macht, auch ψ wahr machen soll Prädikatenlogische Sprache erster Stufe Die Aussagenlogische Sprache, wie wir sie behandelt haben, unterscheidet nur zwischen Satzkonstanten und Junktoren. Die innere Struktur der Sätze wird dabei ignoriert, denn sie werden als nicht weiter in Einzelteile zerlegbar begriffen. Die prädikatenlogische Sprache bietet nun die Möglichkeit durch Prädikation auch diese bisher nur als ganze Einheit begriffenen Sätze zu zerlegen in Prädikate und singuläre Terme (auch Konstanten oder (Eigen-)Namen). Folgende bisher nur als Satzkonstanten betrachbare Sätze lassen sich nun formal in folgender Weise formulieren: 11

13 Berlin ist eine Stadt Sb Berlin ist größer als München Gbm a liegt zwischen b und c Babc Julius Cäsar ist eine Primzahl P j Wie die ausdifferenziert Prädikate formalisiert werden ist immer kontextbezogen. a ist ein Pferdekopf P a a ist ein Pferdekopf Kpa 5.1 Kennzeichnungsterme In dem Beispielsatz Berlin ist größer als München ließe sich Berlin durch Die Hauptstadt Deutschlands. Dieser letzte Term ist kein singulärer wie Berlin sonder ein Kennzeichnungsterm, der sich wiederum zerlegen lässt. 5.2 Vokabular Typ Formalisierung Anzahl Individumkonst. k 1, k 2,... k i 0 i Vairablen v 1, v 2,... abzählbar unendlich n-stellige Prädikate P1 n, P2 n,... Pi n 0 i spez. 2-stelliges Prädikat = Junktoren, 2 Quantoren 1 Klammern (, ) 2 1. Variante: Die Restlichen Zeichen wie,, und lassen sich aus dem Vokabular erzeugen und als Abkürzung vereinbaren. Genausogut könnte das Vokabular schon an dieser Stelle ergänzt werden, was allerdings zur Folge hätte, dass auch die induktive Definition der Formeln ergänzt werden müsste. 2. Variante: Das Vokabular ließe sich auch um die Menge der Funktionszeichen f n i erweitern. Dies bietet den Vorteil, dass sich auch die Menge der Terme induktiv definieren ließe. (siehe unten) Prinzipiell sind beide Ergänzungsvarianten nicht nötig, denn für Variante 1 wurde bereits im Rahmen der Aussagenlogischen Sprachen gezeigt, dass sich die zusätzlichen Zeichen aus den eingeführten Grundzeichen herleiten lassen. Variante 2 ist obsolet, da die Menge der Funktionszeichen auf den Relationen aufbaut, die in unserer Menge der Vokabeln bereits enthalten sind. Für die induktive Termdefintion bietet die Menge der Funktionszeichen jedoch Vorteile. 5.3 Syntax Begriff Formalisierung Folge Prädikate P n k 1... k n atomare Formel Funktionszeichen f l k 1... k l Term 5.4 induktive Termdefinition Unter Berücksichtigung der oben als Variante 2 bezeichneten Bedingung ließe sich folgende induktive Definition der Terme angeben: 1. Jede Variable ist ein Term 2. Jede Konstante ist ein Term 3. Ist f n i ein n-stelliges Funktionszeichen und sind s 1,..., s k Terme, dann ist f n i s 1,..., s k ein Term 4. Nichts weiter ist eine Formel 12

14 5.5 induktive Formeldefinition 1. Ist P ein n-stelliges Prädikat und sind v 1... v n Varibalen, dann ist P v 1... v n eine Formel. 2. Sind s und t Terme, so ist (s = t) eine Formel. 3. Ist ϕ eine Formel, so ist ϕ eine Formel. 4. Sind ϕ und ψ Formeln, so ist (ϕ ψ) eine Formel. 5. Ist ϕ eine Formel und x eine Variable, so sind auch xϕ und xϕ Formeln. 6. Nichts weiter ist eine Formel Prädikatenlogische Sprache der Mengentheorie Vokabular Typ Formalisierung Anzahl 2-stelliges Relationszeichen 1 Vairablen v 1, v 2,... abzählbar unendlich spez. 2-stelliges Prädikat = 1 Des weiteren gilt die Formeldefinition der prädikatenlogischen Sprachen erster Stufe. In der naiven Mengentheorie haben wir bereits wesentliche Gesetze (Axiome) kennen gelernt, die auch in unserer prädikatenlogischen Sprache der Mengentheorie gelten sollen. Aber erst jetzt, nach dem wir ein Vokabular zur Verfügung haben können wir sie formal korrekt einführen: Extensionalitätsprinzip v 0 v 1 ( v 3 (v 3 v 0 v 3 v 1 ) v 0 = v 1 ) Church sche Konversionsprinzip v 0 v 1 (v 1 v 0 ϕ(v 1 )) Vereinigungsmenge v 0 v 1 := v 0 v 1 v 2 v 3 (v 3 v 2 v 3 v 0 v 3 v 1 ) Paarmenge {v 0, v 1 } := v 0 v 1 v 2 v 3 (v 3 v 2 v 3 = v 0 v 3 = v 1 ) leere Menge := v v 1 (v 1 v) 13

15 5.6.7 Potenzmenge P(v 0 ) := v 0 v 1 v 2 (v 2 v 1 v 3 (v 3 v 2 v 3 v 0 ) 5.7 Prädikatenlogische Sprache der Zahlentheorie Vokabular Typ Formalisierung Anzahl Kosntante stellige Funkt. (Succesor) S 1 2-stellige Funktionszeichen +, 2 2-stellige Relationszeichen < 1 Vairablen v 1, v 2,... abzählbar unendlich spez. 2-stelliges Prädikat = 1 Des weiteren gilt die Formeldefinition der prädikatenlogischen Sprachen erster Stufe unter Beachtung der induktiven Termdefinition. Diese Beachtung ist notwendig, weil wir in unser Vokabular Funktionszeichen aufgenommen haben Robinson-Arithmetik Folgendes Axiomensystem wurde durch Robinson aufgestellt und bietet gegenüber der Peano-Arithmetik den Vorteil der Endlichkeit der Axiome. 1. v 0 ( (v 0 = 0) v 1 (v 0 = Sv 1 )) 2. v 0 v 1 (Sv 0 = Sv 1 v 0 = v 1 ) 3. v 0 ( Sv 0 = 0) 4. v 0 (v = v 0 ) 5. v 0 (v 0 0 = 0) 6. v 0 v 1 (v 0 + Sv 1 = S(v 0 + v 1 )) 7. v 0 v 1 (v 0 Sv 1 = v 0 v 1 + v 0 ) Kalküle des natürlichen Schließens Bisheriges Schließen funktionierte nur auf Basis des metasprachlichen Sprachverständnisses. Die Kalküle des natürlichen Schließens formalisieren dieses Schließen und beweisartiges Argumentierens. 6.1 Kalish-Montague-Kalkül (KM-Kalkül) KM-Kalkül der aussagenlogischen Sprache Beweisbeispiele: 14

16 1. zeige (ϕ (ψ ϕ) 2. ϕ A-BA 3. zeige ψ ϕ 4. ψ A-BA 5. zeige ϕ 2 WH 1. zeige (P Q) ( Q P ) 2. P Q A-BA 3. zeige Q P 4. Q A-BA 5. P 2,4 MT 1. zeige (P Q) ( Q P ) 2. P Q A-BA 3. zeige Q P 4. Q A-BA 5. zeige P 6. P A-IA 7. Q 2,6 MP 8. Q 4 WH 1. zeige (P Q) (( P Q) P ) 2. P Q A-BA 3. zeige ( P Q) Q 4. P Q A-BA 5. zeige Q 6. Q A-IA 7. P 2,6 MT 8. P 4,7 MT 1. zeige (P Q) (P Q) P ) 2. (P Q) (P Q) A-BA 3. zeige P 4. P A-IA 5. zeige P Q 2 B 6. Q 4,5 MP 7. P Q 2 B 8. Q 4,2 MP Abkürzungen: MT Modus Tollens Er besagt, dass aus den Voraussetzungen nicht B und Wenn A, dann B auf nicht A geschlossen werden kann. MP Modus Ponens Der Modus ponens erlaubt es, aus zwei Aussagen der Form Wenn A, dann B und A (den beiden Prämissen der Schlussfigur) eine Aussage der Form B (die Konklusion der Schlussfigur) herzuleiten WH Wiederholung einfache Wiederholung einer vorherigen Annahme A-BA Annahme zur bedingten Ableitung A-IA Annahme zur indirekten Ableitung B Konkjunktions-Beseitigung 15

17 Ableitungsbegriff / Definition der Herleitung Der folgende Beweis läuft Analog zu Link-Script (ab Seite 208). Dort wird der Begriff der Herleitung im KM-Kalkühl definiert. Es soll verdeutlicht werden, wie die sich diese induktive Definition der Herleitung auf einen konkreten Beweis anwenden lässt zeige (P Q) (P Q) P (P Q) (P Q) zeige P P 6.4 A-IA 5. P Q , B 6. Q ,5 MP 7. P Q , B 8. Q ,7 MP (3) einkästeln Im Link-Script ist 7.0 etwas ungünstig formuliert. Wir verwenden die semantisch gleiche aber syntaktisch glücklicher formulierte Aussage 7.0 α ist eine KM-Ableitung von ϕ aus Σ α sk zu Σ Es wird in der Vorlesung nicht gezeigt, dass die Menge der im KM-Kalkül herleitbaren Formeln der Menge der logischen Wahrheiten entspricht. Dies wird erst für das axiomatische Hilberttyp-Kalkül bewiesen KM-Kalkül der prädikatenlogischen Sprache Beweisbeispiele: 1. zeige xϕ xϕ 2. xϕ A-BA 3. xϕ 1. zeige x(ϕ ϕ) 2. ϕ A-BA 3. ϕ 1. zeige x(ϕ ψ ϕ) 2. ϕ ψ A-BAA 3. ϕ 2 B 1. zeige x(ϕ ψ) ( xϕ xψ) 2. x(ϕ ψ) A-BA 3. zeige xϕ xψ 4. xϕ A-BA 5. zeige xψ 6. ϕ ψ 2 B 7. ϕ 4 B 8. ψ 6,2 MP 1. zeige x(ϕ ψ) ( xϕ xψ) 2. x(ϕ ψ) A-BA 3. zeige xϕ xψ 4. xϕ A-BA 5. zeige xψ 6. ϕ( a x ) 4 B a neu 7. ϕ( a x ) ψ( a x ) 2 B 8. ψ( a x ) 6,7 MP 9. xψ 8 E 1. zeige x ϕ xϕ 2. x ϕ A-BA 3. zeige xϕ 4. xϕ A-IA 5. ϕ( a x ) 2 E 6. ϕ( a x ) 4 B doppelte Quantifizierung:

18 1. zeige x yp 2 xy y xp 2 xy 2. x yp 2 xy A-BA 3. zeige y xp 2 xy 4. yp 2 xy 2 B 5. P 2 xy 4 B 1. zeige x yp 2 xy y xp 2 xy 2. x yp 2 xy A-BA 3. zeige y xp 2 xy 4. yp 2 ay 2 B 5. P 2 ab 4 B 6. xp 2 xb 5 E 7. y xp 2 xy 6 E weitere Beispiele: 1. zeige x y(ryx Ryy) 2. x y(ryx Ryy) A-IA 3. y(rya Ryy) 2 B 4. Raa Raa 3 B. von hier an reine AL (trivial) Axiomatischer Kalkül oder Hilbert-Typ Kalkül für AL induktive Definition 1. Σ Theo(Σ) 2. ϕ(ϕ AL-Axiom ϕ Theo(Σ)) 3. ϕ ψ(ϕ Theo(Σ) (ϕ ψ) Theo(Σ)) ψ Theo(Σ) 4. nichts sonst Der Vorteil von Theo(Σ) ist, dass es sich rein syntaktisch definieren lässt. Diesen Vorteil biete CN(Σ) nicht. Theo(Σ) enthält nach Definition Σ (1.), die Menge der aussagenlogischen Axiome (2.) und ist unter Modus Ponens abgeschlossen (3.). Beispiele für AL-Axiome: α, α β,... Übersicht: Cn(Σ) Theo(Σ) ˆΣ semantisch, infinitär syntaktisch, infinitär syntaktisch, finitär Σ Cn(Σ) Σ Theo(Σ) Σ ˆΣ AX Cn(Σ) AX Theo(Σ) AX ˆΣ MP-Abgeschlossen MP-Abgeschlossen MP-Abgeschlossen Σ Σ Cn(Σ) Cn(Σ ) Σ Σ Theo(Σ) Theo(Σ ) Σ Σ ˆΣ ˆΣ Cn(Cn(Σ) = Cn(Σ) Theo(Theo(Σ)) = Theo(Σ) ˆΣ = ˆΣ ˆΣ ist die Menge der Fromeln, die aus Σ herleitbar sind AX := {ϕ ϕ AL-Axiom} Theo(Σ) Cn(Σ) und Theo(Σ) ˆΣ es wird sich zeigen, dass Cn(Σ), Theo(Σ) und ˆΣ identisch sind... 17

19 6.2.1 Aximomenschemata 1. ϕ (ψ ϕ) 2. (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) 3. ( ψ ϕ) (ϕ ψ) Schlussregel nur Modus Ponens als Schlussregel gegeben und erlaubt. dient auch zur Vereinfachung der teilweise komplexen Axiome Beispiele: Behaupt.: H ϕ ϕ 1. (ϕ (ψ ϕ)) ((ϕ ψ) (ϕ ϕ)) Ax2 2. ϕ ((ϕ ϕ) ϕ) Ax1 3. ϕ ((ϕ ϕ) (ψ ϕ) 1,0 MP 4. ϕ (ϕ ϕ) Ax1 5. ϕ ϕ 3,4 MP Umformungen von Schlussregeln aus KM-Kalkül: ϕ ψ ϕ (ϕ ψ) ϕ ϕ ψ ψ (ϕ ψ) ψ ϕ (ψ ϕ ψ) ϕ (ψ (ϕ ψ)) ϕ ϕ ψ ϕ ( ϕ ψ) ψ ϕ ψ ψ ( ϕ ψ) Dedutktionstheorem Σ {ϕ} ψ Σ ϕ ψ Beweisskizze: 1. Umformung in ψ Spezialisierung auf Theo(Σ) 3. Hinrichtung mittels Church schem Konversionsschema 4. Es folgt: Theo(Σ {ϕ} A := {α (ϕ ψ) Theo(Σ)} 5. zz. Σ {ϕ} (A), denn dann Theo(Σ {ϕ}) A 6. d.h. zz. Σ {ϕ} A, AX A und A abgeschlossen unter MP Induktionsbeweis Sei Σ eine Formelmenge, dann gilt ψ(σ ψ ψ Theo(Σ)) 1. ψ( a(a ist eine Herleitung von ψ aus Σ n(l(a) n) ψ Theo(Σ))) 2. ψ( n a(a ist eine Herleitung von ψ aus Σ l(a) n ψ Theo(Σ))) 3. ψ( n a(a ist eine Herleitung von ψ aus Σ l(a) n ψ Theo(Σ))) 4. ψ( n a(a ist eine Herleitung von ψ aus Σ l(a) n ψ Theo(Σ))) 5. Γ(n) := ψ( a(a ist eine Herleitung von ψ aus Σ l(a) n ψ Theo(Σ))) 18

20 6. Behauptung: Γ(0) mit Induktion: nγ(n) n(γ(n) Γ(n + 1)) 7. Hinweis: (n k), Γ(k) Γ(n) 8. Hinweis: Γ(0) uninteressant, weil Beweis der Länge 0 nicht denkbar ist. 9. (a) zz. Γ(1) = ψ( a(a ist eine Herleitung von ψ aus Σ l(a) 1 ψ Theo(Σ))) (b) l(a) 1 l(a) = 1, d.h. a =< a 0 >, a 0 = ψ also a =< ψ > (c) ψ AL-Axiom Theo(Σ) (d) ψ Σ Theo(Σ) (e) ψ durch MP entstanden entfällt, da Länge 1 (f) also, ψ Theo(Σ) 10. (a) zz. Γ(n + 1) (b) Sei dazu â, ˆψ beliebig, so â Herleitung, von ˆψ aus Σ (c) l(â) n + 1 zz. ˆψ T heo(σ) (d) also zz. l(â) = n + 1 oder l(â) n (e) ˆψ AL-Axiom Theo(Σ) (f) ˆψ Σ Theo(Σ) (g) ˆψ durch MP entstanden (h) für l(â) = n + 1 gilt, da auch kürzere Bestandteile der Herleitung als Herleitung gelten, gilt auch hier zz. ˆψ Theo(Σ) (i) also, ˆψ Theo(Σ) 19