Boolesche Algebra. Hans Joachim Oberle. Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Boolesche Algebra. Hans Joachim Oberle. Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2"

Transkript

1 Universität Hamburg Department Mathematik Boolesche Algebra Hans Joachim Oberle Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2

2 Literatur. R. Haggarty: Diskrete Mathematik für Informatiker. Pearson Studium, München, ISBN: R. Lidl, G. Pilz: Angewandte abstrakte Algebra I, II. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, Englische Ausgabe (2. Auflage): Springer, New York, E. Mendelson: Boolesche Algebra und logische Schaltungen. Schaums Outline, McGraw-Hill, Hamburg, ISBN: H.J. Oberle: Boolesche Algebra. Skript der Universität Hamburg, Hamburg, 1990.

3 H.J. Oberle Boolesche Algebra WiSe 2006/07 Definition (1.1) 1. Aussagen Aussagen sind Sätze, die entweder wahr oder falsch sind. Tertium non datur (Es gibt keine dritte Möglichkeit)! Ist A eine Aussage, so bezeichnet w(a) ihren Wahrheitswert, w(a) = 1 falls A eine wahre Aussage ist und w(a) = 0 andernfalls. Beispiele: Hamburg ist die Hauptstadt Deutschlands = 2 - Es regnet - Wie geht es dir? (ist keine Aussage!) - x > 5 (ist keine Aussage!) 1

4 Definition (1.2) Aussagenformen sind sprachliche Gebilde mit Leerstellen (Aussagevariablen). Dort können Subjekte (Dinge), Prädikate (Eigenschaften) oder Aussagen eingesetzt werden. Wenn man einsetzt, erhält man eine Aussage. I.Allg. muss wohldefiniert werden, was eingesetzt werden darf! Beispiele (1.3): P (x) sei x ist die Hauptstadt von Deutschland ; P (x) ist eine Aussageform (keine Aussage!); für die Variable x dürfen wir Städtenamen einsetzen. P(München) (ist eine Aussage) ist falsch, P(Berlin) ist wahr. Q(z) : z > 3. Wir setzen reelle Zahlen ein, z R. Q(11) ist wahr, Q( 2) ist falsch. 2

5 Verknüpfung von Aussagen durch Junktoren (1.4): Seien A und B Aussagen. Dann werden die folgenden Aussagen definiert Negation A ( nicht A ) Konjunktion A B ( A und B ) Disjunktion A B ( A oder B ) Implikation A B ( wenn A, dann B ) Äquivalenz A B ( A ist äquivalent zu B ) Wahrheitswertetabellen (1.5) (Definition der Junktoren) A B A A B A B A B A B w w f w w w w w f f f w f f f w w f w w f f f w f f w w 3

6 Die Implikation wird allgemeiner als im normalen Sprachgebrauch üblich definiert (dort gibt es immer einen Zusammenhang zwischen Prämisse und Konklusion). Wichtig (und gewöhnungsbedürftig): Wenn die Prämisse falsch ist, ist die Implikation immer wahr! Beispiele (1.6): A : Es regnet., B : Es ist Montag., B Es ist nicht Montag. (A B) Es regnet und es ist Montag. (A B) Es regnet oder es ist Montag (A B) Immer wenn es regnet, ist Montag. (B A) Wenn Montag ist, dann regnet es. (B (1 + 1 = 2)) ist eine wahre Aussage, da = 2 wahr ist (die Aussage ist also an jedem Wochentag wahr). 4

7 Dies sind aber nicht alle möglichen Verknüpfungen zweier Aussagen, es gibt genau 2 4 = 16 verschiedene Junktoren. A B o 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 o 7 o 8 o 9 o 10 o 11 o 12 o 13 o 14 o 15 o w w w f w f w f w f w f w f w f w w f w w f f w w f f w w f f w w f f w w w w w f f f f w w w w f f f f f w w w w w w w w f f f f f f f Beispiele: o 4 entspricht der Negation, o 9 entspricht der Disjunktion. Satz (1.7): Alle 16 Junktoren lassen sich mit den elementaren Junktoren Negation, Konjunktion und Disjunktion darstellen. D.h. es gibt Aussageformen w i (A, B), welche nur diese Verknüpfungen verwenden, so dass Ao i B w i (A, B), i = 1,..., 16 5

8 Beweis: A o 1 B A ( A) A o 2 B (A B) A o 3 B B ( A) A o 4 B A A o 5 B A ( B) A o 6 B B A o 7 B (A B) (( A) ( B)) A o 8 B (A B) A o 9 B A B A o 10 B (A ( B)) (B ( A)) A o 11 B B A o 12 B ( A) B A o 13 B A A o 14 B A ( B) A o 15 B A B A o 16 B A ( A) 6

9 Definition (1.8): NAND Verknüpfung: A B : (A B) NOR Verknüpfung: A B : (A B) Die NAND-Verknüpfung heißt auch Sheffer-Operator, die NOR- Verknüpfung auch Pierce-Operator. Satz (1.9): Alle 16 Junktoren lassen sich mit der NAND- Verknüpfung darstellen. Analoges gilt für die NOR-Verkn pfung. Insbesondere bedeutet dies, dass sich jede Verknüpfung zweier Aussagen allein als Komposition von NAND-Verknüpfungen (oder NOR-Verknüpfungen) dargestellt lässt. Beweis: A A A A B (A B) (A B) A B (A A) (B B) 7

10 Beispiel (1.10): A o 7 B (A B) (( A) ( B)) ((A B) (A B) (A B) (A B)) (((A A) (B B)) ((A A) (B B)) ((A A) (B B)) ((A A) (B B Definition (1.11): Aussageformen, in denen die Leerstellen Aussagevariablen sind, heißen Formeln der Aussagenlogik. Formeln heißen erfüllbar, falls die Variablen so durch Aussagen ersetzt werden können, dass eine wahre Aussage entsteht. Beispiel: A ( A) ist nicht erfüllbar. Definition (1.12): Eine Formel heißt allgemeingültig oder auch eine Tautologie, falls bei jeder Ersetzung der Leerstellen durch Aussagen eine wahre Aussage entsteht. Beispiel: A ( A) ist eine Tautologie. 8

11 Wichtige Tautologien (1.13): a.) A A Ausgeschlossenes Drittes b.) (A A) Satz vom Widerspruch c.) A A Doppelte Verneinung d.) (A B) A B Regel von de Morgan I e.) (A B) A B Regel von de Morgan II f.) (A B) ( B A) Kontraposition g.) (A B) A B modus ponens h.) (A B) B A modus tollens i.) (A B) (B A) j.) (A B) (B C) (A C) modus barbara k.) A (B C) (A B) C Assoziativgesetz I l.) A (B C) (A B) C Assoziativgesetz II m.) A (B C) (A B) (A C) Distributivgesetz I n.) A (B C) (A B) (A C) Distributivgesetz II 9

12 Klammerregeln: Es wird vereinbart: Junktoren niedrigeren Rangs werden zuerst ausgeführt. Bei gleichem Rang wird von links nach rechts abgearbeitet. Beispiel: Junktor Rang mit Klammerung ohne Klammerung ( ( (A C))) ( A) (A C) A (A ( B)) (C ( A)) (A B) (C A) ((A ( B)) C) ( A) (A B) C A ( A) (B ( (A C))) A (B (A C)) 10

13 Nachweis von Tautologien: Semantisches Verfahren. Man stellt die Wahrheitswertetafel auf und belegt die auftretenden Aussagevariablen mit allen möglichen Kombinationen von Wahrheitswerten. Syntaktisches Verfahren. Man versucht, die Formel, die man als Tautologie nachweisen will, durch Anwendung bekannter Tautologien, vgl. (1.13), direkt umzuformen. Beispiel: Zeige: p (p q) ist eine Tautologie. p (p q) [(p q) p] [(q p) p] [q ( p p)] Erläuterung: Es wird der Reihe nach angewendet (1.13) i), i), c) und l). Da ( p p) nach (1.13) a) stets wahr ist, ist auch die letzte Formel eine Tautologie! 11

14 Aussagenkalkül. Betrachtet man nur Aussagen und Aussagenverknüpfungen mit den obigen Junktoren, so erhält man den Aussagenkalkül. Genauer besteht der Aussagenkalkül aus Axiomen, das sind grundlegende Tautologien und Regeln, wie man durch Umformung aus diesen neue Tautologien gewinnt. Es gilt der Vollständigkeitssatz des Aussagenkalküls. Jede korrekte Formel (Tautologie) ist mit den Regeln des Aussagenkalküls ableitbar. Für die Darstellung der meisten mathematischen Sachverhalte reichen jedoch die bisherigen Sprachelemente nicht aus! 12

15 Quantoren. In mathematischer Sprechweise werden die Quantoren folgendermassen definiert Allquantor oder Generalisator: x Ω : A(x) Für alle x aus der Menge/Klasse Ω ist die Aussage A(x) wahr. Existenzquantor oder Partikularisator: x Ω : A(x) Es gibt (mindestens) ein x in Ω, so dass A(x) wahr ist. Existenz und Eindeutigkeit: 1 x Ω : A(x) Es gibt genau ein x in Ω, so dass A(x) wahr ist. 13

16 Man beachte: x Ω : A(x) oder y Ω : A(y) sind Aussagen. Die Variablen x, y werden durch die Quantoren gebunden. Insbesondere sind die Aussagen x Ω : A(x) und z Ω : A(z) gleichbedeutend! Beispiele: x R : x = 3 ist falsch. x R : x = 3 ist wahr. 1 x R : x = 3 ist wahr. z R : z + 1 R ist wahr. y R : y y ist falsch. Verneinungsregel: ( x Ω : A(x)) x Ω : ( A(x)) 14

17 Erweitert man den Aussagenkalkül durch die Sprachelemente Quantoren, Subjekte und Prädikatsvariable (Eigenschaften), so erhält man den Prädikatenkalkül ersten Stufe. Auch hier sind genau die korrekten Formeln aus dem Axiomensystem ableitbar. Das ist der Inhalt des Vollständigkeitssatzes von Kurt Gödel (1930). Eine weitere Erweiterung der Sprachelemente, bei der auch Prädikate von Prädikaten und Quantoren über Prädikatsvariblen zugelassen sind, führt zu einem Prädikatenkalkülen höherer Stufe. Dieser ist allerdings stets unvollständig, Unvollständigkeitssatz von Gödel (1931). Mehr noch, es gibt keinen (endlichen) Algorithmus, mit dem man entscheiden kann, ob eine vorgegebene Formel allgemeingültig ist, Unentscheidbarkeitssatz von Alan Turing und Alonzo Church (1936). 15

18 Kurt Gödel Alan Turing ( ) ( ) 16

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Prof. Dr. Armin Iske Department Mathematik, Universität Hamburg Technische Universität Hamburg-Harburg Wintersemester 2006/2007 Analysis I TUHH, Winter

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Prof. Dr. Timo Reis Fachbereich Mathematik, Universität Hamburg Technische Universität Hamburg-Harburg Wintersemester 2014/2015 1 Informationsquellen

Mehr

Mathematische Grundlagen I Logik und Algebra

Mathematische Grundlagen I Logik und Algebra Logik und Algebra Dr. Tim Haga 21. Oktober 2016 1 Aussagenlogik Erste Begriffe Logische Operatoren Disjunktive und Konjunktive Normalformen Logisches Schließen Dr. Tim Haga 1 / 21 Präliminarien Letzte

Mehr

Eine Aussage ist ein Satz der Umgangssprache, der wahr oder falsch sein kann. Man geht von dem Folgenden aus:

Eine Aussage ist ein Satz der Umgangssprache, der wahr oder falsch sein kann. Man geht von dem Folgenden aus: Karlhorst Meyer Formallogik Die Umgangssprache ist für mathematische Bedürfnisse nicht exakt genug. Zwei Beispiele: In Folge können u. U. Beweise, die in Umgangssprache geschrieben werden, nicht vollständig,

Mehr

Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser

Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr fuhr@uni-duisburg.de auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1 Teil I Logik 2 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische

Mehr

b. Lehre des vernünftigen Schlussfolgerns (1. System von Regeln von Aristoteles ( v. Chr.); sprachliche Argumente

b. Lehre des vernünftigen Schlussfolgerns (1. System von Regeln von Aristoteles ( v. Chr.); sprachliche Argumente II. Zur Logik 1. Bemerkungen zur Logik a. Logisches Gebäude der Mathematik: wenige Axiome (sich nicht widersprechende Aussagen) bilden die Grundlage; darauf aufbauend Lehrsätze unter Berücksichtigung der

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Ingenuin Gasser Department Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 2008/2009 1 Kapitel 1: Aussagen, Mengen

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 15. Oktober 2015 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage veröffentlicht

Mehr

Logik. Logik. Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/ September Vorkurs Informatik - Theorie - WS2013/14

Logik. Logik. Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/ September Vorkurs Informatik - Theorie - WS2013/14 Logik Logik Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/14 30. September 2013 Logik > Logik > logische Aussagen Logik Logik > Logik > logische Aussagen Motivation Logik spielt in der Informatik eine

Mehr

Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie

Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Was ist Logik? Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie man aus Aussagen andere Aussagen ableiten kann Beschränkung auf

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 19. Oktober 2017 1/27 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage

Mehr

De Morgan sche Regeln

De Morgan sche Regeln De Morgan sche Regeln Durch Auswerten der Wahrheitswertetabelle stellen wir fest, dass allgemeingültig ist; ebenso (p q) p q (p q) p q. Diese beiden Tautologien werden als die De Morgan schen Regeln bezeichnet,

Mehr

Aussagenlogik. 1 Einführung. Inhaltsverzeichnis. Zusammenfassung

Aussagenlogik. 1 Einführung. Inhaltsverzeichnis. Zusammenfassung Tobias Krähling email: Homepage: 13.10.2012 Version 1.2 Zusammenfassung Die Aussagenlogik ist sicherlich ein grundlegendes mathematisches Gerüst für weitere

Mehr

Aussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen

Aussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagenlogik Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagen sind Sätze, von denen sich sinnvollerweise sagen läßt, sie seien wahr oder falsch. Jede Aussage besitzt also einen von zwei möglichen Wahrheitswerten,

Mehr

Vorlesung 3: Logik und Mengenlehre

Vorlesung 3: Logik und Mengenlehre 28102013 Erinnerung: Zeilen-Stufen-Form (ZSF) eines LGS 0 0 1 c 1 0 0 0 1 0 0 1 c r 0 0 0 c r+1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c m Erinnerung: Information der Zeilen-Stufen-Form Aus der ZSF liest man ab: Folgerung

Mehr

Allgemeingültige Aussagen

Allgemeingültige Aussagen Allgemeingültige Aussagen Definition 19 Eine (aussagenlogische) Formel p heißt allgemeingültig (oder auch eine Tautologie), falls p unter jeder Belegung wahr ist. Eine (aussagenlogische) Formel p heißt

Mehr

Kapitel 1. Aussagenlogik

Kapitel 1. Aussagenlogik Kapitel 1 Aussagenlogik Einführung Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1: Aussagenlogik 1/17 Übersicht Teil I: Syntax und Semantik der Aussagenlogik (1.0) Junktoren und Wahrheitsfunktionen (1.1) Syntax

Mehr

1 Aussagenlogischer Kalkül

1 Aussagenlogischer Kalkül 1 Aussagenlogischer Kalkül Ein Kalkül in der Aussagenlogik soll die Wahrheit oder Algemeingültigkeit von Aussageformen allein auf syntaktischer Ebene zeigen. Die Wahrheit soll durch Umformung von Formeln

Mehr

ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 2: Elementare Logik und Beweise

ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 2: Elementare Logik und Beweise ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 2: Elementare Logik und Beweise MAA.01011UB MAA.01011PH Vorlesung mit Übung im WS 2016/17 Christoph GRUBER Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches

Mehr

Klassische Aussagenlogik

Klassische Aussagenlogik Eine Einführung in die Logik Schon seit Jahrhunderten beschäftigen sich Menschen mit Logik. Die alten Griechen und nach ihnen mittelalterliche Gelehrte versuchten, Listen mit Regeln zu entwickeln, welche

Mehr

Vorlesung. Logik und Diskrete Mathematik

Vorlesung. Logik und Diskrete Mathematik Vorlesung Logik und Diskrete Mathematik (Mathematik für Informatiker I) Wintersemester 2008/09 FU Berlin Institut für Informatik Klaus Kriegel 1 Literatur zur Vorlesung: C. Meinel, M. Mundhenk, Mathematische

Mehr

Lineare Algebra I. Anhang. A Relationen. Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA. Wintersemester 2009/10

Lineare Algebra I. Anhang. A Relationen. Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA. Wintersemester 2009/10 Fakultät für Mathematik Fachgebiet Mathematische Informatik Anhang Lineare Algebra I Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA Wintersemester 2009/10 A Relationen Definition A.1. Seien X, Y beliebige

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume

Mehr

Thema: Logik: 2. Teil. Übersicht logische Operationen Name in der Logik. Negation (Verneinung) Nicht

Thema: Logik: 2. Teil. Übersicht logische Operationen Name in der Logik. Negation (Verneinung) Nicht Thema: Logik: 2. Teil Übersicht logische Operationen Name in der Logik Symbol Umgangssprachlicher Name Negation (Verneinung) Nicht Konjunktion ^ Und Disjunktion v Oder Subjunktion (Implikation) Bijunktion

Mehr

Was bisher geschah. wahr 0 t 1 falsch 0 f 0 Konjunktion 2 min Disjunktion 2 max Negation 1 x 1 x Implikation 2 Äquivalenz 2 =

Was bisher geschah. wahr 0 t 1 falsch 0 f 0 Konjunktion 2 min Disjunktion 2 max Negation 1 x 1 x Implikation 2 Äquivalenz 2 = Was bisher geschah (Klassische) Aussagenlogik: Aussage Wahrheitswerte 0 (falsch) und 1 (wahr) Junktoren Syntax Semantik Stelligkeit Symbol Wahrheitswertfunktion wahr 0 t 1 falsch 0 f 0 Konjunktion 2 min

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Komplexe Zahlen 5 Lineare Algebra 6 Lineare Programme 3 Aussagenlogik

Mehr

Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen. notwendig: Existenz- und Allaussagen

Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen. notwendig: Existenz- und Allaussagen Prädikatenlogik 1. Stufe (kurz: PL1) Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen notwendig: Existenz- und Allaussagen Beispiel: 54 Syntax der Prädikatenlogik erster Stufe (in der

Mehr

Brückenkurs Mathematik 2015

Brückenkurs Mathematik 2015 Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch Brückenkurs Mathematik 2015 1. Vorlesung Logik, Mengen und Funktionen Ich behaupte aber, dass

Mehr

Logische Aussagen können durch die in der folgenden Tabelle angegebenen Operationen verknüpft werden.

Logische Aussagen können durch die in der folgenden Tabelle angegebenen Operationen verknüpft werden. Logische Operationen Logische ussagen können durch die in der folgenden Tabelle angegebenen Operationen verknüpft werden. ezeichnung Schreibweise (Sprechweise) wahr, genau dann wenn Negation (nicht ) falsch

Mehr

Deduktion in der Aussagenlogik

Deduktion in der Aussagenlogik Deduktion in der Aussagenlogik Menge von Ausdrücken der Aussagenlogik beschreibt einen bestimmten Sachverhalt, eine "Theorie" des Anwendungsbereiches. Was folgt logisch aus dieser Theorie? Deduktion: aus

Mehr

Zusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung

Zusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Wenn das Kind schreit, hat es Hunger Das Kind schreit Also, hat das Kind Hunger Christina Kohl Alexander Maringele

Mehr

1. Grundlagen. Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen

1. Grundlagen. Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen 1. Grundlagen Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen Peter Buchholz 2016 MafI 2 Grundlagen 7 1.1 Was ist Analysis? Analysis ist

Mehr

Kapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1

Kapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Kapitel 1.0 Aussagenlogik: Einführung Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Ziele der Aussagenlogik In der Aussagenlogik analysiert man die Wahrheitswerte zusammengesetzter

Mehr

1. Grundlagen. 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen

1. Grundlagen. 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen . Grundlagen Gliederung. Was ist Analysis?.2 Aussagen und Mengen.3 Natürliche Zahlen.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen. Was ist Analysis? Analysis ist neben der linearen Algebra ein Grundpfeiler der Mathematik!

Mehr

Formale Systeme. Aussagenlogik: Syntax und Semantik. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

Formale Systeme. Aussagenlogik: Syntax und Semantik. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2010/2011 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemberg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz

Mehr

Tilman Bauer. 4. September 2007

Tilman Bauer. 4. September 2007 Universität Münster 4. September 2007 und Sätze nlogik von Organisatorisches Meine Koordinaten: Sprechstunden: Di 13:30-14:30 Do 9:00-10:00 tbauer@uni-muenster.de Zimmer 504, Einsteinstr. 62 (Hochhaus)

Mehr

definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) (also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1.

definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr (w) oder falsch (f) (also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1. 22 Kapitel 1 Aussagen und Mengen 1.1 Aussagen Wir definieren eine Aussage A als einen Satz, der entweder wahr w) oder falsch f) also insbesondere nicht beides zugleich) ist 1. Beispiel 1.1. 2 ist eine

Mehr

2.2.4 Logische Äquivalenz

2.2.4 Logische Äquivalenz 2.2.4 Logische Äquivalenz (I) Penélope raucht nicht und sie trinkt nicht. (II) Es ist nicht der Fall, dass Penélope raucht oder trinkt. Offenbar behaupten beide Aussagen denselben Sachverhalt, sie unterscheiden

Mehr

Einführung in die Logik

Einführung in die Logik Einführung in die Logik Klaus Madlener und Roland Meyer 24. April 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik 1 1.1 Syntax................................. 1 1.2 Semantik............................... 3 1.3

Mehr

Zusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung

Zusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Christina Kohl Alexander Maringele Georg Moser Michael Schaper Manuel Schneckenreither Institut für Informatik

Mehr

Grundlagen der diskreten Mathematik

Grundlagen der diskreten Mathematik Grundlagen der diskreten Mathematik Prof. Dr. Romana Piat WS 25/6 Allgemeine Informationen Vorlesungen:./C Zug D (Mi., 3. Block + Do., 4. Block, y-raster) Zug E (Di., 5. Block + Do.,. Block, y-raster)

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium

Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Dr. B. Hallouet b.hallouet@mx.uni-saarland.de SS 2017 Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS 2017 1 / 19 Organisation Vorlesung (2 SWS): Do., 16:15 Uhr -18:00

Mehr

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag Brückenkurs Mathematik Dienstag 29.09. - Freitag 9.10.2015 Vorlesung 2 Mengen, Zahlen, Logik Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Mittwoch 30.09.2015 Mengen.................................

Mehr

Fakultät für Informatik Universität Magdeburg Jürgen Dassow. Vorbemerkungen

Fakultät für Informatik Universität Magdeburg Jürgen Dassow. Vorbemerkungen Vorbemerkungen if (x > y) z = x; else z = y; Wenn es blaue Tiger regnet, dann fressen alle Kirschbäume schwarze Tomaten. q(1) = 1, q(i) = q(i 1) + 2i 1 für i 2 Welchen Wert hat q(6)? 24 ist durch 2 teilbar.

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski GTI22 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.2: Prädikatenlogik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski

Mehr

1 Einführung Aussagenlogik

1 Einführung Aussagenlogik 1 Einführung Aussagenlogik Denition 1. Eine Aussage ist ein Aussagesatz, der entweder wahr oder falsch ist. Welche der folgenden Sätze ist eine Aussage? 3+4=7 2*3=9 Angela Merkel ist Kanzlerin Stillgestanden!

Mehr

Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3)

Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3) Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3) Eine Aussage ist ein Satz, von dem man eindeutig entscheiden kann, ob er wahr (true, = 1) oder falsch (false, = 0) ist. Beispiele a: 1 + 1 = 2 b: Darmstadt liegt in Bayern.

Mehr

Algorithmen & Programmierung. Logik

Algorithmen & Programmierung. Logik Algorithmen & Programmierung Logik Aussagenlogik Gegenstand der Untersuchung Es werden Verknüpfungen zwischen Aussagen untersucht. Aussagen Was eine Aussage ist, wird nicht betrachtet, aber jede Aussage

Mehr

5. Aussagenlogik und Schaltalgebra

5. Aussagenlogik und Schaltalgebra 5. Aussagenlogik und Schaltalgebra Aussageformen und Aussagenlogik Boolesche Terme und Boolesche Funktionen Boolesche Algebra Schaltalgebra Schaltnetze und Schaltwerke R. Der 1 Aussagen Information oft

Mehr

Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen

Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Andreas Maletti 7. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 2 28.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Termine Donnerstags: 30.04.2015 nicht

Mehr

Teil 7. Grundlagen Logik

Teil 7. Grundlagen Logik Teil 7 Grundlagen Logik Was ist Logik? etymologische Herkunft: griechisch bedeutet Wort, Rede, Lehre (s.a. Faust I ) Logik als Argumentation: Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also

Mehr

Rückblick. Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen. 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen

Rückblick. Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen. 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen Rückblick Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits 66 Rückblick Gleitkommazahlen (IEEE Floating Point Standard 754) lassen das Komma bei der Darstellung

Mehr

Vorkurs Mathematik 2016

Vorkurs Mathematik 2016 Vorkurs Mathematik 2016 WWU Münster, Fachbereich Mathematik und Informatik PD Dr. K. Halupczok Skript VK1 vom 8.9.2016 VK1: Logik Die Kunst des Schlussfolgerns Denition 1: Eine Aussage ist ein sprachliches

Mehr

Logic in a Nutshell. Christian Liguda

Logic in a Nutshell. Christian Liguda Logic in a Nutshell Christian Liguda Quelle: Kastens, Uwe und Büning, Hans K., Modellierung: Grundlagen und formale Methoden, 2009, Carl Hanser Verlag Übersicht Logik - Allgemein Aussagenlogik Modellierung

Mehr

Normalformen boolescher Funktionen

Normalformen boolescher Funktionen Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion

Mehr

Kleine lateinische Buchstaben wie z. B. p, q, r, s t, usw.

Kleine lateinische Buchstaben wie z. B. p, q, r, s t, usw. 1.1 Aussagenlogik Grundlagen der Mathematik 1 1.1 Aussagenlogik Definition: Aussage Eine Aussage im Sinne der Logik ist ein formulierter Tatbestand, der sich bei objektiver Prüfung immer eindeutig als

Mehr

Kapitel 1.5 und 1.6. Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik

Kapitel 1.5 und 1.6. Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik Kapitel 1.5 und 1.6 Ein adäquater Kalkül der Aussagenlogik Teil 1: Kalküle und Beweisbarkeit und die Korrektheit des Shoenfield-Kalküls Mathematische Logik (WS 2010/11) Kapitel 1.5 und 1.6: Kalküle 1 /

Mehr

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik. Kapitel 3: Grundbegriffe der Aussagenlogik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik. Kapitel 3: Grundbegriffe der Aussagenlogik Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik Kapitel 3: Grundbegriffe der Aussagenlogik Grundbegriffe der Aussagenlogik 1 Die Aussagenlogik ist ein Zweig der formalen Logik, der die Beziehungen

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Susanna Pohl Vorkurs Mathematik TU Dortmund 09.03.2015 Aussagen, Logik und Beweistechniken Aussagen und Logik Motivation

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 4. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der Aussagenlogik:

Mehr

Formale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9.

Formale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9. Formale Logik PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9. November 2016 Weitere Begriffe Eine Zuweisung von Wahrheitswerten W bzw. F

Mehr

Junktoren der Aussagenlogik zur Verknüpfung zweier Aussagen A, B

Junktoren der Aussagenlogik zur Verknüpfung zweier Aussagen A, B Junktoren der Aussagenlogik zur Verknüpfung zweier Aussagen A, B Name Zeichen Bedeutung Wahrheitstafel Bemerkung mit zugehöriger Dualzahl ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil

Mehr

Grundkurs Mathematik I

Grundkurs Mathematik I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2016/2017 Grundkurs Mathematik I Vorlesung 3 Was Hänschen nicht lernt, lernt Hans nimmermehr Volksmund Was Hänschen nicht lernt, lernt Hans nimmermehr hat heute keine

Mehr

Einführung in die mathematische Logik

Einführung in die mathematische Logik Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Einführung in die mathematische Logik Vorlesung 3 Tautologien In der letzten Vorlesung haben wir erklärt, wie man ausgehend von einer Wahrheitsbelegung λ der Aussagevariablen

Mehr

Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1

Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Christian Eisentraut & Julia Krämer www.vorkurs-mathematik-informatik.de Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe) Kategorie 1 Notieren Sie die Definitionen

Mehr

Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 2.1 Äquivalenzen. 2.2 Vereinfachte Schreibweise. 2.3 Normalformen. 2.

Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 2.1 Äquivalenzen. 2.2 Vereinfachte Schreibweise. 2.3 Normalformen. 2. Theorie der Informatik 24. Februar 2014 2. Aussagenlogik II Theorie der Informatik 2. Aussagenlogik II 2.1 Äquivalenzen Malte Helmert Gabriele Röger 2.2 Vereinfachte Schreibweise Universität Basel 24.

Mehr

Vorlesung Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Leipzig, WS 16/17

Vorlesung Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Leipzig, WS 16/17 Vorlesung Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Universität Leipzig, WS 16/17 Prof. Dr. Bernd Kirchheim Mathematisches Institut kirchheim@math.uni-leipzig.de 1 / 19 Dies ist der Foliensatz zur Vorlesung

Mehr

Informationsverarbeitung auf Bitebene

Informationsverarbeitung auf Bitebene Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta 5. November 2005 Einführung in die Informatik - Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta Grundlagen der Informationverarbeitung

Mehr

Rudolf Brinkmann Seite

Rudolf Brinkmann Seite Rudolf Brinkmann Seite 1 30.04.2008 Aussagen und Mengentheoretische Begriffe Aussagen und Aussageformen In der Mathematik spricht man von Aussagen, wenn für einen Sachverhalt entschieden werden kann, ob

Mehr

3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik

3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik 3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik Wichtige Konzepte und Begriffe in Logiken: Syntax (Signatur, Term, Formel,... ): Festlegung, welche syntaktischen Gebilde als Formeln (Aussagen, Sätze,

Mehr

Grundlegendes der Mathematik

Grundlegendes der Mathematik Kapitel 2 Grundlegendes der Mathematik (Prof. Udo Hebisch) 2.1 Logik Unter einer Aussage versteht man in der Mathematik einen in einer natürlichen oder formalen Sprache formulierten Satz, für den eindeutig

Mehr

Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik

Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Syntax Symbole und Struktur Junktoren: t, f (nullstellig), (einstellig),,,, (zweistellig) aussagenlogische Formeln AL(P) induktive Definition: IA atomare Formeln

Mehr

2.6 Natürliches Schließen in AL

2.6 Natürliches Schließen in AL 2.6 Natürliches Schließen in AL Bisher wurde bei der Überprüfung der Gültigkeit von Schlüssen oder Schlussschemata insofern ein semantisches Herangehen verfolgt, als wir auf die Bewertung von Formeln mit

Mehr

Vorlesung. Beweise und Logisches Schließen

Vorlesung. Beweise und Logisches Schließen Vorlesung Beweise und Logisches Schließen Der folgende Abschnitt dient nur zur Wiederholung des Stoffes der ersten Vorlesung und sollten nur genannt bzw. Teilweise schon vor der Vorlesung angeschrieben

Mehr

der einzelnen Aussagen den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr

der einzelnen Aussagen den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr Kapitel 2 Grundbegriffe der Logik 2.1 Aussagen und deren Verknüpfungen Eine Aussage wie 4711 ist durch 3 teilbar oder 2 ist eine Primzahl, die nur wahr oder falsch sein kann, heißt logische Aussage. Ein

Mehr

Grundbegriffe für dreiwertige Logik

Grundbegriffe für dreiwertige Logik Grundbegriffe für dreiwertige Logik Hans Kleine Büning Universität Paderborn 1.11.2011 1 Syntax und Semantik Die klassische Aussagenlogik mit den Wahrheitswerten falsch und wahr bezeichnen wir im weiteren

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 3: Alphabete, Abbildungen, Aussagenlogik Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2010/2011 1/32 Überblick Alphabete

Mehr

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kapitel 1: Grundlagen der Mathematik. Referenzen zum Nacharbeiten:

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kapitel 1: Grundlagen der Mathematik. Referenzen zum Nacharbeiten: FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski DM1 Folie 1 Diskrete Mathematik Sebastian Ianoski FH Wedel Kapitel 1: Grundlagen der Mathematik Reerenzen zum Nacharbeiten: Lang 1, 2.1 Meinel 1 Dean 3, 4 Hachenberger

Mehr

Logik für Informatiker Logic for computer scientists

Logik für Informatiker Logic for computer scientists Logik für Informatiker Logic for computer scientists Till Mossakowski Wintersemester 2014/15 Till Mossakowski Logik 1/ 24 Die Booleschen Junktoren Till Mossakowski Logik 2/ 24 Die Negation Wahrheitstafel

Mehr

Ein und derselbe Satz kann in Bezug auf unterschiedliche Situationen s 1. und s 2 unterschiedliche Wahrheitswerte haben.

Ein und derselbe Satz kann in Bezug auf unterschiedliche Situationen s 1. und s 2 unterschiedliche Wahrheitswerte haben. 2 Aussagenlogik () 2.3 Semantik von [ Gamut 4-58, Partee 7-4 ] Ein und derselbe Satz kann in Bezug auf unterschiedliche Situationen s und s 2 unterschiedliche Wahrheitswerte haben. Beispiel: Es regnet.

Mehr

mathe plus Aussagenlogik Seite 1

mathe plus Aussagenlogik Seite 1 mathe plus Aussagenlogik Seite 1 1 Aussagenlogik 1.1 Grundbegriffe Def 1 Aussage Eine Aussage ist ein beschriebener Sachverhalt, dem eindeutig einer der Wahrheitswerte entweder wahr oder falsch zugeordnet

Mehr

Anwendung Informatik Daten verwalten (2) Ursprüngliche Information Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung

Anwendung Informatik Daten verwalten (2) Ursprüngliche Information Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Agenda für heute, 20. November 2009 Daten verwalten (2): Drei Stufen der Datenverwaltung Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Anwendung

Mehr

Mathematik für Informatiker I

Mathematik für Informatiker I Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom 19.10.2004 In diesem Kurs geht es um Mathematik und um Informatik. Es gibt sehr verschiedene Definitionen, aber für mich ist Mathematik die Wissenschaft

Mehr

Welcher der folgenden Sätze ist eine Aussage, welcher eine Aussageform, welcher ist keines von beiden:

Welcher der folgenden Sätze ist eine Aussage, welcher eine Aussageform, welcher ist keines von beiden: Übungsaufgaben 1. Aufgabe 1 Welcher der folgenden Sätze ist eine Aussage, welcher eine Aussageform, welcher ist keines von beiden: a. x ist eine gerade Zahl. Aussageform b. 10 ist Element der Menge A.

Mehr

Vorkurs Mathematik für Informatiker 5 Logik, Teil 1

Vorkurs Mathematik für Informatiker 5 Logik, Teil 1 5 Logik, Teil 1 Michael Bader, Thomas Huckle, Stefan Zimmer 1. 9. Oktober 2008 Kap. 5: Logik, Teil 1 1 Aussagenlogik Rechnen mit Wahrheitswerten: true und false Kap. 5: Logik, Teil 1 2 Aussagenlogik Rechnen

Mehr

Logik und Beweismethoden I

Logik und Beweismethoden I Logik und Beweismethoden I Anita Ullrich WS2017/18 Inhaltsverzeichnis 1 Klassische Aussagenlogik 2 1.1 Aussagen und Wahrheitswerte.................................... 2 1.2 Operatoren..............................................

Mehr

Aussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25

Aussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25 Aussagenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Modellierung und Beweise Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25 Einführendes Beispiel Falls Lisa Peter trifft, dann trifft Lisa auch Gregor.

Mehr

Grundlagen der Logik

Grundlagen der Logik Grundlagen der Logik Denken Menschen logisch? Selektionsaufgabe nach Watson (1966): Gegeben sind vier Karten von denen jede auf der einen Seite mit einem Buchstaben, auf der anderen Seite mit einer Zahl

Mehr

Logik. Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block Aussage

Logik. Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block Aussage Logik Die Logik ist in der Programmierung sehr wichtig. Sie hilft z.b. bei der systematischen Behandlung von Verzweigungen und Schleifen. z.b. if (X Y und Y>0) then Oder beim Beweis, dass ein Algorithmus

Mehr

Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen

Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen

Mehr

SS Juli Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 11

SS Juli Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 11 SS 2011 06. Juli 2011 Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 11 Prof. Dr. Klaus Madlener Abgabe bis 13. Juli 2011 10:00 Uhr 1. Aufgabe: [Axiomatisierung, Übung] 1. Definieren Sie eine Formel A n der Prädikatenlogik

Mehr

Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau 1. Vorlesung Roland Gunesch Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 1 / 26 Themen heute 1

Mehr

Boolesche Terme und Boolesche Funktionen

Boolesche Terme und Boolesche Funktionen Boolesche Terme und Boolesche Funktionen Aussagen Mit dem Begriff der Aussage und der logischen Verknüpfung von Aussagen beschäftigte man sich schon im alten Griechenland. Die Charakterisierung einer Aussage

Mehr

Aussagenlogik Prädikatenlogik erster Stufe. Logik. Logik

Aussagenlogik Prädikatenlogik erster Stufe. Logik. Logik Grundzeichen Aussagenlogik Aussagenvariablen P, Q, R,... Junktoren nicht und oder Runde Klammern (, ) Formeln Aussagenlogik Formeln sind spezielle Zeichenreihen aus Grundzeichen, und zwar 1 Jede Aussagenvariable

Mehr

Formale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 14.

Formale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 14. Formale Logik PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg Wintersemester 16/17 Sitzung vom 14. Dezember 2016 Die formale Sprache der Prädikatenlogik: Zeichen Benutzt werden

Mehr

Logische Grundlagen des Mathematikunterrichts

Logische Grundlagen des Mathematikunterrichts Logische Grundlagen des Mathematikunterrichts Referat zum Hauptseminar Mathematik und Unterricht 10.11.2010 Robert Blenk Holger Götzky Einleitende Fragen Was muss man beweisen? Woraus besteht ein Beweis?

Mehr

Funktionale Programmierung ALP I. λ Kalkül WS 2012/2013. Prof. Dr. Margarita Esponda. Prof. Dr. Margarita Esponda

Funktionale Programmierung ALP I. λ Kalkül WS 2012/2013. Prof. Dr. Margarita Esponda. Prof. Dr. Margarita Esponda ALP I λ Kalkül WS 2012/2013 Berechenbarkeit - inspiriert durch Hilbert's Frage - im Jahr 1900, Paris - Internationaler Mathematikerkongress Gibt es ein System von Axiomen, aus denen alle Gesetze der Mathematik

Mehr

Fuzzy Logic & Control

Fuzzy Logic & Control Λογος ist..., wenn man trotzdem denkt. Prof. Dr.-Ing. Doris Danziger Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff Agenda Klassische Mengen Regelbasierte Systeme Mehrwertige Logiken und Fuzzy Logik Fuzzy Mengen,

Mehr