Anwendung Informatik Daten verwalten (2) Ursprüngliche Information Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung

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1 Agenda für heute, 20. November 2009 Daten verwalten (2): Drei Stufen der Datenverwaltung Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Anwendung Daten organisieren Daten speichern Daten wieder gewinnen Daten reorganisieren Informatik Entity-Relationship-Modell Datenbanken Abfragen (z.b. mit SQL) Logische Verknüpfungen Daten austauschen Daten umformen Datenformate Standards 2/25 Daten organisieren, Daten speichern: Relationale Datenbank Ursprüngliche Information Relationen Normalisieren Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Relationale Operatoren (Select, Project, Join) Umstrukturierte Information 3/25

2 Wiedergewinnen von Information: Aussagenlogik Elemente der Aussagenlogik Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen? Datenbankabfrage Name in Nahrungsmittel mit Nährstoff = Eisen und Menge < 2 Aussage Eine Aussage hat einen Wahrheitswert ("wahr", "falsch") Aussagen können aus Teilaussagen zusammengesetzt sein Nährstoff = Eisen und Menge < 2 Diese Teilaussagen sind durch logische Operatoren verknüpft Nährstoff = Eisen and Menge < 2 ausgewertet mit Tupel einer Datenbank wahr (z.b. 1.7mg Eisen) falsch (z.b. 3.4mg Eisen) (z.b. 1.7mg Kalzium) Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist vollständig durch die Wahrheitswerte der Teilaussagen und die Art der Verknüpfung gegeben. 4/25 5/25 Logische Operatoren p und q sind Teilaussagen (logische Operanden) z.b. p steht für: Nährstoff = Eisen q steht für: Menge < 2 UND Konjunktion: "sowohl p als auch q" p and q Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung i Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen ODER Disjunktion: "entweder p oder q" p or q NICHT Negation: "nicht p" " not p 6/25

3 Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Wahrheitstabelle für die Konjunktion Logische Verknüpfungen anschaulich h spezifizieren i Für jede mögliche Kombination von Wahrheitswerten wird das Resultat der Verküpfung aufgelistet p q Verknüpfung von p mit q w w x w f x f w x f f x Symbole: und, and,, p q p and q w w w w f f f w f f f f Die erste Zeile ist eine Kurzform für: "Falls p wahr ist und q wahr ist, dann ist p and q wahr Für alle Zeilen: wenn p dann q sonst falsch w = wahr, f = falsch 7/25 8/25 Wahrheitstabelle für die Disjunktion Beispiele Symbole: oder, or, +, Eisen ist magnetisch and Gold ist gelb ist wahr wahr and wahr p q p or q w w w w f w f w w f f f Beachte: p or q ist nur dann falsch wenn beide Teilaussagen falsch sind Eisen ist magnetisch and Gold ist magnetisch ist falsch Eisen ist magnetisch or Gold ist gelb ist wahr Eisen ist magnetisch or Gold ist magnetisch ist wahr wahr and falsch wahr or wahr wahr or falsch Für alle: wenn p dann wahr sonst q Eisen ist gelb or Gold ist magnetisch ist falsch falsch or falsch 9/25 10/25

4 Wahrheitstabelle für die Negation Symbole: nicht, not, p not p w f f w Vorrangregelung der logischen Operatoren : 1. not 2. and 3. or 4. Vergleiche p or q and r (p or q) and r 11/25 Kann durch Setzen von Klammern aufgehoben werden Bemerkungen zur Disjunktion Umgangssprachlich bedeutet "oder" meistens: p oder q oder beide (sie ist intelligent oder sie studiert jede Nacht) p or q bedeutet immer "p oder q oder beide" (siehe Wahrheitstabelle) manchmal bedeutet "oder" jedoch: p oder q aber nicht beide (sie telefoniert aus Basel oder aus Genf) für diese Bedeutung wird die exklusive Disjunktion (xor) angewandt p q p xor q w w f w f w f w w f f f Beachte: p xor q ist dann falsch wenn beide Teilaussagen entweder falsch oder richtig sind. 12/25 Disjunktion oder exklusive Disjunktion? Das neue Plakat Genauer: drink xor drive Genauer: drink and < 1 Glas xor drive Aber stimmt das? Stimmts jetzt? Genauer: (drink and 1Glasand and drive) or (drink and >1Glasand and not drive) Raphael Theiler 13/25 14/25

5 Ein paar Spezialfälle Logische Äquivalenzen not p or not q not ( p and q ) (de Morgan) not p and not q not ( p or q ) Tautologie p or not p Widerspruch p and not p Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung i Werete von Aussagen: Wahrheitstabellen p not p p or not p p not p p and not p w f w w f f f w w f w f 15/25 Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen oder Zink? Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen (Menge < 2 mg) and (Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink) Mengendiagramme Alle Nahrungsmittel mit Eisen Alle Nahrungsmittel mit Zink Menge and Eisen Eisen Alle Nahrungsmittel mit Menge < 2 mg Logischer Ausdruck (Menge < 2 mg) and (Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink) Zink Menge 16/25 17/25

6 Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen oder weniger als 2 mg Zink? Logischer Ausdruck (Nährstoff = Eisen) and (Menge < 2 mg) or (Nährstoff = Zink) and (Menge < 2 mg) Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke (Menge < 2 mg) ) and (( Nährstoff = Eisen) ) or (Nährstoff = Zink)) < 2 mg Eisen Zink Eisen or Zink (Eisen or Zink) and < 2 mg W W W W W W W F W W W F W W W W F F F F F W W W F F W F W F F F W W F F F F F F 18/25 19/25 Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke (Menge < 2 mg) and ( Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink) < 2 mg Eisen Zink < 2 mg and Eisen < 2 mg and Eisen or Zink W W W W W W W F W W W F W F W W F F F F F W W F W F W F F F F F W F W F F F F F Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung i Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen 20/25

7 Boolesche Algebra Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen " " und "+" heisst Boolesche* Algebra, wenn für alle x, y, z M gilt: (1) x (y z) = (x y) z; Assoziativ (2) x + (y + z) = (x + y) + z; Assoziativ (3) x y = y x; Kommutativ (4) x + y = y + x; Kommutativ (5) x (x + y) = x; Absorption (6) x + (x y) = x; Absorption (8) x (y + z) = (x y) + (x z); Distributiv (8) x + (y z) = (x + y) (x + z); Distributiv Boolesche Algebra (9) es gibt ein Element 0 M mit 0 x = 0 und 0 + x = x für alle x M ; Neutrales Element (10) es gibt ein Element 1 M mit 1 x = x und 1 + x = x für alle x M ; Neutrales Element (11) zu jedem x M existiert genau ein y M mit x y = 0 und x + y = 1; Komplementäres Element Wir ersetzen "wahr" mit "1" und "falsch" mit "0" und wenden die Boolesche Algebra auf logische Ausdrücke an. * nach George Boole, englischer Mathematiker, /25 22/25 Vereinfachung logischer Ausdrücke Vereinfachung logischer Ausdrücke Wir möchten einen Fruchtsalat mit Ananas und Bananen oder mit Ananas und keinen Bananen oder mit keinen Ananas und keinen Bananen. Können wir das einfacher sagen? Was sagen wir überhaupt? Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane 1. (A B) + (A B) + ( A B) 2. [A (B + B)] + ( A B) Distributivgesetz 3. (A 1) + ( A B) komplementäres Element bez A + ( A B) neutrales Element bez. 5. (A + A) (A + B) Distributivgesetz 6. 1 (A + B) komplementäres Element bez A + B neutrales Element bez. Ananas oder keine Banane Aber... sind der 1. und der 7. Ausdruck auch äquivalent? 23/25 24/25

8 Verifizierung logischer Ausdrücke 1. Ausdruck: A B ((A B) + (A B)) + ( A B) Schritt: Ausdruck: Reihenfolge: 1. Aussage 2. Logischer Ausdruck (Symbole) 3. Boolesche Algebra 4. Ausdruck evaluieren 25/25 A B A + B Schritt: 1 2 1