Grundlagen der diskreten Mathematik

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1 Grundlagen der diskreten Mathematik Prof. Dr. Romana Piat WS 25/6 Allgemeine Informationen Vorlesungen:./C Zug D (Mi., 3. Block + Do., 4. Block, y-raster) Zug E (Di., 5. Block + Do.,. Block, y-raster) Tutoren: Frau Marjan Godini (Zug D) Prüfung: am ! Herr Sebastian Weiß (Zug D nur eine Gruppe! ) Herr Ersan Banbal (Zug E) PVL: Erfolgreiche Bearbeitung der Hausaufgaben (5 Blätter) + erfolgreiche Bestehen des theoretischen Tests (Mitte Januar) Sprechstunde: nach Vereinbarung Weitere Informationen, z.b. Folien, Mitschriften etc. finden Sie auf: Seite 2 5%

2 Literatur Manfred Brill Mathematik für Informatik 2 Auflage 25, Hanser Verlag Gerald Teschl, Susanne Teschl Mathematik für Informatiker Band. 2. Auflage 27, Springer Verlag Seite 3 Motivation Seite 4

3 Inhalt der Vorlesung Teil I: Logik WICHTIG: z.b allgemein in Programmieren Semester: Technische Grundlage der Informatik Teil II: Grundbegriffe der Mengenlehre und Kombinatorik WICHTIG: z.b Entwicklung der Algorithmen Teil III: Diskrete Mathematik (Modulare Arithmetik, Verschlüsselung ) Teil IV: Abbildungen, Relationen Teil V: Rekursive Folgen WICHTIG: z.b Kodierung, Verschlüsselung, Entwicklung Rechnerarchitektur WICHTIG: z.b Datenbanken Entwicklung und Verwaltung WICHTIG: z.b Typische Ansätze bei Programmierung Seite 5 Inhalt der Vorlesung Teil I: Logik. Logische Aussagen und Verknüpfungen Definitionen; Negation, Junktor, Logische Operatoren, Wahrheitstafel, Tautologie, Gesetze der Aussagenlogik..2 Boolesche Algebra Boolescher Term, Komplexität, Minimalterm, Minimalform.3 Normalformen DNF und KNF.4 Prädikatenlogik und Quantoren Definitionen, Aussagedarstellung mit Quantoren Zusammenfassung PVL: Übungsblatt! Seite 6

4 . Logik Logik ist eine Lehre des vernünftigen (Schluss-) Folgerns. LOGIK Griech.: denkende Kunst, Vorgehensweise Teilgebiet der Philosophie Teilgebiet der Mathematik Teilgebiet der Informatik - künstliche formale Sprache - strengdefinierte Schlussregeln Aussagenlogik Prädikatenlogik Seite 7. Logik. Logische Aussagen und Verknüpfungen Aussagenlogik eine Lehre von Aussagen und ihren Verknüpfungen Definition. Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr (engl. true) oder falsch (engl. false). Es gilt das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten: ein Drittes gibt es nicht. für falsch und wahr : zwei Konstanten und Seite 8

5 . Logik Bemerkung: Sätze mit!,?, Befehlsätze etc. - sind keine Aussagen Beispiel.: a) 3 = b) Setzen Sie sich bitte. c) Quadrate sind rund. d) Es gibt eine gerade Primzahl. e) Hurra! falsche Aussage-> keine Aussage falsche Aussage-> wahre Aussage-> keine Aussage f) Wenn es regnet, dann ist die Straße nass. wahre Aussage-> Seite 9. Logik Beispiel.: a) 3 = falsche Aussage-> c) Quadrate sind rund. falsche Aussage-> d) Es gibt eine gerade Primzahl. wahre Aussage-> f) Wenn es regnet, dann ist die Straße nass. wahre Aussage-> Die Aussagen a), b), d) sind elementare oder atomare Aussagen: A, B, C,, P, Q, A, A 2, Die Aussage f) ist mehr komplex : Zwei elementare Aussagen gleich mit dann verbunden! Mehr dazu weiter!!! Seite

6 . Logik Durch Verneinung (oder Negation, NON) einer Aussage kann man ihren Wahrheitswert ändern. Beispiel die Aussage A : 6 ist eine Primzahl ist falsch die Verneinung von A: 6 ist keine Primzahl ist wahr. Seite. Logik Diese einstellige logische Operation der Negation ist leicht in Form einer Wahrheitstafel darstellbar, in der man für jeden möglichen Wahrheitswert einer Aussage A den Wahrheitswert der verneinten Aussage A (bzw. A) gegenüberstellt: A A Seite 2

7 . Logik Beispiele von Negationen: A: a) 3 = b) Quadrate sind rund. c) Es gibt eine gerade Primzahl. A: 3 Quadrate sind nicht rund. Es gibt keine gerade Primzahl. d) Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.? Seite 3. Logik Definition.2 Wenn A und B sind Aussagen, dann mit Hilfe von Negation und zweistelliger Junktoren kann man neue Aussagen formulieren. A B f f 2 f 3 f 4 f 6 oder oder oder oder Für 2 Aussagen gibt es =2 4 = 6 Möglichkeiten eine zweistellige Verknüpfung zu definieren! Seite 4

8 . Logik neue Aussage Symbol Name (4 aus 6) A und B A oder B wenn A, dann B A genau dann, wenn B A B A B A B A B,,, nennt man Junktoren Konjunktion Disjunktion Implikation Äquivalenz Beispiel.2 Wenn es regnet, dann ist die Straße nass wird mit Hilfe von zwei atomaren Aussagen und der Implikation formuliert: A: Es regnet A B B: Die Straße ist nass Seite 5. Logik Wahrheitswerte der zweistelligen Verknüpfungen: A B A B A B A B A B Seite 6

9 . Logik Interpretation: A B A B A B A B A B. Disjunktion ( ): ähnlich der Addition mit der Annahme, dass + = ist; entweder A oder B oder beides 2. Konjunktion ( ): ähnlich der Multiplikation (A B, A B, AB) 3. Äquivalenz ( ): ist ähnlich der Gleichheitsbedingung 4. Implikation ( ): Seite 7. Logik Beispiel.3: Wenn es regnet (A), dann ist die Straße nass (B) : A B A =, B = : Wenn es nicht regnet, dann ist die Straße trocken, möglich!!!, d.h. A B ist wahr () A =, B = : Wenn es nicht regnet, dann ist die Straße nass, möglich!!!, d.h. A B ist wahr () A =, B = : Wenn es regnet, dann ist die Straße trocken, unmöglich!!!, d.h. A B ist falsch () A =, B = : Wenn es regnet, dann ist die Straße nass, möglich!!!, d.h. A B ist wahr () Seite 8

10 . Logik Satz Jede der 6 möglichen, zweistelligen logischen Verknüpfungen kann auf eine Kombination von Disjunktionen, Konjunktionen und Negationen zurückgeführt werden. Beispiel.4: Drei von diesen 6 Möglichkeiten wollen wir detailliert betrachten. Dabei handelt sich um den Scheffer-Operator (NAND, ), den Peirce-Operator (NOR, ) und den -Operator (Exklusives ODER bzw. XOR, ). Seite 9. Logik A B Scheffer- Pierce- Exklusives ODER A B A B A B A B = (A B) A B = (A B) A B = (A B) Übung: Zeigen Sie die Gültigkeit dieser Formeln mithilfe der Wahrheitstabelle. Seite 2

11 . Logik Definition (A B) := (A B) (B A) D.h. es genügt zu zeigen, dass die Implikation auch auf einen Ausdruck den drei elementaren logischen Verknüpfungen,, führt: A B = A B A B A B A A B A B = ( A B) ( B A) A B = (A B) = = (( A B) ( B A)) Seite 2. Logik Betrachten wir noch f = ; f 6 = A A = := ( A A) ( B B) := ( A A) ( B B) Somit haben wir für 9 (,,,,,,,, ) der 6 möglichen zweistelligen Verknüpfungen die Behauptung von Satz nachgewiesen haben und verzichten auf den vollständigen Beweis. Seite 22

12 . Logik Lemma Es seien A und B Aussagen. Für die NANDund NOR-Verknüpfung lassen sich die Negation, Konjunktion und Disjunktion wie folgt ausdrücken: Scheffer- Pierce-. Negation: A = A A = A A. 2. Konjunktion: A B = (A B) (A B) = (A A) (B B). 3. Disjunktion: A B = (A A) (B B) = (A B) (A B). Beweis erfolgt mit Hilfe der Wahrheitstabellen (Hausaufgabe, Blatt ). Wahrheitswerte für und siehe auf Seite 2. Seite 23. Logik Definition.3 Sei F eine logische Formel (Verknüpfung mehrerer Aussagen). Für jede Formel F der Aussagenlogik gibt es 3 Möglichkeiten: a) F heißt erfüllbar, falls es mindestens eine Kombination der Aussagenvariablen gibt, für die Formel F wahr ist. b) F heißt Tautologie (oder allgemein gültig), falls für alle Kombinationen der Aussagenvariablen die Formel F wahr ist. f 6 = a) F heißt Kontradiktion (Widerspruch), falls für alle Kombinationen der Aussagenvariablen die Formel F falsch ist. f Seite = 24

13 . Logik Beispiel.5 a) F = A B b) F = (A B) (A B) c) F2 = (A (A B)) B Lösung: mit Hilfe der Wahrheitstabelle, siehe Mitschrift erfüllbar (Seite 6) Kontradiktion A B A B ( A B) A F2 Seite 25. Logik Beispiel.5 (Fortsetzung) d) F = (A B) (A C) (B C) erfüllbar Lösung: siehe Mitschrift A B A B A B A B A B Seite 26

14 . Logik Gesetze der Aussagenlogik Satz 2 Es sei A eine Aussage, dann gilt: a) A =, A = A b) A = A, A = c) A = A (doppelte Negation) d) A A = e) A A = f) A A = A, A A = A Beweis: mit Hilfe der Wahrheitstabelle Seite 27. Logik Satz 3 Es seien A, B und C Aussagen, dann gilt: a) A B = B A, Kommutativgesetz A B = B A, Assoziativgesetz b) A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C c) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Distributivgesetz A B = B A, A + B = B + A A (B C) = (A B) C A + (B + C) = (A + B) + C A+(B C) = (A + B) (A+C) 3 (5 + 7) = (3 5) + (3 7) A (B+C) = (A B) +(A C) Seite 28

15 . Logik Satz 3 (Fortsetzung): d) (A B) = ( A) ( B), (A B) = ( A) ( B) e) A B = ( B) ( A) De Morgansche Gesetze Gesetz der Kontraposition f) A B = ( A) B g) A B = (A B) (B A) Beweis: mit Hilfe der Wahrheitstabelle Seite 29. Logik Negation komplizierter Aussagen: (A B) A B durch ( A B) ersetzen (f)-seite 29) ( A B) negieren: ( A B) De Morgansche Gesetz anwenden ( A B)= A ( B) A B: Wenn es regnet, dann ist die Straße nass. (A B): Es regnet und die Straße ist nicht nass. Seite 3

16 . Logik Negation komplizierter Aussagen (allgemein): alle Quantore durch,, ersetzen (Satz 3 f) und g)) Das Negationszeichen in die Klammer überführen: De Morgansche Gesetz anwenden. Die erhaltene Formel vereinfachen. Beispiel (Mitschrift): Vereinfachen Sie F = (A B) (B C) Antwort: F = A B C Seite 3. Logik Beispiel.6 Peter möchte Aktien kaufen. Er überlegt: Wenn ich Siemens und Deutsche Bank Aktien nicht kaufe, dann kaufe ich die Aktien von SAP. Welche Aktien kommen in Frage? Aussagenvariablen: A: B: Peter kauft die Aktien von Siemens Peter kauft Deutsche Bank-Aktien C: Peter kauft SAP-Aktien Lösung: ) Formel F aufschreiben und diese vereinfachen 2) feststellen mit Hilfe der Wahrheitstabelle, ob und wann die Formel F erfüllbar ist Seite 32

17 . Logik Beispiel.6 (Lösung) F = (A B) C Vereinfachung: (A B) C= ( (A B)) C = A B C (A B) C SAP DB und SAP Siemens und SAP Siemens und DB Alle drei Aktien = (A B) C Seite 33. Logik.2 Boolesche Algebra-> Schaltalgebra Bildquellen: de.freepik.co, lp.uni-goettingen.de Georg Boole, Seite 34 Bildquelle: de.wikipedia.org

18 . Logik Betrachten wir folgende elementare Schaltbilder: Reihenschaltung: UND Parallelschaltung: ODER Die Konstruktion solcher Schaltungen beschreibt man mit Hilfe sog. Booleschen Variablen, und. Seite 35. Logik Schreibweise der Verknüpfungen: Komplement (Negation): a= a Konjunktion: a b = a b Disjunktion: a b = a + b Z.B. zweite demorgansche Gesetz: a + b = a b (A B) = ( A) ( B) Alle Gesetze aus den Sätzen 2 und 3 gelten auch für die booleschen Variablen (mit geänderten Schreibweise)!!! Seite 36

19 . Logik Definition.4 Jede elementare Aussage oder boolesche Variable ist ein Boolescher Term. Ein n-stelliger Boolescher Term p(x, x 2, x n ) besteht aus den Werten, oder den Booleschen Variablen x, x 2, x n, sowie sämtlichen daraus mit den eingeführten Verknüpfungen (+,, ) konstruierten Ausdrücken. Seite 37. Logik Definition.5 Zwei n-stellige Boolesche Terme p und q sind dabei gleichwertig, wenn für alle (x, x 2, x n ) mit x n {,}, j = {,,n}, gilt: p(x, x 2, x n ) = q(x, x 2, x n ). Definition.6 Die Komplexität eines Booleschen Terms kann man als die Anzahl der in ihm verwendeten binären Operationen + und definieren. Seite 38

20 . Logik Bespiel.7 () Der Boolesche Term p(x,y,z):= x y z + x y z + x y z + x y z + x y z enthält binäre Multiplikationen und 4 binäre Additionen, besitzt also eine Komplexität von 4. (2) Hingegen besitzt der Boolesche Term q(x,y,z):= x + y z nur eine Komplexität von 2: eine binäre Multiplikation und eine binäre Addition. Komplexität? (A + B)(B + A) 3 Seite 39. Logik Definition.7 Einen Booleschen Term mit minimaler Komplexität nennt man Minimalterm des Booleschen Terms. Bespiel.7 (Fortsetzung) Laut Satz 2f): a + a = a, deshalb können wir den Term p mit Hilfe der Gleichung x y z + x y z = x y z erweitern: a a a p(x,y,z):= x y z + x y z + x y z + x y z + x y z + x y z = weiter Mitschrift x + yz = q(x,y,z) Damit ist q die Minimalform von p Weiteres Beispiel von Minimalform ist die Endformel im Aktien -Beispiel Wie können wir sicher sein, dass q eine Minimalform ist? Seite 4

21 . Logik.3 Normalformen DNF, KNF disjunktive bzw. konjunktive Normalform Definition.8 () Ein Literal x ist ein Boolescher Term, der entweder aus einer einzelnen Booleschen Variablen x oder ihrem Komplement x besteht. (2) Ein n-stelliger Boolescher Term der Form z z 2 z n heißt konjunktiver Minterm, wenn z j = x j oder z j = x j für j = {,, n} gilt, also der Term das Produkt der n Literale von x j ist. Seite 4. Logik Definition.8 (Fortsetzung) (3) Ein n-stelliger Boolescher Term der Form z + z z n heißt disjunktiver Minterm, wenn z j = x j oder z j = x j für j = {,, n} gilt, also der Term die Summe der n Literale von x j ist. (4) Ein boolescher Term befindet sich in DNF, wenn es ausschließlich um Disjunktionen von konjunktiven Mintermen handelt. p(x,y) = (x y) + (x y) Summe der Produkte Disjunktion Konjunktion Seite 42

22 . Logik Definition.8 (Fortsetzung) (5) Ein boolescher Term befindet sich in KNF, wenn es ausschließlich um Konjunktionen von disjunktiven Mintermen handelt. q(x,y)=(x+y) (x+y) Beispiel.8 DNF: p(x,y,z)=(x y z) + (x y z) Konjunktion Produkt der Summen Disjunktion KNF: q(x,y,z)=(x+y+z) (x+y+z) (x+y+z) keine DNF: xyz + xz + yz Wie erhält man aus einem gegebenen booleschen Term die DNF bzw. KNF? Seite 43. Logik ) Durch Erweitern und/oder Ausmultiplizieren: p(a,b) = (a + b) a = *erweitern* = (a + b) (a + b) (a + b) = = *. und 3. Kl. sind gleich* = (a + b) (a + b) KNF p(a,b) = (a + b) a = *ausmultiplizieren* = (a a) + (a b) = a + (a b) = = (a b) + (a b) + (a b) = = (a b) + (a b) DNF Seite 44

23 . Logik 2) Mit Hilfe der Wahrheitstabelle: (a + b) a a b b (a + b) F=(a + b) a Minterme KNF KNF DNF DNF a + b a + b a b a b DNF:(a b) + (a b) KNF: (a+b) (a+b) Übung: DNF und KNF für ab + bc (beide Methoden) Mitschrift Seite 45. Logik Algorithmus zur Erstellung der DNF oder KNF von p(x,x 2, x n ) mit Hilfe der Wahrheitstabelle: DNF: a b b (a + b) F=(a + b) a Minterme. Wähle Zeilen mit p = 2. Anzahl Minterme = Anzahl der Zeilen mit a b p =, verbinde die Minterme mit + a b 3. Beschreibe, wenn die Minterme erfüllt sind: DNF:(a b) + (a b) für x = schreibe x für x = schreibe x Seite 46

24 . Logik Algorithmus zur Erstellung der DNF oder KNF von p(x,x 2, x n ) mit Hilfe der Wahrheitstabelle: a b b (a + b) F=(a + b) a Minterme a + b a + b KNF: (a+b) (a+b) KNF:. Wähle Zeilen mit p = 2. Anzahl Minterme = Anzahl der Zeilen mit p =, verbinde die Minterme mit 3. Beschreibe, wenn die Minterme nicht erfüllt sind: für x = schreibe x, für x = schreibe x Seite 47. Logik Algorithmus zur Erstellung der DNF oder KNF von p(x,x 2, x n ) mit Hilfe der Wahrheitstabelle: DNF:. Wähle Zeilen mit p = 2. Anzahl Minterme = Anzahl der Zeilen mit p =, verbinde die Minterme mit + 3. Beschreibe, wenn die Minterme erfüllt sind: für x = schreibe x für x = schreibe x KNF:. Wähle Zeilen mit p = 2. Anzahl Minterme = Anzahl der Zeilen mit p =, verbinde die Minterme mit 3. Beschreibe, wenn die Minterme nicht erfüllt sind: für x = schreibe x, für x = schreibe x Seite 48

25 . Logik Satz 4 Jeder Boolescher Term lässt sich äquivalent in DNF bzw. KNF darstellen (Außnahme : Tautologie nur DNF Kontradiktion nur KNF) a b p(a,b) Minterme a b a b DNF: ab + ab + ab + ab a b a b Übung: KNF für Kontradiktion KNF: (a+b)(a+b)(a+b)(a+b) Seite 49. Logik Beispiel.9: Drei Schalter kontrollieren eine Lampe. Die Lampe brennt genau dann, wenn eine gerade Anzahl von Schaltern geschlossen ist. (a) Geben Sie die Wahrheitstabelle für die zugehörige boolesche Funktion f(x,y,z) an. (b) Stellen Sie die DNF auf. Hinweis: ist eine gerade Zahl. Lösung: Mitschrift Antwort: xyz + xyz + xyz + xyz Seite 5

26 . Logik.4 Prädikatenlogik und Quantoren Beim Programmieren treten häufig Abfragen der Form if (n ) auf, die je nach Wert der Variablen n dazu führen, dass eine darauffolgende Anweisung ausgeführt wird oder nicht. Hierbei wird ein Wert (meist aus einer gewissen Grundmenge G, z.b. Integer-Zahlen) für die freie Variable n eingesetzt und die resultierende Aussage auf ihren Wahrheitswert untersucht. Seite 5. Logik.4 Prädikatenlogik und Quantoren C++: if (x > ) { x++; } Pascal: if (x > ) then x:=x+; Seite 52

27 . Logik Definition.9 Ein Prädikat ist ein Satz (bzw. Formel) A(x), der (bzw. die) eine oder mehrere Variablen enthält: A(x,x 2, x n ), der (bzw. die) nach der Ersetzen der Variablen durch konkrete Objekte zur eine Aussage wird. Beispiel.: A(x) = x ist eine Primzahl x = 2 wahre Aussage x = 4 falsche Aussage (x > ) x = 3 x = 2 wahre Aussage falsche Aussage Seite 53. Logik Definition. Mit Hilfe von Quantoren (,,!) können aus Prädikaten neue Aussagen gebildet werden: Aussage Quantor Name für alle x gilt A(x) x: A(x) Allquantor x: A(x)!x: A(x) es gibt mind. ein x, für das A(x) gilt es gibt genau ein x, für das A(x) gilt Existenzquantor -//- Seite 54

28 . Logik Beispiel. Betrachten wir den Satz (Euklid): Es gibt unendlich viele Primzahlen. A(x) = x ist eine Primzahl es existiert kein Quantor es gibt unendlich viele! äquivalent umformulieren: zu jede Zahl x (natürliche Zahl) gibt es eine größere Primzahl p. Formalisierung: x: ( p: A(p) (p > x)) Seite 55. Logik Negation: In diesem Jahr regnet es täglich. B(x) = es regnet am Tag x Formalisierung: xϵ[,365]: B(x) Negation: ( xϵ[,365]: B(x)) xϵ[,365]: ( B(x)) Übung: Wie lautet der Ursprungssatz, der zur folgender Negation führt: xϵ[,365]: ( B(x)) ( xϵ[,365]: B(x)) Seite 56

29 . Logik Satz 5 Seien A(x), B(x), A(x,y) Prädikate, dann gilt: x: (A(x) und B(x)) x: A(x) und x: B(x) x: (A(x) oder B(x)) x: A(x) oder x: B(x) x, y: A(x,y) y, x: A(x,y) x, y: A(x,y) y, x: A(x,y) Seite 57. Logik Achtung: und dürfen in der Regel nicht vertauscht werden Beispiel.2 x: ( p: A(p) (p > x)) wahre Aussage p: ( x: A(p) (p > x)) falsche Aussage, da es bedeutet: Es gibt eine Primzahl p, die größer als alle natürliche Zahlen (x) ist. Seite 58

30 . Logik Übung Vorgegeben sind die Prädikate: q(x): x x 3 r(y): y y 4 p(x,y): x + y 4 t(x,y) = q(x) r(y) p(x,y) Welche Aussagen sind wahr? xϵn, y ϵ Z : p(x,y); wahr x ϵ N : q(x); x ϵ N : q(x); falsch wahr xϵn, y ϵ N : p(x,y); falsch t(2,3); t(,2); t(3,3); t(2,2); falsch wahr falsch wahr Seite 59. Logik Zusammenfassung: Definitionen: Aussage, Junktor, Quantor, Minterm, DNF, KNF, Tautoligie, Kontradiktion, Erfüllbarkeit Aufgaben: Textaufgaben, Vereinfachungen, Wahrheitstabellen, DNF, KNF Seite 6

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