Logik (Prof. Dr. Wagner FB AI)
|
|
- Otto Kruse
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Logik (Prof. Dr. Wagner FB AI) LERNZIELE: Über die Kenntnis und das Verständnis der gegebenen Definitionen hinaus verfolgt dieser Teil der Lehrveranstaltung die folgenden Lernziele: Bei gegebenen sprachlichen Formulierungen Aussagen von anderen Sätzen unterscheiden können. Syntaktisch korrekte aussagenlogische Formeln identifizieren und bilden können. Die Fachbegriffe Syntax, Semantik, Junktor, Konjunktion, Disjunktion und Negation sowie Implikation und Äquivalenz verstehen und einsetzen können. Den prinzipiellen Aufbau einer induktiven Definition kennen. Sich die Bedeutung einer unbekannten induktiven Definition selbst erarbeiten können. Benennen können, ob ein Junktor in Prefix-, Infix- oder Postfix-Notation verwendet wird. Wahrheitstafeln aufstellen und benutzen können. Die Bedeutung der Formelklassen Tautologie, Kontradiktion und erfüllbar kennen sowie für eine gegebene Formel die Zuordnung zu diesen Klassen mit Hilfe von Wahrheitstafeln nachweisen können. Die Gesetze der Aussagenlogik kennen. Formeln mit Hilfe der Gesetze der Aussagenlogik in äquivalente Formeln umformen können. Eine zusammengesetzte, umgangssprachliche Aussage durch eine Formel adäquat ausdrücken, d.h. formalisieren können. Beurteilen können, ob eine Formel in konjunktiver bzw. disjunktiver Normalform vorliegt. Eine Formel in ihre kanonische konjunktive bzw. disjunktive Normalform überführen können. Def. (Aussage(nvariable)) Unter einer Aussage versteht man einen Satz, der nach allgemein gültigem Verständnis entweder den Wahrheitswert "wahr" oder den Wahrheitswert "falsch" haben kann. Aussagen werden durch Aussagenvariablen (Kleinbuchstaben a, b, c,...) abgekürzt. Def. (Belegung) Eine Belegung B ordnet jeder Aussagenvariablen x 1, x 2,..., x n einen Wahrheitswert (w oder f) zu, d.h. B(x i ) = w oder B(x i ) = f.
2 Def. (Primitive aussagenlogische Formel) Syntaktisch korrekte primitive aussagenlogische Formeln sind wie folgt induktiv definiert: Jede Aussagenvariable x ist eine primitive aussagenlogische Formel. Man bezeichnet solche Formeln auch als atomar. w und f als Abkürzung der Wahrheitswerte sind primitive aussagenlogische Formeln. Sie sind ebenfalls atomar. Sind a und b bereits primitive aussagenlogische Formeln, dann sind auch (a b) sowie (a b) primitive aussagenlogische Formeln. Ist a bereits eine primitive aussagenlogische Formel, dann ist auch a eine primitive aussagenlogische Formel. Man bezeichnet, und als die Junktoren,d.h. Verknüpfungssymbole der Aussagenlogik. Dabei heißt Konjunktion, Disjunktion und Negation. Def. (Wahrheitswert einer Formel) Der Wahrheitswert W B einer aussagenlogischen Formel F(x 1, x 2,..., x n ) ist wie folgt rekursiv definiert: W B (x i ) = B(x i ) W B (w) = w; W B (f) = f W B (G H) = w, falls W B (G) = w und W B (H) = w; f sonst. W B (G H) = w, falls W B (G) = w oder W B (H) = w; f sonst. W B ( G) = w, falls W B (G) = f; f sonst. Dabei bezeichnen G(x 1, x 2,..., x n ) und H(x 1, x 2,..., x n ) aussagenlogische Formeln, für die wir kurz G und H schreiben. Def. (Formelklassen) Eine Formel F(x 1, x 2,..., x n ) heißt Tautologie, falls sie für jede Belegung B für x 1, x 2,..., x n den Wahrheitswert wahr hat, d.h. W B (F) = w für alle Belegungen B; Kontradiktion, falls sie für keine Belegung B für x 1, x 2,..., x n den Wahrheitswert wahr hat, d.h. W B (F) = f für alle Belegungen B; erfüllbar, falls es eine Belegung B für x 1, x 2,..., x n gibt, für die sie den Wahrheitswert wahr hat, d.h. W B (F) = w für irgendeine Belegung B.
3 Def. (Erweiterte aussagenlogische Formel und ihre Semantik) Erweiterte aussagenlogische Formeln sind wie folgt induktiv definiert: Jede primimitve aussagenlogische Formel ist eine erweiterte aussagenlogische Formel. Sind a und b bereits erweiterte aussagenlogische Formeln, so sind auch (a b), (a b), (a b), (a b) und a erweiterte aussagenlogische Formeln. Soll nicht explizit zwischen primitiven und erweiterten aussagenlogischen Formeln unterschieden werden, so sprechen wir in Zukunft nur noch von aussagenlogischen Formeln oder sogar nur noch von Formeln. Man bezeichnet den Junktor als Subjunktion und den Junktor als Bijunktion. Die Junktoren haben eine unterschiedlich starke Bindung: Die Negation bindet stärker als die Konjunktion und Disjunktion binden stärker als die Subjunktion und die Bijunktion. Der Wahrheitswert WB einer erweiterten aussagenlogischen Formel F(x1, x2,..., xn) ist als Erweiterung der rekursiven Definition des Wahrheitswertes einer primitiven aussagenlogischen Formel definiert. Für die Subjunktion und Bijunktion gelten die folgenden Regeln: WB(G H) = f, falls WB(G) = w und WB(H) = f; w sonst. WB(G H) = w, falls WB(G) = WB(H); f sonst. Def. (Äquivalenz logischer Formeln) Zwei aussagenlogische Formeln F(x 1, x 2,..., x n ) und G(x 1, x 2,..., x n ) sind äquivalent, wenn sie für jede Belegung B der Variablen x 1, x 2,..., x n den gleichen Wahrheitswert liefern, d.h. W B (F) = W B (G) für alle Belegungen B. Theorem (Substitutionstheorem) Wenn eine Formel G äquivalent ist zu einer Formel H und wenn F' das Ergebnis der Ersetzung von G in F durch H ist, dann ist auch F äquivalent zu F'. Theorem (Äquivalenzumformung) Wenn zwei Formeln G und H äquivalent sind, dann können sie auch durch (wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durch eine gemäß den Gesetzen der Aussagenlogik äquivalente Formel ineinander überführt werden.
4 Theorem (Gesetze der Aussagenlogik) Die folgenden Gesetze der Aussagenlogik lassen sich mit Hilfe von Wahrheitstafeln beweisen: Name Tertium non datur (a a) w Tautologie Gesetz des Widerspruchs (a a) f Neutralität von w bzw. f Übergewicht von w bzw. f Idempotenzgesetze Kommutativgesetze Assoziativgesetze Absorbtionsgesetze Distributivgesetze Doppelte Negation DeMorgansche Regeln (a w) a (a f) a (a f) f (a w) w (a a) a (a a) a (a b) (b a) (a b) (b a) ((a b) c) (a (b c)) ((a b) c) (a (b c)) (a (a b)) a (a (a b)) a (a (b c)) ((a b) (a c)) (a (b c)) ((a b) (a c)) ( a) a (a b) ( a b) (a b) ( a b) Elimination Implikation (a b) ( a b) Elimination Äquivalenz Kontraposition (a b) ((a b) (b a)) (a b) ((a b) ( a b)) (a b) ( b a)
5 Def. (Literal) Seien a 1, a 2,..., a n paarweise verschiedene Aussagenvariablen. Dann bildet sowohl jede Aussagenvariable a i als auch deren Negation a i einen Literal. Beide Literale gelten dabei als voneinander verschieden. Def. (Konjunktions-/Diskjunktionsterme) Seien x 1, x 2,..., x n paarweise verschiedene Literale für n 1. Dann heißt der Ausdruck x 1 x 2... x n n-stelliger Konjunktionsterm und x 1 x 2... x n n-stelliger Disjunktionsterm. Def. (Konjunktive und disjunktive Normalform) Seien K 1, K 2,..., K m paarweise verschiedene Konjunktionsterme und D 1, D 2,..., D m paarweise verschiedene Disjunktionsterme für m 1. Dann heißt K 1 K 2... K m disjunktive Normalform und D 1 D 2... D m konjunktive Normalform. Bemerkung: Konjunktive und disjunktive Normalformen sind primitive, aussagenlogische Formeln. Satz (Überschneidung zwischen Normalformen) Jeder Konjunktionsterm sowie jeder Disjunktionsterm bildet bereits sowohl eine konjunktive als auch eine disjunktive Normalform. Beweis: Sei x 1 x 2... x n n-stelliger Konjunktionsterm. Dann bildet er gemäß Definition eine disjunktive Normalform mit nur einem Konjunktionsterm. Außerdem bildet jedes x i als Literal einen einstelligen Disjunktionsterm. Somit liegt x 1 x 2... x n nach der Definition ebenfalls in konjunktiver Normalform mit n Disjunktionstermen vor.
6 Satz(Existenz mehrerer Normalformen) Die konjunktive bzw. disjunktive Normalform einer primitiven aussagenlogischen Formel ist im Allgemeinen nicht eindeutig. Beweis: Betrachte die Formel F über drei Variablen mit F(a, b, c) = (a b) ( a b c). Dann liegt F bereits in disjunktiver Normalform vor. Die zu F äquivalente Formel G(a, b, c) = (a b c) (a b c) ( a b c) ist aber auch eine disjunktive Normalform. Def. (Kanonische konjunktive und disjunktive Normalform) Seien K 1, K 2,..., K m paarweise verschiedene Konjunktionsterme und D 1, D 2,..., D m paarweise verschiedene Disjunktionsterme. Dann heißt DN = K 1 K 2... K m oder KN = D 1 D 2... D m kanonisch, kurz kdn oder kkn, wenn jeder Konjunktionsterm bzw. jeder Disjunktionsterm alle Variablen, über denen die Formel definiert ist, genau einmal enthält. Satz (Existenz kanonischer Normalformen) Zu jeder aussagenlogische Formel, die keine Tautologie ist, existiert eine äquivalente aussagenlogische Formel in kanonischer konjunktiver Normalform. Zu jeder aussagenlogischen Formel, die keine Kontradiktion ist, existiert eine äquivalente aussagenlogische Formel in kanonischer konjunktiver Normalform.
Logik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 4 7.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
Mehr1 Aussagenlogik. 1.1 Aussagen. 15 ist eine Primzahl. 3 < 8 x < 15 (hängt von x ab, keine Aussage) Aussage = Behauptung Beispiele: Es regnet.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 1 Aussagenlogik 1.1 Aussagen Aussage = Behauptung Beispiele: Es regnet. Die Straße ist naß. 15 ist eine Primzahl. 3 < 8 x < 15 (hängt von x ab, keine Aussage)
MehrJeder Aussage p kann ein Wahrheitswert W(p) {0, 1} zugeordnet werden. Beispiele: W(Es regnet.) =? (je nach Lage der Dinge) W(Die Straße ist naß.) =?
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 2 1 Aussagenlogik 1.1 Aussagen Aussage = Behauptung Beispiele: Es regnet. Die Straße ist naß. 15 ist eine Primzahl.
Mehr1 Aussagenlogik. 1.1 Aussagen. 15 ist eine Primzahl. 3 < 8 x < 15 (hängt von x ab, keine Aussage) Aussage = Behauptung Beispiele: Es regnet.
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 1 Aussagenlogik 1.1 Aussagen Aussage = Behauptung Beispiele: Es regnet. Die Straße ist naß. 15 ist eine Primzahl. 3 < 8 x < 15 (hängt von x ab, keine Aussage)
MehrLogische Äquivalenz. Definition Beispiel 2.23
Logische Äquivalenz Definition 2.22 Zwei aussagenlogische Formeln α, β A heißen logisch äquivalent, falls für jede Belegung I von α und β gilt: Schreibweise: α β. Beispiel 2.23 Aus Folgerung 2.6 ergibt
MehrWas bisher geschah. wahr 0 t 1 falsch 0 f 0 Konjunktion 2 min Disjunktion 2 max Negation 1 x 1 x Implikation 2 Äquivalenz 2 =
Was bisher geschah (Klassische) Aussagenlogik: Aussage Wahrheitswerte 0 (falsch) und 1 (wahr) Junktoren Syntax Semantik Stelligkeit Symbol Wahrheitswertfunktion wahr 0 t 1 falsch 0 f 0 Konjunktion 2 min
MehrDiskrete Strukturen. Sebastian Thomas RWTH Aachen https://www2.math.rwth-aachen.de/ds17/ Mathematische Logik
Diskrete Strukturen Sebastian Thomas RWTH Aachen https://www2.math.rwth-aachen.de/ds17/ Mathematische Logik Aussagen Begriff Aussage: Ausdruck, welcher entweder wahr oder falsch ist e Die RWTH Aachen hat
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 2 28.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Termine Donnerstags: 30.04.2015 nicht
MehrLogik. Logik. Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/ September Vorkurs Informatik - Theorie - WS2013/14
Logik Logik Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/14 30. September 2013 Logik > Logik > logische Aussagen Logik Logik > Logik > logische Aussagen Motivation Logik spielt in der Informatik eine
MehrWas ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie
Was ist Logik? Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie man aus Aussagen andere Aussagen ableiten kann Beschränkung auf
MehrDefinition (Modus Ponens) Wenn A, dann B. A gilt Also, gilt B
Zusammenfassung der letzten LVA Wenn das Kind schreit, hat es Hunger Das Kind schreit Also, hat das Kind Hunger Fakt Korrektheit dieser Schlussfigur ist unabhängig von den konkreten Aussagen Einführung
MehrZusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Wenn das Kind schreit, hat es Hunger Das Kind schreit Also, hat das Kind Hunger Christina Kohl Alexander Maringele
MehrZusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Christina Kohl Alexander Maringele Georg Moser Michael Schaper Manuel Schneckenreither Institut für Informatik
MehrWas bisher geschah: klassische Aussagenlogik
Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Syntax Symbole und Struktur Junktoren: t, f,,,,, aussagenlogische Formeln AL(P) induktive Definition: IA Atome (Aussagenvariablen) p, q, r,... P IS zusammengesetzte
MehrKapitel 1. Aussagenlogik
Kapitel 1 Aussagenlogik Einführung Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1: Aussagenlogik 1/17 Übersicht Teil I: Syntax und Semantik der Aussagenlogik (1.0) Junktoren und Wahrheitsfunktionen (1.1) Syntax
MehrKapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1
Kapitel 1.0 Aussagenlogik: Einführung Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Ziele der Aussagenlogik In der Aussagenlogik analysiert man die Wahrheitswerte zusammengesetzter
MehrLogik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 5. Aussagenlogik Normalformen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Normalformen Definition: Literal Atom (aussagenlogische
MehrAussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25
Aussagenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Modellierung und Beweise Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25 Einführendes Beispiel Falls Lisa Peter trifft, dann trifft Lisa auch Gregor.
MehrLogik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 4. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der Aussagenlogik:
MehrWas bisher geschah: klassische Aussagenlogik
Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Syntax Symbole und Struktur Junktoren: t, f (nullstellig), (einstellig),,,, (zweistellig) aussagenlogische Formeln AL(P) induktive Definition: IA atomare Formeln
MehrFormale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 15 Normalformen und Hornformeln
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 15 Normalformen und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 30. Mai 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/42 Zusammenfassung Syntax
MehrZusammenfassung Syntax: Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 15 Normalformen und Hornformeln. Zusammenfassung
Formale der Informatik 1 Kapitel 15 und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 30. Mai 2016 Zusammenfassung Syntax Zusammenfassung Syntax: Motivation Definition der Syntax: Alphabet, Junktor
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 06.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax (Formeln) Semantik Wertebelegungen/Valuationen/Modelle
MehrMathematische Grundlagen I Logik und Algebra
Logik und Algebra Dr. Tim Haga 21. Oktober 2016 1 Aussagenlogik Erste Begriffe Logische Operatoren Disjunktive und Konjunktive Normalformen Logisches Schließen Dr. Tim Haga 1 / 21 Präliminarien Letzte
MehrBeispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik...
Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik... Worin besteht das Geheimnis Ihres langen Lebens? wurde ein 100-jähriger gefragt. Ich halte mich streng an die Diätregeln: Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit
MehrDiskrete Strukturen WS 2018/19. Gerhard Hiß RWTH Aachen
Diskrete Strukturen WS 2018/19 Gerhard Hiß RWTH Aachen Erster Teil: Grundlagen Kapitel 1, Mathematische Grundbegriffe 1.1 Aussagen Begriff (Aussage) Sprachlicher Ausdruck, welcher entweder wahr oder falsch
MehrSyntax. 1 Jedes A AS AL ist eine (atomare) Formel. 2 Ist F eine Formel, so ist auch F eine Formel. 3 Sind F und G Formeln, so sind auch
Formale der Informatik 1 Kapitel 15 Folgerbarkeit, Äquivalenzen und Normalformen Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 8. Juni 2015 Syntax Definition (Syntax der Aussagenlogik) Mit AS AL sei
MehrAllgemeingültige Aussagen
Allgemeingültige Aussagen Definition 19 Eine (aussagenlogische) Formel p heißt allgemeingültig (oder auch eine Tautologie), falls p unter jeder Belegung wahr ist. Eine (aussagenlogische) Formel p heißt
MehrWas bisher geschah: klassische Aussagenlogik
Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Syntax Symbole und Struktur, Junktoren: t, f,,,,, Prinzip der strukturellen Induktion über Baumstruktur von Formeln, arithmetischen Ausdrücken usw. induktive
MehrAussagenlogik. (MAF2) MAF(I, t) = t und MAF(I, f ) = f. Die Semantik aussagenlogischer Formeln ist durch die Funktion
43 Vergleiche mit MBA! (MAF4) MAF(I, (F G)) = MAF(I, F) MAF(I, G), wobei die zum Symbol gehörende Funktion ist. (MAF3) MAF(I, F) = MAF(I, F) (MAF2) MAF(I, t) = t und MAF(I, f ) = f (MAF1) MAF(I, A) = I(A),
MehrDeduktion in der Aussagenlogik. Semantische Folgerungsbeziehung. Zusammenhang zwischen semantischer und syntaktischer Folgerung
Deduktion in der Aussagenlogik Menge von Ausdrücken der Aussagenlogik beschreibt einen bestimmten Sachverhalt, eine "Theorie" des Anwendungsbereiches Was folgt logisch aus dieser Theorie? Deduktion: aus
MehrInformatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser
Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr fuhr@uni-duisburg.de auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1 Teil I Logik 2 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische
MehrDeduktion in der Aussagenlogik
Deduktion in der Aussagenlogik Menge von Ausdrücken der Aussagenlogik beschreibt einen bestimmten Sachverhalt, eine "Theorie" des Anwendungsbereiches. Was folgt logisch aus dieser Theorie? Deduktion: aus
MehrTheorie der Informatik. Theorie der Informatik. 2.1 Äquivalenzen. 2.2 Vereinfachte Schreibweise. 2.3 Normalformen. 2.
Theorie der Informatik 24. Februar 2014 2. Aussagenlogik II Theorie der Informatik 2. Aussagenlogik II 2.1 Äquivalenzen Malte Helmert Gabriele Röger 2.2 Vereinfachte Schreibweise Universität Basel 24.
MehrGeschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen
MehrMathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1
Christian Eisentraut & Julia Krämer www.vorkurs-mathematik-informatik.de Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe) Kategorie 1 Notieren Sie die Definitionen
MehrRückblick. Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen. 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen
Rückblick Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits 66 Rückblick Gleitkommazahlen (IEEE Floating Point Standard 754) lassen das Komma bei der Darstellung
MehrAussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen
Aussagenlogik Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagen sind Sätze, von denen sich sinnvollerweise sagen läßt, sie seien wahr oder falsch. Jede Aussage besitzt also einen von zwei möglichen Wahrheitswerten,
MehrMathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1
Christian Eisentraut & Julia Krämer www.vorkurs-mathematik-informatik.de Mathematik-Vorkurs für Informatiker Aussagenlogik 1 Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe) Notieren Sie die Definitionen der
MehrEin und derselbe Satz kann in Bezug auf unterschiedliche Situationen s 1. und s 2 unterschiedliche Wahrheitswerte haben.
2 Aussagenlogik () 2.3 Semantik von [ Gamut 4-58, Partee 7-4 ] Ein und derselbe Satz kann in Bezug auf unterschiedliche Situationen s und s 2 unterschiedliche Wahrheitswerte haben. Beispiel: Es regnet.
MehrThema: Logik: 2. Teil. Übersicht logische Operationen Name in der Logik. Negation (Verneinung) Nicht
Thema: Logik: 2. Teil Übersicht logische Operationen Name in der Logik Symbol Umgangssprachlicher Name Negation (Verneinung) Nicht Konjunktion ^ Und Disjunktion v Oder Subjunktion (Implikation) Bijunktion
MehrRückblick. Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen. 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen
Rückblick Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits 66 Rückblick Gleitkommazahlen (IEEE Floating Point Standard 754) lassen das Komma bei der Darstellung
Mehrb. Lehre des vernünftigen Schlussfolgerns (1. System von Regeln von Aristoteles ( v. Chr.); sprachliche Argumente
II. Zur Logik 1. Bemerkungen zur Logik a. Logisches Gebäude der Mathematik: wenige Axiome (sich nicht widersprechende Aussagen) bilden die Grundlage; darauf aufbauend Lehrsätze unter Berücksichtigung der
MehrSyntax der Aussagenlogik
Einführende Beispiele bitte im Buch nachlesen: Uwe Schöning: Logik für Informatiker. 5. Auflage, Spektrum Akad. Verlag, 2. Definition: Syntax der Aussagenlogik ) Atomare Formeln (A i, i =, 2, 3,...)sindFormeln.
MehrLogik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen
Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Andreas Maletti 7. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
Mehr1.1 Grundbegriffe. Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2018) Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
. Grundbegriffe Beispiele: Paris und Mäuse / Otto und der Arzt /... Definition: Syntax der Aussagenlogik ) Atomare Formeln (A i, i =, 2, 3,...)sindFormeln. 2) Falls F und G Formeln, dann auch (F ^ G) und
MehrLogik. Logik. Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2011/ Oktober QSI - Theorie - WS2011/12
Logik Logik Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2/2 7. Oktober 2 Logik > Logik > logische Aussagen Logik Logik > Logik > logische Aussagen Motivation Logik spielt in der Informatik eine wichtige
MehrInformationsverarbeitung auf Bitebene
Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta 5. November 2005 Einführung in die Informatik - Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta Grundlagen der Informationverarbeitung
MehrFormale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/36 Ersetzbarkeitstheorem
MehrGrundbegriffe für dreiwertige Logik
Grundbegriffe für dreiwertige Logik Hans Kleine Büning Universität Paderborn 1.11.2011 1 Syntax und Semantik Die klassische Aussagenlogik mit den Wahrheitswerten falsch und wahr bezeichnen wir im weiteren
Mehr3. Logik 3.1 Aussagenlogik
3. Logik 3.1 Aussagenlogik WS 06/07 mod 301 Kalkül zum logischen Schließen. Grundlagen: Aristoteles 384-322 v. Chr. Aussagen: Sätze, die prinzipiell als ahr oder falsch angesehen erden können. z. B.: Es
MehrFormale Grundlagen der Informatik 1 Wiederholung zum Logik-Teil
Formale Grundlagen der Informatik 1 zum Logik-Teil Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 20. Juni 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/32 Überblick Im hatten wir Aussagenlogik
MehrLogic in a Nutshell. Christian Liguda
Logic in a Nutshell Christian Liguda Quelle: Kastens, Uwe und Büning, Hans K., Modellierung: Grundlagen und formale Methoden, 2009, Carl Hanser Verlag Übersicht Logik - Allgemein Aussagenlogik Modellierung
MehrWas ist Logik? Was ist Logik? Logische Konnektoren. Aussagenlogik. Logik stellt Sprachen zur Darstellung von Wissen zur Verfügung
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen
MehrGeschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen Beschränkung auf "Aussage A folgt nach einer gegebenen
MehrEinführung in die Logik (Vorkurs)
Einführung in die Logik (Vorkurs) Jürgen Koslowski 2014-04-07 Ein Beispiel Familie A will im kommenden Jahr eine Waschmaschine, ein Auto und ein Moped anschaffen. Aber falls Herr A seinen üblichen Bonus
MehrAussagenlogik. Formale Methoden der Informatik WiSe 2012/2013 teil 6, folie 1
Aussagenlogik Formale Methoden der Informatik WiSe 22/23 teil 6, folie Teil VI: Aussagenlogik. Einführung 2. Boolesche Funktionen 3. Boolesche Schaltungen Franz-Josef Radermacher & Uwe Schöning, Fakultät
MehrKapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln
Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.3: Normalformen 1/ 29 Übersicht
MehrDisMod-Repetitorium Tag 1
DisMod-Repetitorium Tag 1 Aussagenlogik, Mengen 19. März 2018 1 Organisatorisches 2 Tipps zur Klausur 3 Aussagenlogik Was gehört in die Aussagenlogik, was nicht? Notationen für viele Terme Belegungen,
MehrLogik für Informatiker Logic for computer scientists
Logik für Informatiker Logic for computer scientists Till Mossakowski Wintersemester 2014/15 Till Mossakowski Logik 1/ 23 Die Logik der Booleschen Junktoren Till Mossakowski Logik 2/ 23 Aussagenlogische
MehrAussagenlogik:Zusammenfassung. Mathematische Logik (WS 2016/17) Aussagenlogik (Zusammenfassung) 1 / 45
Aussagenlogik:Zusammenfassung Mathematische Logik (WS 2016/17) Aussagenlogik (Zusammenfassung) 1 / 45 Fragestellung In der Aussagenlogik analysiert man die Wahrheitswerte zusammengesetzter Aussagen basierend
MehrBoolesche Algebra. Hans Joachim Oberle. Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2
Universität Hamburg Department Mathematik Boolesche Algebra Hans Joachim Oberle Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2 http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/vorlesungen.html
MehrGrundlagen der Programmierung
GdP4 Slide 1 Grundlagen der Programmierung Vorlesung 4 vom 04.11.2004 Sebastian Iwanowski FH Wedel Grundlagen der Programmierung 1. Einführung Grundlegende Eigenschaften von Algorithmen und Programmen
MehrAussagenlogik: Syntax von Aussagen
Aussagenlogik: Syntax von Aussagen A ::= X (A A) (A A) ( A) (A A) (A A) 0 1 Prioritätsreihenfolge :,,,,. A B: Konjunktion (Verundung). A B: Disjunktion (Veroderung). A B: Implikation. A B: Äquivalenz.
MehrMathematische und logische Grundlagen der Linguistik. Kapitel 3: Grundbegriffe der Aussagenlogik
Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik Kapitel 3: Grundbegriffe der Aussagenlogik Grundbegriffe der Aussagenlogik 1 Die Aussagenlogik ist ein Zweig der formalen Logik, der die Beziehungen
MehrMathematische und logische Grundlagen der Linguistik. Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik. Karl Heinz Wagner. Hier Titel eingeben 1
Grundbegriffe der Aussagenlogik 1 Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik Kapitel 3: Grundbegriffe der Aussagenlogik Die Aussagenlogik ist ein Zweig der formalen Logik, der die Beziehungen
MehrGrundlagen der Logik
Grundlagen der Logik Denken Menschen logisch? Selektionsaufgabe nach Watson (1966): Gegeben sind vier Karten von denen jede auf der einen Seite mit einem Buchstaben, auf der anderen Seite mit einer Zahl
MehrFormale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2015/2016
Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2015/2016 Teil 2: Logik 1 Prädikatenlogik (Einleitung) 2 Aussagenlogik Motivation Grundlagen Eigenschaften Eigenschaften Normalformen
MehrVorkurs Mathematik für Informatiker 5 Logik, Teil 1
5 Logik, Teil 1 Michael Bader, Thomas Huckle, Stefan Zimmer 1. 9. Oktober 2008 Kap. 5: Logik, Teil 1 1 Aussagenlogik Rechnen mit Wahrheitswerten: true und false Kap. 5: Logik, Teil 1 2 Aussagenlogik Rechnen
MehrGeschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie. Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen
MehrWas ist Logik? Was ist Logik? Logische Konnektoren. Aussagenlogik. Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie
Was ist Logik? Geschichte der Logik ist eng verknüpft mit (Sprach-) Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie aus wahren Aussagen andere wahre Aussagen folgen
MehrSemantic Web Technologies I
www.semantic-web-grundlagen.de Semantic Web Technologies I Lehrveranstaltung im WS10/11 Dr. Andreas Harth Dr. Sebastian Rudolph M.Sc. Anees ul Mehdi Was ist Logik? etymologische Herkunft: griechisch λογοσ
MehrKlauselmengen. Definition Sei
Klauselmengen Definition 2.38 Sei α = (p 11... p 1k1 )... (p n1... p nkn ) eine in aussagenlogische Formel in KNF. Dann heißen die Mengen {p i1,..., p iki }, 1 i n, der jeweils disjunktiv verknüpften Literale
Mehr1.1 Motivation. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 1.1 Motivation. 1.2 Syntax. 1.3 Semantik. 1.4 Formeleigenschaften. 1.
Theorie der Informatik 19. Februar 2014 1. Aussagenlogik I Theorie der Informatik 1. Aussagenlogik I Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 19. Februar 2014 1.1 Motivation 1.2 Syntax 1.3 Semantik
MehrTableaux-Beweise in der Aussagenlogik
Tableaux-Beweise in der Aussagenlogik Wie kann man auf syntaktische Weise eine Belegung mit Wahrheitswerten finden, die einen gegebenen Ausdruck wahr oder falsch macht? Die Frage schliesst Beweise durch
MehrDiskrete Strukturen Manuskript
Sebastian Thomas RWTH Aachen, WS 2017/18 12. Oktober 2017 Diskrete Strukturen Manuskript Die Vorlesung richtet sich an Studierende des Studiengangs Bachelor of Science Informatik und verwandter Studiengänge.
MehrAufgabe. Gelten die folgenden Äquivalenzen?. 2/??
Äquivalenz Zwei Formeln F und G heißen (semantisch) äquivalent, falls für alle Belegungen A, die sowohl für F als auch für G passend sind, gilt A(F ) = A(G). Hierfür schreiben wir F G.. 1/?? Aufgabe Gelten
MehrBoolesche Terme und Boolesche Funktionen
Boolesche Terme und Boolesche Funktionen Aussagen Mit dem Begriff der Aussage und der logischen Verknüpfung von Aussagen beschäftigte man sich schon im alten Griechenland. Die Charakterisierung einer Aussage
MehrÜbung 4: Aussagenlogik II
Übung 4: Aussagenlogik II Diskrete Strukturen im Wintersemester 2013/2014 Markus Kaiser 8. Januar 2014 1/10 Äquivalenzregeln Identität F true F Dominanz F true true Idempotenz F F F Doppelte Negation F
MehrVorlesung Logik Wintersemester 2017/18 Universität Duisburg-Essen
Vorlesung Logik Wintersemester 2017/18 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Dennis Nolte, Harsh Beohar Barbara König Logik 1 Mengen, Relationen und Funktionen Menge: Menge X von Elementen,
Mehr03 Boolesche Algebra. Technische Grundlagen der Informatik
03 Boolesche Algebra Technische Grundlagen der Informatik Automation Systems Group E183-1 Institute of Computer Aided Automation Vienna University of Technology email: tgi@auto.tuwien.ac.at Inhalt Operationen
Mehrb= NaN
42 Beispiel: IEEE single precision: 0 10000000 00000000000000000000000 b= + 2 128 127 1.0 2 = 2 0 10000001 10100000000000000000000 b= + 2 129 127 1.101 2 = 6.5 1 10000001 10100000000000000000000 b= 2 129
MehrVorsemesterkurs Informatik
Vorsemesterkurs Informatik Sommersemester 2018 Ronja Düffel 14. März 2018 Theoretische Informatik Wieso, weshalb, warum??!? 1 Modellieren und Formalisieren von Problemen und Lösungen 2 Verifikation (Beweis
MehrTeil 7. Grundlagen Logik
Teil 7 Grundlagen Logik Was ist Logik? etymologische Herkunft: griechisch bedeutet Wort, Rede, Lehre (s.a. Faust I ) Logik als Argumentation: Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also
Mehr1 Aussagenlogischer Kalkül
1 Aussagenlogischer Kalkül Ein Kalkül in der Aussagenlogik soll die Wahrheit oder Algemeingültigkeit von Aussageformen allein auf syntaktischer Ebene zeigen. Die Wahrheit soll durch Umformung von Formeln
MehrVorsemesterkurs Informatik
Vorsemesterkurs Informatik Ronja Düffel WS2018/19 01. Oktober 2018 Theoretische Informatik Wieso, weshalb, warum??!? 1 Modellieren und Formalisieren von Problemen und Lösungen 2 Verifikation (Beweis der
MehrFormale Systeme. Aussagenlogik: Syntax und Semantik. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2017/2018 Aussagenlogik: Syntax und Semantik KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK www.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
Mehr2.2.4 Logische Äquivalenz
2.2.4 Logische Äquivalenz (I) Penélope raucht nicht und sie trinkt nicht. (II) Es ist nicht der Fall, dass Penélope raucht oder trinkt. Offenbar behaupten beide Aussagen denselben Sachverhalt, sie unterscheiden
MehrLogik Vorlesung 4: Horn-Logik und Kompaktheit
Logik Vorlesung 4: Horn-Logik und Kompaktheit Andreas Maletti 14. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 1 25.04.2017 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Grundlegende Beweisstrategien Induktion über
MehrLogik für Informatiker
Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 6 14.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge
MehrLogik Vorlesung 2: Semantik der Aussagenlogik
Logik Vorlesung 2: Semantik der Aussagenlogik Andreas Maletti 24. Oktober 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
MehrSyntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4
Syntax der Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1, 2, 3,...). Definition (Formel)
MehrLogik Vorlesung 2: Semantik der Aussagenlogik
Logik Vorlesung 2: Semantik der Aussagenlogik Andreas Maletti 24. Oktober 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
MehrFormale Systeme. Aussagenlogik: Syntax und Semantik. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/2016.
Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2015/2016 Aussagenlogik: Syntax und Semantik KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK KIT Universita t des Landes Baden-Wu rttemberg und nationales Forschungszentrum
MehrKapitel 1.2. Aussagenlogik: Semantik. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.2: Aussagenlogik: Semantik 1 / 57
Kapitel 1.2 Aussagenlogik: Semantik Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.2: Aussagenlogik: Semantik 1 / 57 Übersicht 1.2.1 Interpretationen der al. Formeln 1.2.2 Zentrale semantische Begriffe 1.2.3
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Woche 4 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Modus Ponens A B B A MP Axiome für
MehrKapitel 1.2. Semantik der Aussagenlogik. Mathematische Logik (WS 2013/14) Kapitel 1.2: Semantik der Aussagenlogik 1 / 60
Kapitel 1.2 Semantik der Aussagenlogik Mathematische Logik (WS 2013/14) Kapitel 1.2: Semantik der Aussagenlogik 1 / 60 Übersicht 1.2.1 Interpretationen der al. Formeln 1.2.2 Zentrale semantische Begriffe
MehrNormalformen. Aussagenlogik. Aussagenlogik
Literale Normalformen Definition Ein Literal ist eine Aussagenvariable oder die Negation einer Aussagenvariablen. Literale Normalformen Prolog-Programm p03.pl (Anfang) :- op(550,fx,p). %Aussagenvariable
MehrAlphabet der Prädikatenlogik
Relationen und Alphabet der Das Alphabet der besteht aus Individuenvariablen Dafür verwenden wir kleine Buchstaben vom Ende des deutschen Alphabets, auch indiziert, z. B. x, y, z, x 1, y 2,.... Individuenkonstanten
Mehr