Kapitel 2. Boolesche Algebra. Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann. Hochschule Karlsruhe w University of Applied Sciences w Fakultät für Informatik

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1 Kapitel 2 oolesche lgebra Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann Hochschule Karlsruhe w University of pplied Sciences w Fakultät für Informatik

2 Schaltalgebra, und sind Operatoren über der Menge {0,1} a b a b Konjunktion a b a b Disjunktion Die Operatoren erfüllen mehrere wichtige Gesetze a a Negation Kommutativgesetze a b b a a b b a Distributivgesetze a (b c) (a b) (a c) a (b c) (a b) (a c) Existenz von neutralen Elementen a 1 a a 0 a Existenz von inversen Elementen a a 0 a a

3 oolesche lgebra Gegeben: Menge V, Operatoren, + : V V V V heißt boolesche lgebra, wenn die folgenden vier Huntington schen xiome gelten: Kommutativgesetze (K): Distributivgesetze (D): Neutrale Elemente (N): Inverse Elemente (I): a b b a a + b b + a a (b + c) (a b) + (a c) a + (b c) (a + b) (a + c) Es existieren e, n V mit a e a und a + n a Für alle a V existiert ein a mit a a n und a + a e 2. 3

4 oolesche lgebra Mengenalgebra über einer rägermenge oolesche lgebra Mengenalgebra V () Potenzmenge der rägermenge Durchschnitt + Vereinigung n Leere Menge Veranschaulichung durch Venn-Diagramme e rägermenge a \ Komplementärmenge \ 2. 4

5 2. oolesche lgebra: eispiele ( ) ( ) ( ) 5

6 2. oolesche lgebra: eispiele ( ) ( ) ( ) 6

7 oolesche lgebra uch die Schaltalgebra ist eine boolesche lgebra oolesche lgebra Schaltalgebra V { 1, 0 } Wahrheitswerte (RUE, FLSE) Konjunktion (UND-Operator) + Disjunktion (ODER-Operator) n 0 Falsch (FLSE) e 1 Wahr (RUE) a a Negation (Verneinung) 2. 7

8 Notation und Operatorenbindung bgeleitete Operatoren ( syntactic sugar ) (a b) für ( a b) (a b) für (b a) (a b) für (a b) (a b) (a b) für (a b) ezeichnungen (a b) (a b) (lmplikation) (lnv. Implikation) (Äquivalenz) (ntivalenz) (NOR-Operation) (NND-Operation) 2. 8

9 oolesche Funktionen Schaltalgebra ist eine einstellige boolesche Funktion : {0,1} {0,1} lle anderen Operatoren sind zweistellige boolesche Funktionen,, : {0,1} {0,1} {0,1} Wie viele zweistellige boolesche Funktionen gibt es insgesamt? 2. 9

10 Die zweistelligen booleschen Funktionen b a f f f f f f f f f f f f f f f f Nullfunktion Konjunktion ntivalenz Disjunktion NOR Äquivalenz Implikation Inverse Implikation NND Einsfunktion f 0 0 f 1 a b f 2 a b f 3 b f 4 b a f 5 a f 6 a b f 7 a b f 8 (a b) f 9 a b f 10 a f 11 a b f 12 b f 13 a b f 14 (a b) f

11 Notation und Operatorenbindung lternative Notation der booleschen Operatoren (a b) bzw. (ab) anstelle (a b) (a + b) anstelle (a b) a anstelle a (a b) anstelle (a b) indung der Operatoren bindet stärker als bindet stärker als Klammerung Gleiche binäre Operatoren werden linksassoziativ zusammengefasst, z.. a b c (a b) c 2. 11

12 Kommutativgesetze a b b a Umformungsregeln a b b a Distributivgesetze a (b c) (a b) (a c) a (b c) (a b) (a c) Neutrale Elemente a 1 a a 0 a Inverse Elemente a a 0 a a 1 (K) (D) (N) (I) In jeder ooleschen lgebra, so auch in der Schaltalgebra, gelten die vier oben gezeigten Huntington schen xiome us den Huntington schen xiomen lassen sich weitere praktische Rechenregeln ableiten 2. 12

13 Kommutativgesetze a b b a Umformungsregeln a b b a Distributivgesetze a (b c) (a b) (a c) a (b c) (a b) (a c) Neutrale Elemente a 1 a a 0 a Inverse Elemente a a 0 a a 1 ssoziativgesetze a (b c) (a b) c a b c a (b c) (a b) c a b c Idempotenzgesetze a a a a a a bsorptionsgesetze a (a b) a a (a b) a Gesetze von DeMorgan (a b) a b (a b) a b uslöschungsgesetze a 0 0 a 1 1 Gesetz der Doppelnegation a a (DN) (K) (D) (N) (I) () (ID) () (M) (L) 2. 13

14 Vereinfachung von usdrücken nwendung der Regeln eispiel 1: Y ( ) ( ) ( ) eispiel 2: Y ( ) (( ) ) 2. 14

15 itweise logische Operationen, seien itvektoren, eine beliebige Verknüpfung Operand Operand a a a a a a b b b b b b a a a a a a Ergebnis E 2. 15

16 itweise logische Operationen UND, ODER und XOR wirken wie spezielle it-masken UND wird verwendet, um its gezielt auf 0 zu setzen. Dazu hat die Maske an allen itpositionen, die übernommen werden sollen, eine 1 und an den Stellen, die auf 0 gesetzt werden sollen, eine 0. ODER wird verwendet, um its gezielt auf 1 zu setzen. Dazu hat die Maske an allen itpositionen, die übernommen werden sollen, eine 0 und an den Stellen, die auf 1 gesetzt werden sollen, eine 1. XOR wird verwendet, um its gezielt zu kippen. Dazu hat die Maske an allen itpositionen, die übernommen werden sollen, eine 0 und an den Stellen, die gekippt werden sollen, eine