Boole sche Algebra. George Boole
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- Etta Straub
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1 Boole sche Algebra George Boole
2 2 Schalter a offen a= + Ausgang y ohne Spannung y= 28, H. Schauer 2
3 3 Schalter a geschlossen + a= y= Ausgang y unter Spannung 28, H. Schauer 3
4 4 + Schalter a offen a= Schalter b offen b= y= Ausgang y ohne Spannung 28, H. Schauer 4
5 5 + Schalter a offen a= Schalter b geschlossen b= y= Ausgang y ohne Spannung 28, H. Schauer 5
6 6 + Schalter a geschlossen Schalter b offen a= b= y= Ausgang y ohne Spannung 28, H. Schauer 6
7 7 + Schalter a geschlossen Schalter b geschlossen a= b= y= Ausgang y unter Spannung 28, H. Schauer 7
8 8 Konjunktion (and) + y = a b a b y Serienschaltung a b y = = = = x = x = x (neutrales Element ) x x = x (Idempotenz) 28, H. Schauer 8
9 9 Konjunktion (and) + y = a b a b y Serienschaltung a b y = = = = x = x = x (neutrales Element ) x x = x (Idempotenz) 28, H. Schauer 9
10 Konjunktion (and) + y = a b a b y Serienschaltung a b y = = = = x = x = x (neutrales Element ) x x = x (Idempotenz) 28, H. Schauer
11 Konjunktion (and) + y = a b a b y Serienschaltung a b y = = = = x = x = x (neutrales Element ) x x = x (Idempotenz) 28, H. Schauer
12 2 Konjunktion (and) + y = a b x Serienschaltung y a b y = = = = x = x = x (neutrales Element ) x x = x (Idempotenz) 28, H. Schauer 2
13 3 Konjunktion (and) + y = a b x Serienschaltung y a b y = = = = x = x = x (neutrales Element ) x x = x (Idempotenz) 28, H. Schauer 3
14 4 Konjunktion (and) + y = a b x Serienschaltung y a b y = = = = x = x = x (neutrales Element ) x x = x (Idempotenz) 28, H. Schauer 4
15 5 Disjunktion (or) + y = a b a b a b y Parallelschaltung y = = = = x = x (neutrales Element ) x = x x = x (Idempotenz) 28, H. Schauer 5
16 6 Disjunktion (or) + y = a b a b y Parallelschaltung a b y = = = = x = x (neutrales Element ) x = x x = x (Idempotenz) 28, H. Schauer 6
17 7 Disjunktion (or) + y = a b a b y Parallelschaltung a b y = = = = x = x (neutrales Element ) x = x x = x (Idempotenz) 28, H. Schauer 7
18 8 Disjunktion (or) + y = a b a b y Parallelschaltung a b y = = = = x = x (neutrales Element ) x = x x = x (Idempotenz) 28, H. Schauer 8
19 9 Disjunktion (or) + y = a b x Parallelschaltung y a b y = = = = x = x (neutrales Element ) x = x x = x (Idempotenz) 28, H. Schauer 9
20 2 Disjunktion (or) + y = a b x Parallelschaltung y a b y = = = = x = x (neutrales Element ) x = x x = x (Idempotenz) 28, H. Schauer 2
21 2 Disjunktion (or) + y = a b x Parallelschaltung y a b y = = = = x = x (neutrales Element ) x = x x = x (Idempotenz) 28, H. Schauer 2
22 22 Negation (not) + y = a a y a y = = Ruhekontakt 28, H. Schauer 22
23 23 Kommutatives Gesetz der Konjunktion + + a b y a b = b a b a y 28, H. Schauer 23
24 24 Kommutatives Gesetz der Disjunktion + + a b y a b = b a b a y 28, H. Schauer 24
25 25 Assoziatives Gesetz der Konjunktion a a b c a (b c) = (a b) c b c y y 28, H. Schauer 25
26 26 Assoziatives Gesetz der Disjunktion + + a b c a (b c) = (a b) c a b c y y 28, H. Schauer 26
27 27 Distributives Gesetz a (b c) = (a b) (a c) a (b c) = (a b) (a c) 28, H. Schauer 27
28 28 Identitätsgesetz a = a a = a 28, H. Schauer 28
29 29 Null-/Einsgesetz a = a = 28, H. Schauer 29
30 3 Komplementärgesetz a a = a a = 28, H. Schauer 3
31 3 Idempotenzgesetz a a = a a a = a 28, H. Schauer 3
32 32 Gesetz der Verschmelzung a (a b) = a a (a b) = a 28, H. Schauer 32
33 33 Doppeltes Negationsgesetz ( a) = a 28, H. Schauer 33
34 34 DeMorgan sches Gesetz (a b) = a b (a b) = a b 28, H. Schauer 34
35 35 DeMorgan sches Gesetz (a b) = a b a b a b (a b) a b a b 28, H. Schauer 35
36 36 DeMorgan sches Gesetz (a b) = a b a b a b (a b) a b a b 28, H. Schauer 36
37 37 Boole'sche Algebra Eine Boole'sche Algebra ist ein abgeschlossenes System, in dem zwei Operationen definiert sind, für die kommutatives, assoziatives, distributives und Verschmelzungsgesetz gelten und in dem ein Nullelement, ein Einselement und zu jedem Element ein Komplement existiert. 28, H. Schauer 37
38 38 Beispiele für Boole'sche Algebren Mengenlehre Aussagenlogik Schaltalgebra 28, H. Schauer 38
39 39 Mengenlehre Durchschnitt zweier Mengen a b (entspricht a b) Vereinigung zweier Mengen a b (entspricht a b) Komplement einer Menge a (entspricht a) Leere Menge (entspricht ) Gesamtmenge (entspricht ) 28, H. Schauer 39
40 4 Aussagenlogik Konjunktion zweier Aussagen (entspricht a b) Disjunktion zweier Aussagen (entspricht a b) Negation einer Aussage (entspricht a) Kontradiktion (entspricht ) Tautologie (entspricht ) 28, H. Schauer 4
41 4 Schaltalgebra Serienschaltung zweier Schalter (entspricht a b) Schalter mit Ruhekontakt (entspricht a) Permanente Unterbrechung (entspricht ) Permanente Verbindung (entspricht ) Parallelschaltung zweier Schalter (entspricht a b) 28, H. Schauer 4
42 42 Antivalenz y = a b a b y = = = = x = x x = x x x = 28, H. Schauer 42
43 43 Alle Boole schen Funktionen mit zwei Parametern a b y = y = a b y 2 = a b y 3 = a y 4 = a b y 5 = b y 6 = a b y 7 = a b a b y 5 = y 4 = a b y 3 = a b y 2 = a y = a b y = b y 9 = a b y 8 = a b 28, H. Schauer 43
44 44 Spezielle Boole sche Funktionen mit zwei Parametern Peirce-Funktion Nor y 8 = a b = (a b) 28, H. Schauer 44
45 45 Spezielle Boole sche Funktionen mit zwei Parametern Sheffer-Funktion Nand y 4 = a b = (a b) 28, H. Schauer 45
46 46 Spezielle Boole sche Funktionen mit zwei Parametern Implikation y = a b = b a y 3 = a b = a b 28, H. Schauer 46
47 47 Implikation a b a impliziert b aus a folgt b wenn a gilt dann gilt auch b a ist hinreichend für b b ist notwendig für a a b a... Prämisse b... Conclusio (a b) (b a) = (a b) ( x) = "ex falso quodlibet'' 28, H. Schauer 47
48 48 Spezielle Boole sche Funktionen mit zwei Parametern Kontradiktion y = Tautologie y 5 = 28, H. Schauer 48
49 49 Komplementäre Funktionen f(x,y) = g(x,y) "f und g sind zueinaner komplementär" Beispiele für komplementäre Funktionen:, nand, nor, 28, H. Schauer 49
50 5 Dualität f(x,y) = g( x, y) "f und g sind zueinaner dual" Beispiele für duale Funktionen:, nand, nor, 28, H. Schauer 5
51 5 Dualität a b = ( a b) a b a b a b a b ( a b) 28, H. Schauer 5
52 52 Gatter Oder-Gatter & Und-Gatter 28, H. Schauer 52
53 53 Halbaddierwerk a b a b & & s a b c s a b & c s = ( a b) (a b) c = (a b) 28, H. Schauer 53
54 54 Halbaddierwerk s = ( a b) (a b) = = (( a b) a) (( a b) b) = = ( a a) (b a) ( a b) (b b) = = (b a) ( a b) = = (a b) (a b) c = (a b) 28, H. Schauer 54
55 55 Halbaddierwerk a b a b & & s c a b c s s = (a b) (a b) c = (a b) 28, H. Schauer 55
56 56 Halbaddierwerk a b a b & & s c a b c s s = (a b) (a b) c = (a b) 28, H. Schauer 56
57 57 Halbaddierwerk a b a b & & s c a b c s s = (a b) (a b) c = (a b) 28, H. Schauer 57
58 58 Halbaddierwerk a b a b & & s c a b c s s = (a b) (a b) c = (a b) 28, H. Schauer 58
59 59 Halbaddierwerk a b a b s c a b c s s = ( (a b) ( a b)) c = ( a b) 28, H. Schauer 59
60 6 Prozessor 28, H. Schauer 6
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