Von-Neumann-Rechner / Rechenwerk

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1 Von-Neumann-Rechner / Rechenwerk Aufgaben: Durchführung arithmetischer und logischer Verknüpfungen (daher auch der Name Arithmetic Logical Unit) Steuerwerk und Rechenwerk werden usammen auch als CPU usammengefasst. Alle arithmetischen Operationen können urückgeführt werden auf die Basisoperatoren Verschieben der Stellen im Register Bitweises Komplementieren Addieren Daher: wesentliche Bestandteile des Rechenwerks sind Addierwerk und Komplementierer Abbildung DigInf 5/6 Von-Neumann-Rechner / Rechenwerk Abbildung DigInf 5/6 2

2 Von-Neumann-Rechner / Speicher Aufgaben: Aufbewahren von Daten auf der Ebene von Bits (usammengefasst in der Aufbewahrungseinheit Bte (oder Vielfaches von Bte)) Lokalisierung eines Bte erfolgt über Adresse Der Vorgang der Lokalisierung einer Speicherelle und des Abfragens/Veränderns ihres Inhalts heißt Zugriff. Wichtige Begriffe in diesem Kontet: Zugriffseit (in der Regel wischen 5 und 5 ns) Zugriffsart: RAM (Random Access Memor), ROM (Read Onl Memor) Speichertp: Hauptspeicher (RAM), eterne Speicher Speicherkapaität DigInf 5/6 3 Von-Neumann-Prinipien 5 Funktionseinheiten (siehe oben) Struktur unabhängig von Problem (ohne Programm nicht arbeitsfähig) Programme, Daten, Zwischen-, Endergebnisse liegen im gleichen Speicher Speicher ist in gleichgroße, fortlaufend nummerierte Zellen unterteilt Aufeinanderfolgende Befehle eines Programms werden in aufeinanderfolgenden Speicherellen abgelegt. Ansprechen des nächsten Befehls geschieht durch das Steuerwerk aus durch Inkrementieren der Befehlsadresse Sprungbefehle erlauben Abweichungen wischen Bearbeitungs- und Speicherungsreihenfolge Das Rechenwerk versteht umindest die folgenden Befehle: Arithmetische und logische Transportbefehle (vom Speicher um Rechenwerk, etc.) Bedingte Sprünge Alle Daten werden binär codiert DigInf 5/6 4 2

3 Rechnerarchitekturen / Boolesche Algebra George Boole (85-864): formale Begründung der Logik Arithmetische und logische Operationen auf der Basis von Wahrheitswerten (true/false) Abbildung der logischen Werte auf den Zustand elektronischer Schaltungen: In einem einfachen Stromkreis (Batterie B, Widerstand R (oder Lämpchen L), Schalter S) können wir ein Bit durch die am Widerstand (am Lämpchen) anliegende Spannung darstellen: S geöffnet, Spannung an R = (entspricht Bit hat Wert ) S geschlossen, Spannung an R = 5V (entspricht Bit hat Wert ) * * unter Annahme von U B = 5V DigInf 5/6 5 Rechnerarchitekturen / Boolesche Algebra Erseten des Schalters S durch 2 Schalter S und S 2 L L UND ODER DigInf 5/6 6 3

4 Rechnerarchitekturen / Boolesche Algebra Aufbauend auf den Elementarschaltern werden neue Schaltglieder durch Serien und Parallelschaltung beschrieben. Jedes Schaltglied erhält einen Eingang und einen Ausgang und können so in natürlicher Weise verbunden werden. Sind S und S 2 Schaltglieder, so erhält man durch Parallelschaltung das Schaltglied S S 2 und durch Serienschaltung S S 2 Auf Grund des Verhaltens ODER UND wird die Parallelschaltung auch als Oder-Schaltung und die Serienschaltung auch als Und-Schaltung beeichnet. DigInf 5/6 7 Serien-parallele Terme Beeichnet man die elementaren Ein-Aus-Schalter mit Variablen,,,..., so lässt sich jeder serien-parallele Schaltkreis durch einen Serien-Parallel- Schaltterm (kur SP-Term) beschreiben. Definition: (i) und sind SP-Terme. (ii) Jede Variable ist ein SP-Term. (iii)sind t und t 2 SP-Terme, dann auch t t 2 und t t 2. - Beispiel: Schaltkreis u ( ) mit ugehöriger Schalttabelle ( ) DigInf 5/6 8 4

5 Schaltfunktionen Eine Schaltfunktion ist eine n-stellige Operation auf der Menge {,}, also eine Abbildung: f: {,} n {,} Jeder SP-Term beschreibt über seine Schalttabelle eine Schaltfunktion. Mehrere SP-Terme können dieselbe Schaltfunktion beschreiben: ( ) ( ) ( ) DigInf 5/6 9 Gleichungen Die Gültigkeit von Gleichungen, bei denen auf beiden Seiten SP- Terme stehen, lässt sich durch Vergleich der ugehörigen Schaltfunktionen eigen. ( ) ( ) ( ) DigInf 5/6 5

6 Gleichungen Oder auch durch Rechnen gemäß der folgenden Regeln: Idempoten: = = Kommutativität: = = Assoiativität: ( ) = ( ) ( ) = ( ) Absorption: ( ) = ( ) = Distributivität: ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) Eine Struktur, die diesen Regeln folgt, heißt distributiver Verband. DigInf 5/6 Dualität Zwei speielle Schaltglieder: der immer geschlossene Schaltkreis der immer offene Schaltkreis Charakterisiert durch die Gleichungen: = = = = Vertauschen wir und sowie und in einem Term t, so erhalten wir den u t dualen Term t d. Es gilt: (i) t dd = t (ii) t = t 2 t d = t d 2 DigInf 5/6 2 6

7 Dualität Behauptung ur Dualität / vgl. Übungsblatt DigInf 5/6 3 Monotonie Wir wissen: jeder Term beschreibt eine Schaltfunktion. Frage: Lässt sich mit Termen jede denkbare Schaltfunktion realisieren? Überlegung: ein geschlossenes Schaltglied lässt sich durch das Anschließen weiter Schalter nicht öffnen! f: {,} n {,} f(b,...,b i,..., b n ) = f(b,...,,..., b n ) = Sett man die natürliche Ordnung komponentenweise fort auf {,} n durch (b,..., b n ) (c,..., c n ) b i c i i n so erkennen wir, dass jede durch einen SP-Schaltkreis realisierte Schaltfunktion f im folgenden Sinne monoton ist (b,..., b n ) (c,..., c n ) f(b,..., b n ) f(c,..., c n ) Beweis durch Induktion über den Aufbau von Termen: DigInf 5/6 4 7

8 Monotonie / Bew. Per Induktion DigInf 5/6 5 Negation Beispiel einer Schaltung, die nicht durch eine SP-Schaltung realisierbar ist: Wechselschaltung: Lampe soll von 2 verschiedenen Schaltern unabhängig ein- und ausgeschaltet werden. Diese Schaltung lässt sich durch eine der folgenden Schalttabellen festlegen: Lampe oder Beide Schalttabellen beschreiben Schaltfunktionen, die nicht monoton sind und gemäß des Monotoniebeweises deshalb auch nicht durch SP-Schaltungen realisiert werden können. DigInf 5/6 6 8

9 Negation Einfachste nicht monotone Schaltfunktion ist die folgende: f() Definition: Ist S ein Schaltglied, so sei S dasjenige Schaltglied, das genau dann offen ist, wenn S geschlossen ist. S heißt Negation von S. Im elektrischen Schaltkreis lässt sich die Negation durch ein Relais realisieren. Fließt Strom durch S, so wird durch die Magnetwirkung einer Spule der Schalter S geöffnet (Realisierung mit Transistoren einfacher!). DigInf 5/6 7 Boolesche Terme Ein Schaltkreis, in dem neben Serien- und Parallelschaltung auch noch die Negation verwendet werden darf, heißt boolesche Schaltung. Der einer booleschen Schaltung entsprechende Term heißt boolescher Term. Definition: (i) und sind boolesche Terme. (ii) Jede Variable ist ein boolescher Term. (iii)sind t und t 2 boolesche Terme, dann auch t t 2 und t t 2 und t Gleichungen um Verhalten der Negation: Nachrechnen! de Morgan: ( ) = ( ) = Komplement: = = = Eine distributiver Verband mit einer solchen Negation heißt boolesche Algebra. DigInf 5/6 8 9

10 Realisierung von Schaltfunktionen Gesucht: u einer gegebenen Schaltfunktion der entsprechende boolesche Terme. Definition: Ein Literal ist eine Variable oder eine negierte Variable. Ein Monom ist eine Konjunktion (Und-Verknüpfung) von Literalen. Beispiel: Realisierung einer Schaltfunktion, die es erlaubt, eine Lampe von drei Schaltern,, unabhängig ein- und aususchalten. Die Schaltfunktion g sieht dann folgendermaßen aus: DigInf 5/6 9 Realisierung von Schaltfunktionen g liefert an 4 Stellen den Wert. Sie lässt sich als Disjunktion von 4 Monomen m,m 2,m 3,m 4 schreiben: TODO Darstellung der Monome: m = ( ), m 2 = ( ), m 3 = ( ), m 4 = ( ) Somit g(,,) = m m 2 m 3 m 4 = ( ) ( ) ( ) ( ) Diese Beschreibung heißt disjunktive Normalform (DNF). DigInf 5/6 2

11 Realisierung von Schaltfunktionen Unter der DNF versteht man eine Disjunktion von Monomen, in denen jeweils jede Variable vorkommt (negiert oder nicht negiert). Zu jeder Schaltfunktion gibt es genau eine DNF und die lässt sich auf die beschriebene Weise ermitteln. Insgesamt: Jede Schaltfunktion lässt sich durch einen booleschen Term realisieren. Die DNF wird umso kompliierter je mehr -Stellen die Schaltfunktion hat. Falls mehr -Stellen als -Stellen, dann wird eher die Konjunktive Normalform (KNF) verwendet. Definition: Unter einer Elementarsumme verstehen wir eine Disjunktion (Oder-Verknüpfung) von Literalen. Die Schaltfunktion einer Elementarsumme ergibt genau für einen Input eine, sonst immer. Sind e und e 2 Elementarsummen, so hat die Konjunktion e e 2 genau dort eine, wo e oder e 2 eine haben. Beliebige Schaltfunktionen kann man daher als Konjunktion von Elementarsummen schreiben. DigInf 5/6 2 Realisierung von Schaltfunktionen Beispiel: Zerlegung in Elementarsummen: g(,,) = e e 2 e 3 = ( ) ( ) ( ) DigInf 5/6 22

12 Digitale Logik Realisierung beliebiger Funktionen f: {,} m {,} n Jedes solche Schaltglied kann aus n Schaltgliedern mit je einem Ausgang aufgebaut werden. Es reicht daher, dass wir alle Schaltfunktionen f i : {,} m {,} realisieren können. DigInf 5/6 23 Transistoren als Schalter Als Elementarschalter werden in der Prais Transistoren eingesett. Ein Transistor hat einen Eingang (source), einen Ausgang (drain) und einen Steuereingang (gate). Legt man eine Spannung wischen source und drain, so fließt nur Strom, falls auch eine Spannung wischen source und gate besteht. In einem Stromkreis, bestehend aus einem Transistor und einem Widerstand R wischen den Polen einer Spannungsquelle, kann man den Transistor als Schalter auffassen, der von einer Spannung wischen g und s eingeschaltet wird. DigInf 5/6 24 2

13 Transistoren als Schalter Ist V et die eterne Spannung (wischen + und -), so kann man V out, die Spannung wischen d und s, in Abhängigkeit von V in, der Spannung wischen g und s, tabellieren. Wir erhalten unter Beeichnung von V et mit : V in V out V et V et Betrachten wir stattdessen als Ausgangsspannung die an R abfallende Spannung V R, so hat man das komplementäre Verhalten, denn V R = V et V out V in V R V et V et DigInf 5/6 25 Schaltfunktionen NAND und NOR NAND (,) NOR (,) DigInf 5/6 26 3

14 4 27 DigInf 5/6 Schaltfunktionen AND und OR AND (,) OR (,) 28 DigInf 5/6 Die grundlegenden Schaltglieder stellt man durch Gattersmbole dar, wobei nur noch die Input- und Output-Leitungen geeichnet werden. Gattersmbole NOT Puffer OR AND = = = NAND NOR = ( ) = ( ) =

15 Alte Gattersmbole DigInf 5/6 29 Gattersmbole für weitere wichtige Schaltungen XOR = ( c) ( c) MUX = ( c) ( c) Mit anderen Worten: = if c then else DigInf 5/6 3 5

16 Halbaddierer c s DigInf 5/6 3 Volladdierer Zusätlich werden ci (carr-in) und co (carr-out) berücksichtigt. DigInf 5/6 32 6

17 Addierwerk Mit einer Kaskade von n- Volladdierern und einem Halbaddierer kann man ein Addierwerk usammenbauen, das 2 n-stellige Binärahlen addiert. Jeder Ein-Bit- Addierer ist dabei für eine Ziffernposition verantwortlich. DigInf 5/6 33 Rückgekoppelte Schaltungen Unsere bisherigen Bausteine haben bisher Signale umgewandelt, aber nicht gespeichert. Das reicht offensichtlich gerade für persistente Daten nicht aus! Rückgekoppelte Schaltungen können ein Gedächtnis haben. Rückgekoppeltes OR-Gatter Einmal, immer Eine Speicherelle sollte wischen und wechseln und beide Werte dauerhaft speichern können (je nach Bedarf). Genau das kann ein Flip-Flop. DigInf 5/6 34 7

18 Gleichungen Flip-Flop q = (r q) und q = (s q) r = q = q, also q = q s = q = q, also q = q Mit anderen Worten: Aus r oder s gleich null folgt, dass an q immer das Komplement von q anliegt. Im praktischen Einsat wird r = s = nicht benutt, sodass immer q = q gilt. Für r = s = ist das Gleichungssstem unterbestimmt: q= oder q= sind gültige Lösungen. Beide Lösungen sind stabil. Wenn genau an einem der beiden Eingänge eine anliegt, hat das Gleichungssstem genau eine Lösung (r= q=, s= q=) DigInf 5/6 35 Betrieb Flip-Flop Demufolge wird ein RS-Flip-Flop folgendermaßen betrieben: Ruheustand: r=s= Impuls auf s (set) sett q auf. Ein Impuls auf r (reset) sett q auf. Fällt der Impuls auf r oder s wieder auf ab, so bleibt der vorige Wert von q erhalten. DigInf 5/6 36 8

19 Schalter, Codierer, Decodierer Ein-/Ausschalter Speicherelle Aufbauend auf einem RS-Flip-Flop. Zusätliche Schaltglieder ur Auswahl einer bestimmten Speicherelle aus vielen Zellen. Select stellt sicher, dass nur was an OUT ankommt, wenn Select=. Schalter an Eingängen erfordern, dass Zelle um Schreiben bereit ist. DigInf 5/6 37 Schalter, Codierer, Decodierer Eine Gruppe von Speicherellen heißt Register. Da nie einelne Bits, sondern nur Wörter angesprochen werden, werden die Select- und die Write-Eingänge verbunden (vgl. folgendes 4 Bit Register). DigInf 5/6 38 9

20 ALU -Bit-ALU (3 Eingänge ur Kodierung von 8 Operationen), wei Operanden (,), ein Carr (ci), ein Ergebnis (), ein Übertrags-Carr (ci+). DigInf 5/6 39 ALU Detailschaltung -Bit-ALU 4-Bit-ALU DigInf 5/6 4 2

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