2.1 Boole sche Funktionen

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1 . Grundlagen digitaler Schaltungen. Boole sche Funktionen Darstellung Boolescher Funktionen. Boole sche lgebra Sätze der Booleschen lgebra.3 Realisierung von Booleschen Funktionen Normalformen zweistufiger Netzwerke Minimalformen.4 Minimierung von Booleschen Funktionen lgebraische Umformung KV-Diagramme Minimierung nach Quine-McCluskey.5 Verwendung eingeschänkter Gattertypen NND und NOR-Logik Normalformen in NND und NOR. Boole sche Funktionen Definition: Sei B={,} und n und m natürliche Zahlen. Eine Funktion f: B n B m heißt Boole sche Funktion Benannt nach dem Mathematiker George Boole, chtung: hier stellt B keine Basis eines Zahlensystems dar und B n,b m sind keine Potenzen sondern kennzeichnen die nzahl Dimension der Variablen

2 Definition: Die Wertetabelle einer Boole schen Funktion beschreibt die Werte der usgangsvariablen für jede mögliche Kombination der Eingabevariablen. Sie stellt eine vollständige und eindeutige Beschreibung der Funktion dar. 3 Boole sche Funktion mit einer Variablen n= und einem usgang y: = = lgebraische Darstellung Nullfunktion y= y= y= Identität y= y= y= Negation y= y= y= Einsfunktion y= y= y= n Es gibt 4 Kombinationen bei n= 4

3 Boole sche Funktionen mit zwei Variablen n=, 6 Kombinationen:. UND-Funktion ND X UND X äquivalente Schreibweisen 5. ODER-Funktion OR X ODER X äquivalente Schreibweisen 6 3

4 3. Eklusives Oder XOR 7 4. NND-Funktion, Sheffer-Funktion NND 8 4

5 5. NOR-Funktion, Pierce-Funktion NOR 9 6. Äquivalenzfunktion EQV 5

6 7. Implikation IMP 8. Nullfunktion Null 6

7 9. Einsfunktion Eins 3. Identität für 4 7

8 . Negation für 5 6 Weitere Funktionen, z.b. Identität für, 6 8

9 Die wichtigsten Funktionen mit zwei Variablen: Formel UND ND ODER OR NND NOR XOR EQV NOT Symbol = ltes Symbol 7. Boole sche lgebra Definition: Eine Boole sche lgebra ist eine algebraische Struktur,+,, wobei eine Menge ist und + und zweistellige Verknüpfungen auf dieser Menge. Beide Verknüpfungen müssen kommutativ sein. Es gibt neutrale Elemente für + und. Es gelten beide Distributivgesetze. Für jedes Element gibt es ein inverses Element bezüglich beider Verknüpfungen. 8 9

10 9 iome der Boole schen lgebra:. Kommutativgesetze: :, :,. Neutrale Elemente: : : : : 3. Distributivgesetze: :,, :,, 4. Inverses Element: : und us diesen vier iomen lassen sich eine Reihe von ussagen ableiten Behauptung: Das inverse Element ist eindeutig. Beweis: Sei Eingabevariable. Seien, inverse Elemente zu. Das inverse Element zu ist also eindeutig.

11 Sätze der Boole schen lgebra: Satz : : Satz : : Satz 3: : Satz 4: : Sätze der Boole schen lgebra: Satz : : Beweis: 4 3 4

12 3 Satz 4: : Beweis: Sätze der Boole schen lgebra: 4 :,, Satz 6 ssoziativgesetz für +: :,, Satz 5 ssoziativgesetz für : Sätze der Boole schen lgebra:

13 3 5 :, Satz 7: Sätze der Boole schen lgebra: Beweis: 4 3,3 S6 S3 4 6 Satz 8: :, Satz 9: und Satz Erste Regel von demorgan: :, :, Satz Zweite Regel von demorgan: : Satz : Sätze der Boole schen lgebra:

14 Sätze der Boole schen lgebra: Satz 3 Erste Vereinfachungsregel:, : Satz 4 Zweite Vereinfachungsregel:, : 7.3 Realisierung von Boole schen Funktionen Definition: Die funktionale Beschreibung einer Boole schen Funktion ist eine abstrakte Darstellung des Ein- usgabe-verhaltens einer diese Funktion realisierenden Schaltung. 8 4

15 Funktionale Beschreibung eines Volladdierers: Volladdierer Eingänge:,, usgänge: y, y Verhalten: Wenn eine ungerade nzahl von Eingängen ist, hat y den Wert ; sonst ist y gleich. Wenn zwei oder mehr Eingänge den Wert haben, hat y den Wert ; sonst ist y gleich. 9 Wertetabelle für den Volladdierer: Eingabevariablen usgabevariablen Volladdierer Stufe i:, i, i i C y Ergebnis i, i Summand Summand C Carry-Übertrag C i- : C i : y y Bit ddierer mit Übertrag der Stelle i: - Übertrag aus Stufe i-speichern : i =y i- =C i- - Schaltnetz zur Berechnung mit Übertrag y y =

16 Impulsdiagramm des Volladdierers: Mit einem Impulsdiagramm wird das Verhalten einer Boole schen Funktion in Form von Veränderungen einer fiktiven physikalischen Größe die die Werte der usgabevariablen symbolisiert in bhängigkeit von den Werten der Eingabevariablen dargestellt. y y 3 Funktionsgleichungen des Volladdierers: Die Beschreibung einer Boole schen Funktion als Menge von Funktionsgleichungen ist eine vollständige Beschreibung der Funktion. Für jede usgabevariable muss eine Funktionsgleichung vorhanden sein, auf deren rechter Seite nur Eingabevariablen auftauchen. y y 3 6

17 Schaltbild Schaltnetz des Volladdierers: Definition: Die Beschreibung einer Boole schen Funktion als Schaltbild ist eine Darstellung der Funktion, die auf eine technische Realisierung unter einer gegebenen Schaltungstechnologie abzielt. Sie ist vollständig aber nicht eindeutig. Ein Schaltnetz ist eine technische Realisierung einer Boole schen Funktion. Schaltnetze können durch Zusammenschalten von Gattern und Leitungen aufgebaut werden. 33 Zweistufiges Schaltnetz des Volladdierers: y y 34 7

18 .4 Normalformen zweistufiger Schaltnetze Realisierungen von Boole sche Funktionen können über disjunktive und konjunktive Normalformen beschreiben werden. Definition: Ein Produktterm ist eine UND-Verknüpfung von Eingabevariablen, wobei jede Eingabevariable höchstens einmal in invertierter oder in nichtinvertierter Form vorkommen kann. Beispiele für Produktterme Schreibweisen: 4 35 Disjunktive Normalform Definition: Ein Boole sche Funktion ist in Disjunktiver Normalform DNF, wenn sie aus einer ODER- Verknüpfung von Produkttermen besteht. Beispiele für Funktionen in DNF:

19 Minterme Definition: Ein Minterm Vollkonjunktion, Minimaler Produktterm ist ein Produktterm, bei dem alle Eingabevariablen entweder in invertierter oder in nicht-invertierter Form vorkommen. Ein Minterm entspricht einer Zeile in der Wertetabelle der Funktion. Beispiele für Minterme mit 3 links und rechts Variablen: hingegen ist kein Minterm, wenn es auch noch eine Eingabevariable gibt. 37 Kanonische Disjunktive Normalform KDNF Definition: Die Kanonische Disjunktive Normalform KDNF einer Boole schen Funktion ist eine ODER- Verknüpfung aller Minterme, für die die Funktion den Wert annimmt. Beispiele für Funktionen in KDNF 3 Variablen: Variablen Die folgende Funktion ist nicht in KDNF: im zweiten Produktterm taucht das nicht auf, daher ist es kein Minterm. Erweiterung zur KDNF durch Einfügen: 38 9

20 Wertetabelle mit Mintermen und KDNF y Minterm Die grün unterlegten Minterme y = formen die KDNF Berechnung des Carry-Übertrags beim Volladdierer 39 Schaltbildes von y in KDNF: y 4