Algorithmus von McClusky: Der Algorithmus von McCluskey liefert durch wiederholte Anwendung der ersten und zweiten Vereinfachungsregel:

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1 Seite 1 Aufgabe 1 Algorithmus von McClusky: Der Algorithmus von McCluskey liefert durch wiederholte Anwendung der ersten und zweiten Vereinfachungsregel: f 1 = a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d = a c d + b c d + a c d + b c d + a b c + a b d + b c d + a b d + a b c + b c d + a c d + a b d = c d + c d + a b + a b + b d + b d + a c d + b c d = c d + a b + b d + a c d + b c d Verfahren von Quine: Es wird eine Tabelle erstellt, die für jeden Minterm in der DNF eine Zeile und für jeden Primterm, der durch das Verfahren von McClusky erzeugt worden ist, eine Spalte hat. In das Feld in der Zeile des Minterms M und der Spalte des Primterms P wird eine 1 eingetragen, wenn aus M = 1 folgt P = 1, also wenn P M überdeckt. Dann werden die dominanten Zeilen gesucht, also Zeilen, in denen nur eine einzige 1 steht. Diese Einsen in den dominanten Zeilen werden rot markiert und die Spalten, in denen rot markierte Einsen stehen, werden grau markiert. Es entsteht folgende Tabelle: c d a b b d a c d b c d 1 Die dominanten Zeilen werden gestrichen, so dass folgende Tabelle entsteht: c d a b b d a c d b c d 1 Nun werden alle nicht dominanten Zeilen markiert, die eine 1 enthalten, die auf einer markierten Spalte liegt, und diese Zeilen werden ebenfalls gestrichen. Nach dem Streichen der

2 Seite 2 Zeilen, bei denen eine Eins in einer markierten Spalte steht, ist keine Zeile mehr vorhanden. Also stellt die Oder-Verknüpfung der Primterme der markierten Spalten eine DMF der Funktion dar: f 1 = c d + a b + b d + b c d Aufgabe 2 (a) Um ausschließlich NAND-Gatter zu verwenden, werden in der konjunktiven Minimalform für x alle AND-Gatter und OR-Gatter durch NAND-Gatter ersetzt. Das NAND-Gatter kann auch als Inverter eingesetzt werden, indem beide Eingänge mit der zu invertierenden Variablen belegt werden (siehe Skript 2.6.5). Alternativ ergibt sich durch Rechnung: x = b + s a + sa S9 = b + s a + sa S12 = b s a sa S4 = b b s s a a sa Es ergibt sich das folgende Schaltnetz mit ausschließlich NAND-Gattern für x:

3 Seite 3 (b) Um ausschließlich NOR-Gatter zu verwenden, werden in der konjunktiven Minimalform für y alle AND-Gatter und OR-Gatter durch NOR-Gatter ersetzt. Das NOR- Gatter kann auch als Inverter eingesetzt werden, indem beide Eingänge mit der zu invertierenden Variablen belegt werden (siehe Skript 2.6.5). Alternativ ergibt sich durch Rechnung: y = (a + s) (s + b) (s + a + b) S9 = (a + s) (s + b) (s + a + b) S11 = (a + s) + (s + b) + (s + a + b) S3 = (a + s) + (s + b + b) + (s + s + a + a + b) Es ergibt sich das folgende Schaltnetz mit ausschließlich NOR-Gattern für y: (c) Um die benötigten Transistoren zu berechnen, betrachten wir zunächst jeweils KMF und DMF von beiden Funktionen. DMF (x) = b + s a + sa KMF (x) = (s + a + b) (s + a + b) DMF (y) = sb + sa + sab KMF (y) = (a + s) (s + b) (s + a + b)

4 Seite 4 Wir suchen einen Aufbau mit möglichst wenig Transistoren. Für jedes Vorkommen einer Variable benötigen wir zwei Transistoren: einen Transistor im p-block und einen im n-block. Wir gehen weiterhin davon aus, dass jede Variable sowohl invertiert als auch nicht-invertiert vorliegt, sodass für die eventuell benötigten Invertierungen keine zusätzlichen Transistoren gezählt werden müssen. Es lassen sich zunächst durch logische Umformungen der DMF und KMF noch weitere Transistoren einsparen: x = b + s a + sa Diese Funktion lässt sich nicht umformen. Wir benötigen 10 Transistoren. x = (s + a + b) (s + a + b) A3 = ((s + a) (s + a)) + b Mit dieser Umformung benötigen wir 10 Transistoren. y = sb + sa + sab 2malA1,A3 = (b + a) s + sab Mit dieser Umformung benötigen wir 12 Transistoren. y = (a + s) (s + b) (s + a + b)) A1,A3 = (ab + s) (s + a + b) Mit dieser Umformung benötigen wir 12 Transistoren. Im Fall von x werden also in jedem Fall 10 Transistoren benötigt, im Fall von y in jedem Fall 12 Transistoren. Diese Lösung zeigt für x den Weg über die DMF und für y den Weg über die KMF. Um den n-block mit der invertierten Funktion zu belegen, muss die Funktion invertiert werden. Durch Anwendung der Regeln von De Morgan (Boolsche Algebra Satz 11 und Satz 12) und der Boolschen Algebra erhält man: und x = b + s a + sa = b (s + a) (s + a) y = (ab + s) (s + a + b) = (a + b) s + sab Ein OR-Gatter realisieren wir durch Parallelschaltung zweier Transistoren, ein AND- Gatter durch Reihenschaltung:

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