2. Funktionen und Entwurf digitaler Grundschaltungen

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1 2. Funktionen und Entwurf digitaler Grundschaltungen

2 2.1 Kominatorische Schaltungen

3 Kombinatorische Schaltungen - Grundlagen 1 Grundgesetze der Schaltalgebra UND-Verknüpfung ODER-Verknüpfung NICHT-Verknüpfung UND-Verknüpfung ODER-Verknüpfung NICHT-Verknüpfung

4 Kombinatorische Schaltungen - Grundlagen 2 Kommutativgesetz (20) A B C = C A B (21) A B C = C A B Assoziativgesetz (22) A (B C) = (A B) C (23) A (B C) = (A B) C Distributivgesetz Konjunktives Distributivgesetz Disjunktives Distributivgesetz (24)(A B) (A C) = A (B C) (25)(A B) (A C) = A (B C) Morgansche Gesetze (26) A B = A B (27) A B = A B

5 Kombinatorische Schaltungen - Grundlagen 3 Rechenbeispiele Vereinfachung von Schaltfunktionen Beispiel 1: Z = A B B C = A (B B) C = A 1 C = (A C) 1 (Gl. 18 u. 21) Z = 1 (Gl. 16) Beispiel 2: X = (M N) (M N M) = (M N) (M M N) (Gl. 20) = (M N) (0 N) = (M N) 0 (Gl. 14 u. 11) X = M N (Gl. 15) Beispiel 3: Z = B (A B C) B = B B (A B C) (Gl. 21) Die Reihenfolge der ODER-Verknüpfung ist beliebig. Der Ausdruck B B ergibt 1. (Gl. 18) Z = 1 (A B C) Der Klammerausdruck wird als eine Variable aufgefaßt. Eine Variable ODER 1 ergibt 1. (Gl. 16) Z = 1 Beispiel 4: Z = X (X S) Nach dem Distributivgesetz (Gl. 24) kann "ausmultipliziert" werden: Z = X (X S) = (X X) (X S) = 0 (X S) (Gl. 14) Z = X S (Gl. 15) Mit Hilfe einer Wahrheitstabelle kann die Richtigkeit der Rechnung nachgeprüft werden. Fall C B B B C Z = B (B C) B C

6 Kombinatorische Schaltungen - Grundlagen 4 Beispiel 5: Z = A B A B C Der durchgehende Negationsstrich wird zuerst durch das Morgansche Gesetz (27) beseitigt: Z = A (B A B C) = A (B A B C) Die Variablen werden anders sortiert: Z = A (B B A C) = A (0 A C) (Gl. 14) Eine Variable UND 0 ergibt 0. Der Ausdruck A C gilt als eine Variable. Z = A 0 Z = A (Gl. 15) Beispiel 6: Y = A X A B X B X Der oberste Negationsstrich wird durch das Morgansche Gesetz (27) beseitigt. Doppelte Negationsstriche gleicher Länge heben sich auf und können wegfallen(gl. 19). Durchgehende Negationsstriche wirken wie Klammern. Wenn sie wegfallen, ist zu prüfen, ob Klammern gesetzt werden müssen oder nicht. Hier sind Klammern erforderlich. Y = A X A B X B X = (A X A B X) B X Nun werden die kürzeren Negationsstriche beseitigt und die Variablen sortiert: Y = (A X A B X) B X = (A A X X B) B X (Gl. 19) = (1 X B) B X (Gl. 17 u. 18) = 1 B X (Gl. 16) Y = B X (Gl. 12)

7 Kombinatorische Schaltungen - Grundlagen 5 Schaltfunktionen mit zwei Eingangsvariablen Verhalten als Beziehungen zwischen den Werten der zwei 2 Eingangsvariablen x1, x0 und der Ausgangsvariablen Y z Fall x1 x0 Y [] [] [] [] Die Fälle 0,..., 3 entsprechen den Elementarkonjunktionen K,..., K. 0 3 Die Kästchen [] sind Platzhalter für Ausgangswerte. Es sind 16 verschiedene Belegungen von Y mit 0,1-Werten möglich. Sie werden durch die Ordungszahl z = 0,...,15 charakterisiert. Zusammenstellung der 16 verschiedenen Schaltfunktionen mit zwei Eingangsvariablen Fall x x z 2 K K K K Y z Bedeutung Konstante x1 x0 NOR x1 x0 Inhibition x x1 Negation x x1 x0 Inhibition x x0 Negation x x0 x1 x0 x1 Antivalenz x1 x0 NAND x1 x0 AND x1 x0 x1 x0 Äquivalenz x0 Identität x x1 x0 Implikation x x1 Identität x x1 x0 Implikation x x1 x0 OR Konstante 1

8 Kombinatorische Schaltungen - Grundlagen 6 Logische Verknüpfungen Grundfunktionen, Verhalten und Schaltzeichen Funktion Formel Tabelle Schaltzeichen UND Z = A B Fall B A Z ODER Z = A B Fall B A Z NEGATION Z = A Fall A Z NAND NOR Z = A B Z = A B Fall B A Z Fall B A Z ÄQUIVALENZ Z =(A B) (A B) Fall B A Z ANTIVALENZ Z =(A B) (A B) Fall B A Z

9 Kombinatorische Schaltungen - Grundlagen 7 NAND- und NOR- Funktionen Jede beliebige Schaltfunktion läßt sich ausschließlich mit NOR-Operatoren (NOR-Gattern) darstellen. Realisierung von UND/ODER/NICHT-Operatoren mit NOR-Gattern Jede beliebige Schaltfunktion läßt sich ausschließlich mit NAND-Operatoren (NAND-Gattern) darstellen. Realisierung von UND/ODER/NICHT-Operatoren mit NAND-Gattern

10 Kombinatorische Schaltungen - Grundlagen 8 Beispiel zur NAND-Funktion: Die Schaltfunktion Z = (A B C) (A B C) soll so umgeformt werden, daß die entsprechende Schaltung nur mit NAND- Gattern aufgebaut werden kann. Lösung: Z = (A B C) (A B C) = (A B C) (A B C) = NAND(NAND(A,B,C),NAND(A,B,C)) Beispiel zur NOR-Funktion: Die Schaltfunktion Z = (A B C) (A B C) soll so umgeformt werden, daß die entsprechende Schaltung nur mit NOR- Gattern aufgebaut werden kann. Z = (A B C) (A B C) = (A B C) (A B C) Z = (A B C) (A B C) = NOR(NOR(NOR(A,B,C),NOR(A,B,C)))

11 Kombinatorische Schaltungen - Grundlagen 9 Beispiel: Nachfolgende Schaltfunktion soll so umgeformt werden, daß ein Schaltungsaufbau nur mit NAND-Gattern möglich ist. Z = [C (N P S)] (A B) = [C (N P S)] (A B) = C N P S A B = C N P S A B Z = C N P S A B = NAND(NAND(NAND(C,NAND(N,P,S)),NAND(A,B))) Beispiel: Folgende Schaltfunktion ist so umzuformen, daß nur NOR- Operationen auftreten. X = A C B R S = (A C) (B R S) = (A C) (B R S) = (A C) (B R S) X = A C B R S = NOR(NOR(A,C),NOR(B,R,S))