Addieren mit dem Computer Timm Grams, Fulda, (aktualisiert: )

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1 Addieren mit dem Computer Timm Grams, Fulda, (aktualisiert: ) Verknüpfung binärer Variablen Die Grundfunktionen eines modernen Digitalrechners lassen sich gut anhand von Relaisschaltungen veranschaulichen. Seien a und b zwei binäre Variablen, Variable also, die nur den Wert 0 und 1 annehmen können. Wir führen vier Verknüpfungsoperatoren für binäre Variablen ein und definieren diese mittels arithmetischer Ausdrücke: a AND b, auch geschrieben als a b, hat den Wert des arithmetischen Ausdrucks ab a OR b, auch a b, hat den Wert a+b-ab NOT a, auch a, hat den Wert 1-a a XOR b, auch a b, hat den Wert (a-b) 2 Die Namen dieser Operationen sind Konjunktion (Und-Verknüpfung), Disjunktion (Oder- Verknüpfung), Negation und Antivalenz (Exklusiv-Oder-Verknüpfung). Übung 1: Erstellen Sie die Wertetabellen für diese Verknüpfungen und führen Sie sich die Bedeutung der Verknüpfungen vor Augen. Überlegen Sie sich, wo Sie in Ihrem Alltag Beispiele für derartige Verknüpfungen finden. Schnell addieren: eine technische Herausforderung Volladdierer Mit a und b werden die beiden zu addierenden Bits einer bestimmten Stelle bezeichnet und mit c der Übertrag von der vorhergehenden (also niedrigerwertigen) Stelle. Das Ergebnisbit der Stelle ist s und der Übertrag auf die nächste Stelle wird mit t bezeichnet. Rechts ist die Wertetabelle eines solchen Volladdierers zu sehen. Mit den Standardmethoden des Schaltkreisentwurfs erhält man die diese Darstellungen der Ergebnisbits. Die Methode funktioniert so: Für jede Zeile bildet man eine Konjunktion der Eingangsvariablen bzw. deren Negation derart, dass diese Konjunktion nur für diese eine Zeile den Wert 1 ergibt c b a t s und ansonsten 0. Die Disjunktion aller dieser Konjunktionen ist eine Darstellung der Ergebnisvariablen. Eine solche Darstellung wird disjunktive Normalform genannte. Die Besonderheit, dass in jeder Konjunktion alle Eingangsvariablen vorkommen, wird durch die Beifügung kanonisch hervorgehoben. Die Formeln s = (a b c) ( ab c) a bc abc t = (ab c) (a bc) ( abc) (abc) sind die kanonischen disjunktiven Normalformen für die Ergebnisvariablen. Einfache funktionserhaltende Transformationen, so genannte Äquivalenztransformationen, liefern für das Übertragsbit eine einfachere Darstellung: t = (ab) (ac) (bc)

2 - 2 - Die Formeln für s und t lassen sich in ein zweistufiges Schaltnetz überführen, siehe Grafik. (Inverter kriegt man oft quasi geschenkt. Deshalb werden sie nicht einer eigenen Stufe zugeordnet.) Die Addition n-stelliger Dualzahlen lässt sich durch die Hintereinanderschaltung von n dieser Volladdierer erreichen. Für jede Stelle wird einer dieser Volladdierer benötigt. Das Summenbit der jeweiligen Stelle kann direkt in eine Speicherzelle eingetragen werden. Die einzelnen Verknüpfungen benötigen Zeit. Da zwei dieser Verknüpfungsglieder hintereinander liegen, ist die Zeit für die Addition einer Stelle gleich der Summe dieser beiden Verzögerungszeiten. Gäbe es den Übertrag nicht, hätten wir es mit einer ausgesprochen zeitgünstigen Lösung zu tun. Aber das Übertragsbit macht Schwierigkeiten. Jeder Volladdierer reicht sein Übertragsbit an den Volladdierer der nächsten Stelle weiter. Und damit entsteht ein Problem: Die Zeiten zur Ermittlung der Carry-Bits summieren sich über alle Volladdierer auf. Erst wenn alle Carry-Bits errechnet und berücksichtigt sind, steht das endgültige Ergebnis fest. Daraus folgt, dass man entweder die Taktfrequenz des Computers sehr gering ansetzt, was die gesamte Arbeitsgeschwindigkeit des Rechners stark reduziert (Ripple-Carry-Addierer), oder dass man die Addition auf mehrere Takte aufteilt, wodurch zumindest die Addition ziemlich lange dauert (Serienaddierer). Paralleladdierer Das Zeitproblem lässt sich prinzipiell dadurch lösen, dass man den Schaltnetzentwurf von vornherein für die mehrstellige Addition durchführt. Der Hardware-Aufwand wächst mit der Stellenzahl jedoch so stark an, dass er für die üblichen Zahlendarstellungen c b a praktisch nicht machbar ist. Carry-Look-Ahead-Addierer Beim Carry-Look-Ahead- Addierer werden je zwei Stellen (oder auch mehr) zu einer Gruppe zusammengefasst und die beiden Summenbits sowie das insgesamt resultierende Übertragsbit ermittelt. Die Berechnung des Übertragsbits beider Stellen benötigt ein nur zweistufiges Schaltnetz. So wird das Übertragsbit sozusagen vorauseilend ermittelt und frühzeitig an die nächste Bitgruppe weitergereicht. Dieser Kompromiss erlaubt es, Hardwareund Zeitaufwand gegeneinander auszubalancieren. t s

3 - 3 - Rechnen als Spezialfall logischer Operationen Jede Schaltfunktion lässt sich mit einer disjunktiven Normalform darstellen. Wir erkennen: Um beliebige (endliche) Funktionen im Bereich der Binärzeichen zu realisieren, kommen wir mit den Verknüpfungen AND, OR und NOT aus. Wir sagen: Die Verknüpfungsmenge {AND, OR, NOT} ist funktional vollständig. Mit seiner Begeisterung für derartige formale Dinge hält Konrad Zuse nicht hinter dem Berg. Das Wesen der angewandten Mathematik kommt am besten in Zuses eigenen Worten zum Ausdruck. Noch während der Arbeit an den mechanischen Modellen nahm allmählich die Idee der elektronischen Rechenmaschine Gestalt an. Die Schaltalgebra kam uns zu Hilfe. Waren nicht schon die Gesetze gefunden, um rechnerische Schaltungen sowohl in der elektromagnetischen Relaistechnik als auch in der mechanischen Schaltgliedtechnik mit einem gemeinsamen Kalkül, dem Aussagenkalkül, darzustellen? Man brauchte also nur die Grundschaltungen in Röhrentechnik für die drei Grundoperationen Konjunktion, Disjunktion und Negation zu finden, dazu ein passendes Speicherelement und Mittel, um diese Elemente zusammenzuschalten. Die Aufgabe war klar: wir brauchten kein völlig neues Gerät in elektronischer Technik zu bauen, sondern den Entwurf nur in abstrakter Schaltgliedtechnik, das heißt formal mit symbolischen Elementen auszuführen. Beispiel 2: Bauen Sie mit einem Logikbaukasten einen Addierer für die Addition zweier zweistelliger Dualzahlen auf. Zuses Lösung der Addition mit einschrittigem Übertrag Wechsel von Abstraktion und Konkretisierung Im letzten Abschnitt wurde der Aufbau der Additionsschaltung mit logischen Bausteinen dargestellt. Jeder Baustein realisiert eine Verknüpfung. Diese Darstellung abstrahiert von der Technologie: Man kann die Bausteine in Relaistechnik, mit Röhren und mit Halbleitern realisieren. Friedrich Bauer stellt es als eine von Zuses Errungenschaften heraus, die abstrakte Schaltkreistechnik für sich nutzbar gemacht zu haben. Und für diese abstrakte Schaltkreistechnik gibt es Regeln: Man kann die Schaltungen umformen ohne die Gesamtfunktion zu ändern. Solche Äquivalenztransformationen werden in der Mathematik systematisiert. Beispielsweise bilden die Binärzeichen mit den Verknüpfungen XOR und AND einen Körper. Das heißt, dass die Regeln der Zahlenrechnung anwendbar sind, wenn man das XOR als Addition und das AND als Multiplikation liest. Bezüglich der Verknüpfungen AND und OR bilden die Binärzeichen einen booleschen Verband, auch boolesche Algebra genannt. Das bedeutet, dass dieselben Umformungsregeln wie in der Mengenalgebra gelten, wenn man das AND als Durchschnitt und das OR als Vereinigung interpretiert. Frühzeitig hat Zuse den Wert der Formalisierungen entdeckt und die Aussagenlogik mit ihren klaren Gesetzen als sinnvolle Alternative zum unsystematischen Herumknobeln erkannt. Rechnen war für Konrad Zuse ein Spezialfall logischer Operationen. Die für seine Arbeit wichtigen Äquivalenztransformationen der Aussagenlogik hat Zuse zu nutzen gewusst. Insbesondere das Dualitätsprinzip in Gestalt der verallgemeinerten de morganschen Regeln war ihm bei der Konstruktion der Additionsschaltungen von Vorteil. Durch die Abstraktion der Schaltkreise geht technologische Information verloren. Tatsächlich kann es von der Technologie abhängen, welche der verschiedenen äquivalenten Schaltkreisvarianten sich besonders günstig realisieren lässt. Und die günstigste Variante findet man eben durch Äquivalenztransformationen.

4 - 4 - Der Ingenieur Konrad Zuse hat trotz aller Abstraktionen die Technologie nie aus dem Auge verloren und sehr konkrete technologiespezifische Lösungen gefunden. Besonders eindrucksvoll ist seine Realisierung des Addierers mit einschrittigem Übertrag in Relaistechnik. Relaistechnik erlaubt potentialfreies Schalten Wir stellen die binäre 1 durch eine positive Spannung dar und die binäre 0 durch die Spannung null. Die Spannungen werden gegen eine gemeinsame Erde mit dem Spannungswert null gemessen. Die kleinen Kreise sind die Punkte, an denen der Spannungswert gegenüber Erde gemessen wird. Für die Realisierung haben wir die beiden a a Relais-Typen Schließer (Arbeitskontakt) und Öffner (Ruhekontakt). Die gestrichelte Linie steht in diesen stark reduzierten Schaltbildern für eine an Erde angeschlossene Spule, die bei anliegender positiver c c Spannung den Relaiskontakt öffnet bzw. schließt. b b Seien a und c die die Eingangsgrößen: An den zugeordneten Kontakten wird eine positive Spannung angelegt oder die Spannung wird auf null gesetzt (Wert der entsprechenden Variablen gleich 1 bzw. gleich 0). Und b sei der Kontakt für die Ausgangsgröße dort wird die Spannung gemessen. Der Schließer (links im Bild) realisiert die Beziehung b = ac und der Öffner (rechts im Bild) liefert b = a c. Eine Negationsschaltung erhält man, wenn man im rechten Bild den oberen Punkt auf die positive Spannung setzt, das entspricht a = 1. Eine Eigenheit der Relaistechnik kommt in den abstrakten Schaltbildern nicht mehr zum Ausdruck, nämlich dass Schalter und Steuerstromkreis miteinander nur induktiv gekoppelt sind. So ist potentialfreies Schalten möglich. Außerdem erlaubt die Relaistechnik eine besonders einfache Realisierung der Antivalenz (XOR) mit Hilfe von Wechselkontakten. Übung 3: Geben Sie Relaisschaltungen für alle vier Verknüpfungen an, wobei jede Eingangsgröße über ein Relais wirkt. Übung 4: Entwerfen Sie eine Relais-Schaltung für die Addition zweier Ein-Bit-Zahlen mit Übertrag auf die nächste Stelle.

5 - 5 - Addierer mit einschrittigem Übertrag Mittels Äquivalenztransformation lassen sich Summenbit s und Übertrag t in eine für die Relaistechnik besonders günstige Darstellung überführen: s = ((a b) c) t = ((a b)c) (ab) Schauen wir uns den Ausdruck für den Übertrag t einmal etwas genauer an: Der Teilausdruck ab ist vom letzten Übertrag c unabhängig und steht sozusagen sofort zur Verfügung. Der Teilausdruck a b macht das Übertragsbit der vorhergehenden Stelle wirksam. Der Wert dieses Teilausdrucks steht ebenfalls sofort zur Verfügung. Ein entsprechend angesteuertes Relais kann das vorhergehende Übertragsbit c verzögerungsfrei durchschalten bzw. sperren. Die durchgeschalteten Leitungsabschnitte sorgen für eine Oder-Verknüpfung (Wired-Or) der anliegenden Signale. Prinzipiell sind aufgrund eines solchen Kurzschlusses Rückwirkungen auf das Carry-Bit des jeweils vorhergehenden Addierers möglich. Dieser Fall ist aber ausgeschlossen, weil die Teilausdrücke ab und a b nicht gleichzeitig den Wert 1 annehmen können. Im Abschnitt Zum Thema Addieren beschreibt Zuse in seiner Autobiographie die verschiedenen Zwischenschritte, die ihn schließlich zu dieser Additionsschaltung mit einschrittigem Übertrag geführt haben. Das Schaltbild zeigt den Addierer für zwei zweistellige Dualzahlen in der von Zuse entwickelten Notation der abstrakten Schaltgliedtechnik. Die Relais sind als Kreise dargestellt. Der Öffner wird vom Schließer durch einen Schrägstrich unterschieden. Im Schaltbild sind die Eingangsvariablen a und b mit A und B bezeichnet. Zusätzlich tragen die Variablen einen Index für die Bitposition. Die Überträge c und t findet man auf den Leitungsabschnitten U 3 U 1. Und für das Ergebnisbit c steht im Schaltbild das Symbol R. Die Zwischengrößen C und D im Schaltbild entsprechen den Ausdrücken a b bzw. ab.