3 Boole'sche Algebra und Aussagenlogik

Transkript

1 3 Boole'sche Algebra und Aussagenlogik 3- Boole'sche Algebra Formale Grundlagen der Informatik I Herbstsemester 22 Robert Marti Vorlesung teilweise basierend auf Unterlagen von Prof. emer. Helmut Schauer

2 Einfache Schaltung [offen] + a = a= = = Schalter a offen Ausgang ohne Spannung 2

3 Einfache Schaltung [geschlossen] + a = a= = = Schalter a geschlossen Ausgang unter Spannung 3

4 Serieschaltung [offen / offen] + a = a= b = b= = = Schalter a offen Schalter b offen Ausgang ohne Spannung 4

5 Serieschaltung [offen / geschlossen] + a = a= b = b= = = Schalter a offen Schalter b geschlossen Ausgang ohne Spannung 5

6 Serieschaltung [geschlossen / offen] + a = a= b = b= = = Schalter a geschlossen Schalter b offen Ausgang ohne Spannung 6

7 Serieschaltung [geschlossen / geschlossen] + a = a= b = b= = = Schalter a geschlossen Schalter b geschlossen Ausgang unter Spannung 7

8 Konjunktion (and) [] = a b Serieschaltung auch: a and b, a & b, a * b sowie a, b Wertetabelle (truth table) + a b a = a = = b = b = = x = x = x (neutrales Element ) x x = x (Idempotenz) 8

9 Konjunktion (and) [2] = a b Serieschaltung Wertetabelle (truth table) + a b a = a = = b = b = = x = x = x (neutrales Element ) x x = x (Idempotenz) 9

10 Konjunktion (and) [3] = a b Serieschaltung a = b = a b + Wertetabelle (truth table) a b = = = = x = x = x (neutrales Element ) x x = x (Idempotenz)

11 Konjunktion (and) [4] = a b Serieschaltung a = b = a b + Wertetabelle (truth table) a b = = = = x = x = x (neutrales Element ) x x = x (Idempotenz)

12 Konjunktion (and) [5] = a b Serieschaltung + x x = = = = x = x = x (neutrales Element ) x x = x (Idempotenz) 2

13 Konjunktion (and) [6] = a b Serieschaltung + x x = = = = x = x = x (neutrales Element ) x x = x (Idempotenz) 3

14 Konjunktion (and) [7] = a b Serieschaltung + x x = = = = x = x = x (neutrales Element ) x x = x (Idempotenz) 4

15 Disjunktion (or) [offen / offen] = a b auch: a or b, a b, a + b sowie a; b Parallelschaltung + a b a = a b = = = = = x = x (neutrales Element ) x = x x = x (Idempotenz) 5

16 Disjunktion (or) [offen / geschlossen] = a b Parallelschaltung + a b a = a b = = = = = x = x (neutrales Element ) x = x x = x (Idempotenz) 6

17 Disjunktion (or) [geschlossen / offen] = a b Parallelschaltung + a b a = a b = = = = = x = x (neutrales Element ) x = x x = x (Idempotenz) 7

18 Disjunktion (or) [geschlossen / geschlossen] = a b Parallelschaltung + a b a = a b = = = = = x = x (neutrales Element ) x = x x = x (Idempotenz) 8

19 Disjunktion (or) [] = a b Parallelschaltung + x = = = = x = x (neutrales Element ) x = x x = x (Idempotenz) 9

20 Disjunktion (or) [2] = a b Parallelschaltung + x x = = = = x = x (neutrales Element ) x = x x = x (Idempotenz) 2

21 Disjunktion (or) [3] = a b Parallelschaltung + x a x b = = = = x = x (neutrales Element ) x = x x = x (Idempotenz) 2

22 Negation (not) = a auch: not a, a,!a, ~a, -a und sogar \+ a Ruhekontakt a a a + = = 22

23 Wertetabellen (Zusammenfassung) oder Disjunktion wie lat. vel (oder) und Konjunktion wie engl. And nicht Negation a b a b a b a b a a 23

24 Notation Variationen eines Themas... Schaltungssmbole Analogie in Mengenlehre 24

25 Einige bekannte Gesetze (vgl. auch Gesetze für ganze Zahlen) Kommutative Gesetze Neutrale Elemente a b = b a a = a a b = b a a = a Assoziative Gesetze Komplement a (b c) = (a b) c a a = a (b c) = (a b) c a a = Distributive Gesetze a (b c) = (a b) (a c) a (b c) = (a b) (a c) 25

26 Weitere Gesetze Gesetze der Verschmelzung (auch: Absorption) a (a b) = a a (a b) = a Gesetz der doppelten Negation ( a ) = a DeMorgan sche Gesetze (a b) = a b (a b) = a b 26

27 Beweis der Aequivalenz Boole'scher Formeln Wie werden solche Gesetze bewiesen? Grundprinzip: Für jede vorkommende Variable werden alle möglichen Werte (jeweils oder ) eingesetzt ("Input"). Danach werden linke und rechte Seiten verglichen ("Output"). Wenn jeder Input das gleiche Resultat erzeugt, ist das Gesetz bewiesen. Beispiel: DeMorgan sches Gesetz (a b) = a b Output (links) Input Output (rechts) a b (a b) a b a b a b 27

28 Alle Boole'schen Funktionen mit (max.) zwei Parametern Total 6 mögliche "Outputs" (gewisse dieser Funktionen tauchen später wieder auf) Inputs Outputs a b = = a b 2 = a b 3 = a 4 = a b 5 = b 6 = a b 7 = a b a b 5 = 4 = a b 3 = a b 2 = a = a b = b 9 = a b 8 = a b Bem.: und 5 haben kein Argument, 3, 5, und 2 nur je ein Argument. 28

29 Dualität Auf der vorangehenden Folie sind auf jeder Zeile die Outputs der linken Tabelle jeweils die Negation der Outputs der rechten Spalte. Es fällt auf, dass in den entsprechenden Formeln die Argumente a und b (bzw. a und b) negiert sind: a und b (bzw. a und b ) die Operatoren Konjunktionen ( ) statt Disjunktionen ( ) sind (bzw. umgekehrt) Zu jeder Funktion f von max. 2 Variablen gibt es eine duale Funktion g, so dass gilt (bzw.: f heisst dual zu g falls gilt): f (x, ) = g ( x, ) bzw. f (x, ) = g ( x, ) Beispiele für duale Funktionen: ( ) und ( 5 ) und nand ( 4 ) und nor ( 8 ) siehe auch später 29

30 Beispiele von Funktionen, die zu sich selbst dual sind f(x,)!f(x,) f(!x,!) (a,b) = = (!a,!b) = (a,b) = a & b =!a!b (!a,!b) =!a &!b 2(a,b) = a &!b =!a b 2(!a,!b) =!a & b 3(a,b) = a =!a 3(!a,!b) =!a D 4(a,b) =!a & b = a!b 4(!a,!b) = a &!b 5(a,b) = b =!b 5(!a,!b) =!b D 6(a,b) = (a!= b) = (a = b) 6(!a,!b) = (!a!=!b) 7(a,b) = a b =!a &!b 7(!a,!b) =!a!b 8(a,b) =!a &!b = a b 8(!a,!b) = a & b 9(a,b) = (a = b) = (a!= b) 9(!a,!b) = (!a =!b)... etc. (exercise left to the reader)... (a,b) =!b = b (!a,!b) = b D (a,b) = a!b =!a & b (!a,!b) =!a b 2(a,b) =!a = a 2(!a,!b) = a D 3(a,b) =!a b = a & b 3(!a,!b) = a!b 4(a,b) =!a!b = a & b 4(!a,!b) = a b 5(a,b) = = 5(!a,!b) = 3

31 Beispiele von Funktionen, die kommutativ sind f(x,) f(,x) (a,b) = (b,a) = K (a,b) = a & b (b,a) = b & a K 2(a,b) = a &!b 2(b,a) = b &!a 3(a,b) = a 3(b,a) = b 4(a,b) =!a & b 4(b,a) =!b & a 5(a,b) = b 5(b,a) = a 6(a,b) = (a!= b) 6(b,a) = (b!= a) K 7(a,b) = a b 7(b,a) = b a K 8(a,b) =!a &!b 8(b,a) =!b &!a K 9(a,b) = (a = b)... 9(b,a) = (b = a) K (a,b) = etc.!b (exercise left (b,a) to the reader) =!a (a,b) = a!b... (b,a) = b!a 2(a,b) =!a 2(b,a) =!b 3(a,b) =!a b 3(b,a) =!b a 4(a,b) =!a!b 4(b,a) =!b!a K 5(a,b) = 5(b,a) = K 3

32 Boole'sche Algebra Eine Boole'sche Algebra ist ein abgeschlossenes Sstem, in welchem 2 Operationen definiert sind, für die Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz Verschmelzungsgesetz (=Absorptionsgesetz) gelten und in dem es ein Nullelement ein Einselement sowie zu jedem Element ein komplementäres Element gibt. 32

33 Beispiele für Boole'sche Algebren Schaltalgebra (wie gehabt + demnächst mehr dazu) Aussagenlogik (später mehr dazu) Mengenlehre Vereinigung zweier Mengen ( ) entspricht dem logischen or Durchschnitt zweier Mengen ( ) entspricht dem logischen and Komplement einer Menge entspricht dem logischen not Die leere Menge ( ) entspricht Die Gesamtmenge (Ω) entspricht 33

34 Anwendung Halbaddierer (Half Adder) negation and gate or gate s = Summe (sum,actuall XOR) c = Uebertrag (carr) 34

35 Anwendung Halbaddierer: Vereinfachungen 35

36 Anwendung Halbaddierer: Optimiert negation 36

37 Anwendung Halbaddierer Halbaddierwerk a b c s s = (a b) (a b) c = (a b) 37

38 Anwendung Halbaddierer Halbaddierwerk a b c s s = (a b) (a b) c = (a b) 38

39 Anwendung Halbaddierer Halbaddierwerk a b c s s = (a b) (a b) c = (a b) 39

40 Anwendung Halbaddierer Halbaddierwerk a b c s s = (a b) (a b) c = (a b) 4

41 Spezielle Boole'sche Funktionen mit 2 Parametern Peirce-Funktion nor (sog. nor-gate, nor = not or) 8 = a b = (a b) Sheffer-Funktion nand (sog. nand-gate, nand = not and) 4 = a b = (a b) 4

42 Halbaddierer: Verwendung von NOR Gattern a b c s s = ( (a b) ( a b)) c = ( a b) 42

43 Prozessor 43