Antwort: h = 5.70 bit Erklärung: Wahrscheinlichkeit p = 1/52, Informationsgehalt h = ld(1/p) => h = ld(52) = 5.70 bit

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1 Übung 1 Achtung: ld(x) = Logarithmus dualis: ld(x) = log(x)/log(2) = ln(x)/ln(2)! Aufgabe 1 Frage: Wie gross ist der Informationsgehalt einer zufällig aus einem Stapel von 52 Bridgekarten gezogenen Spielkarte? Runden Sie Ihre Antwort auf genau zwei Dezimalstellen nach dem Punkt (Bsp.: 1.23) und geben Sie sie ohne Leerschläge ein! h = 5.70 bit Erklärung: Wahrscheinlichkeit p = 1/52, Informationsgehalt h = ld(1/p) => h = ld(52) = 5.70 bit Frage: Wie gross ist der Informationsgehalt einer zufällig aus einem Stapel von 24 Jasskarten gezogenen Spielkarte? Runden Sie Ihre Antwort auf genau zwei Dezimalstellen nach dem Punkt (Bsp.: 1.23) und geben Sie sie ohne Leerschläge ein! h = 4.58 bit Erklärung: p = 1/24 => h = ld(24) = 4.58 bit Aufgabe 2 Frage: Wie gross ist der Informationsgehalt eines Datums, das aus Tag (1..31), Monat (1..12) und Jahr ( ) besteht? Runden Sie Ihre Antwort auf genau zwei Dezimalstellen nach dem Punkt (Bsp.: 1.23) und geben Sie sie ohne Leerschläge ein! h = bit Erklärung: p1 = 1/31 (1 aus 31 Tagen) p2 = 1/12 (1 aus 12 Monaten) p3 = 1/100 (1 aus 100 Jahren) => Informationsgehalt h = ld(31) + ld(12) + ld(100) = bit Frage: Wie gross ist der Informationsgehalt einer 7-stelligen Telefonnummer? Runden Sie Ihre Antwort auf genau zwei Dezimalstellen nach dem Punkt (Bsp.: 1.23) und geben Sie sie ohne Leerschläge ein! h = bit Erklärung: Wahrscheinlichkeit p = 1/10 (Ziffer 0 9) => h = 7 * ld(10) = bit Aufgabe 3 Frage: Wie gross ist die Redundanz, wenn eine 9-stellige ganze Dezimalzahl mit Vorzeichen in einem binären Code der Länge 32 bit dargestellt wird? Wählen Sie alle korrekten Antworten (+) und alle falschen Antworten (-)! (-) R = 2.10 bit (gerundet) (+) R = (32-9 * ld 10 1) bit (-) R = 0.30 bit (gerundet) (-) R = (32-9 * ld 10) bit Erklärung: Redundanz R = Wortlänge L Informationsgehalt H L = 32 bit p = 1/10 (Ziffer 0 9) => H = 9 * ld(10) 1 Bit fällt weg wegen Vorzeichen, daher: R = 32 9*ld(10) 1 = 1.10 bit

2 Frage: Wie gross ist die Redundanz, wenn eine 8-stellige vorzeichenlose ganze Dezimalzahl in einem binären Code der Länge 32 bit dargestellt wird? Wählen Sie alle korrekten Antworten (+) und alle falschen Antworten (-)! (-) R = (32-10 * ld 8) bit (+) R = 5.42 bit (gerundet) (-) R = bit (gerundet) (+) R = (32-8 * ld 10) bit Erklärung: R = L H, L = 32 bit, p = 1/10 => H = 8*ld(10) => R = 32-8*ld(10) = 5.42 bit Aufgabe 4 Frage: Auf wieviele Dezimalziffern genau können vorzeichenlose ganze Zahlen in einem binären Code der Länge 16 bit dargestellt werden? Geben Sie die Anzahl ohne Leerschläge ein! 4 Dezimalstellen Erklärung: 2 16 = => Dezimalzahlen von kodierbar => 4 Dezimalstellen Frage: Auf wieviele Dezimalziffern genau können ganze Zahlen mit Vorzeichen in einem binären Code der Länge 24 bit dargestellt werden? Geben Sie die Anzahl ohne Leerschläge ein! 6 Dezimalstellen Erklärung: Vorzeichen = 1 bit => 24-1 bit => 2 23 = => Dezimalzahlen von kodierbar => 6 Dezimalstellen

3 Übung 2 Wahrheitstabelle: A B AND OR Äquivalenz Antivalenz Implikation ! = - = NOT = + = OR & = * = AND Aufgabe 1 Frage: Gegeben sei folgende Schaltfunktion: y = a &!b 0010 Frage: Gegeben sei folgende Schaltfunktion: y = (NOT a) AND (NOT b) 1000 Frage: Gegeben sei folgende Schaltfunktion: y = -a * b 0100 Aufgabe 2 Frage: Gegeben sei folgende Schaltfunktion: y = -a + b 1101 Frage: Gegeben sei folgende Schaltfunktion: y = a!b 1011 Aufgabe 3 Frage: Gegeben sei folgende Schaltfunktion: y = -(-a * b) 1110 Frage: Gegeben sei folgende Schaltfunktion: y = NOT ((NOT a) AND (NOT b)) 0111 Erklärung: -(-a * -b) = a + b (De Morgan)

4 Frage: Gegeben sei folgende Schaltfunktion: y = NOT (a AND (NOT b)) 1101 Aufgabe 4 Frage: Gegeben sei folgende Schaltfunktion: y = -(-a + -b) 0001 Erklärung: -(-a + -b) = a * b Frage: Gegeben sei folgende Schaltfunktion: y = -(a + -b) 0100 Erklärung: -(a + -b) = -a * b Frage: Gegeben sei folgende Schaltfunktion: y = NOT ((NOT a) OR b) 0010 Aufgabe 5 Frage: Welche der folgenden Schaltfunktionen entsprechen der Antivalenz von a und b? Wählen Sie alle korrekten Antworten! [ ] (a!b) & (!a b) [x] (a &!b) (!a & b) [x] (a b) & (!a!b) [ ] (a & b) (!a &!b) Erklärung: (a + b) * (-a + -b) = (a * -a) + (a * -b) + (-a * b) + (b * -b) = (a * -b) + (-a * b) Frage: Welche der folgenden Schaltfunktionen entsprechen der Äquivalenz von a und b? Wählen Sie alle korrekten Antworten! [ ] (a + b) * (-a + -b) [ ] (a * -b) + (-a * b) [x] (a + -b) * (-a + b) [x] (a * b) + (-a * -b) Erklärung: (a + -b) * (-a + b) = (a * -a) + (a * b) + (-a * -b) + (b * -b) = (a * b) + (-a * -b) Aufgabe 6 Frage: Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wählen Sie alle korrekten Antworten! [x] Die Äquivalenz ist kommutativ. [ ] Die NAND-Funktion und die NOR-Funktion sind komplementär. [x] Die Antivalenz ist kommutativ. [ ] Die Implikation ist kommutativ.

5 Frage: Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wählen Sie alle korrekten Antworten! [x] Die OR-Funktion und die NOR-Funktion sind komplementär. [ ] Die NAND-Funktion und die NOR-Funktion sind komplementär. [x] Die AND-Funktion und die NAND-Funktion sind komplementär. [] Die AND-Funktion und die OR-Funktion sind komplementär. Frage: Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wählen Sie alle korrekten Antworten! [ ] Die Implikation ist kommutativ. [x] Die Äquivalenz ist kommutativ. [ ] Die AND-Funktion und die OR-Funktion sind komplementär. [x] Die OR-Funktion und die NOR-Funktion sind komplementär.

6 Übung 3 Aufgabe 1 Frage: Gegeben sei folgende Schaltfunktion: y = ((NOT a) AND (NOT b)) OR (NOT ((NOT a) OR (NOT b))) Wie lautet die Ergebnisspalte der Wahrheitstabelle? Geben Sie Ihre Antwort mit Ziffern (Bsp.: 0011) und ohne Leerschläge ein! 1001 Frage: Gegeben sei folgende Schaltfunktion: y = (-a * b) + -(-a + b) Wie lautet die Ergebnisspalte der Wahrheitstabelle? Geben Sie Ihre Antwort mit Ziffern (Bsp.: 0011) und ohne Leerschläge ein! 0110 Aufgabe 2 Frage: Welche der folgenden Schaltfunktionen realisieren die Antivalenz von a und b? Wählen Sie alle korrekten Antworten! [ ] y = (a & b)!(a b) [ ] y = (!a & b)!(a!b) [x] y = (!a & b)!(!a b) [x] y = (a &!b)!(a!b) Erklärung: Die Antivalenz hat die Ergebnisspalte Frage: Welche der folgenden Schaltfunktionen realisieren die Äquivalenz von a und b? Wählen Sie alle korrekten Antworten! [ ] y = (-a * b) + -(-a + b) [x] y = (-a * -b) + -(-a + -b) [ ] y = (-a * b) + -(a + -b) [x] y = (a * b) + -(a + b) Erklärung: Die Äquivalenz hat die Ergebnisspalte Aufgabe 3 Frage: Wie lautet die Ergebnisspalte der Wahrheitstabelle einer Schaltfunktion, die zu y = (a AND b) OR (NOT (a OR b)) dual ist? Geben Sie Ihre Antwort mit Ziffern (Bsp.: 0011) und ohne Leerschläge ein! 0110 Erklärung: (a * b) + (-a * -b) = 1001 => dual: 0110 (von rechts nach links schreiben und invertieren) Frage: Wie lautet die Ergebnisspalte der Wahrheitstabelle einer Schaltfunktion, die zu y = ((NOT a) AND (NOT b)) OR (NOT ((NOT a) OR (NOT b))) dual ist? Geben Sie Ihre Antwort mit Ziffern (Bsp.: 0011) und ohne Leerschläge ein! 0110

7 Frage: Wie lautet die Ergebnisspalte der Wahrheitstabelle einer Schaltfunktion, die zu y = (!a &!b)!(!a!b) dual ist? Geben Sie Ihre Antwort mit Ziffern (Bsp.: 0011) und ohne Leerschläge ein! 0110 Frage: Wie lautet die Ergebnisspalte der Wahrheitstabelle einer Schaltfunktion, die zu y = (a * b) + -(a + -b) komplementär ist? Geben Sie Ihre Antwort mit Ziffern (Bsp.: 0011) und ohne Leerschläge ein! 1010 Erklärung: Komplementär bedeutet die inverse Ergebnisspalte. Aufgabe 4 Frage: Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wählen Sie alle korrekten Antworten! [ ] Jede Schaltfunktion lässt sich unter ausschliesslicher Verwendung von OR-Gattern realisieren. [x] Jede Schaltfunktion lässt sich unter ausschliesslicher Verwendung von NAND-Gattern realisieren. [ ] Jede Schaltfunktion lässt sich unter ausschliesslicher Verwendung von AND-Gattern realisieren. [x] Jede Schaltfunktion lässt sich unter ausschliesslicher Verwendung von NOR-Gattern realisieren. Frage: Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wählen Sie alle korrekten Antworten! [ ] Schaltfunktionen, die zueinander dual sind, können nicht gleichzeitig komplementär sein. [x] Tautologie und Kontradiktion sind zueinander dual. [ ] Schaltfunktionen, die zu sich selbst dual sind, sind auch immer kommutativ. [x] Äquivalenz und Antivalenz sind zueinander dual. Frage: Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wählen Sie alle korrekten Antworten! [ ] Schaltfunktionen, die zueinander dual sind, können nicht gleichzeitig komplementär sein. [ ] Jede Schaltfunktion lässt sich unter ausschliesslicher Verwendung von AND-Gattern realisieren. [x] Jede Schaltfunktion lässt sich unter ausschliesslicher Verwendung von NAND-Gattern realisieren. [x] Tautologie und Kontradiktion sind zueinander dual. Frage: Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Wählen Sie alle korrekten Antworten! [x] Zu jeder Schaltfunktion gibt es ein komplementäres Gegenstück. [ ] Schaltfunktionen, die zu sich selbst dual sind, sind auch immer kommutativ. [ ] Jede Schaltfunktion lässt sich unter ausschliesslicher Verwendung von AND-Gattern realisieren. [x] Jede Schaltfunktion lässt sich unter ausschliesslicher Verwendung von NAND-Gattern realisieren. Aufgabe 5 Frage: Wie viele unterschiedliche Schaltfunktionen mit drei Eingängen sind kommutativ? Geben Sie die Anzahl ohne Leerschläge ein! 16 Schaltfunktionen Erklärung: x = 3 (Eingänge) => 2^( 2^(x-1) ) = 2^4 = 16

8 Frage: Wie viele unterschiedliche Schaltfunktionen mit zwei Eingängen sind zu sich selbst dual? Geben Sie die Anzahl ohne Leerschläge ein! 4 Schaltfunktionen Erklärung: x = 2 (Eingänge) => 2^( 2^x / 2 ) = 2^2 = 4 (Anmerkung: möglicherweise nicht korrekt!) Frage: Bei wie vielen unterschiedliche Schaltfunktionen mit drei Eingängen ist das duale Gegenstück gleichzeitig komplementär? Geben Sie die Anzahl ohne Leerschläge ein! 16 Schaltfunktionen

9 Übung 4 Aufgabe 1 Frage: Die Variablen a, b und c sind wie folgt an die drei NOR-Gatter angelegt: Welche der 4 Eingänge müssen negiert werden damit das Ergebnis y = ( -a & b ) ( -b & c ) erzielt wird? --++ Erklärung: De Morgan macht OR am Ausgang zusammen mit den neg. Ein- und dem neg. Ausgang zu einem AND Gatter. => (-a * b) + (-b * c) = (-a + -b) * (-a + c) * (b + -b) * (b * c) => Frage: Die Variablen a, b und c sind wie folgt an die drei NOR-Gatter angelegt: Welche der 4 Eingänge müssen negiert werden damit das Ergebnis y = b -( a c ) erzielt wird? -++- Erklärung: De Morgan macht OR am Ausgang zusammen mit den negierten Eingängen und dem negierten Ausgang zu einem AND Gatter. => b + -(a + c) = b + (-a * -c) = (-a + b) * (b + -c) => -++- Aufgabe 2 Frage: Die Variablen a, b und c sind wie folgt an die drei NAND-Gatter angelegt: Welche der 4 Eingänge müssen negiert werden damit das Ergebnis y = b & -(a & c) erzielt wird? -++- Erklärung: De Morgan macht aus dem AND zusammen mit den neg. Eingängen und dem Ausgang zu einem OR Gatter. => b * -(a * c) = b * (-a + -c) = (-a * b) + (b * -c) => -++-

10 Frage: Die Variablen a, b und c sind wie folgt an die drei NAND-Gatter angelegt: Welche der 4 Eingänge müssen negiert werden damit das Ergebnis y = -( a b ) ( b & c ) erzielt wird? --++ Erklärung: De Morgan macht aus dem AND zusammen mit den neg. Eingängen und dem Ausgang zu einem OR Gatter. => -(a + b) + (b * c) = (-a * -b) + (b * c) => --++ Aufgabe 3 Frage: Welche der folgenden Terme ergeben disjunktiv verknüpft die Schaltfunktion y? [x] a & b [ ] a & - b [ ] - a & b [ ] - a & - b [ ] b & c [ ] b & - c [ ] - b & c [x] - b & - c Erklärung: De Morgan macht aus dem AND mit neg. Ein- und Ausgängen ein OR (Disjunktion). Frage: Welche der folgenden Terme ergeben disjunktiv verknüpft die Schaltfunktion y? [ ] a & b [x] a & - b [ ] - a & b [ ] - a & - b [ ] b & c [x] b & - c [ ] - b & c [ ] - b & - c Erklärung: y = -( -(a + b) + -(-b + -c) ) = (a + b) * (-b + -c) = (a * -b) + (a * -c) + (b * -b) + (b * -c)

11 Frage: Welche der folgenden Terme ergeben disjunktiv verknüpft die Schaltfunktion y? [ ] a & b [ ] a & - b [ ] - a & b [x] - a & - b [x] b & c [ ] b & - c [ ] - b & c [ ] - b & - c Erklärung: y = -( -(-a + b) + -(-b + c) ) = (-a + b) * (-b + c) = (-a * -b) + (-a * c) + (b * -b) + (b * c)

12 Übung 5 Aufgabe 1 Frage: Welche der folgenden Aussagen über die arithmetische Schreibweise sind richtig? [x] Die infix-schreibweise endet immer mit einer Variablen oder Konstanten. [ ] Die prefix-schreibweise endet immer mit einem Operator. [ ] Ein als Baum dargestellter arithmetischer Ausdruck hat immer eine ungerade Anzahl von Blättern. [x] Bei der prefix-, der infix- und der postfix-darstellung ist die Reihenfolge der Variablen und Konstanten immer die selbe. Frage: Welche der folgenden Aussagen über die arithmetische Schreibweise sind richtig? [ ] Ein als Baum dargestellter arithmetischer Ausdruck hat immer eine ungerade Anzahl von Blättern. [ ] Die prefix- und die postfix-schreibweise können unterschiedlich lang sein. [x] Ein als Baum dargestellter arithmetischer Ausdruck hat immer eine ungerade Anzahl von Knoten. [x] Die infix-schreibweise beginnt immer mit einer Variablen oder Konstanten. Aufgabe 2 Frage: Welche der folgenden Aussagen über das Traversieren von binären Suchbäumen sind richtig, wenn die Schlüsselwerte in den Knoten steigend sortiert angeordnet sind? [ ] Die postorder-reihenfolge endet immer mit dem größten Schlüssel. [x] Wenn die Schlüsselwerte paarweise disjunkt sind, lässt sich der Sortierbaum aus der levelorder- Reihenfolge seiner Schlüssel eindeutig rekonstruieren. [x] Die inorder-reihenfolge entspricht immer der Sortierreihenfolge. [ ] Die levelorder-reihenfolge beginnt immer mit dem kleinsten Schlüssel. Frage: Welche der folgenden Aussagen über das Traversieren von binären Suchbäumen sind richtig, wenn die Schlüsselwerte in den Knoten steigend sortiert angeordnet sind? [ ] Ein binärer Sortierbaum hat immer eine ungerade Anzahl von Knoten. [x] Die inorder-reihenfolge beginnt immer mit dem kleinsten Schlüssel. [ ] Die preorder- und die postorder-reihenfolgen können unterschiedlich lang sein. [x] Wenn die Schlüsselwerte paarweise disjunkt sind, lässt sich der Sortierbaum aus der postorder- Reihenfolge seiner Schlüssel eindeutig rekonstruieren. Frage: Welche der folgenden Aussagen über das Traversieren von binären Suchbäumen sind richtig, wenn die Schlüsselwerte in den Knoten steigend sortiert angeordnet sind? [ ] Die levelorder-reihenfolge endet immer mit dem grössten Schlüssel. [ ] Die postorder-reihenfolge endet immer mit dem kleinsten Schlüssel. [x] Die inorder-reihenfolge entspricht immer der Sortierreihenfolge. [x] Wenn die Schlüsselwerte paarweise disjunkt sind, lässt sich der Sortierbaum aus der postorder- Reihenfolge seiner Schlüssel eindeutig rekonstruieren.

13 Aufgabe 3 Frage: Gegeben sei folgender infix-ausdruck: (x+1)*(x-1) Wie lautet seine prefix-darstellung? *+x1-x1 Frage: Gegeben sei folgender prefix-ausdruck: *a*x-x1 Wie lautet seine infix-darstellung? a*x*(x-1) Frage: Gegeben sei folgender infix-ausdruck: (x+y-1)/2 Wie lautet seine postfix-darstellung? xy+1-2/ Aufgabe 4 Frage: Ein binärer Baum der Höhe h stellt einen arithmetischen Ausdruck dar. Wieviele Operatoren muss dieser Ausdruck mindestens enthalten? ( ) 2^h 1 (*) h ( ) h + 1 ( ) 2^(h-1) Frage: Wie gross kann die Höhe eines binären Baumes mit n Knoten höchstens sein? ( ) ld (n+1) - 1 (*) n - 1 ( ) n ( ) ld n Aufgabe 5 Frage: In einem binären Sortierbaum sind die Schlüssel steigend sortiert. Beim preorder-traversieren werden sie in der Reihenfolge fbadceg besucht. Wie lautet die postorder-reihenfolge? acedbgf Frage: In einem binären Sortierbaum sind die Schlüssel steigend sortiert. Beim postorder-traversieren werden sie in der Reihenfolge acegfdb besucht. Wie lautet die levelorder-reihenfolge? badcfeg

14 Aufgabe 6 Frage: Mit einem Serienaddierwerk soll die Summe z = x + y berechnet werden. x, y und z werden in Registern der Wortlänge 8 bit dargestellt wobei negative Zahlen durch das 2er Kompliment ihres Betrages repräsentiert werden. Wie lautet die 8 bit Darstellung von x, y und z für x = 21 und y = -28? x = y = z = Frage: Mit einem Serienaddierwerk soll die Summe z = x + y berechnet werden. x, y und z werden in Registern der Wortlänge 8 bit dargestellt wobei negative Zahlen durch das 2er Kompliment ihres Betrages repräsentiert werden. Wie lautet die 8 bit Darstellung von x, y und z für x = 18 und y = -27? x = y = z = Frage: Mit einem Serienaddierwerk soll die Summe z = x + y berechnet werden. x, y und z werden in Registern der Wortlänge 8 bit dargestellt wobei negative Zahlen durch das 2er Kompliment ihres Betrages repräsentiert werden. Wie lautet die 8 bit Darstellung von x, y und z für x = 19 und y = -26? x = y = z =