Einführung in die Informatik

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1 Einführung in die Informatik Vorlesung gehalten von Prof. Dr. rer. nat. E. Bertsch Skript verfasst von Sebastian Ritz 7. Dezember

2 Inhaltsverzeichnis 1 Was versteht man unter Informatik 3 2 Aufbau der Vorlesung 3 3 Aufbau von Schaltungen NAND NOT AND OR Diverse Schreibweisen 8 5 Digitale Elektronik Der Feldeffekt-Transistor (FET) Funktionsweise Anwendung Schaltzeiten und Signalweg Reduzierung Präzise Definitionen Boole sche Ausdrücke(BA) Liste wichtiger Boole scher Ausdrücke Umwandeln von bel. BA in DN 14 9 Verfahren für Kanonizität Quine Mc Cluskey Minterme zu Primtermen Grobskizze

3 1 Was versteht man unter Informatik Der Begriff Informatik entspringt den Begriffen Ïnformationünd äutomatiqueünd er entspricht der Wissenschaft vom Bau und Betrieb elektrischer Rechenanlagen. Die Informatik hat ein großes Problem - das Wissen veraltet recht schnell. 2 Aufbau der Vorlesung 1. Technische Informatik logische Schaltungen, Rechnerstruktur(besonders Prozessor und Addierer), low-level Programmierung 2. Praktische Informatik-System Programme Parallele Konzepte, Grundzüge von Betriebssystemen 3. Theoretische Informatik Formale Sprachen und Grammatiken, Berechenbarkeit Erkenntnisse: Hardware, Software wechselseitig austauschbar; Aufwand 3

4 3 Aufbau von Schaltungen 3.1 NAND Das Grundelement bildet das NAND(auch Sheffer-Fuktion). Das Nand wird heute als Halbleiter-Baustein mit einer Größe von < 10 6 m produziert. An Abbildung 1: Schaltzeichen Nand den Eingängen können zwei mögliche Spannungen, z.b. 0 Volt und 5 Volt (für die Schaltzustände 0 und 1), angelegt werden. Als Funktion beschrieben ergibt sich: {0, 1} {0, 1} {0, 1} (1) Tabelle 1: Schaltzustände Nand e 1 e 2 a=nand(e 1,e 2 ) Hieraus ergibt sich, dass nand(e 1, e 2 )=0 genau dann, wenn beide Eingänge e=1 sind. Die Realisierung dieser Schaltung im Werkstoff(Silizium) in vielfältiger Weise möglich, außerdem z.b. durch Laser-Optik und Hydraulik! 4

5 3.2 NOT Eine weitere elementare Schaltung ist das not. Die Funktion des not: not {0, 1} {0, 1} (2) Für diese Schaltung ist kein neuer Baustein von Nöten, sondern kann auch Tabelle 2: Schaltzustände not e a nach folgendem Modell realisiert werden: not (e) nand (e, e) (3) Der Beweis ergibt sich nach der nand-tabelle(tabelle 1), demnach ist: nand(0,0)=1 (4) nand(1,1)=0 (5) Abbildung 2: Schaltzeichen NOT 5

6 3.3 AND Abbildung 3: Schaltzeichen AND Außerdem gibt es noch das and. Die Funktion lautet: {0, 1} {0, 1} {0, 1} (6) Also ist and(e 1, e 2 ) genau dann 1 wenn beide Eingänge 1 sind. auch hierfür Tabelle 3: Schaltzustände and e 1 e 2 a wird kein neuer Baustein benötigt, da gilt: and (e 1, e 2 ) not (nand(e 1, e 2 )) (7) (Anmerkung: Ersetze einfach in Tabelle?? in der a-spalte die 1 durch eine 0 und umgekehrt.) Andererseits gilt: nand(e 1, e 2 ) not(and(e 1, e 2 )) (8) Daher der neu-englische Name Nand. 6

7 3.4 OR Abbildung 4: Schaltsymbol OR Tabelle 4: Schaltzustände Or e 1 e 2 a Or ist genau dann 1 wenn e 1 =1 oder e 2 =1. Diesen Baustein kann man mit drei NAND-Bausteinen realisieren. or(e 1, e 2 ) nand(not e 1, not e 2 ) (9) Dies ist die sogenannte De-Morgan-Gleichung. Den Beweis führen wir über eine Tabelle: Wir erkennen, das and(...,...),or (...,...),, not (...,...) durch e 1 e 2 not e 1 not e 2 nand(not e 1, not e 2 ) ein oder mehrere nand-bausteine darstellbar sind. 7

8 4 Diverse Schreibweisen Man erlaubt Abkürzungen in der Form: ebenso gilt: and (e 1,..., e n ) and ( and (... (e 1, e 2 )...), e n ) (10) or ( e 1,..., e n ) or ( or (... (e 1, e 2 )...), e n ) (11) Statt and(e 1,..., e n ), or(e 1,..., e n ) bei besserer Lesbarkeit auch Infix-Notation. Sowie e statt not(e). Weiter gilt für: üblich. e 1 and... and e n, e 1 or... or e n a and b a b, ab a or b a b, a+b 8

9 5 Digitale Elektronik 5.1 Der Feldeffekt-Transistor (FET) Abbildung 5: Aufbau FET Abbildung 6: FET Symbol n= Silizium mit Elektronen-Überschuß p= Silizium mit Elektronen-Mangel Die abmessungen liegen bei der Gate-Breite im Bereich von 100nm im Labor von Intel bestehen bereits welche mit ungefähr 50nm. Die Dicke der Oxidschicht im Labor beträgt 1,2nm! Verglichen mit dem Atomradius(10 10 m sind dies also ca. 5 Atome(Speicherchips mit 8Gbit geplant). 9

10 5.1.1 Funktionsweise Bei G=0Volt Bei G=5Volt sind sehr wenige Elektronen in der p-schicht verteilt. sind mehr Elektronen in der Grenzschicht von p zum Isolator dadurch ergibt sich Leitfähigkeit zwischen Source und Drain der Schalter ist geschlossen. Bei positiven Spannungen an G wirkt der sogenannte Feldeffekt(Sharkley 1952) - es fließt kein Strom vom Gate zum Source oder Drain(Dies wär nur bei bipolaren Transistoren der Fall) Anwendung Die Transistor-Schaltung für Nand: Wenn U e1 und U e2 5 Volt haben, dann Abbildung 7: NAND-Schaltung sind beide Schalter geschlossen U a =0Volt. Andernfalls wenn einer der beiden offen ist U a =5Volt. Der Widerstand dieser Schalter ist entweder 0 oder. 6 Schaltzeiten und Signalweg Die schnellsten nand-bausteine(bipolar) benötigen ca 10psec. Es sind ca 3cm. Signalweg auf einem Chip möglich. 3cm Signalweg entsprechen (c=0,3 Gm/s) 100psec bzw. 10 nand-zeiten. Aus diesen Überlegungen folgt unmittelbar, dass die Anordnung der Bausteine durchaus von Bedeutung ist. In den späteren Überlegungen wird die Anordnung wegen des Fertigungsverfahrens genormt. 10

11 6.1 Reduzierung Sind alle Schaltfunktionen f : {0, 1} {0, 1} durch and, or oder nor darstellbar? Beispiel: Sei f 1 (e 1, e 2 ) wie folgt: Offenbar ist a = 1 wenn (nicht e 1 =1 und e 2 =1) oder Tabelle 5: Bisher unbekanntes Funktionsbild e 1 e 2 a (e 1 =1 und nicht e 2 =1). Ein logischer Ausdruck wäre: (e 1 e 2 ) (e 1 e 2 ) (12) Ist dies möglich? Dafür fertigen wir eine Tabelle an: e 1 e 2 e 1 e 2 e 1 e 2 e 1 e Dieses Funktionschema ist der umgangssprachlichen Formulierung entsprungen. Wir formulieren nun diese Idee für Tabellen mit n 2 Eingangssignalen: Wie stellen wir die Funktion von Tabelle 6 als logischen Ausdruck dar? Falls nur eine Zeile mit n=1 existiert, dann ist f(e 1, e 2,...) and (E 1, E 2,...), wobei Somit is nun f 2 = (e 1, e 2, e 3 ) = (e 1 e 2 e 3 ) (e 1 e 2 e 3 ) (e 1 e 2 e 3 ) (13) Zur Kontrolle können wir dies für alle 8 Belegungen nachrechnen jedoch ist diese Art der Konstruktion meist nicht optimal. Der Ausdruck wird durch diese Findung nur unnötig teuer wie wir anhand des folgenden Beispiels sehen werden. 11

12 Tabelle 6: Funktionschema für n 2 Signalen e 1 e 2 e 3 a e 1 e 2 a Nach Schema e 1 e 2 e 1 e 2 e 1 e 2. Aber es würde genügen not(e 1 e 2 ), und somit wäre dieser Ausdruck um einiges billiger. (Im Verlauf dieses Scripts werden noch Verfahren zur automatischen Vereinfachung solcher Ausdrücke behandelt.) Unser Ziel wird es nun sein, mit logischen(booleschen) Ausdrücken so zu rechnen wie mit arithmetischen Audrücken. Tabelle 7: default Arithmetik Logik (x+1)(x-2) (x y) (2 0) 12

13 7 Präzise Definitionen 7.1 Boole sche Ausdrücke(BA) Die Konstante 0 und 1 und alle Variablen-Namen a,b,c,... sind BA. Wenn A 1 und A 2 schon BA sind dann auch not(a 1 ), A 1 und A 2, A 1 or A 2. Zuordnung konkreter Werte aus {0,1} zu Variablen eines BA heißt Belegung. Wahrheitswert eines BA für feste Belegung ergibt sich durch Einsetzen und Auswerten aller and, or, not. Zwei BA A 1,A 2 heißen äquivalent, wenn sie bei gleicher Belegung gemeinsamer Variablen stets den gleichen Wert liefern(a 1 A 2 oder einfacher A 1 = A 2 ). 7.2 Liste wichtiger Boole scher Ausdrücke a = a Negation der Negation a b = b a Kommutativgesetz a (b a) = (a b) c Assoziativgesetz a (b c) = (a b) (a c) Distributivgesetz a a = a Idempotenz a not a = 0 Komplementidempotenz a 1 = a 0-1 Gesetz a 0 = Gesetz (a b) (a b) = a Absorptionsgesetz a b = a b De-Morgan-Gesetz Die Gleichungen, die entstehen, wenn man oben systematisch (,, 0, 1) durch (,, 1, 0) ersetzt gelten auch(dualität). Besser von De-Morgan: a b a b a b a b a b Spezielle BA : Ein BA X 1 X 2... X n heißt Konjunktionsterm (Und- Term) wenn alle X i Variablen oder negierte Variable(v) sind und jede Variable höchstens einmal vorkommt. Die Konstante 1 sei per Definition auch 13

14 ein K.-Term. Dual: BA X 1 X 2... X n heißt Disjunktionsterm (Oder-Term), wenn X i wie oben Konstante 0 sei per Definition auch ein D-Term. Ein BA K 1... K n heißt disjunktive Notmalform (DN), wenn alle K i paarweise nicht äquivalent k.-terme sind. Tabelle 8: Beispiel Beispiel für DN: abc ac ab x 1 x 2 x 2 x 3 Ëin oder aus mehreren Unds Wir werden im Weiteren noch sehen, dass alle BA in DN umformbar sind und DN-Schaltungen schnell sind. Maximaler Zeitbedarf bei DN: Durchlauf durch not-, dann and-, dann or-gatter. Situation in Prozessoren: Taktfrequenz sei ca 4 GHz, also 250 psec zwischen Taktsignalen. Schaltdauer von FET bei 50 psec. Mit etwas Verschnitt lässt sich der Durchlauf durch wenige Gatter nacheinander in einem Takt unterbringen. Lösung ist alles auf DN zu bringen. 8 Umwandeln von bel. BA in DN 1. De- Morgan und doppelte Negation: A B zu A B 14

15 A B zu A B A zu A 2. Ausmultiplizieren: A (B C) zu AB AC 3. Kürzen durch Komplement und 0-1-Gesetz: A A = 0 A 0 = 0 A 0 = A 4. Zusammenfassen von Variablen und K.-Termen gemäß A A = A A A = A (Kommutativität und Assoziativität wurden ausgelassen) Laut Konvention gilt: vor wie bei Punkt vor Strichrechnung! Definition: Eine DN (zu einer n-stelligen Funktion heißt kanonisch, wenn jeder K.-Term alle n Variablen enthält - als oder Beispiel: x 1 x 2 x 3 nicht kanonische DN x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 kanonische DN 9 Verfahren für Kanonizität 1. Sei im K-Term T die Variable a nicht enthalten: Verändere T gemäß Absorptionsgesetz zu T a T a! Wiederhole dies so oft wie möglich! 2. Fasse gleiche Terme zusammen! Man nennt die K.-Terme einer KDN auch Minterme. Die Sortierung der Var.-Namen(z.B. a,b,c,...) stehe fest. Dann notieren wir einen minterm auch durch die 0-1-Belegung, bei der er 1 liefert. und sogar als m i wobei i der dezimale Wert des BÄ ist. (Im Bsp: m 5, m 4, m 6 ) Das ziel ist nun die Minterme einer Funktion öptimal durch Absorption zusammenzufassen. 15

16 Beispiel: Funktion f = ab bc, ab = abc abc, bc = abc abc Also f = abc abc abc Tabelle 9: Beispiele Minterm Binäräquivalent (BÄ) abc abc abc Quine Mc Cluskey Minterme zu Primtermen 10.1 Grobskizze 1. Stelle KDN auf: somit Minterme 2. Fasse Terme - so lange wie möglich - paarweise zusammenfassen gemäß Ka Ka K 3. Verknüpfe Terme, die sich nicht zusammenfassen ließen mit Oder! Diese heißen nicht Primterme. 16

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