Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kapitel 1: Grundlagen der Mathematik. Referenzen zum Nacharbeiten:

Transkript

1 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski DM1 Folie 1 Diskrete Mathematik Sebastian Ianoski FH Wedel Kapitel 1: Grundlagen der Mathematik Reerenzen zum Nacharbeiten: Lang 1, 2.1 Meinel 1 Dean 3, 4 Hachenberger 1.4 (teileise)

2 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski DM1 Folie 2 Inhaltlicher Umang dieser Vorlesung Inhaltliche Voraussetzungen: Logisches Denken, Mathematik bis 9. Klasse (Gymnasium) Lernziele dieser Vorlesung: Verständnis ür Mathematik und Freude daran Elementare Konzepte: Logik, Mengenlehre, Zahlen Fortgeschrittene Konzepte: Beeisstrategien, Zahlentheorie, Algebra Spezielle Gebiete der Diskreten Mathematik: Kombinatorik, Graphentheorie Direkte inhaltliche Relevanz ür olgende Vorlesungen: Inormationstechnik, Digitaltechnik, Programmieren, Algorithmen und Datenstrukturen in C, Analysis, Lineare Algebra, Grundlagen der Theoretischen Inormatik

3 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski DM1 Folie 3 Literatur Lehrbücher, nach denen diese Vorlesung vorgeht: Albrecht Beutelspacher / Marc-Alexander Zschiegner: Diskrete Mathematik ür Einsteiger, Vieeg 2004 (2. Aulage), ISBN Rainer Lang: Vorlesungsskript ür die Vorlesung Diskrete Mathematik, FH Wedel 2005 Christoph Meinel / Martin Mundhenk: Mathematische Grundlagen der Inormatik, Teubner 2002 (2. Aulage), ISBN

4 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski DM1 Folie 4 Literatur Weitere empehlenserte Lehrbücher: Martin Aigner: Diskrete Mathematik, Vieeg 2001 (4. Aulage), ISBN Norman Biggs: Discrete Mathematics, Oxord University Press 2002, ISBN Neville Dean: Diskrete Mathematik, Pearson Studium, Reihe "im Klartext" 2003, ISBN Dirk Hachenberger: Mathematik ür Inormatiker, Pearson Studium 2005, ISBN Jiri Matousek / Jaroslav Nesetril: Diskrete Mathematik - Eine Entdeckungsreise, Springer-Verlag 2001, ISBN

5 1. Grundlagen der Mathematik 1.1 Einührung Was ist das Wesentliche der Mathematik? Mathematik ist in erster Linie das Erkennen von: Strukturen Zusammenhängen Verallgemeinerungen Gemeinsamkeiten Erst aus diesen Prinzipien olgert man: Rechenregeln Vorgehenseisen (Algorithmen) Formalismen dienen in der Mathematik zu einer eindeutigen Ausdruckseise einem besseren Verständnis ür den Menschen FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski DM1 Folie 5 Was sich au die Wirklichkeit bezieht, ist nicht sicher, und as sicher ist, ist nicht irklich.

6 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski DM1 Folie 6 1. Grundlagen der Mathematik 1.1 Einührung Was ist Diskrete Mathematik? Logik Mengenlehre Diskrete Zahlenbereiche Kombinatorik Graphentheorie Algebra Was gehört nicht zur Diskreten Mathematik? Analysis / Funktionentheorie Lineare Algebra Wahrscheinlichkeitsrechnung / Statistik...

7 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski DM1 Folie Aussagenlogik Aussagen und Wahrheitserte Was ist eine Aussage? Eine Aussage ist ein beliebiges Objekt. In der Aussagenlogik sind Aussagen unteilbar. Wegen der Unteilbarkeit heißen Aussagen auch Atome Was ist ein Wahrheitsert? Ein Wahrheitsert ist ein Element aus einer zeielementigen Menge (z.b. dargestellt als {,} oder {0,1}). Was macht die Aussagenlogik? Die Aussagenlogik beschätigt sich mit Funktionen, die jeder Aussage einen Wahrheitsert zuordnen. Solche Funktionen heißen binäre Funktionen

8 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski DM1 Folie Aussagenlogik Operatoren zischen Aussagen Durch Operatoren erden aus alten Aussagen neue Aussagen geschaen: Wahrheitserte ür die neuen Aussagen: p q p p q p q p q p q Einstelliger Operator: Negation ( ) Zeistellige Operatoren: Konjunktion ( ) Disjunktion ( ) Implikation ( ) Äquivalenz ( )

9 1.2 Aussagenlogik Zusammenhang zischen den Operatoren Logische Äquivalenzregeln: p q q p Kontraposition p q p q Ersetzen der Implikation durch und p q (p q) (q p) Ersetzen der Äquivalenz durch Implikationen (p q) p q (p q) p q demorgansche Regeln p p Doppelte Negation Wahrheitserte ür die neuen Aussagen: p q p p q p q p q p q p q q p p q q p Kommutativgesetze p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) Distributivgesetze FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski DM1 Folie 9

10 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski DM1 Folie Aussagenlogik Zusammenhang zischen den Operatoren Logische Schlussregeln: (p q) p q Modus ponens (p q) q p Modus tollens Wahrheitserte ür die neuen Aussagen: p q p p q p q p q p q (p q) (q r) (p r) Kettenschluss p q p Logische Einschränkung p q q ( p q) ( p q) p Indirekter Beeis (p q) q p Logischer Ausschluss

11 FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski DM1 Folie Prädikatenlogik Aussageormen, Variable und Prädikate Was ist eine Aussageorm? Eine Aussageorm ist eine Ausdruck mit Variablen aus bestimmten Deinitionsbereichen. Die Belegung jeder Variable mit einem zulässigen Wert macht aus einer Aussageorm eine Aussage Was ist ein Prädikat? Ein Prädikat gehört zu einer Aussageorm und beschreibt die Eigenschat einer Wertekonstellation, eine Aussageorm zu einer ahren Aussage zu machen. Für jede Wertekonstellation von Werten aus dem Deinitionsbereich der Variablen ist das zu der jeeiligen Aussageorm gehörende Prädikat deiniert. Ein Prädikat kann ahr (erüllt) oder alsch (nicht erüllt) sein.

12 Quantoren 1.3 Prädikatenlogik ür Aussageormen, die nur von x abhängen: Der Existenzquantor x (...) beschreibt die Aussage, dass es (mindestens) einen Wert ür x gibt, der die dahinter stehende Aussageorm in x zu einer ahren Aussage macht. Der Allquantor x (...) beschreibt die Aussage, dass jeder Wert ür x die dahinter stehende Aussageorm in x zu einer ahren Aussage macht. Die Deinitionsbereiche ür die Variablen düren eingeschränkt erden: Für den Existenzquantor ist das eine Verschärung, ür den Allquantor eine Abschächung der Aussage. ür Aussageormen, die von eiteren Variablen abhängen: Existenzquantor x (...) und Allquantor x (...) beschreiben Aussageormen, die nur noch von den restlichen Variablen abhängen, da über x die Aussage bereits gemacht ist. FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski DM1 Folie 12